Eﬃziente Algorithmen (WS2019/20) Kapitel 5 Lineare Programme 2 Walter Unger

(1)

Effiziente Algorithmen (WS2019/20)

Kapitel 5 Lineare Programme 2

Walter Unger

Lehrstuhl für Informatik 1

8:55 Uhr, den 18. Dezember 2019

(2)

5:2 Walter Unger 18.12.2019 8:55 WS2019/20

Inhalt I

1 _Einleitung Beispiele Formen eines LP Geometrische Interpretation Algebraische Gleichungsform Überblick

2 Simplexverfahren Algorithmus Pivotschritt Beispiel Initiale Basislösung

Komplexität von einem Pivotschritt Laufzeit

Degenerierte LPs 3 _Dualität

Einleitung Aussagen Beispiele 4 Ganzzahligkeit

Einleitung Unimodularität

(3)

Einleitung Simplexverfahren Dualität Ganzzahligkeit

5:1 Beispiele 1/10 Walter Unger 18.12.2019 8:55 WS2019/20

Einfaches Beispiel

116 .6

y

x 10

20 30 40 50 60 70 80 90 100 110

10 20 30 40 50 60 70 80

x680

y6110 1.2

·x +

y6 120

4/5· x+

y= 40 4/5·x+

y= 60 4/5·x+

y= 80 4/5·x+

y= 100 opt

Wir betrachten ein System von linearen Ungleichungen.

Dabei ist eine “Zielfunktion” zu optimieren.

Beispiel (Brotrezept):

x kg Weizenmehl y kg Roggenmehl

Maximal 80 kg Weizenmehl.

Maximal 110 kg Roggenmehl.

Mischungsverhältnis: 1.2·x+y.

Maximale Brotmenge:

1.2·x+y6120.

Zu optimieren:

f(x,y) =4/5·x+y.

(4)

Einfaches Beispiel

116 .6

y

x 10

20 30 40 50 60 70 80 90 100 110

10 20 30 40 50 60 70 80

x680

1.2

·x +

y6 120

4/5· x+

y= 40 4/5·x+

y= 60 4/5·x+

y= 80 4/5·x+

y= 100

Maximale Brotmenge:

1.2·x+y6120.

Zu optimieren:

f(x,y) =4/5·x+y.

(5)

Einfaches Beispiel

116 .6

y

x 10

20 30 40 50 60 70 80 90 100 110

10 20 30 40 50 60 70 80

x680

y6110

1.2

·x +

y6 120

4/5· x+

y= 40 4/5·x+

y= 60 4/5·x+

y= 80 4/5·x+

y= 100 opt

Maximale Brotmenge:

1.2·x+y6120.

Zu optimieren:

f(x,y) =4/5·x+y.

(6)

Einfaches Beispiel

116 .6

y

x 10

20 30 40 50 60 70 80 90 100 110

10 20 30 40 50 60 70 80

x680

y6110

.2

·x +

y6 120

4/5· x+

y= 40 4/5·x+

y= 60 4/5·x+

y= 80 4/5·x+

y= 100

Maximale Brotmenge:

1.2·x+y6120.

Zu optimieren:

f(x,y) =4/5·x+y.

(7)

Einfaches Beispiel

116 .6

y

x 10

20 30 40 50 60 70 80 90 100 110

10 20 30 40 50 60 70 80

x680

y6110 1.2

·x +

y6 120

4/5· x+

y= 40 4/5·x+

y= 60 4/5·x+

y= 80 4/5·x+

y= 100 opt

Maximale Brotmenge:

1.2·x+y6120.

Zu optimieren:

f(x,y) =4/5·x+y.

(8)

Einfaches Beispiel

116 .6

y

x 10

20 30 40 50 60 70 80 90 100 110

10 20 30 40 50 60 70 80

x680

y6110 1.2

·x +

y6 120

4/5· x+

y= 40

4/5·x+

y= 60 4/5·x+

y= 80 4/5·x+

y= 100

Maximale Brotmenge:

1.2·x+y6120.

Zu optimieren:

f(x,y) =4/5·x+y.

(9)

Einfaches Beispiel

116 .6

y

x 10

20 30 40 50 60 70 80 90 100 110

10 20 30 40 50 60 70 80

x680

y6110 1.2

·x +

y6 120

4/5· x+

y= 40 4/5·x

+y

=60

4/5·x+

y= 80 4/5·x+

y= 100 opt

Maximale Brotmenge:

1.2·x+y6120.

