Eﬃziente Algorithmen (SS2015) Kapitel 7 Lineare Programme 2 Walter Unger

(1)

Effiziente Algorithmen (SS2015)

Kapitel 7 Lineare Programme 2

Walter Unger

Lehrstuhl für Informatik 1

11:01 Uhr, den 15. Juli 2015

(2)

Algorithmus von Seidel Dualität Ganzzahligkeit

7 Inhaltsverzeichnis < > Walter Unger 15.7.2015 11:01 SS2015 Z

Inhalt I

1 Algorithmus von Seidel Einleitung Details Algorithmus Laufzeit

2 Dualität

Einleitung Aussagen Beispiele

3 Ganzzahligkeit Einleitung Unimodularität

(3)

7:1 Einleitung 1∕3 < > Walter Unger 15.7.2015 11:01 SS2015 Z

Die Idee

Kann eine zufällige Auswahl helfen?

Können effiziente Algorithmen noch schneller gemacht werden?

Kann bei schweren Problemen mit ausreichender Wahrscheinlichkeit ein gutes Ergebnis erreicht werden?

(4)

Die Idee

(5)

Die Idee

(6)

Einleitung

Bestimme Extrempunkt eines Polyhedrons bezüglich einer Zielfunktion.

Eingabe:

Gegeben sindd Variablen.

Gegeben sindmlineare Ungleichungen (Nebenbedingungen).

Gegeben ist eine lineare Zielfunktionf über died Variablen.

Gesucht:

Maximieref unter Berücksichtigung aller Nebenbedingungen.

Das ist ein LP (lineares Programm)

Obere Schranke für Laufzeit:O((^m_d)) =O(n^d).

Untersuche für jeded-elementige Teilmenge dermUngleichungen den jeweiligen Schnittpunkt (Basislösung).

Hier nun Algorithmus mit erwarteter linearer Laufzeit (d.h. linear inm).

(7)

Einleitung

Eingabe:

Gesucht:

(8)

Einleitung

Eingabe:

Gesucht:

(9)

Einleitung

Eingabe:

Gesucht:

(10)

Einleitung

Eingabe:

Gesucht:

(11)

Einleitung

Eingabe:

Gesucht:

(12)

Einleitung

Eingabe:

Gesucht:

(13)

Einleitung

Eingabe:

Gesucht:

(14)

Einleitung

Eingabe:

Gesucht:

(15)

Einleitung

Eingabe:

Gesucht:

(16)

Einleitung

Eingabe:

Gesucht:

(17)

Beispiel

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

f¹ f2

3f f₄

f₅

f6

f7 f8 f9

Maximierey unter den Nebenbedingungen 0≤x≤20, 0≤y≤10, und:

f1∶y ≤3⋅x+1 f4∶y≤ −0.9⋅x+9 f7∶y≥0.5⋅x−5 f2∶y ≤1⋅x+2 f5∶y≥ −0.9⋅x+2 f8∶y≥1⋅x−10 f3∶y ≤ −2⋅x+30 f6∶y≤ −2⋅x+40 f9∶y≤1.05⋅x+8

(18)

Beispiel

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

f¹

f2

3f f₄

f₅

f6

f7 f8 f9

f1∶y ≤3⋅x+1

f4∶y≤ −0.9⋅x+9 f7∶y≥0.5⋅x−5 f2∶y ≤1⋅x+2 f5∶y≥ −0.9⋅x+2 f8∶y≥1⋅x−10 f3∶y ≤ −2⋅x+30 f6∶y≤ −2⋅x+40 f9∶y≤1.05⋅x+8

(19)

Beispiel

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

f¹ f2

3f f₄

f₅

f6

f7 f8 f9

f1∶y ≤3⋅x+1

f4∶y≤ −0.9⋅x+9 f7∶y≥0.5⋅x−5

f2∶y ≤1⋅x+2

f5∶y≥ −0.9⋅x+2 f8∶y≥1⋅x−10 f3∶y ≤ −2⋅x+30 f6∶y≤ −2⋅x+40 f9∶y≤1.05⋅x+8

(20)

