Effiziente Algorithmen (WS2019/20) Kapitel 4 Lineare Programme 1 Walter Unger

Kapitel 4 Lineare Programme 1

Walter Unger

Lehrstuhl für Informatik 1

8:34 Uhr, den 5. Dezember 2019

4:2 Walter Unger 5.12.2019 8:34 WS2019/20

Inhalt I

1 Einleitung zu LPs Beispiele Formen eines LP Geometrische Interpretation 2 Algorithmus von Seidel

Details Algorithmus

Laufzeit 3 Ellipsoidmethode

Einleitung Ellipsoidmethode Transformation Laufzeit Bemerkungen

Lösen eines LPs mit Ellipsoidmethode

Einleitung zu LPs Algorithmus von Seidel Ellipsoidmethode

4:1 Beispiele 1/17 Walter Unger 5.12.2019 8:34 WS2019/20

Einfaches Beispiel

116 .6

y

x 10

20 30 40 50 60 70 80 90 100 110

10 20 30 40 50 60 70 80

x680

1.2

·x +

y6 120

4/5·x +y

=40 4/5·x+

y= 60 4/5·x+

y= 80 4/5·x+

y= 100

Wir betrachten ein System von linearen Ungleichungen.

Dabei ist eine “Zielfunktion” zu optimieren.

Beispiel (Brotrezept):

x kg Weizenmehl y kg Roggenmehl

Maximal 80 kg Weizenmehl.

Maximal 110 kg Roggenmehl.

Mischungsverhältnis: 1.2·x+y.

Maximale Brotmenge:

1.2·x+y6120.

Zu optimieren:

f(x,y) =4/5·x+y.

Einleitung zu LPs Algorithmus von Seidel Ellipsoidmethode

4:1 Beispiele 2/17 Walter Unger 5.12.2019 8:34 WS2019/20

Einfaches Beispiel

116 .6

y

x 10

20 30 40 50 60 70 80 90 100 110

10 20 30 40 50 60 70 80

x680

1.2

·x +

y6 120

4/5·x +y

=40 4/5·x+

y= 60 4/5·x+

y= 80 4/5·x+

y= 100

Wir betrachten ein System von linearen Ungleichungen.

Dabei ist eine “Zielfunktion” zu optimieren.

Beispiel (Brotrezept):

x kg Weizenmehl y kg Roggenmehl

Maximal 80 kg Weizenmehl.

Maximal 110 kg Roggenmehl.

Mischungsverhältnis: 1.2·x+y.

Maximale Brotmenge:

1.2·x+y6120.

Zu optimieren:

f(x,y) =4/5·x+y.

Einleitung zu LPs Algorithmus von Seidel Ellipsoidmethode

4:1 Beispiele 3/17 Walter Unger 5.12.2019 8:34 WS2019/20

Einfaches Beispiel

116 .6

y

x 10

20 30 40 50 60 70 80 90 100 110

10 20 30 40 50 60 70 80

x680

1.2

·x +

y6 120

4/5· x+

y= 40 4/5·x+

y= 60 4/5·x+

y= 80 4/5·x+

y= 100

Wir betrachten ein System von linearen Ungleichungen.

Dabei ist eine “Zielfunktion” zu optimieren.

Beispiel (Brotrezept):

x kg Weizenmehl y kg Roggenmehl

Maximal 80 kg Weizenmehl.

Maximal 110 kg Roggenmehl.

Mischungsverhältnis: 1.2·x+y.

Maximale Brotmenge:

1.2·x+y6120.

Zu optimieren:

f(x,y) =4/5·x+y.

Einleitung zu LPs Algorithmus von Seidel Ellipsoidmethode

4:1 Beispiele 4/17 Walter Unger 5.12.2019 8:34 WS2019/20

Einfaches Beispiel

116 .6

y

x 10

20 30 40 50 60 70 80 90 100 110

10 20 30 40 50 60 70 80

x680

1.2

·x +

y6 120

4/5· x+

y= 40 4/5·x+

y= 60 4/5·x+

y= 80 4/5·x+

y= 100

Wir betrachten ein System von linearen Ungleichungen.

Dabei ist eine “Zielfunktion” zu optimieren.

Beispiel (Brotrezept):

x kg Weizenmehl y kg Roggenmehl

Maximal 80 kg Weizenmehl.

Maximal 110 kg Roggenmehl.

Mischungsverhältnis: 1.2·x+y.

Maximale Brotmenge:

1.2·x+y6120.

Zu optimieren:

f(x,y) =4/5·x+y.

Einleitung zu LPs Algorithmus von Seidel Ellipsoidmethode

4:1 Beispiele 5/17 Walter Unger 5.12.2019 8:34 WS2019/20

Einfaches Beispiel

116 .6

y

x 10

20 30 40 50 60 70 80 90 100 110

10 20 30 40 50 60 70 80

x680

1.2

·x +

y6 120

4/5· x+

y= 40 4/5·x+

y= 60 4/5·x+

y= 80 4/5·x+

y= 100

Wir betrachten ein System von linearen Ungleichungen.

Dabei ist eine “Zielfunktion” zu optimieren.

Beispiel (Brotrezept):

x kg Weizenmehl y kg Roggenmehl

Maximal 80 kg Weizenmehl.

Maximal 110 kg Roggenmehl.

Mischungsverhältnis: 1.2·x+y.

Maximale Brotmenge:

1.2·x+y6120.

Zu optimieren:

f(x,y) =4/5·x+y.

Einleitung zu LPs Algorithmus von Seidel Ellipsoidmethode

4:1 Beispiele 6/17 Walter Unger 5.12.2019 8:34 WS2019/20

Einfaches Beispiel

116 .6

y

x 10

20 30 40 50 60 70 80 90 100 110

10 20 30 40 50 60 70 80

x680

1.2

·x +

y6 120

4/5· x+

y= 40 4/5·x+

y= 60 4/5·x+

y= 80 4/5·x+

y= 100

Wir betrachten ein System von linearen Ungleichungen.

Dabei ist eine “Zielfunktion” zu optimieren.

Beispiel (Brotrezept):

x kg Weizenmehl y kg Roggenmehl

Maximal 80 kg Weizenmehl.

Maximal 110 kg Roggenmehl.

Mischungsverhältnis: 1.2·x+y.

Maximale Brotmenge:

1.2·x+y6120.

Zu optimieren:

f(x,y) =4/5·x+y.

Einleitung zu LPs Algorithmus von Seidel Ellipsoidmethode

4:1 Beispiele 7/17 Walter Unger 5.12.2019 8:34 WS2019/20

Einfaches Beispiel

116 .6

y

x 10

20 30 40 50 60 70 80 90 100 110

10 20 30 40 50 60 70 80

x680

1.2

·x +

y6 120

4/5· x+

y= 40 4/5·x+

y= 60 4/5·x+

y= 80 4/5·x+

y= 100

Wir betrachten ein System von linearen Ungleichungen.

Dabei ist eine “Zielfunktion” zu optimieren.

Beispiel (Brotrezept):

x kg Weizenmehl y kg Roggenmehl

Maximal 80 kg Weizenmehl.

Maximal 110 kg Roggenmehl.

Mischungsverhältnis: 1.2·x+y.

Maximale Brotmenge:

1.2·x+y6120.

Zu optimieren:

f(x,y) =4/5·x+y.

Einleitung zu LPs Algorithmus von Seidel Ellipsoidmethode

4:1 Beispiele 8/17 Walter Unger 5.12.2019 8:34 WS2019/20

Einfaches Beispiel

116 .6

y

x 10

20 30 40 50 60 70 80 90 100 110

10 20 30 40 50 60 70 80

x680

1.2

·x +

y6 120

4/5· x+

y= 40 4/5·x+

y= 60 4/5·x+

y= 80 4/5·x+

y= 100

Wir betrachten ein System von linearen Ungleichungen.

Dabei ist eine “Zielfunktion” zu optimieren.

Beispiel (Brotrezept):

x kg Weizenmehl y kg Roggenmehl

Maximal 80 kg Weizenmehl.

Maximal 110 kg Roggenmehl.

Mischungsverhältnis: 1.2·x+y.

Maximale Brotmenge:

1.2·x+y6120.

Zu optimieren:

f(x,y) =4/5·x+y.

Einleitung zu LPs Algorithmus von Seidel Ellipsoidmethode

4:1 Beispiele 9/17 Walter Unger 5.12.2019 8:34 WS2019/20

Einfaches Beispiel

116 .6

y

x 10

20 30 40 50 60 70 80 90 100 110

10 20 30 40 50 60 70 80

x680

1.2

·x +

y6 120

4/5· x+

y= 40 4/5·x+

y= 60 4/5·x+

y= 80 4/5·x+

y= 100

Wir betrachten ein System von linearen Ungleichungen.

Dabei ist eine “Zielfunktion” zu optimieren.

Beispiel (Brotrezept):

x kg Weizenmehl y kg Roggenmehl

Maximal 80 kg Weizenmehl.

Maximal 110 kg Roggenmehl.

Mischungsverhältnis: 1.2·x+y.

Maximale Brotmenge:

1.2·x+y6120.

Zu optimieren:

f(x,y) =4/5·x+y.

Einleitung zu LPs Algorithmus von Seidel Ellipsoidmethode

4:1 Beispiele 10/17 Walter Unger 5.12.2019 8:34 WS2019/20

Einfaches Beispiel

116 .6

y

x 10

20 30 40 50 60 70 80 90 100 110

10 20 30 40 50 60 70 80

x680

y6110

.2

·x +

y6 120

4/5· x+

y= 40 4/5·x+

y= 60 4/5·x+

y= 80 4/5·x+

y= 100

Wir betrachten ein System von linearen Ungleichungen.

Dabei ist eine “Zielfunktion” zu optimieren.

Beispiel (Brotrezept):

x kg Weizenmehl y kg Roggenmehl

Maximal 80 kg Weizenmehl.

Maximal 110 kg Roggenmehl.

Mischungsverhältnis: 1.2·x+y.

Maximale Brotmenge:

1.2·x+y6120.

Zu optimieren:

f(x,y) =4/5·x+y.

Einleitung zu LPs Algorithmus von Seidel Ellipsoidmethode

4:1 Beispiele 11/17 Walter Unger 5.12.2019 8:34 WS2019/20

Einfaches Beispiel

116 .6

y

x 10

20 30 40 50 60 70 80 90 100 110

10 20 30 40 50 60 70 80

x680

y6110

.2

·x +

y6 120

4/5· x+

y= 40 4/5·x+

y= 60 4/5·x+

y= 80 4/5·x+

y= 100

Wir betrachten ein System von linearen Ungleichungen.

Dabei ist eine “Zielfunktion” zu optimieren.

Beispiel (Brotrezept):

x kg Weizenmehl y kg Roggenmehl

Maximal 80 kg Weizenmehl.

Maximal 110 kg Roggenmehl.

Mischungsverhältnis: 1.2·x+y.

Maximale Brotmenge:

1.2·x+y6120.

Zu optimieren:

f(x,y) =4/5·x+y.

Einleitung zu LPs Algorithmus von Seidel Ellipsoidmethode

4:1 Beispiele 12/17 Walter Unger 5.12.2019 8:34 WS2019/20

Einfaches Beispiel

116 .6

y

x 10

20 30 40 50 60 70 80 90 100 110

10 20 30 40 50 60 70 80

x680

y6110 1.2

·x +

y6 120

4/5· x+

y= 40 4/5·x+

y= 60 4/5·x+

y= 80 4/5·x+

y= 100

Wir betrachten ein System von linearen Ungleichungen.

Dabei ist eine “Zielfunktion” zu optimieren.

Beispiel (Brotrezept):

x kg Weizenmehl y kg Roggenmehl

Maximal 80 kg Weizenmehl.

Maximal 110 kg Roggenmehl.

Mischungsverhältnis: 1.2·x+y.

Maximale Brotmenge:

1.2·x+y6120.

Zu optimieren:

f(x,y) =4/5·x+y.

Einleitung zu LPs Algorithmus von Seidel Ellipsoidmethode

4:1 Beispiele 13/17 Walter Unger 5.12.2019 8:34 WS2019/20

Einfaches Beispiel

116 .6

y

x 10

20 30 40 50 60 70 80 90 100 110

10 20 30 40 50 60 70 80

x680

y6110 1.2

·x +

y6 120

4/5· x+

y= 40

4/5·x+

y= 60 4/5·x+

y= 80 4/5·x+

y= 100

Wir betrachten ein System von linearen Ungleichungen.

Dabei ist eine “Zielfunktion” zu optimieren.

Beispiel (Brotrezept):

x kg Weizenmehl y kg Roggenmehl

Maximal 80 kg Weizenmehl.

Maximal 110 kg Roggenmehl.

Mischungsverhältnis: 1.2·x+y.

Maximale Brotmenge:

1.2·x+y6120.

Zu optimieren:

f(x,y) =4/5·x+y.

Einleitung zu LPs Algorithmus von Seidel Ellipsoidmethode

4:1 Beispiele 14/17 Walter Unger 5.12.2019 8:34 WS2019/20

Einfaches Beispiel

116 .6

y

x 10

20 30 40 50 60 70 80 90 100 110

10 20 30 40 50 60 70 80

x680

y6110 1.2

·x +

y6 120

4/5· x+

y= 40 4/5·x

+y

=60

4/5·x+

y= 80 4/5·x+

y= 100

Wir betrachten ein System von linearen Ungleichungen.

Dabei ist eine “Zielfunktion” zu optimieren.

Beispiel (Brotrezept):

x kg Weizenmehl y kg Roggenmehl

Maximal 80 kg Weizenmehl.

Maximal 110 kg Roggenmehl.

Mischungsverhältnis: 1.2·x+y.

Maximale Brotmenge:

1.2·x+y6120.

Zu optimieren:

f(x,y) =4/5·x+y.

Einleitung zu LPs Algorithmus von Seidel Ellipsoidmethode

4:1 Beispiele 15/17 Walter Unger 5.12.2019 8:34 WS2019/20

Einfaches Beispiel

116 .6

y

x 10

20 30 40 50 60 70 80 90 100 110

10 20 30 40 50 60 70 80

x680

y6110 1.2

·x +

y6 120

4/5· x+

y= 40 4/5·x

+y

=60 4/5·x+

y= 80

4/5·x+

y= 100

Wir betrachten ein System von linearen Ungleichungen.

Dabei ist eine “Zielfunktion” zu optimieren.

Beispiel (Brotrezept):

x kg Weizenmehl y kg Roggenmehl

Maximal 80 kg Weizenmehl.

Maximal 110 kg Roggenmehl.

Mischungsverhältnis: 1.2·x+y.

Maximale Brotmenge:

1.2·x+y6120.

Zu optimieren:

f(x,y) =4/5·x+y.

Einleitung zu LPs Algorithmus von Seidel Ellipsoidmethode

4:1 Beispiele 16/17 Walter Unger 5.12.2019 8:34 WS2019/20

Einfaches Beispiel

116 .6

y

x 10

20 30 40 50 60 70 80 90 100 110

10 20 30 40 50 60 70 80

x680

y6110 1.2

·x +

y6 120

4/5· x+

y= 40 4/5·x

+y

=60 4/5·x+

y= 80 4/5·x

+y

=100

Wir betrachten ein System von linearen Ungleichungen.

Dabei ist eine “Zielfunktion” zu optimieren.

Beispiel (Brotrezept):

x kg Weizenmehl y kg Roggenmehl

Maximal 80 kg Weizenmehl.

Maximal 110 kg Roggenmehl.

Mischungsverhältnis: 1.2·x+y.

Maximale Brotmenge:

1.2·x+y6120.

Zu optimieren:

f(x,y) =4/5·x+y.

4:1 Beispiele 17/17 Walter Unger 5.12.2019 8:34 WS2019/20

Einfaches Beispiel

116 .6 y

x 10

20 30 40 50 60 70 80 90 100 110

10 20 30 40 50 60 70 80

x680

y6110 1.2

·x +

y6 120

4/5· x+

y= 40 4/5·x

+y

=60 4/5·x+

y= 80 4/5·x

+y

=100

opt Wir betrachten ein System von

linearen Ungleichungen.

Dabei ist eine “Zielfunktion” zu optimieren.

Beispiel (Brotrezept):

x kg Weizenmehl y kg Roggenmehl

Maximal 80 kg Weizenmehl.

Maximal 110 kg Roggenmehl.

Mischungsverhältnis: 1.2·x+y.

Maximale Brotmenge:

1.2·x+y6120.

Zu optimieren:

f(x,y) =4/5·x+y.

4:2 Beispiele 1/10 Walter Unger 5.12.2019 8:34 WS2019/20

Beispiel: Flussproblem

Flussproblem:

GegebenG = (V,E,s,t,c)mitc:E7→N. Maximiere den Fluss.

als lineares Programm:

Variablenxe füre∈E.

Maximiere

X

e∈N_out(s)∈E

xe.

unter Einhaltung der Bedingungen:

Für jeden Knotenv∈V\ {s,t}:P

e∈Nin(v)xe=P

e∈Nout(v)xe,

∀e∈E:x_e6c_e, und

∀e∈E:x_e>0.

4:2 Beispiele 2/10 Walter Unger 5.12.2019 8:34 WS2019/20

Beispiel: Flussproblem

Flussproblem:

GegebenG = (V,E,s,t,c)mitc:E7→N. Maximiere den Fluss.

als lineares Programm:

Variablenxe füre∈E.

Maximiere

X

e∈N_out(s)∈E

xe.

unter Einhaltung der Bedingungen:

Für jeden Knotenv∈V\ {s,t}:P

e∈Nin(v)xe=P

e∈Nout(v)xe,

∀e∈E:x_e6c_e, und

∀e∈E:x_e>0.

4:2 Beispiele 3/10 Walter Unger 5.12.2019 8:34 WS2019/20

Beispiel: Flussproblem

Flussproblem:

GegebenG = (V,E,s,t,c)mitc:E7→N. Maximiere den Fluss.

als lineares Programm:

Variablenxe füre∈E.

Maximiere

X

e∈N_out(s)∈E

xe.

unter Einhaltung der Bedingungen:

Für jeden Knotenv∈V\ {s,t}:P

e∈Nin(v)xe=P

e∈Nout(v)xe,

∀e∈E:x_e6c_e, und

∀e∈E:x_e>0.

4:2 Beispiele 4/10 Walter Unger 5.12.2019 8:34 WS2019/20

Beispiel: Flussproblem

Flussproblem:

GegebenG = (V,E,s,t,c)mitc:E7→N. Maximiere den Fluss.

als lineares Programm:

Variablenxe füre∈E.

Maximiere

X

e∈N_out(s)∈E

xe.

unter Einhaltung der Bedingungen:

Für jeden Knotenv∈V\ {s,t}:P

e∈Nin(v)xe=P

e∈Nout(v)xe,

∀e∈E:x_e6c_e, und

∀e∈E:x_e>0.

4:2 Beispiele 5/10 Walter Unger 5.12.2019 8:34 WS2019/20

Beispiel: Flussproblem

Flussproblem:

GegebenG = (V,E,s,t,c)mitc:E7→N. Maximiere den Fluss.

als lineares Programm:

Variablenxe füre∈E.

Maximiere

X

e∈N_out(s)∈E

xe.

unter Einhaltung der Bedingungen:

Für jeden Knotenv∈V\ {s,t}:P

e∈Nin(v)xe=P

e∈Nout(v)xe,

∀e∈E:x_e6c_e, und

∀e∈E:x_e>0.

4:2 Beispiele 6/10 Walter Unger 5.12.2019 8:34 WS2019/20

Beispiel: Flussproblem

Flussproblem:

GegebenG = (V,E,s,t,c)mitc:E7→N. Maximiere den Fluss.

als lineares Programm:

Variablenxe füre∈E.

Maximiere

X

e∈N_out(s)∈E

xe.

unter Einhaltung der Bedingungen:

Für jeden Knotenv∈V\ {s,t}:P

e∈Nin(v)xe=P

e∈Nout(v)xe,

∀e∈E:x_e6c_e, und

∀e∈E:x_e>0.

4:2 Beispiele 7/10 Walter Unger 5.12.2019 8:34 WS2019/20

Beispiel: Flussproblem

Flussproblem:

GegebenG = (V,E,s,t,c)mitc:E7→N. Maximiere den Fluss.

als lineares Programm:

Variablenxe füre∈E.

Maximiere

X

e∈N_out(s)∈E

xe.

unter Einhaltung der Bedingungen:

Für jeden Knotenv∈V\ {s,t}:P

e∈Nin(v)xe=P

e∈Nout(v)xe,

∀e∈E:x_e6c_e, und

∀e∈E:x_e>0.

4:2 Beispiele 8/10 Walter Unger 5.12.2019 8:34 WS2019/20

Beispiel: Flussproblem

Flussproblem:

GegebenG = (V,E,s,t,c)mitc:E7→N. Maximiere den Fluss.

als lineares Programm:

Variablenxe füre∈E.

Maximiere

X

e∈N_out(s)∈E

xe.

unter Einhaltung der Bedingungen:

Für jeden Knotenv∈V\ {s,t}:P

e∈Nin(v)xe=P

e∈Nout(v)xe,

∀e∈E:x_e6c_e, und

∀e∈E:x_e>0.

4:2 Beispiele 9/10 Walter Unger 5.12.2019 8:34 WS2019/20

Beispiel: Flussproblem

Flussproblem:

GegebenG = (V,E,s,t,c)mitc:E7→N. Maximiere den Fluss.

als lineares Programm:

Variablenxe füre∈E.

Maximiere

X

e∈N_out(s)∈E

xe.

unter Einhaltung der Bedingungen:

Für jeden Knotenv∈V\ {s,t}:P

e∈Nin(v)xe=P

e∈Nout(v)xe,

∀e∈E:x_e6c_e, und

∀e∈E:x_e>0.

4:2 Beispiele 10/10 Walter Unger 5.12.2019 8:34 WS2019/20

Beispiel: Flussproblem

Flussproblem:

GegebenG = (V,E,s,t,c)mitc:E7→N. Maximiere den Fluss.

als lineares Programm:

Variablenxe füre∈E.

Maximiere

X

e∈N_out(s)∈E

xe.

unter Einhaltung der Bedingungen:

Für jeden Knotenv∈V\ {s,t}:P

e∈Nin(v)xe=P

e∈Nout(v)xe,

∀e∈E:x_e6c_e, und

∀e∈E:x_e>0.

4:3 Beispiele 1/12 Walter Unger 5.12.2019 8:34 WS2019/20

Beispiel: Relaxiertes Rucksackproblem

Relaxiertes Rucksackproblem:

gegebendteilbare Objekte mit Gewichtengi und die GewichtsschrankeG des Rucksacks.

Undv_i sei der Nutzen für 16i6d.

Seixi der Anteil von Objekti.

Fülle den Rucksack. Dabei soll der Nutzen maximal sein.

Als lineares Programm:

Maximiere

d

X

i=1

vi·xi.

unter den Nebenbedingungen:

Pd

i=1g_i·x_i6G,

∀i:16i6d:x_i61, und

∀i:16i6d:x_i>0.

4:3 Beispiele 2/12 Walter Unger 5.12.2019 8:34 WS2019/20

Beispiel: Relaxiertes Rucksackproblem

Relaxiertes Rucksackproblem:

gegebendteilbare Objekte mit Gewichtengi und die GewichtsschrankeG des Rucksacks.

Undv_i sei der Nutzen für 16i6d.

Seixi der Anteil von Objekti.

Fülle den Rucksack. Dabei soll der Nutzen maximal sein.

Als lineares Programm:

Maximiere

d

X

i=1

vi·xi.

unter den Nebenbedingungen:

Pd

i=1g_i·x_i6G,

∀i:16i6d:x_i61, und

∀i:16i6d:x_i>0.

4:3 Beispiele 3/12 Walter Unger 5.12.2019 8:34 WS2019/20

Beispiel: Relaxiertes Rucksackproblem

Relaxiertes Rucksackproblem:

gegebendteilbare Objekte mit Gewichtengi und die GewichtsschrankeG des Rucksacks.

Undv_i sei der Nutzen für 16i6d.

Seixi der Anteil von Objekti.

Fülle den Rucksack. Dabei soll der Nutzen maximal sein.

Als lineares Programm:

Maximiere

d

X

i=1

vi·xi.

unter den Nebenbedingungen:

Pd

i=1g_i·x_i6G,

∀i:16i6d:x_i61, und

∀i:16i6d:x_i>0.

4:3 Beispiele 4/12 Walter Unger 5.12.2019 8:34 WS2019/20

Beispiel: Relaxiertes Rucksackproblem

Relaxiertes Rucksackproblem:

gegebendteilbare Objekte mit Gewichtengi und die GewichtsschrankeG des Rucksacks.

Undv_i sei der Nutzen für 16i6d.

Seixi der Anteil von Objekti.

Fülle den Rucksack. Dabei soll der Nutzen maximal sein.

Als lineares Programm:

Maximiere

d

X

i=1

vi·xi.

unter den Nebenbedingungen:

Pd

i=1g_i·x_i6G,

∀i:16i6d:x_i61, und

∀i:16i6d:x_i>0.

4:3 Beispiele 5/12 Walter Unger 5.12.2019 8:34 WS2019/20

Beispiel: Relaxiertes Rucksackproblem

Relaxiertes Rucksackproblem:

gegebendteilbare Objekte mit Gewichtengi und die GewichtsschrankeG des Rucksacks.

Undv_i sei der Nutzen für 16i6d.

Seixi der Anteil von Objekti.

Fülle den Rucksack. Dabei soll der Nutzen maximal sein.

Als lineares Programm:

Maximiere

d

X

i=1

vi·xi.

unter den Nebenbedingungen:

Pd

i=1g_i·x_i6G,

∀i:16i6d:x_i61, und

∀i:16i6d:x_i>0.

4:3 Beispiele 6/12 Walter Unger 5.12.2019 8:34 WS2019/20

Beispiel: Relaxiertes Rucksackproblem

Relaxiertes Rucksackproblem:

gegebendteilbare Objekte mit Gewichtengi und die GewichtsschrankeG des Rucksacks.

Undv_i sei der Nutzen für 16i6d.

Seixi der Anteil von Objekti.

Fülle den Rucksack. Dabei soll der Nutzen maximal sein.

Als lineares Programm:

Maximiere

d

X

i=1

vi·xi.

unter den Nebenbedingungen:

Pd

i=1g_i·x_i6G,

∀i:16i6d:x_i61, und

∀i:16i6d:x_i>0.

4:3 Beispiele 7/12 Walter Unger 5.12.2019 8:34 WS2019/20

Beispiel: Relaxiertes Rucksackproblem

Relaxiertes Rucksackproblem:

gegebendteilbare Objekte mit Gewichtengi und die GewichtsschrankeG des Rucksacks.

Undv_i sei der Nutzen für 16i6d.

Seixi der Anteil von Objekti.

Fülle den Rucksack. Dabei soll der Nutzen maximal sein.

Als lineares Programm:

Maximiere

d

X

i=1

vi·xi.

unter den Nebenbedingungen:

Pd

i=1g_i·x_i6G,

∀i:16i6d:x_i61, und

∀i:16i6d:x_i>0.

4:3 Beispiele 8/12 Walter Unger 5.12.2019 8:34 WS2019/20

Beispiel: Relaxiertes Rucksackproblem

Relaxiertes Rucksackproblem:

gegebendteilbare Objekte mit Gewichtengi und die GewichtsschrankeG des Rucksacks.

Undv_i sei der Nutzen für 16i6d.

Seixi der Anteil von Objekti.

Fülle den Rucksack. Dabei soll der Nutzen maximal sein.

Als lineares Programm:

Maximiere

d

X

i=1

vi·xi.

unter den Nebenbedingungen:

Pd

i=1g_i·x_i6G,

∀i:16i6d:x_i61, und

∀i:16i6d:x_i>0.

4:3 Beispiele 9/12 Walter Unger 5.12.2019 8:34 WS2019/20

Beispiel: Relaxiertes Rucksackproblem

Relaxiertes Rucksackproblem:

gegebendteilbare Objekte mit Gewichtengi und die GewichtsschrankeG des Rucksacks.

Undv_i sei der Nutzen für 16i6d.

Seixi der Anteil von Objekti.

Fülle den Rucksack. Dabei soll der Nutzen maximal sein.

Als lineares Programm:

Maximiere

d

X

i=1

vi·xi.

unter den Nebenbedingungen:

Pd

i=1g_i·x_i6G,

∀i:16i6d:x_i61, und

∀i:16i6d:x_i>0.