Zu optimieren:

f(x,y) =4/5·x+y.

(10)

Einfaches Beispiel

116 .6

y

x 10

20 30 40 50 60 70 80 90 100 110

10 20 30 40 50 60 70 80

x680

y6110 1.2

·x +

y6 120

4/5· x+

y= 40 4/5·x

+y

=60 4/5·x+

y= 80

4/5·x+

y= 100

Maximale Brotmenge:

1.2·x+y6120.

Zu optimieren:

f(x,y) =4/5·x+y.

(11)

Einfaches Beispiel

116 .6

y

x 10

20 30 40 50 60 70 80 90 100 110

10 20 30 40 50 60 70 80

x680

y6110 1.2

·x +

y6 120

4/5· x+

y= 40 4/5·x

+y

=60 4/5·x+

y= 80 4/5·x

+y

=100

opt

Maximale Brotmenge:

1.2·x+y6120.

Zu optimieren:

f(x,y) =4/5·x+y.

(12)

Einfaches Beispiel

116 .6 y

x 10

20 30 40 50 60 70 80 90 100 110

10 20 30 40 50 60 70 80

x680

y6110 1.2

·x +

y6 120

4/5· x+

y= 40 4/5·x

+y

=60 4/5·x+

y= 80 4/5·x

+y

=100

opt Wir betrachten ein System von

linearen Ungleichungen.

Maximale Brotmenge:

1.2·x+y6120.

Zu optimieren:

f(x,y) =4/5·x+y.

(13)

5:2 Beispiele Walter Unger 18.12.2019 8:55 WS2019/20

Beispiel: Flussproblem

Flussproblem:

GegebenG = (V,E,s,t,c)mitc:E7→N. Maximiere den Fluss.

als lineares Programm:

Variablenxe füre∈E.

Maximiere

X

e∈N_out(s)∈E

xe.

unter Einhaltung der Bedingungen:

Für jeden Knotenv∈V\ {s,t}:P

e∈Nin(v)xe=P

e∈Nout(v)xe,

∀e∈E:x_e6c_e, und

∀e∈E:x_e>0.

(14)

Beispiel: Relaxiertes Rucksackproblem

Relaxiertes Rucksackproblem:

gegebendteilbare Objekte mit Gewichtengi und die GewichtsschrankeG des Rucksacks.

Undv_i sei der Nutzen für 16i6d.

Seixi der Anteil von Objekti.

Fülle den Rucksack. Dabei soll der Nutzen maximal sein.

Als lineares Programm:

Maximiere

d

X

i=1

vi·xi.

unter den Nebenbedingungen:

Pd

i=1g_i·x_i6G,

∀i:16i6d:x_i61, und

∀i:16i6d:x_i>0.

(15)

Beispiel: Routing und Wellenlängenzuweisung

Routing und Wellenlängenzuweisung: bestimme die Wellenlängen in einem optischen Netzwerk. In dem Netzwerk gibt es Kommunikationsanfragen für Paare von Knoten.

N_E Endknoten.

NR Router mit Konverter.

n=NE+NR.

Namen der Knoten:Ni (16i6n).

mAnzahl der Lichtwege.

E:(i,j)∈E⇐⇒Kante vonNi nachNj. src(k): ist Startknoten derk-ten Anfrage.

dst(k): ist Endknoten derk-ten Anfrage.

Ωmax: Congestion des Netzwerks.

X_ij^k∈ {0,1}mit:

X_ij^k=

1 derk-te Weg nutzt Kante(i,j)∈E 0 sonst

WegenX_ij^k∈ {0,1}ist dies hier ein “Integer Linerar Programm”.

(16)

Routing und Wellenlängenzuweisung als ILP

n=NE+NR src(k)←→dst(k) : (16k6m) X kij :k-te Weg nutzt Kante(i,j)

Minimiere ZielfunktionΩmax. Pm

k=1X_ij^k6Ωmax,∀(i,j)∈E.

Für allek:16k6mund allei:16i6n:

X

j:(i,j)∈E

Xij^k− X

j:(j,i)∈E

Xji^k=







1 fallssrc(k) =i

−1 fallsdst(k) =i 0 sonst

Dies ist eine korrekte Formulierung des Routen- und Wellenlängenzuweisungsproblems als ILP.

Komplexität:

m· |E|Variablen der FormX_ij^k. Eine VariableΩmax.

Nebenbedingungen:|E|+n·m.

Schon für relativ kleine Netzwerke zu aufwendig.

(17)

Routen- und Wellenlängenzuweisung

NE Endknoten;NR Router ohne Konverter.

n=NE+NR; Namen der Knoten:Ni (16i6n).

mAnzahl der Lichtwege;nch Anzahl der Wellenlängen.

E:(i,j)∈E ⇐⇒Kante vonNi nachNj. src(k): ist Startknoten derk-ten Anfrage.

dst(k): ist Endknoten derk-ten Anfrage.

Ωmax: Congestion des Netzwerks.

X_ij^wk ∈ {0,1}mit:

X_ij^wk =

1 derk-te Weg nutzt(i,j)∈E und W.längew 0 sonst

Yw^k∈ {0,1}mit:

Y_w^k=

1 derk-te Weg nutzt Wellenlängew 0 sonst

(18)

ILP:

n=NE+NR src(k)←→dst(k) : (16k6m) X kij :k-te Weg nutzt Kante(i,j) Y kw:k-te Weg nutzt Wellenlängew

Minimiere ZielfunktionΩmax:

n_ch

X

w=1 m

X

k=1

X_ij^wk6Ωmax,∀(i,j)∈E

Für allek,w:16k6m,16w 6nchund allei :16i6n:

X

j:(i,j)∈E

X_ij^wk− X

j:(j,i)∈E

X_ji^wk =







Yw^k fallssrc(k) =i

−Yw^k fallsdst(k) =i 0 sonst

Für allek:16k6m:

n_ch

X

w=1

Yw^k=1 Für allew:16w 6nch und alle(i,j)∈E:

m

X

k=1

Xij^wk61

(19)

5:8 Formen eines LP Walter Unger 18.12.2019 8:55 WS2019/20

Kanonische Form eines LP

Ein LP ist in kanonischer Form, falls:

Es gibtdVariablenxi ∈R(16i6d), Wertecj∈Rfür 16j6d,

Werteb_i ∈Rfür 16i6mund

Werteai,j∈Rfür 16j6dund 16i6m.

Gesucht ist eine Belegung der Variablenxi∈Rmit:

Maximiere ZielfunktionPd j=1c_j·x_j unter den Nebenbedingungen:

Pd

j=1aij·xj6bjfüri∈ {1,2, . . . ,m}und x_j>0 fürj∈ {1,2, . . . ,d}.

Setze:

x= (xj),c= (cj),b= (bi)undA= (aij).

Dann ist kurzgefasst die kanonische Form:

Maximierec^T·xunter den Nebenbedingungen:

A·x6bundx>0.

(20)

5:9 Formen eines LP Walter Unger 18.12.2019 8:55 WS2019/20

Umformungen zur kanonischen Form

Minimierungsproblem in ein Maximierungsproblem:

c^T·xwird zu−c^T·x.

Eine Gleichunga^T·x=bwird ersetzt durch a^T·x6bund

a^T·x>b.

Eine Gleichunga^T·x>bwird ersetzt durch

−a^T·x6−b.

Eine möglicherweise negative Variablex∈Rwird ersetzt durch:

x⁰−x⁰⁰und den Nebenbedingungen:

x⁰>0 und x⁰⁰>0.

(21)

5:10 Geometrische Interpretation Walter Unger 18.12.2019 8:55 WS2019/20

Geometrische Interpretation

x

y

z 000

000 000

000

06x 6t 06y 6t 06z6t

Eine Variablenbelegungx= (x1,x2, . . . ,xd) entspricht einem Punkt imd-dimensionalen Raum.

Eine Nebenbedingungai·x6bi definiert einen Halbraum.

Die Grenze des Halbraums ist die Hyperebene ai·x=bi.

Der Schnitt aller Halbräume ist der Raum der zulässigen Lösungen.

Ein LP wird als zulässig bezeichnet, wenn des zulässige Lösungen gibt.

Schnittmengen von Halbräumen bilden ein Polyhedron.

Damit bilden die zulässigen Lösungen ein Polyhedron.

(22)

Konvexität

PPolyhedron

Lemma

Ein PolyhedronPist konvex.

Beweis:

Konvex:∀a,b∈P:l(a,b)∈P mit:

l(a,b) ={λa+ (1−λ)b|06λ61}.

Ein Halbraum ist konvex.

Ein Polyhedron ist der Schnitt von Halbräumen.

Zeige: Der Schnitt von konvexen Mengen ist konvex.

D.h. ausA,B konvex folgtA∩B konvex.

Damit gilt:∀a,b∈A:l(a,b)∈Aund weiter∀a,b∈B:l(a,b)∈B.

Es folgt:∀a,b∈A∩B:l(a,b)∈A∩B.

(23)

Lokales und globales Optimum

PPolyhedron

Lemma

Seiz,x∈P undc^Tz>c^Tx.

Dann existiert fürε >0einy ∈Pmit:||x−y||6εundc^Ty>c^Tx.

Beweis:

P ist konvex, giltl(x,z)∈P.

Wähley ∈l(x,z)mitx6=y und||x−y||6ε.

Nach Definition vonl gibtλ >0 mit:y =λx+ (1−λ)z.

Es folgt:

c^Ty = c^T(λx+ (1−λ)z)

= λc^Tx+ (1−λ)c^Tz

> λc^Tx+ (1−λ)c^Tx

= c^Tx Lemma

Ein lokales Optimum ist auch ein globales Optimum.

(24)

Unterräume

PPolyhedron

Eine Hyperebene wird beschrieben durch:

α1x1+α2x2+α3x3+. . .+αdxd=β.

Es sindd−1 Variablen frei wählbar.

Der Wert derd-ten Variable ist dann festgelegt.

Der durch die Hyperebene beschriebene affine Unterraum ist ein Unterraum der Dimensiond−1.

Ein Unterraum, der als Schnittmenge vonk linear unabhängigen Hyperräumen beschrieben wird, hat Dimensiond−k.

Falls mehr alsd Nebenbedingungen (Hyperebenen) sich in einem Punkt treffen, so ist das LP degeneriert.

Ein degeneriertes LP kann in ein nicht-degeneriertes LP umgeformt werden, ohne die Form (Zusammensetzung) der Lösung signifikant zu verändern.

(25)

Oberfläche eines Polyhedrons

PPolyhedron

000

i j

000

i j

x>0

y>0 x680

y6110

1.2

·x +y

6120

Die Oberfläche eines Polyhedrons besteht aus Facetten.

SeiPein Polyhedron undHeine Hyperebene und sei Pkomplett auf einer Seite der HyperebeneH.

Fallsf =P∩Hnicht leer ist, so istf eine Facette vonP.

Eine Facette der Dimensiond−1 heißt Face.

Eine Kante entspricht dem Schnitt vond−1 Hyperebenen (Facette der Dimension 1).

Ein Knoten entspricht dem Schnitt vond Hyperebenen (Facette der Dimension 0).

Zwei Knoten sind benachbart, wenn sie durch eine Kante verbunden sind.

FallsPunbeschränkt ist, so kann es unbeschränkte Kanten geben.

Solche Kanten haben nur einen oder keinen Endpunkt.

(26)

Zielfunktion

Die Zielfunktionc^Tx (Vektor) gibt eine Richtung inR^d vor.

Falls die Nebenbedingungen den Zielwert nach oben beschränken, so wird das LP als beschränkt bezeichnet.

Falls der Zielwert nicht beschränkt ist, so heißt das LP unbeschränkt.

Das Polyhedron muss dabei nur in der Richtung vonc^Tx beschränkt sein.

Ist das Polyhedron in alle Richtungen beschränkt (in einer Kugel enthalten), so wird es als Polytop bezeichnet.

(27)

Geometrische Bestimmung des Optimums

Betrachte beschränktes LP in kanonischer Form mit LösungspolyhedronP und Zielfunktionc^Tx,

SeiHeine zum Vektorc orthogonale Hyperebene.

Damit gibt est∈Rmit:H={x ∈R^d|c^T·x=t}.

SetzeHt ={x∈R^d |c^T·x =t}.

SeiHso gewählt, dassP∩ H 6=∅gilt.

Wählez maximal mitP∩ Hz6=∅.

Ein beliebiger Punktx^∗∈P∩ Hz ist eine optimale Lösung des LPs.

Beobachtungen:

P∩ Hz ist eine Facettef vonP.

Fallsf nicht in allen Richtungen unbeschränkt ist, so gibt es mindestens einen optimalen Knoten.

(28)

5:17 Algebraische Gleichungsform Walter Unger 18.12.2019 8:55 WS2019/20

Algebraische Gleichungsform

Gegeben sei ein Ungleichungssystem in kanonischer Form:

Maximierec^0Tx unterA⁰x⁰>b⁰ undx⁰>0.

Dies kann unter Einführung von Schlupfvariablen in die folgende Form gebracht werden:

Maximierec^Tx unterAx=bundx>0.

Dazu wird eine Ungleichung

aix >bi mitx>0 mit Hilfe der Schlupfvariablensi umgeformt zu:

aix−si=bi mitx >0 undsi >0.

Falls das kanonische Ungleichungssystemd Variablen undm Ungleichungen hat,

so hat das algebraische Gleichungsformn=d+mVariablen und es gilt rang(A) =m.

(29)

Beispiel

x164 x262

−x1+x26 1 x2

x2

a b

c

a b

c

Punkt(1,2)wird zum Punkt(1,2,3,0,0).

Durch Einsetzen in die letzten Gleichungen.

Sei ein kanonisches Ungleichungssystem gegeben:

x164 x1>0 x262 x2>0

−x1+x261

In der algebraischen Gleichungsform erhalten wir:

x1+x3=4 x1>0 x3>0 x2+x4=2 x2>0 x4>0

−x1+x2+x5=1 x5>0 Aufgelöst nach den Schlupfvariablen:

x3=4−x1

x4=2−x2

x5=1+x1−x2

(30)

Basislösungen

Gegeben sei ein LP in Gleichungsform.

Seiδ:{1,2, . . . ,k} 7→ {1,2, . . . ,n}eine geordnete Auswahl vonk Spalten, d.h.

∀i ∈ {1,2, . . . ,k−1}:δ(i)< δ(i+1).

SeiAδ die Matrix, die nur die Spalten ausδenthält:

Aδ=Aδ(1),Aδ(2),Aδ(3), . . . ,Aδ(k). Sei weiter:

xδ=xδ(1),xδ(2),xδ(3), . . . ,xδ(k)

bδ=bδ(1),bδ(2),bδ(3), . . . ,bδ(k)

Fallsk=d, so wirdδals Basis bezeichnet. Dann istAδinvertierbar.

Seiδ¯die geordnete Auswahl der verbleibenden Spalten.

Dann hat das Gleichungssystem die Gestalt:Aδxδ+Aδ¯xδ¯=b.

Mitx¯δ=0 hat das Gleichungssystem die eindeutige Lösung xδ=A⁻¹_δ b.

Die Lösung(A⁻¹_δ b,0)wird als Basislösung zur Basisδbezeichnet.

(31)

Interpretation

In der kanonischen Form entsprechen die Basislösungen den Schnittpunkten vond Hyperebenen der Nebenbedingungen.

Betrachte dazu:

In der Basislösung sindn−m=dVariablen Null.

Das sind entweder Schlupfvariablen oder Variablen der kanonischen Form.

Zu jeder der Variablen haben wir eine Hyperebene in der kanonischen Form.

Eine Basislösung ist zulässig, falls die Variablen nicht negativ sind.

Dann entspricht die zulässige Basislösung einem Knoten des Lösungspolyhedrons.

Falls eine der Basisvariablen Null ist, so schneiden sich mehr alsd Hyperebenen an einem Punkt und das LP ist degeneriert.

(32)

5:21 Überblick Walter Unger 18.12.2019 8:55 WS2019/20

Einleitung

opt

x

start opt

x

start

Zwei Methoden, um in einem Polyhedron das Optimum bezüglich einer Zielfunktion zu finden:

“Laufe” auf der Oberfläche über Knoten und Kanten “bergauf” in Richtung Optimum.

Starte an einem beliebigen Knoten.

Suche “verbessernde” Kante.

Gehe über diese Kante zu neuem Knoten.

Wiederhole bis das Optimum gefunden ist.

Suche im Inneren des Polyhedrons einen Punkt und versuche das Optimum zu “sehen”.

Suche Punkt im Polyhedron.

Grenze Polyhedron mittels Hyperebene orthogonal zum Zielvektor ein.

Führe Halbierungssuche durch.

(33)

5 Inhaltsverzeichnis Walter Unger 18.12.2019 8:55 WS2019/20

Vergleich Simplex zu Gauß

∗

Um die Idee des Simplexverfahren (vorallem das Schema) zu verstehen, betrachten wir zuerst einmal das Eliminationssche- ma nach Gauß. Hier soll eine quadratischeMatrixmit einem unbekanntenVektorzu einemZielvektormultipliziert werden.

Dazu werden so lange Umformungen gemacht, bis nur auf der

HauptdiagonalenderMatrixEinsen stehen. Nun kann imZielvektordie Lösung für denVektorabgelesen werden.

∗

Beim Simplexverfahren haben wir keine quadra- tischeMatrix. Daher wird immer so umgeformt, daß in einer quadratischenTeilmatrixnur auf der HauptdiagonalenEinsen stehen. Die zugehörigen Variablen des Vektors können nun im Zielvektor

abgelesen werden. Alle anderen Variablen desVektorswerden auf Null gesetzt.

Die Variablen des Vektors, die nicht Null sind, nennen wir Basislösung. Eine Verbesserung der Zielfunktion wird nun durch einen Wechsel der Basislösung vorgenommen. Dazu wird nach einer beliebigen Variablen desVektorsgesucht, die die Zielfunktion verbessert. Der dann stattfindende Austausch wird Pivot- schritt genannt.

(34)

5:23 Algorithmus Walter Unger 18.12.2019 8:55 WS2019/20

Einleitung

Vorgestellt 1951 von Dantzig.

In der Praxis das erfolgreichste Verfahren.

Eingabe:

nicht-degeneriertes (ggf. unbeschränkt) LP Sei das LösungspolyhedronP.

Verfahren

1 Bestimme beliebigen KnotenpaufP.

2 Solange es eine verbessernde Kantee= (p,p⁰)gibt:

1 Setzep=p⁰.

3 Gebepaus.

Der Wechsel über die Kante(p,p⁰)heißt Pivotschritt.

(35)

5:24 Algorithmus Walter Unger 18.12.2019 8:55 WS2019/20

Vereinfachter Vergleich Simplex zu Gauß

∗

Gauß

∗

Simplex

(36)

5:25 Pivotschritt Walter Unger 18.12.2019 8:55 WS2019/20

Erinnerung

Ungleichungssystem:

Maximierec^0Tx unterA⁰x⁰6b⁰ undx⁰>0.

Algebraische Gleichungsform (mit Schlupfvariablen):

Maximierec^Tx unterAx=bundx>0.

Neue Gestalt durch Spaltenauswahl:Aδxδ+Aδ¯xδ¯=b.

Mitx¯δ=0 hat das Gleichungssystem eine eindeutige Lösung. Dies ist eine Basislösung von der Algebraischen Gleichungsform.

xδ=A⁻¹_δ b.

BeachteAδ ist invertierbar.

(37)

Umformungen

xδ= ˆb−Axˆδ¯=A−1 δ ·b−A−1

δ ·Aδ¯xδ¯ [xδ= ˆb=A−1

δ ·b]

Situation:

Ax=b,x>0 und maximierec^Tx.

Aδ invertierbar, der FormAδxδ+Aδ¯xδ¯=b.

Multiplikation mitA⁻¹_δ von links ergibt:

Aδxδ+Aδ¯xδ¯ = b A⁻¹_δ ·Aδxδ+A⁻¹_δ ·Aδ¯xδ¯ = A⁻¹_δ ·b

xδ+A⁻¹_δ ·Aδ¯xδ¯ = A⁻¹_δ ·b

xδ = A⁻¹_δ ·b−A⁻¹_δ ·Aδ¯xδ¯

xδ = A⁻¹_δ ·b−Axˆδ¯

xδ = bˆ−Axˆδ¯

Da für die Basislösungxδ¯=0 gilt, erhalten wir:

xδ=A⁻¹_δ ·b= ˆb.

Die Zielfunktion hat dann den Wertc^T·A⁻¹_δ ·b=c^T·b.ˆ

(38)

Optimalität

δ ·b]

Versuche nun, von einer Basislösung aus eine Kante zu finden:

Basislösung:xδ= ˆb= ˆb−A⁻¹_δ ·Aδ¯xδ¯mitxδ¯=0.

Zielfunktionswert:c^T·b.ˆ

Um von der Basislösung abzuweichen, istx¯δzu verändern.

Wir können die Variablen der Basis als Funktion der Nichtbasisvariablen auffassen.

Auch kann der Zielfunktionswert als Funktion vonxδ¯aufgefasst werden.

c^T·x = c_δ^T·xδ+c_δ^T_¯ ·xδ¯

= c_δ^T·(ˆb−Axˆ δ¯) +cδ^T¯ ·xδ¯

= cδ^T·bˆ−cδ^T·Axˆ δ¯+cδ^T¯ ·xδ¯

= c_δ^T·bˆ+ (cδ^T¯ −c_δ^T·A)ˆ ·xδ¯

Der Vektorcδ^T¯ −c_δ^T·Aˆwird als Vektor der reduzierten Kosten bezeichnet.

Für jeden Eintrag des Vektors der reduzierten Kosten gilt:

Der Eintrag zeigt an, wie sich die Zielfunktion ändert.

Falls der Eintrag positiv ist, verbessert sich die Zielfunktion.

Dazu ist die zugehörige Komponente (Eintrag) zu ändern.

(39)

Kriterium zur Optimalität

δ ·b] cTδ¯−cTδ·Aˆ

Theorem

Falls der Vektor der reduzierten Kosten zu einer Basisδkeine positiven Einträge hat, so ist zugehörige Lösungxδ optimal.

Beweis:

Es gelte:c_δ_¯^T−c_δ^T·Aˆ60.

Seix⁰∈P beliebige zulässige Lösung.

Damit giltx⁰>0 und weiter giltx¯δ⁰ >0.

Damit erhalten wir:

c^T·x⁰=c_δ^T·bˆ+ (cδ^T¯ −c_δ^T·A)ˆ ·xδ¯⁰6x_δ^T·b.ˆ Der Basisvektorxδ hat den Zielfunktionswertx_δ^Tb.ˆ

Damit ist er optimal.

(40)

Folgerung

δ ·b]

cTδ¯−cTδ·Aˆ

Falls der Vektory =cδ¯^T−c_δ^T·Aˆder reduzierten Kosten keine positiven Einträge hat, so terminiert das Verfahren.

Anderenfalls suchen wir eine verbessernde Basislösung:

Seixjeine Nichtbasisvariable mit positiven reduzierten Kosten. D.h.

cj−

m

X

k=1

(cδ)_k·aˆk,j>0.

Wir verändern nun nurxj.

Eine Vergrößerung vonx_jvergrößert auch die Zielfunktionc^T_δ·ˆb+ (c_δ^T_¯ −c_δ^T·A)ˆ ·xδ¯und verändert die Gleichungx_δ= ˆb−Axˆδ¯, d.h.

für jede Komponente gilt:x_δ(i)= ˆb_i−aˆ_i,jx_j.

Beachte dabei, Variablenxδ(k)¯ k6=jsind fixiert undxδ(k)¯ =0.

Falls die Lösung beschränkt ist, so

vergrößerexj, solangex_δ(i)= ˆbi−aˆi,jxj>0 gilt.

(41)

Verfeinertes Simplexverfahren

δ ·b]

cTδ¯−cTδ·Aˆ cj−Pm

k=1(cδ)k·ak,jˆ >0 1 Problem: Maximierec^0Tx unterA⁰x⁰>b⁰ undx⁰>0.

2 Forme um zu: Maximierec^Tx unterAx=bundx >0.

3 Bestimme beliebigen KnotenpaufP, d.h.

Bestimmexδ= ˆb=A⁻¹_δ ·bals Basislösung.

Bestimme Vektor der reduzierten Kosten:r=c^T_¯

δ −c_δ^T·A.ˆ

4 Solanger einen positiven Eintragrjhat, wiederhole:

1 Falls für allei∈ {1,2, . . . ,m}giltaˆ_i,j60, so kann der Wertx_jbeliebig erhöht werden.

Damit gebe aus: “die Lösung ist unbeschränkt”.

2 Wähle nun aus:i= argmin_16k6m{_a_ˆ^b^ˆ^k

k,j |ˆak,j>0}.

3 Setzexj=_a_ˆ^b^ˆⁱ

i,j und bestimme dadurch neuesxδ:

1 Ersetze SpalteAˆ_δ(i)durch SpalteAˆj.

4 Bestimme neu:r=c^T_¯

δ −c_δ^T·A.ˆ

5 Gebexδ aus.