Beispiel

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

f¹ f2

3f

f₄

f₅

f6

f7 f8 f9

f1∶y ≤3⋅x+1

f4∶y≤ −0.9⋅x+9 f7∶y≥0.5⋅x−5

f2∶y ≤1⋅x+2

f5∶y≥ −0.9⋅x+2 f8∶y≥1⋅x−10

f3∶y ≤ −2⋅x+30

f6∶y≤ −2⋅x+40 f9∶y≤1.05⋅x+8

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Beispiel

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

f¹ f2

3f f₄

f₅

f6

f7 f8 f9

f1∶y ≤3⋅x+1 f4∶y≤ −0.9⋅x+9

f7∶y≥0.5⋅x−5

f2∶y ≤1⋅x+2

f5∶y≥ −0.9⋅x+2 f8∶y≥1⋅x−10

f3∶y ≤ −2⋅x+30

f6∶y≤ −2⋅x+40 f9∶y≤1.05⋅x+8

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Beispiel

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

f¹ f2

3f f₄

f₅

f6

f7 f8 f9

f1∶y ≤3⋅x+1 f4∶y≤ −0.9⋅x+9

f7∶y≥0.5⋅x−5

f2∶y ≤1⋅x+2 f5∶y≥ −0.9⋅x+2

f8∶y≥1⋅x−10

f3∶y ≤ −2⋅x+30

f6∶y≤ −2⋅x+40 f9∶y≤1.05⋅x+8

(23)

Beispiel

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

f¹ f2

3f f₄

f₅

f6

f7 f8 f9

f1∶y ≤3⋅x+1 f4∶y≤ −0.9⋅x+9

f7∶y≥0.5⋅x−5

f2∶y ≤1⋅x+2 f5∶y≥ −0.9⋅x+2

f8∶y≥1⋅x−10

f3∶y ≤ −2⋅x+30 f6∶y≤ −2⋅x+40

f9∶y≤1.05⋅x+8

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Beispiel

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

f¹ f2

3f f₄

f₅

f6

f7

f8 f9

f1∶y ≤3⋅x+1 f4∶y≤ −0.9⋅x+9 f7∶y≥0.5⋅x−5 f2∶y ≤1⋅x+2 f5∶y≥ −0.9⋅x+2

f8∶y≥1⋅x−10

f3∶y ≤ −2⋅x+30 f6∶y≤ −2⋅x+40

f9∶y≤1.05⋅x+8

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Beispiel

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

f¹ f2

3f f₄

f₅

f6

f7 f8

f9

f1∶y ≤3⋅x+1 f4∶y≤ −0.9⋅x+9 f7∶y≥0.5⋅x−5 f2∶y ≤1⋅x+2 f5∶y≥ −0.9⋅x+2 f8∶y≥1⋅x−10 f3∶y ≤ −2⋅x+30 f6∶y≤ −2⋅x+40

f9∶y≤1.05⋅x+8

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Beispiel

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

f¹ f2

3f f₄

f₅

f6

f7 f8 f9

f1∶y ≤3⋅x+1 f4∶y≤ −0.9⋅x+9 f7∶y≥0.5⋅x−5 f2∶y ≤1⋅x+2 f5∶y≥ −0.9⋅x+2 f8∶y≥1⋅x−10 f3∶y ≤ −2⋅x+30 f6∶y≤ −2⋅x+40 f9∶y≤1.05⋅x+8

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7:4 Details 1∕14 < > Walter Unger 15.7.2015 11:01 SS2015 Z

Vorgaben

Variablen:x1,x2, . . . ,xd mit:

x= (x1,x2, . . . ,xd)^T und Nebenbedingungen:A⋅x≤bmit:

Aist einem×d Matrix und b= (b1,b2, . . . ,bd)^T. Zielfunktionf(x) =c^T⋅x mit:

c= (c1,c2, . . . ,cd).

O.B.d.A. gibt es eine zulässige Lösung.

O.B.d.A. ist die Lösung eindeutig.

Falls nicht, so setze:

ci=ci+εⁱ für einε>0.

Zielfunktion wird virtuell perturbiert (durcheinander wirbeln,stören).

D.h. es wird lexikographisch kleinste Basislösung gewählt.

Jede Nebenbedingung entspricht einer Hyperebene.

(28)

Vorgaben

c= (c1,c2, . . . ,cd).

(29)

Vorgaben

c= (c1,c2, . . . ,cd).

(30)

Vorgaben

c= (c1,c2, . . . ,cd).

(31)

Vorgaben

c= (c1,c2, . . . ,cd).

(32)

Vorgaben

c= (c1,c2, . . . ,cd).

(33)

Vorgaben

c= (c1,c2, . . . ,cd).

(34)

Vorgaben

c= (c1,c2, . . . ,cd).

(35)

Vorgaben

c= (c1,c2, . . . ,cd).

(36)

Vorgaben

c= (c1,c2, . . . ,cd).

(37)

Vorgaben

c= (c1,c2, . . . ,cd).

(38)

Vorgaben

c= (c1,c2, . . . ,cd).

(39)

Vorgaben

c= (c1,c2, . . . ,cd).

(40)

Vorgaben

c= (c1,c2, . . . ,cd).

(41)

Vorgaben

Das LP sollte nicht unbeschränkt sein.

Daher werden zusätzlich Box-Bedingungen eingefügt.

−t≤xi≤t für: (1≤i≤d).

t muss so groß sein, dass keine Basislösung verloren geht.

D.h. in jeder Basislösung müssen die Variablenwerte zwischent und

−t liegen.

So ein Werttexistiert immer.

t kann polynomiell in der Eingabelänge bestimmt werden.

Man kann aucht als symbolischen Wert darstellen.

Dann wirdtim folgenden Algorithmus immer größer sein als jeder bis dahin berechnete Wert.

(42)

Vorgaben

−t≤xi≤t für: (1≤i≤d).

−t liegen.

(43)

Vorgaben

−t≤xi≤t für: (1≤i≤d).

−t liegen.

(44)

Vorgaben

−t≤xi≤t für: (1≤i≤d).

−t liegen.

(45)

Vorgaben

−t≤xi≤t für: (1≤i≤d).

−t liegen.

(46)

Vorgaben

−t≤xi≤t für: (1≤i≤d).

−t liegen.

(47)

Vorgaben

−t≤xi≤t für: (1≤i≤d).

−t liegen.

(48)

Vorgaben

−t≤xi≤t für: (1≤i≤d).

−t liegen.

(49)

Vorgaben

−t≤xi≤t für: (1≤i≤d).

−t liegen.

(50)

7:6 Algorithmus 1∕11 < > Walter Unger 15.7.2015 11:01 SS2015 Z

Algorithmus von Seidel (1991)

Idee:

SeiHdie Menge der Nebenbedingungen (Ohne Box-Bedingungen).

Wähle zufälligh∈H aus, und löse dann rekursiv.

FürH^′⊂HseiLP(H^′)das LP, bei dem alle Nebenbedingungen aus H∖H^′gestrichen wurden.

Die optimale Basislösung vonLP(H^′)wird mitopt(H^′)bezeichnet.

Algorithmus von Seidel:

1 Fallsd=1 oderm=0, so gebeopt(H)aus.

2 Ansonsten wähle uniform eine Nebenbedingungh∈Haus, und berechneopt(H∖ {h})rekursiv.

3 Fallsopt(H∖ {h})die Nebenbedingunghnicht verletzt, so gebe opt(H∖ {h}) =opt(H)aus.

4 Ansonsten berechne den Schnitt des Lösungspolyhedrons mit der Hyperebeneh, und löse das so entstandene(d−1)-dimensionale LP rekursiv.

(51)

Algorithmus von Seidel (1991)

Idee:

(52)

Algorithmus von Seidel (1991)

Idee:

(53)

Algorithmus von Seidel (1991)

Idee:

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Algorithmus von Seidel (1991)

Idee:

(55)

Algorithmus von Seidel (1991)

Idee: