Effiziente Algorithmen (WS2019/20) Kapitel 2 Weitere Flüsse Walter Unger
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(2) Spezielle Flüsse (Mindestfluss). Spezielle Flüsse (Alternativen). 2:2. Flüsse mit Kostenfunktion Walter Unger 14.11.2019 11:04. Inhalt I. 1. Spezielle Flüsse (Mindestfluss) Mit Mindestfluss. 2. Spezielle Flüsse (Alternativen) Mit Alternativen. 3. Flüsse mit Kostenfunktion Einleitung Idee Algorithmus Verbesserung der Laufzeit. WS2019/20.
(3) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:1. Mit Mindestfluss. Spezielle Flüsse (Alternativen). 1/10. Das Flussproblem mit Mindestfluss Definition (Flussproblem mit Mindestfluss). Flüsse mit Kostenfunktion Walter Unger 14.11.2019 11:04. WS2019/20.
(4) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:1. Mit Mindestfluss. Spezielle Flüsse (Alternativen). 2/10. Das Flussproblem mit Mindestfluss Definition (Flussproblem mit Mindestfluss) Eingabe: G = (V , E , s, t, c, c 0 ) mit:. Flüsse mit Kostenfunktion Walter Unger 14.11.2019 11:04. WS2019/20.
(5) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:1. Mit Mindestfluss. Spezielle Flüsse (Alternativen). 3/10. Flüsse mit Kostenfunktion Walter Unger 14.11.2019 11:04. Das Flussproblem mit Mindestfluss Definition (Flussproblem mit Mindestfluss) Eingabe: G = (V , E , s, t, c, c 0 ) mit: (V , E ) ist ein gerichteter Graph (n = |V |, m = |E |). WS2019/20.
(6) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:1. Mit Mindestfluss. Spezielle Flüsse (Alternativen). 4/10. Flüsse mit Kostenfunktion Walter Unger 14.11.2019 11:04. Das Flussproblem mit Mindestfluss Definition (Flussproblem mit Mindestfluss) Eingabe: G = (V , E , s, t, c, c 0 ) mit: (V , E ) ist ein gerichteter Graph (n = |V |, m = |E |) s, t ∈ V mit s 6= t. WS2019/20.
(7) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:1. Mit Mindestfluss. Spezielle Flüsse (Alternativen). 5/10. Flüsse mit Kostenfunktion Walter Unger 14.11.2019 11:04. Das Flussproblem mit Mindestfluss Definition (Flussproblem mit Mindestfluss) Eingabe: G = (V , E , s, t, c, c 0 ) mit: (V , E ) ist ein gerichteter Graph (n = |V |, m = |E |) s, t ∈ V mit s 6= t c : E 7→ N+. WS2019/20.
(8) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:1. Mit Mindestfluss. Spezielle Flüsse (Alternativen). 6/10. Flüsse mit Kostenfunktion Walter Unger 14.11.2019 11:04. Das Flussproblem mit Mindestfluss Definition (Flussproblem mit Mindestfluss) Eingabe: G = (V , E , s, t, c, c 0 ) mit: (V , E ) ist ein gerichteter Graph (n = |V |, m = |E |) s, t ∈ V mit s 6= t c : E 7→ N+ c 0 : E 7→ N+. WS2019/20.
(9) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:1. Mit Mindestfluss. Spezielle Flüsse (Alternativen). 7/10. Flüsse mit Kostenfunktion Walter Unger 14.11.2019 11:04. Das Flussproblem mit Mindestfluss Definition (Flussproblem mit Mindestfluss) Eingabe: G = (V , E , s, t, c, c 0 ) mit: (V , E ) ist ein gerichteter Graph (n = |V |, m = |E |) s, t ∈ V mit s 6= t c : E 7→ N+ c 0 : E 7→ N+ Ausgabe: f : E 7→ R+ 0 mit:. WS2019/20.
(10) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:1. Mit Mindestfluss. Spezielle Flüsse (Alternativen). 8/10. Flüsse mit Kostenfunktion Walter Unger 14.11.2019 11:04. Das Flussproblem mit Mindestfluss Definition (Flussproblem mit Mindestfluss) Eingabe: G = (V , E , s, t, c, c 0 ) mit: (V , E ) ist ein gerichteter Graph (n = |V |, m = |E |) s, t ∈ V mit s 6= t c : E 7→ N+ c 0 : E 7→ N+ Ausgabe: f : E → 7 R+ 0 mit: 0 ∀e : c (e) 6 f (e) 6 c(e). WS2019/20.
(11) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:1. Mit Mindestfluss. Spezielle Flüsse (Alternativen). 9/10. Flüsse mit Kostenfunktion Walter Unger 14.11.2019 11:04. WS2019/20. Das Flussproblem mit Mindestfluss Definition (Flussproblem mit Mindestfluss) Eingabe: G = (V , E , s, t, c, c 0 ) mit: (V , E ) ist ein gerichteter Graph (n = |V |, m = |E |) s, t ∈ V mit s 6= t c : E 7→ N+ c 0 : E 7→ N+ Ausgabe: f : E → 7 R+ 0 mit: 0 6 c(e) ∀e : c (e) 6 f (e) P P ∀v ∈ V \ {s, t} : (a,v )∈E f ((a, v )) = (v ,a)∈E f ((v , a)).
(12) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:1. Mit Mindestfluss. Spezielle Flüsse (Alternativen). 10/10. Flüsse mit Kostenfunktion Walter Unger 14.11.2019 11:04. WS2019/20. Das Flussproblem mit Mindestfluss Definition (Flussproblem mit Mindestfluss) Eingabe: G = (V , E , s, t, c, c 0 ) mit: (V , E ) ist ein gerichteter Graph (n = |V |, m = |E |) s, t ∈ V mit s 6= t c : E 7→ N+ c 0 : E 7→ N+ Ausgabe: f : E → 7 R+ 0 mit: 0 6 c(e) ∀e : c (e) 6 f (e) P P ∀v ∈ V \ {s, t} : (a,v )∈E f ((a, v )) = (v ,a)∈E f ((v , a)) Ziel: Bestimme, P ob es so einen Fluss gibt. Falls ja, dann maximiere w (f ) = (s,v )∈E f ((s, v ))..
(13) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:2. Spezielle Flüsse (Alternativen). Flüsse mit Kostenfunktion. Mit Mindestfluss. Walter Unger 14.11.2019 11:04. Lösbarkeit Es muss nicht immer eine Lösung geben. Hier ein einfaches Beispiel: s. [2..3]. a. [4..6]. t. WS2019/20.
(14) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:3. Mit Mindestfluss. Idee. 1/5. Spezielle Flüsse (Alternativen). Flüsse mit Kostenfunktion Walter Unger 14.11.2019 11:04. WS2019/20.
(15) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:3. Mit Mindestfluss. Spezielle Flüsse (Alternativen). 2/5. Flüsse mit Kostenfunktion Walter Unger 14.11.2019 11:04. Idee b. [u..o]. t. s. a. WS2019/20.
(16) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:3. Mit Mindestfluss. Spezielle Flüsse (Alternativen). 3/5. Flüsse mit Kostenfunktion Walter Unger 14.11.2019 11:04. Idee b. [u..o]. t. s. a. WS2019/20.
(17) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:3. Mit Mindestfluss. Spezielle Flüsse (Alternativen). 4/5. Flüsse mit Kostenfunktion Walter Unger 14.11.2019 11:04. Idee b. [u..o]. t. s. a. WS2019/20.
(18) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:3. Mit Mindestfluss. Spezielle Flüsse (Alternativen). Flüsse mit Kostenfunktion. 5/5. Walter Unger 14.11.2019 11:04. WS2019/20. Idee b. o. b. y. o−u x. o. s. a. t ∞. s. u. s0 ∞. [u..o]. t. a. u. t0.
(19) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:4. Mit Mindestfluss. Verfahren. 1/11. Spezielle Flüsse (Alternativen). Flüsse mit Kostenfunktion Walter Unger 14.11.2019 11:04. WS2019/20.
(20) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:4. Mit Mindestfluss. Verfahren. 2/11. Spezielle Flüsse (Alternativen). Flüsse mit Kostenfunktion Walter Unger 14.11.2019 11:04. WS2019/20.
(21) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:4. Mit Mindestfluss. Spezielle Flüsse (Alternativen). 3/11. Verfahren Erzeuge aus G = (V , E , s, t, c, c 0 ) einen neuen Graphen G 0 = (V 0 , E 0 , s 0 , t 0 , c 00 ).. Flüsse mit Kostenfunktion Walter Unger 14.11.2019 11:04. WS2019/20.
(22) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:4. Mit Mindestfluss. Spezielle Flüsse (Alternativen). 4/11. Verfahren Erzeuge aus G = (V , E , s, t, c, c 0 ) einen neuen Graphen G 0 = (V 0 , E 0 , s 0 , t 0 , c 00 ). Füge neue Quelle s 0 und neue Senke t 0 hinzu.. Flüsse mit Kostenfunktion Walter Unger 14.11.2019 11:04. WS2019/20.
(23) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:4. Mit Mindestfluss. Spezielle Flüsse (Alternativen). 5/11. Verfahren Erzeuge aus G = (V , E , s, t, c, c 0 ) einen neuen Graphen G 0 = (V 0 , E 0 , s 0 , t 0 , c 00 ). Füge neue Quelle s 0 und neue Senke t 0 hinzu. Ersetze jede Kante (v , w ) durch einen Weg der Länge 3:. Flüsse mit Kostenfunktion Walter Unger 14.11.2019 11:04. WS2019/20.
(24) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:4. Mit Mindestfluss. Spezielle Flüsse (Alternativen). 6/11. Verfahren Erzeuge aus G = (V , E , s, t, c, c 0 ) einen neuen Graphen G 0 = (V 0 , E 0 , s 0 , t 0 , c 00 ). Füge neue Quelle s 0 und neue Senke t 0 hinzu. Ersetze jede Kante (v , w ) durch einen Weg der Länge 3: für jede Kante (v , w ) erzeuge zwei neue Knoten x, y und setze:. Flüsse mit Kostenfunktion Walter Unger 14.11.2019 11:04. WS2019/20.
(25) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:4. Mit Mindestfluss. Spezielle Flüsse (Alternativen). 7/11. Verfahren Erzeuge aus G = (V , E , s, t, c, c 0 ) einen neuen Graphen G 0 = (V 0 , E 0 , s 0 , t 0 , c 00 ). Füge neue Quelle s 0 und neue Senke t 0 hinzu. Ersetze jede Kante (v , w ) durch einen Weg der Länge 3: für jede Kante (v , w ) erzeuge zwei neue Knoten x, y und setze: c 00 (v , x) = c(v , w ) und c 00 (y , w ) = c(v , w ).. Flüsse mit Kostenfunktion Walter Unger 14.11.2019 11:04. WS2019/20.
(26) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:4. Mit Mindestfluss. Spezielle Flüsse (Alternativen). 8/11. Verfahren Erzeuge aus G = (V , E , s, t, c, c 0 ) einen neuen Graphen G 0 = (V 0 , E 0 , s 0 , t 0 , c 00 ). Füge neue Quelle s 0 und neue Senke t 0 hinzu. Ersetze jede Kante (v , w ) durch einen Weg der Länge 3: für jede Kante (v , w ) erzeuge zwei neue Knoten x, y und setze: c 00 (v , x) = c(v , w ) und c 00 (y , w ) = c(v , w ). c 00 (x, y ) = c(v , w ) − c 0 (v , w ).. Flüsse mit Kostenfunktion Walter Unger 14.11.2019 11:04. WS2019/20.
(27) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:4. Mit Mindestfluss. Spezielle Flüsse (Alternativen). 9/11. Verfahren Erzeuge aus G = (V , E , s, t, c, c 0 ) einen neuen Graphen G 0 = (V 0 , E 0 , s 0 , t 0 , c 00 ). Füge neue Quelle s 0 und neue Senke t 0 hinzu. Ersetze jede Kante (v , w ) durch einen Weg der Länge 3: für jede Kante (v , w ) erzeuge zwei neue Knoten x, y und setze: c 00 (v , x) = c(v , w ) und c 00 (y , w ) = c(v , w ). c 00 (x, y ) = c(v , w ) − c 0 (v , w ). c 00 (s 0 , y ) = c 0 (v , w ) und c 00 (x, t 0 ) = c 0 (v , w ).. Flüsse mit Kostenfunktion Walter Unger 14.11.2019 11:04. WS2019/20.
(28) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:4. Mit Mindestfluss. Spezielle Flüsse (Alternativen). 10/11. Verfahren Erzeuge aus G = (V , E , s, t, c, c 0 ) einen neuen Graphen G 0 = (V 0 , E 0 , s 0 , t 0 , c 00 ). Füge neue Quelle s 0 und neue Senke t 0 hinzu. Ersetze jede Kante (v , w ) durch einen Weg der Länge 3: für jede Kante (v , w ) erzeuge zwei neue Knoten x, y und setze: c 00 (v , x) = c(v , w ) und c 00 (y , w ) = c(v , w ). c 00 (x, y ) = c(v , w ) − c 0 (v , w ). c 00 (s 0 , y ) = c 0 (v , w ) und c 00 (x, t 0 ) = c 0 (v , w ).. Setze c 00 (t, t 0 ) = c 00 (s 0 , s) =. Flüsse mit Kostenfunktion Walter Unger 14.11.2019 11:04. P. e∈E. c(e).. WS2019/20.
(29) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:4. Mit Mindestfluss. Spezielle Flüsse (Alternativen). 11/11. Flüsse mit Kostenfunktion Walter Unger 14.11.2019 11:04. WS2019/20. Verfahren Erzeuge aus G = (V , E , s, t, c, c 0 ) einen neuen Graphen G 0 = (V 0 , E 0 , s 0 , t 0 , c 00 ).. 00. 0. Setze c (t, t ) = c (s , s) =. P. e∈E. c(e).. [u..o] o y. t ∞. 0. u. s0 ∞. 00. a b. o−u. für jede Kante (v , w ) erzeuge zwei neue Knoten x, y und setze: c 00 (v , x) = c(v , w ) und c 00 (y , w ) = c(v , w ). c 00 (x, y ) = c(v , w ) − c 0 (v , w ). c 00 (s 0 , y ) = c 0 (v , w ) und c 00 (x, t 0 ) = c 0 (v , w ).. t s. s. x. o. Füge neue Quelle s 0 und neue Senke t 0 hinzu. Ersetze jede Kante (v , w ) durch einen Weg der Länge 3:. b. a. u. t0.
(30) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:5. Mit Mindestfluss. Aussage. 1/8. Spezielle Flüsse (Alternativen). Flüsse mit Kostenfunktion Walter Unger 14.11.2019 11:04. WS2019/20.
(31) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:5. Mit Mindestfluss. Aussage. 2/8. Spezielle Flüsse (Alternativen). Flüsse mit Kostenfunktion Walter Unger 14.11.2019 11:04. WS2019/20.
(32) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:5. Mit Mindestfluss. Spezielle Flüsse (Alternativen). 3/8. Aussage Lemma Es gibt in G einen korrekten Fluss, der die Mindestflussbedingung erfüllt genau dann, wenn es in G 0 einen maximalen Fluss gibt, der alle Kanten der Form (s 0 , y ) und (x, t 0 ) saturiert.. Flüsse mit Kostenfunktion Walter Unger 14.11.2019 11:04. WS2019/20.
(33) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:5. Mit Mindestfluss. Spezielle Flüsse (Alternativen). 4/8. Aussage Lemma Es gibt in G einen korrekten Fluss, der die Mindestflussbedingung erfüllt genau dann, wenn es in G 0 einen maximalen Fluss gibt, der alle Kanten der Form (s 0 , y ) und (x, t 0 ) saturiert.. Flüsse mit Kostenfunktion Walter Unger 14.11.2019 11:04. WS2019/20.
(34) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:5. Mit Mindestfluss. Spezielle Flüsse (Alternativen). 5/8. Aussage Lemma Es gibt in G einen korrekten Fluss, der die Mindestflussbedingung erfüllt genau dann, wenn es in G 0 einen maximalen Fluss gibt, der alle Kanten der Form (s 0 , y ) und (x, t 0 ) saturiert. Beachte: x und y sind neu eingefügte Knoten, also nicht s oder t. Beweis:. Flüsse mit Kostenfunktion Walter Unger 14.11.2019 11:04. WS2019/20.
(35) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:5. Mit Mindestfluss. Spezielle Flüsse (Alternativen). 6/8. Aussage Lemma Es gibt in G einen korrekten Fluss, der die Mindestflussbedingung erfüllt genau dann, wenn es in G 0 einen maximalen Fluss gibt, der alle Kanten der Form (s 0 , y ) und (x, t 0 ) saturiert. Beachte: x und y sind neu eingefügte Knoten, also nicht s oder t. Beweis: Zeige: =⇒. Flüsse mit Kostenfunktion Walter Unger 14.11.2019 11:04. WS2019/20.
(36) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:5. Mit Mindestfluss. Spezielle Flüsse (Alternativen). 7/8. Aussage Lemma Es gibt in G einen korrekten Fluss, der die Mindestflussbedingung erfüllt genau dann, wenn es in G 0 einen maximalen Fluss gibt, der alle Kanten der Form (s 0 , y ) und (x, t 0 ) saturiert. Beachte: x und y sind neu eingefügte Knoten, also nicht s oder t. Beweis: Zeige: =⇒ Zeige: ⇐=. Flüsse mit Kostenfunktion Walter Unger 14.11.2019 11:04. WS2019/20.
(37) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:5. Mit Mindestfluss. Spezielle Flüsse (Alternativen). 8/8. Flüsse mit Kostenfunktion Walter Unger 14.11.2019 11:04. WS2019/20. Aussage Lemma. t [u..o]. Es gibt in G einen korrekten Fluss, der die Mindestflussbedingung erfüllt genau dann, wenn es in G 0 einen maximalen Fluss gibt, der alle Kanten der Form (s 0 , y ) und (x, t 0 ) saturiert.. b. s. a. y. t. o−u. ∞. ∞. Zeige: =⇒. u. s0. Zeige: ⇐= s. x. o. Beachte: x und y sind neu eingefügte Knoten, also nicht s oder t. Beweis:. o. b. a. u. t0.
(38) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:6. Mit Mindestfluss. Spezielle Flüsse (Alternativen). Flüsse mit Kostenfunktion. 1/17. Walter Unger 14.11.2019 11:04. Beispiel (warum (s 0 , y ) und (x, t 0 )) [2..3]. a. [4..6]. b. c. s0 0. 0/ 0/ 22/0 2/ 0. 0/ 0/ 4 4/ 4/ 0 0. 0/3/0 3 0/3/0. x 0. 0/1/0 1 0/1/0. y 0. 0/3/0 3 0/3/0. b 0. 0/ 0/ 2 2/ 2/ 0 0. 0/6/0 6 0/6/0. 0/ 0/ 44/0 4/ 0. a 0. t0 0. x0 0. 0/2/0 2 0/2/0. y0 0. 0/6/0 6 0/6/0. c 0. WS2019/20.
(39) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:6. Mit Mindestfluss. Spezielle Flüsse (Alternativen). Flüsse mit Kostenfunktion. 2/17. Walter Unger 14.11.2019 11:04. Beispiel (warum (s 0 , y ) und (x, t 0 )) [2..3]. a. [4..6]. b. c. s0 0. 0/ 0/ 2/0 2/ 0. 0/ 0/ 4/ 4/ 0 0. 2. 4. x 0. 0/1/0 1 0/1/0. y 0. 0/3/0 3 0/3/0. 0/6/0 6 0/6/0. b 0. 0/ 0/ 2/ 2/ 0 0. 0/ 0/ 4/0 4/ 0. 0/3/0 3 0/3/0. 2. 4. a 0. t0 0. x0 0. 0/2/0 2 0/2/0. y0 0. 0/6/0 6 0/6/0. c 0. WS2019/20.
(40) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:6. Mit Mindestfluss. Spezielle Flüsse (Alternativen). Flüsse mit Kostenfunktion. 3/17. Walter Unger 14.11.2019 11:04. Beispiel (warum (s 0 , y ) und (x, t 0 )) [2..3]. a. [4..6]. b. c. s0 0. 0/ 0/ 2/0 2/ 0. 0/ 0/ 44/ 4/ 4 4. 2. 4. x 0. 0/1/0 1 0/1/0. y 0. 0/3/0 3 0/3/0. 0/6/0 6 0/6/0. b 0. 0/ 0/ 2/ 2/ 0 0. 0/ 0/ 4/0 4/ 0. 0/3/0 3 0/3/0. 2. 4. a 0. t0 0. x0 0. 0/2/0 2 0/2/0. y0 0. 0/6/4 4 6 0/6/4. c 0. WS2019/20.
(41) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:6. Mit Mindestfluss. Spezielle Flüsse (Alternativen). Flüsse mit Kostenfunktion. 4/17. Walter Unger 14.11.2019 11:04. Beispiel (warum (s 0 , y ) und (x, t 0 )) [2..3]. a. [4..6]. b. c. s0 0. 0/ 0/ 22/0 2/ 0. 4/ 4/4 4/ 4/ 4 4. 0/3/0 3 0/3/0. x 0. 0/1/0 1 0/1/0. y 0. 0/3/0 3 0/3/0. b 0. 0/ 0/ 2 2/ 2/ 0 0. 0/6/0 6 0/6/0. 0/ 0/ 44/0 4/ 0. a 0. t0 0. x0 0. 0/2/0 2 0/2/0. y0 0. 4/6/4 4/6 4 4/6/4. c 0. WS2019/20.
(42) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:6. Mit Mindestfluss. Spezielle Flüsse (Alternativen). Flüsse mit Kostenfunktion. 5/17. Walter Unger 14.11.2019 11:04. Beispiel (warum (s 0 , y ) und (x, t 0 )) [2..3]. a. [4..6]. b. c. s0 0. 0/ 0/ 22/0 2/ 0. 4/ 4/ 4/ 4/ 0 0. 0/3/0 3 0/3/0. x 0. 0/1/0 1 0/1/0. y 0. 0/3/0 3 0/3/0. b 0. 0/ 0/ 2 2/ 2/ 0 0. 0/6/0 6 0/6/0. 0/ 0/ 44/0 4/ 0. a 0. t0 0. x0 0. 0/2/0 2 0/2/0. y0 0. 4/6/0 4/6 4/6/0. c 0. WS2019/20.
(43) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:6. Mit Mindestfluss. Spezielle Flüsse (Alternativen). Flüsse mit Kostenfunktion. 6/17. Walter Unger 14.11.2019 11:04. Beispiel (warum (s 0 , y ) und (x, t 0 )) [2..3]. a. [4..6]. b. c. s0 0 4. 2. 0/ 0/ 2/0 2/ 0. 4/ 4/ 4/ 4/ 0 0. x 0. 0/1/0 1 0/1/0. y 0. 0/3/0 3 0/3/0. 0/6/0 6 0/6/0. b 0. 0/ 0/ 2/ 2/ 0 0. 0/ 0/ 4/0 4/ 0. 0/3/0 3 0/3/0. 2. 4. a 0. t0 0. x0 0. 0/2/0 2 0/2/0. y0 0. 4/6/0 4 2 4/6/0. c 0. WS2019/20.
(44) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:6. Mit Mindestfluss. Spezielle Flüsse (Alternativen). Flüsse mit Kostenfunktion. 7/17. Walter Unger 14.11.2019 11:04. Beispiel (warum (s 0 , y ) und (x, t 0 )) [2..3]. a. [4..6]. b. c. s0 0 4. 2. 0/ 0/ 22/2 2/ 2. 4/ 4/ 4/ 4/ 0 0. x 0. 0/1/0 1 0/1/0. y 0. 0/3/2 2 3 0/3/2. 0/6/2 2 6 0/6/2. b 0. 0/ 0/ 2/ 2/ 0 0. 0/ 0/ 24/2 4/ 2. 0/3/0 3 0/3/0. 2. 4. a 0. t0 0. x0 0. 0/2/0 2 0/2/0. y0 0. 4/6/0 4 2 4/6/0. c 0. WS2019/20.
(45) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:6. Mit Mindestfluss. Spezielle Flüsse (Alternativen). Flüsse mit Kostenfunktion. 8/17. Walter Unger 14.11.2019 11:04. Beispiel (warum (s 0 , y ) und (x, t 0 )) [2..3]. a. [4..6]. b. c. s0 0. 2/ 2/ 2/2 2/ 22. 4/ 4/ 4/ 4/ 0 0. 0/3/0 3 0/3/0. x 0. 0/1/0 1 0/1/0. y 0. 2/3/2 2/3 2 2/3/2. b 0. 0/ 0/ 2 2/ 2/ 0 0. 2/6/2 2/6 2 2/6/2. 2/ 2/ 24/42 4/ 22. a 0. t0 0. x0 0. 0/2/0 2 0/2/0. y0 0. 4/6/0 4/6 4/6/0. c 0. WS2019/20.
(46) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:6. Mit Mindestfluss. Spezielle Flüsse (Alternativen). Flüsse mit Kostenfunktion. 9/17. Walter Unger 14.11.2019 11:04. Beispiel (warum (s 0 , y ) und (x, t 0 )) [2..3]. a. [4..6]. b. c. s0 0. 2/ 2/ 2/20 2/ 0. 4/ 4/ 4/ 4/ 0 0. 0/3/0 3 0/3/0. x 0. 0/1/0 1 0/1/0. y 0. 2/3/0 2/3 2/3/0. b 0. 0/ 0/ 2 2/ 2/ 0 0. 2/6/0 2/6 2/6/0. 2/ 2/ 24/40 4/ 0. a 0. t0 0. x0 0. 0/2/0 2 0/2/0. y0 0. 4/6/0 4/6 4/6/0. c 0. WS2019/20.
(47) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:6. Mit Mindestfluss. Spezielle Flüsse (Alternativen). Flüsse mit Kostenfunktion. 10/17. Walter Unger 14.11.2019 11:04. Beispiel (warum (s 0 , y ) und (x, t 0 )) [2..3]. a. [4..6]. b. c. s0 0 2. 4. 2/ 2/ 2/0 2/ 0. 4/ 4/ 4/ 4/ 0 0. 0/3/0 3 0/3/0. x 0. 0/1/0 1 0/1/0. y 0. 2/3/0 2 1 2/3/0. b 0. 2/6/0 2 4 2/6/0. 2 2 / 2/ 4/0 4/ 2 0. a 0. 0/ 0/ 2/ 2/ 0 0 2. t0 0. x0 0. 0/2/0 2 0/2/0. y0 0. 4/6/0 4 2 4/6/0. c 0. WS2019/20.
(48) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:6. Mit Mindestfluss. Spezielle Flüsse (Alternativen). Flüsse mit Kostenfunktion. 11/17. Walter Unger 14.11.2019 11:04. Beispiel (warum (s 0 , y ) und (x, t 0 )) [2..3]. a. [4..6]. b. c. s0 0 2. 4. 2/ 2/ 2/0 2/ 0. 4/ 4/ 4/ 4/ 0 0. 0/3/2 2 3 0/3/2. x 0. 0/1/0 1 0/1/0. y 0. 2/3/0 2 1 2/3/0. b 0. 2/6/0 2 4 2/6/0. 2 2 / 2/ 4/0 4/ 2 0. a 0. 0/ 0/ 22/ 2/ 2 2 2. t0 0. x0 0. 0/2/0 2 0/2/0. y0 0. 4/6/0 4 2 4/6/0. c 0. WS2019/20.
(49) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:6. Mit Mindestfluss. Spezielle Flüsse (Alternativen). Flüsse mit Kostenfunktion. 12/17. Walter Unger 14.11.2019 11:04. Beispiel (warum (s 0 , y ) und (x, t 0 )) [2..3]. a. [4..6]. b. c. s0 0. 2/ 2/ 2/20 2/ 0. 4/ 4/ 4/ 4/ 0 0. 2/3/2 2/3 2 2/3/2. x 0. 0/1/0 1 0/1/0. y 0. 2/3/0 2/3 2/3/0. b 0. 2/ 2/2 2/ 2/ 2 2. 2/6/0 2/6 2/6/0. 2/ 2/ 24/40 4/ 0. a 0. t0 0. x0 0. 0/2/0 2 0/2/0. y0 0. 4/6/0 4/6 4/6/0. c 0. WS2019/20.
(50) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:6. Mit Mindestfluss. Spezielle Flüsse (Alternativen). Flüsse mit Kostenfunktion. 13/17. Walter Unger 14.11.2019 11:04. Beispiel (warum (s 0 , y ) und (x, t 0 )) [2..3]. a. [4..6]. b. c. s0 0. 2/ 2/ 2/20 2/ 0. 4/ 4/ 4/ 4/ 0 0. 2/3/0 2/3 2/3/0. x 0. 0/1/0 1 0/1/0. y 0. 2/3/0 2/3 2/3/0. b 0. 2/ 2/ 2/ 2/ 0 0. 2/6/0 2/6 2/6/0. 2/ 2/ 24/40 4/ 0. a 0. t0 0. x0 0. 0/2/0 2 0/2/0. y0 0. 4/6/0 4/6 4/6/0. c 0. WS2019/20.
(51) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:6. Mit Mindestfluss. Spezielle Flüsse (Alternativen). Flüsse mit Kostenfunktion. 14/17. Walter Unger 14.11.2019 11:04. Beispiel (warum (s 0 , y ) und (x, t 0 )) [2..3]. a. [4..6]. b. c. s0 0 2. 4. 2/ 2/ 2/0 2/ 0. 4/ 4/ 4/ 4/ 0 0. 2/3/0 2 1 2/3/0. x 0. 0/1/0 1 0/1/0. y 0. 2/3/0 2 1 2/3/0. b 0. 2/6/0 2 4 2/6/0. 2. 2 2 / 2/ 4/0 4/ 2 0. a 0. 2/ 2/ 2/ 2/ 0 0. t0 0. x0 0. 0/2/0 2 0/2/0. y0 0. 4/6/0 4 2 4/6/0. c 0. WS2019/20.
(52) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:6. Mit Mindestfluss. Spezielle Flüsse (Alternativen). Flüsse mit Kostenfunktion. 15/17. Walter Unger 14.11.2019 11:04. Beispiel (warum (s 0 , y ) und (x, t 0 )) [2..3]. a. [4..6]. b. c. s0 0 2. 4. 2/ 2/ 2/0 2/ 0. 4/ 4/ 4/ 4/ 0 0. 2/3/1 2 1 1 2/3/1. x 0. 0/1/1 1 1 0/1/1. y 0. 2/3/1 2 1 1 2/3/1. b 0. 2/6/1 2 1 4 2/6/1. 2. 2 2 / 2/ 14/1 4/ 2 1. a 0. 2/ 2/ 2/ 2/ 0 0. t0 0. x0 0. 0/2/0 2 0/2/0. y0 0. 4/6/0 4 2 4/6/0. c 0. WS2019/20.
(53) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:6. Mit Mindestfluss. Spezielle Flüsse (Alternativen). Flüsse mit Kostenfunktion. 16/17. Walter Unger 14.11.2019 11:04. Beispiel (warum (s 0 , y ) und (x, t 0 )) [2..3]. a. [4..6]. b. c. s0 0. 2/ 2/ 2/20 2/ 0. 4/ 4/ 4/ 4/ 0 0. 3/3/1 3/3 1 3/3/1. x 0. 1/1/1 1/1 1 1/1/1. y 0. 3/3/1 3/3 1 3/3/1. b 0. 2/ 2/ 2/ 2/ 0 0. 3/6/1 3/6 1 3/6/1. 3/ 3/ 34/41 4/ 11. a 0. t0 0. x0 0. 0/2/0 2 0/2/0. y0 0. 4/6/0 4/6 4/6/0. c 0. WS2019/20.
(54) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:6. Mit Mindestfluss. Spezielle Flüsse (Alternativen). Flüsse mit Kostenfunktion. 17/17. Walter Unger 14.11.2019 11:04. Beispiel (warum (s 0 , y ) und (x, t 0 )) [2..3]. a. [4..6]. b. c. s0 0. 2/ 2/ 2/20 2/ 0. 4/ 4/ 4/ 4/ 0 0. 3/3/0 3/3 3/3/0. x 0. 1/1/0 1/1 1/1/0. y 0. 3/3/0 3/3 3/3/0. b 0. 2/ 2/ 2/ 2/ 0 0. 3/6/0 3/6 3/6/0. 3/ 3/ 34/40 4/ 0. a 0. t0 0. x0 0. 0/2/0 2 0/2/0. y0 0. 4/6/0 4/6 4/6/0. c 0. WS2019/20.
(55) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:7. Mit Mindestfluss. Zeige: =⇒. 1/6. Spezielle Flüsse (Alternativen). Flüsse mit Kostenfunktion Walter Unger 14.11.2019 11:04. WS2019/20.
(56) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:7. Mit Mindestfluss. Spezielle Flüsse (Alternativen). 2/6. Zeige: =⇒ b. [u..o]. t. s. a. u 6 f (a, b) 6 o. Flüsse mit Kostenfunktion Walter Unger 14.11.2019 11:04. WS2019/20.
(57) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:7. Mit Mindestfluss. Spezielle Flüsse (Alternativen). Flüsse mit Kostenfunktion. 3/6. Walter Unger 14.11.2019 11:04. Zeige: =⇒ b. o. b. u. s0. t. o−u. [u..o]. s. x. u. o. s. y. ∞. ∞. t. a. 0. f (s , y ) = f (x, t 0 ) = u a. u 6 f (a, b) 6 o. t0. WS2019/20.
(58) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:7. Mit Mindestfluss. Spezielle Flüsse (Alternativen). Flüsse mit Kostenfunktion. 4/6. Walter Unger 14.11.2019 11:04. Zeige: =⇒ b. o. b. u. s0. t. o−u. [u..o]. s. x. u. t0. o. s. y. ∞. ∞. t. a. 0. a. u 6 f (a, b) 6 o. f (s , y ) = f (x, t 0 ) = u f (a, x) = f (y , b) = f (a, b). WS2019/20.
(59) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:7. Mit Mindestfluss. Spezielle Flüsse (Alternativen). Flüsse mit Kostenfunktion. 5/6. Walter Unger 14.11.2019 11:04. Zeige: =⇒ b. o. b. u. s0. t. o−u. [u..o]. s. x. u. t0. o. s. y. ∞. ∞. t. a. 0. a. u 6 f (a, b) 6 o. f (s , y ) = f (x, t 0 ) = u f (a, x) = f (y , b) = f (a, b). WS2019/20.
(60) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:7. Mit Mindestfluss. Spezielle Flüsse (Alternativen). Flüsse mit Kostenfunktion. 6/6. Walter Unger 14.11.2019 11:04. Zeige: =⇒ b. o. b. u. s0. t. o−u. [u..o]. s. x. u. t0. o. s. y. ∞. ∞. t. a. 0. a. u 6 f (a, b) 6 o. f (s , y ) = f (x, t 0 ) = u f (a, x) = f (y , b) = f (a, b) f (x, y ) = f (a, b) − u. WS2019/20.
(61) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:8. Mit Mindestfluss. Zeige: ⇐=. 1/6. Spezielle Flüsse (Alternativen). Flüsse mit Kostenfunktion Walter Unger 14.11.2019 11:04. WS2019/20.
(62) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:8. Mit Mindestfluss. Zeige: ⇐=. 2/6. Spezielle Flüsse (Alternativen). Flüsse mit Kostenfunktion Walter Unger 14.11.2019 11:04. WS2019/20.
(63) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:8. Mit Mindestfluss. Spezielle Flüsse (Alternativen). 3/6. Zeige: ⇐= Zeige: Wenn es in G 0 einen maximalen Fluss gibt, der alle Kanten der Form (s 0 , y ) und (x, t 0 ) saturiert, dann gibt es in G einen korrekten Fluss, der die Mindestflussbedingung erfüllt.. Flüsse mit Kostenfunktion Walter Unger 14.11.2019 11:04. WS2019/20.
(64) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:8. Mit Mindestfluss. Spezielle Flüsse (Alternativen). 4/6. Zeige: ⇐= Zeige: Wenn es in G 0 einen maximalen Fluss gibt, der alle Kanten der Form (s 0 , y ) und (x, t 0 ) saturiert, dann gibt es in G einen korrekten Fluss, der die Mindestflussbedingung erfüllt. Dann gilt: f (a, x) = f (y , b) für jede ursprüngliche Kante (a, b).. Flüsse mit Kostenfunktion Walter Unger 14.11.2019 11:04. WS2019/20.
(65) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:8. Mit Mindestfluss. Spezielle Flüsse (Alternativen). 5/6. Zeige: ⇐= Zeige: Wenn es in G 0 einen maximalen Fluss gibt, der alle Kanten der Form (s 0 , y ) und (x, t 0 ) saturiert, dann gibt es in G einen korrekten Fluss, der die Mindestflussbedingung erfüllt. Dann gilt: f (a, x) = f (y , b) für jede ursprüngliche Kante (a, b). Dann definiert f (a, b) = f (a, x) einen korrekten Fluss auf G .. Flüsse mit Kostenfunktion Walter Unger 14.11.2019 11:04. WS2019/20.
(66) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:8. Mit Mindestfluss. Spezielle Flüsse (Alternativen). 6/6. Flüsse mit Kostenfunktion Walter Unger 14.11.2019 11:04. WS2019/20. Zeige: ⇐=. o y. t. o−u s. x. o. Dann definiert f (a, b) = f (a, x) einen korrekten Fluss auf G .. u. s0. ∞. Dann gilt: f (a, x) = f (y , b) für jede ursprüngliche Kante (a, b).. b. ∞. Zeige: Wenn es in G 0 einen maximalen Fluss gibt, der alle Kanten der Form (s 0 , y ) und (x, t 0 ) saturiert, dann gibt es in G einen korrekten Fluss, der die Mindestflussbedingung erfüllt.. a. u. t0.
(67) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:9. Mit Mindestfluss. Spezielle Flüsse (Alternativen). 1/9. Algorithmus Sei f (resp. f 0 ) der Fluss auf G (resp. G 0 ).. Flüsse mit Kostenfunktion Walter Unger 14.11.2019 11:04. WS2019/20.
(68) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:9. Mit Mindestfluss. 2/9. Spezielle Flüsse (Alternativen). Flüsse mit Kostenfunktion Walter Unger 14.11.2019 11:04. Algorithmus Sei f (resp. f 0 ) der Fluss auf G (resp. G 0 ). Sei weiter f 00 der Fluss auf G ohne die untere Schranke c 0 . Dann gilt, wenn es eine Lösung für G 0 gibt:. WS2019/20.
(69) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:9. Mit Mindestfluss. 3/9. Spezielle Flüsse (Alternativen). Flüsse mit Kostenfunktion Walter Unger 14.11.2019 11:04. Algorithmus Sei f (resp. f 0 ) der Fluss auf G (resp. G 0 ). Sei weiter f 00 der Fluss auf G ohne die untere Schranke c 0 . Dann gilt, wenn es eine Lösung für G 0 gibt: f = f 00 , denn untere Schranken verringern den Fluss auf G nicht mehr.. WS2019/20.
(70) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:9. Mit Mindestfluss. 4/9. Spezielle Flüsse (Alternativen). Flüsse mit Kostenfunktion Walter Unger 14.11.2019 11:04. Algorithmus Sei f (resp. f 0 ) der Fluss auf G (resp. G 0 ). Sei weiter f 00 der Fluss auf G ohne die untere Schranke c 0 . Dann gilt, wenn es eine Lösung für G 0 gibt: f = f 00 , denn P untere Schranken verringern den Fluss auf G nicht mehr. f 0 = f + e∈E (G ) c 0 (e). WS2019/20.
(71) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:9. Mit Mindestfluss. Spezielle Flüsse (Alternativen). 5/9. Flüsse mit Kostenfunktion Walter Unger 14.11.2019 11:04. Algorithmus Sei f (resp. f 0 ) der Fluss auf G (resp. G 0 ). Sei weiter f 00 der Fluss auf G ohne die untere Schranke c 0 . Dann gilt, wenn es eine Lösung für G 0 gibt: f = f 00 , denn P untere Schranken verringern den Fluss auf G nicht mehr. f 0 = f + e∈E (G ) c 0 (e). Damit haben wir folgendes Verfahren:. WS2019/20.
(72) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:9. Mit Mindestfluss. Spezielle Flüsse (Alternativen). 6/9. Flüsse mit Kostenfunktion Walter Unger 14.11.2019 11:04. Algorithmus Sei f (resp. f 0 ) der Fluss auf G (resp. G 0 ). Sei weiter f 00 der Fluss auf G ohne die untere Schranke c 0 . Dann gilt, wenn es eine Lösung für G 0 gibt: f = f 00 , denn P untere Schranken verringern den Fluss auf G nicht mehr. f 0 = f + e∈E (G ) c 0 (e). Damit haben wir folgendes Verfahren: 1. Bestimme aus G : G 0 , G 00 , f , f 0 , f 00 .. WS2019/20.
(73) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:9. Mit Mindestfluss. Spezielle Flüsse (Alternativen). 7/9. Flüsse mit Kostenfunktion Walter Unger 14.11.2019 11:04. Algorithmus Sei f (resp. f 0 ) der Fluss auf G (resp. G 0 ). Sei weiter f 00 der Fluss auf G ohne die untere Schranke c 0 . Dann gilt, wenn es eine Lösung für G 0 gibt: f = f 00 , denn P untere Schranken verringern den Fluss auf G nicht mehr. f 0 = f + e∈E (G ) c 0 (e). Damit haben wir folgendes Verfahren: 1 2. Bestimme aus G : G 0 , G 00 , f , f 0 , f 00 . Bevorzuge auf G 0 die Kanten der Form (s 0 , y ) und (x, t 0 ).. WS2019/20.
(74) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:9. Mit Mindestfluss. Spezielle Flüsse (Alternativen). 8/9. Flüsse mit Kostenfunktion Walter Unger 14.11.2019 11:04. Algorithmus Sei f (resp. f 0 ) der Fluss auf G (resp. G 0 ). Sei weiter f 00 der Fluss auf G ohne die untere Schranke c 0 . Dann gilt, wenn es eine Lösung für G 0 gibt: f = f 00 , denn P untere Schranken verringern den Fluss auf G nicht mehr. f 0 = f + e∈E (G ) c 0 (e). Damit haben wir folgendes Verfahren: 1 2 3. Bestimme aus G : G 0 , G 00 , f , f 0 , f 00 . Bevorzuge auf P G 0 die Kanten der Form (s 0 , y ) und (x, t 0 ). Falls f 0 < f + e∈E (G ) c 0 (e) gilt, so gibt es keine Lösung.. WS2019/20.
(75) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:9. Mit Mindestfluss. Spezielle Flüsse (Alternativen). 9/9. Flüsse mit Kostenfunktion Walter Unger 14.11.2019 11:04. Algorithmus Sei f (resp. f 0 ) der Fluss auf G (resp. G 0 ). Sei weiter f 00 der Fluss auf G ohne die untere Schranke c 0 . Dann gilt, wenn es eine Lösung für G 0 gibt: f = f 00 , denn P untere Schranken verringern den Fluss auf G nicht mehr. f 0 = f + e∈E (G ) c 0 (e). Damit haben wir folgendes Verfahren: 1 2 3 4. Bestimme aus G : G 0 , G 00 , f , f 0 , f 00 . Bevorzuge auf P G 0 die Kanten der Form (s 0 , y ) und (x, t 0 ). Falls f 0 < f + e∈E (G ) c 0 (e) gilt, so gibt es keine Lösung. Ansonsten bestimme f aus f 0 , d.h. f (a, b) = f (a, x).. WS2019/20.
(76) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:10. Mit Alternativen. Spezielle Flüsse (Alternativen). 1/10. Das Flussproblem mit Alternativen Definition (Flussproblem mit Alternativen). Flüsse mit Kostenfunktion Walter Unger 14.11.2019 11:04. WS2019/20.
(77) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:10. Mit Alternativen. Spezielle Flüsse (Alternativen). 2/10. Das Flussproblem mit Alternativen Definition (Flussproblem mit Alternativen) Eingabe: G = (V , E , s, t, c, c 0 ) mit:. Flüsse mit Kostenfunktion Walter Unger 14.11.2019 11:04. WS2019/20.
(78) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:10. Mit Alternativen. Spezielle Flüsse (Alternativen). 3/10. Flüsse mit Kostenfunktion Walter Unger 14.11.2019 11:04. Das Flussproblem mit Alternativen Definition (Flussproblem mit Alternativen) Eingabe: G = (V , E , s, t, c, c 0 ) mit: (V , E ) ist ein gerichteter Graph (n = |V |, m = |E |). WS2019/20.
(79) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:10. Mit Alternativen. Spezielle Flüsse (Alternativen). 4/10. Flüsse mit Kostenfunktion Walter Unger 14.11.2019 11:04. Das Flussproblem mit Alternativen Definition (Flussproblem mit Alternativen) Eingabe: G = (V , E , s, t, c, c 0 ) mit: (V , E ) ist ein gerichteter Graph (n = |V |, m = |E |) s, t ∈ V mit s 6= t. WS2019/20.
(80) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:10. Mit Alternativen. Spezielle Flüsse (Alternativen). 5/10. Flüsse mit Kostenfunktion Walter Unger 14.11.2019 11:04. Das Flussproblem mit Alternativen Definition (Flussproblem mit Alternativen) Eingabe: G = (V , E , s, t, c, c 0 ) mit: (V , E ) ist ein gerichteter Graph (n = |V |, m = |E |) s, t ∈ V mit s 6= t c : E 7→ N+. WS2019/20.
(81) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:10. Mit Alternativen. Spezielle Flüsse (Alternativen). 6/10. Flüsse mit Kostenfunktion Walter Unger 14.11.2019 11:04. Das Flussproblem mit Alternativen Definition (Flussproblem mit Alternativen) Eingabe: G = (V , E , s, t, c, c 0 ) mit: (V , E ) ist ein gerichteter Graph (n = |V |, m = |E |) s, t ∈ V mit s 6= t c : E 7→ N+ c 0 : E 7→ N+. WS2019/20.
(82) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:10. Mit Alternativen. Spezielle Flüsse (Alternativen). 7/10. Flüsse mit Kostenfunktion Walter Unger 14.11.2019 11:04. Das Flussproblem mit Alternativen Definition (Flussproblem mit Alternativen) Eingabe: G = (V , E , s, t, c, c 0 ) mit: (V , E ) ist ein gerichteter Graph (n = |V |, m = |E |) s, t ∈ V mit s 6= t c : E 7→ N+ c 0 : E 7→ N+ Ausgabe: f : E 7→ R+ 0 mit:. WS2019/20.
(83) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:10. Mit Alternativen. Spezielle Flüsse (Alternativen). 8/10. Flüsse mit Kostenfunktion Walter Unger 14.11.2019 11:04. Das Flussproblem mit Alternativen Definition (Flussproblem mit Alternativen) Eingabe: G = (V , E , s, t, c, c 0 ) mit: (V , E ) ist ein gerichteter Graph (n = |V |, m = |E |) s, t ∈ V mit s 6= t c : E 7→ N+ c 0 : E 7→ N+ Ausgabe: f : E → 7 R+ 0 mit: 0 ∀e : c (e) 6 f (e) 6 c(e) oder f (e) = 0.. WS2019/20.
(84) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:10. Mit Alternativen. Spezielle Flüsse (Alternativen). 9/10. Flüsse mit Kostenfunktion Walter Unger 14.11.2019 11:04. WS2019/20. Das Flussproblem mit Alternativen Definition (Flussproblem mit Alternativen) Eingabe: G = (V , E , s, t, c, c 0 ) mit: (V , E ) ist ein gerichteter Graph (n = |V |, m = |E |) s, t ∈ V mit s 6= t c : E 7→ N+ c 0 : E 7→ N+ Ausgabe: f : E → 7 R+ 0 mit: 0 6 c(e) oder f (e) = 0. ∀e : c (e) 6 f (e) P P ∀v ∈ V \ {s, t} : (a,v )∈E f ((a, v )) = (v ,a)∈E f ((v , a)).
(85) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:10. Mit Alternativen. Spezielle Flüsse (Alternativen). 10/10. Flüsse mit Kostenfunktion Walter Unger 14.11.2019 11:04. WS2019/20. Das Flussproblem mit Alternativen Definition (Flussproblem mit Alternativen) Eingabe: G = (V , E , s, t, c, c 0 ) mit: (V , E ) ist ein gerichteter Graph (n = |V |, m = |E |) s, t ∈ V mit s 6= t c : E 7→ N+ c 0 : E 7→ N+ Ausgabe: f : E → 7 R+ 0 mit: 0 6 c(e) oder f (e) = 0. ∀e : c (e) 6 f (e) P P ∀v ∈ V \ {s, t} : (a,v )∈E f ((a, v )) = (v ,a)∈E f ((v , a)) Ziel: Bestimme, ob es so einenPnicht trivialen Fluss gibt. Falls ja, dann maximiere w (f ) = (s,v )∈E f ((s, v ))..
(86) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:11. Spezielle Flüsse (Alternativen). Mit Alternativen. Flüsse mit Kostenfunktion Walter Unger 14.11.2019 11:04. WS2019/20. Reduktion Theorem Zu einem gegeben Flussproblem G = (V , E , s, t, c, c 0 ) ist es NP-vollständig zu bestimmen, ob es so einen nicht trivialen Fluss gibt. Beweis: Übung, b.z.w. Reduktion auf Exact-3-SAT..
(87) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:12. Mit Alternativen. Spezielle Flüsse (Alternativen). 1/6. Exact-3-SAT Definition Eine Boolesche Formel F ist in Exact-3-KNF: Vk F(x1 , x2 , ..., xr ) = i=1 ci. Flüsse mit Kostenfunktion Walter Unger 14.11.2019 11:04. WS2019/20.
(88) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:12. Mit Alternativen. Spezielle Flüsse (Alternativen). 2/6. Exact-3-SAT Definition Eine Boolesche Formel F ist in Exact-3-KNF: Vk F(x1 , x2 , ..., xr ) = i=1 ci. Flüsse mit Kostenfunktion Walter Unger 14.11.2019 11:04. WS2019/20.
(89) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:12. Mit Alternativen. Spezielle Flüsse (Alternativen). 3/6. Flüsse mit Kostenfunktion Walter Unger 14.11.2019 11:04. Exact-3-SAT Definition Eine Boolesche Formel F ist in Exact-3-KNF: Vk F(x1 , x2 , ..., xr ) = i=1 ci (Klauseln). ci. =. (li1 ∨ li2 ∨ li3 ). ∀16i 6k. WS2019/20.
(90) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:12. Mit Alternativen. Spezielle Flüsse (Alternativen). 4/6. Flüsse mit Kostenfunktion Walter Unger 14.11.2019 11:04. Exact-3-SAT Definition Eine Boolesche Formel F ist in Exact-3-KNF: Vk F(x1 , x2 , ..., xr ) = i=1 ci (Klauseln). ci. =. (Literale). lij. =. (li1 ∨ li2 ∨ li3 ) . ¬xl xl. oder für ein l : 1 6 l 6 r. ∀16i 6k . ∀ 1 6 i 6 k und ∀16j 63. WS2019/20.
(91) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:12. Mit Alternativen. Spezielle Flüsse (Alternativen). 5/6. Flüsse mit Kostenfunktion Walter Unger 14.11.2019 11:04. Exact-3-SAT Definition Eine Boolesche Formel F ist in Exact-3-KNF: Vk F(x1 , x2 , ..., xr ) = i=1 ci (Klauseln). ci. =. (Literale). lij. =. (li1 ∨ li2 ∨ li3 ) . ¬xl xl. oder für ein l : 1 6 l 6 r. ∀16i 6k . ∀ 1 6 i 6 k und ∀16j 63. Eine Belegung ist eine Funktion W : {x1 , x2 , ..., xr } 7→ {0, 1}.. WS2019/20.
(92) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:12. Mit Alternativen. Spezielle Flüsse (Alternativen). 6/6. Flüsse mit Kostenfunktion Walter Unger 14.11.2019 11:04. WS2019/20. Exact-3-SAT Definition Eine Boolesche Formel F ist in Exact-3-KNF: Vk F(x1 , x2 , ..., xr ) = i=1 ci (Klauseln). ci. =. (Literale). lij. =. (li1 ∨ li2 ∨ li3 ) . ¬xl xl. oder für ein l : 1 6 l 6 r. ∀16i 6k . ∀ 1 6 i 6 k und ∀16j 63. Eine Belegung ist eine Funktion W : {x1 , x2 , ..., xr } 7→ {0, 1}. Theorem (Exakt-3-SAT) Es ist NP-vollständig, festzustellen, ob es für F aus Exact-3-KNF eine erfüllende Belegung gibt, bei der in jeder Klausel genau ein Literal “true” ist..
(93) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:13. Mit Alternativen. Spezielle Flüsse (Alternativen). Flüsse mit Kostenfunktion. 1/5. Walter Unger 14.11.2019 11:04. Erste Variable x0 [2..2]. a1. [2..2]. a2. a3 al. b2. b3 bl. [2. .. 2. ]. a0. s. [2..2]. x0 [2 .. 2 ]. b0. [2..2]. b1. [2..2]. WS2019/20.
(94) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:13. Mit Alternativen. Spezielle Flüsse (Alternativen). Flüsse mit Kostenfunktion. 2/5. Walter Unger 14.11.2019 11:04. Erste Variable x0 [2..2]. a1. [2..2]. a2. a3 al. b2. b3 bl. [2. .. 2. ]. a0. s. [2..2]. x0 [2 .. 2 ]. b0. [2..2]. b1. [2..2]. WS2019/20.
(95) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:13. Mit Alternativen. Spezielle Flüsse (Alternativen). Flüsse mit Kostenfunktion. 3/5. Walter Unger 14.11.2019 11:04. Erste Variable x0 [2..2]. a1. [2..2]. a2. a3 al. b2. b3 bl. [2. .. 2. ]. a0. s. [2..2]. x0 [2 .. 2 ]. b0. [2..2]. b1. [2..2]. WS2019/20.
(96) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:13. Mit Alternativen. Spezielle Flüsse (Alternativen). Flüsse mit Kostenfunktion. 4/5. Walter Unger 14.11.2019 11:04. Erste Variable x0 [2..2]. a1. [2..2]. a2. a3 al. b2. b3 bl. [2. .. 2. ]. a0. s. [2..2]. x0 [2 .. 2 ]. b0. [2..2]. b1. [2..2]. WS2019/20.
(97) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:13. Mit Alternativen. Spezielle Flüsse (Alternativen). Flüsse mit Kostenfunktion. 5/5. Walter Unger 14.11.2019 11:04. Erste Variable x0 [2..2]. a1. [2..2]. a2. a3 al. b2. b3 bl. [2. .. 2. ]. a0. s. [2..2]. x0 [2 .. 2 ]. b0. [2..2]. b1. [2..2]. WS2019/20.
(98) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:14. Mit Alternativen. Spezielle Flüsse (Alternativen). Flüsse mit Kostenfunktion. 1/5. Walter Unger 14.11.2019 11:04. WS2019/20. Zweite Variable x1 [2..2]. a1. [2..2]. a2. al. [2 ... [2 ... 2]. a0. s. [2..2]. c0 2]. x0. . [2. x1 ] .2. . [2 . [2. b0. [2..2]. b1. [2..2]. b2. bl. ] .2. [2..2]. c1. ] .2. [2 ... 2]. d0. [2..2]. d1.
(99) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:14. Mit Alternativen. Spezielle Flüsse (Alternativen). Flüsse mit Kostenfunktion. 2/5. Walter Unger 14.11.2019 11:04. WS2019/20. Zweite Variable x1 [2..2]. a1. [2..2]. a2. al. [2 ... [2 ... 2]. a0. s. [2..2]. c0 2]. x0. . [2. x1 ] .2. . [2 . [2. b0. [2..2]. b1. [2..2]. b2. bl. ] .2. [2..2]. c1. ] .2. [2 ... 2]. d0. [2..2]. d1.
(100) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:14. Mit Alternativen. Spezielle Flüsse (Alternativen). Flüsse mit Kostenfunktion. 3/5. Walter Unger 14.11.2019 11:04. WS2019/20. Zweite Variable x1 [2..2]. a1. [2..2]. a2. al. [2 ... [2 ... 2]. a0. s. [2..2]. c0 2]. x0. . [2. x1 ] .2. . [2 . [2. b0. [2..2]. b1. [2..2]. b2. bl. ] .2. [2..2]. c1. ] .2. [2 ... 2]. d0. [2..2]. d1.
(101) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:14. Mit Alternativen. Spezielle Flüsse (Alternativen). Flüsse mit Kostenfunktion. 4/5. Walter Unger 14.11.2019 11:04. WS2019/20. Zweite Variable x1 [2..2]. a1. [2..2]. a2. al. [2 ... [2 ... 2]. a0. s. [2..2]. c0 2]. x0. . [2. x1 ] .2. . [2 . [2. b0. [2..2]. b1. [2..2]. b2. bl. ] .2. [2..2]. c1. ] .2. [2 ... 2]. d0. [2..2]. d1.
(102) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:14. Mit Alternativen. Spezielle Flüsse (Alternativen). Flüsse mit Kostenfunktion. 5/5. Walter Unger 14.11.2019 11:04. WS2019/20. Zweite Variable x1 [2..2]. a1. [2..2]. a2. al. [2 ... [2 ... 2]. a0. s. [2..2]. c0 2]. x0. . [2. x1 ] .2. . [2 . [2. b0. [2..2]. b1. [2..2]. b2. bl. ] .2. [2..2]. c1. ] .2. [2 ... 2]. d0. [2..2]. d1.
(103) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:15. Mit Alternativen. Spezielle Flüsse (Alternativen). Flüsse mit Kostenfunktion. 1/10. Walter Unger 14.11.2019 11:04. Erste zwei Klauseln k0 und k1. 2]. [2..2]. b1. [2 ... [2..2]. c1. [2 ... [2..2]. b2. [2..2]. b3. 2]. 2]. c0. k1. .. [2. .. [2. 2]. [2..2]. [2..2]. 2]. .2 ] [2 .. b0. a3. 2]. [2..2]. [2..2]. .. [2. k0. yl. a2. ] .2. [2. .2] .2] [2.. a1 . [2. xl. [2..2]. [2 ... a0. c2. [2..2]. c3. k2. WS2019/20.
(104) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:15. Mit Alternativen. Spezielle Flüsse (Alternativen). Flüsse mit Kostenfunktion. 2/10. Walter Unger 14.11.2019 11:04. Erste zwei Klauseln k0 und k1. 2]. [2..2]. b1. [2 ... [2..2]. c1. [2 ... [2..2]. b2. [2..2]. b3. 2]. 2]. c0. k1. .. [2. .. [2. 2]. [2..2]. [2..2]. 2]. .2 ] [2 .. b0. a3. 2]. [2..2]. [2..2]. .. [2. k0. yl. a2. ] .2. [2. .2] .2] [2.. a1 . [2. xl. [2..2]. [2 ... a0. c2. [2..2]. c3. k2. WS2019/20.
(105) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:15. Mit Alternativen. Spezielle Flüsse (Alternativen). Flüsse mit Kostenfunktion. 3/10. Walter Unger 14.11.2019 11:04. Erste zwei Klauseln k0 und k1. 2]. [2..2]. b1. [2 ... [2..2]. c1. [2 ... [2..2]. b2. [2..2]. b3. 2]. 2]. c0. k1. .. [2. .. [2. 2]. [2..2]. [2..2]. 2]. .2 ] [2 .. b0. a3. 2]. [2..2]. [2..2]. .. [2. k0. yl. a2. ] .2. [2. .2] .2] [2.. a1 . [2. xl. [2..2]. [2 ... a0. c2. [2..2]. c3. k2. WS2019/20.
(106) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:15. Mit Alternativen. Spezielle Flüsse (Alternativen). Flüsse mit Kostenfunktion. 4/10. Walter Unger 14.11.2019 11:04. Erste zwei Klauseln k0 und k1. 2]. [2..2]. b1. [2 ... [2..2]. c1. [2 ... [2..2]. b2. [2..2]. b3. 2]. 2]. c0. k1. .. [2. .. [2. 2]. [2..2]. [2..2]. 2]. .2 ] [2 .. b0. a3. 2]. [2..2]. [2..2]. .. [2. k0. yl. a2. ] .2. [2. .2] .2] [2.. a1 . [2. xl. [2..2]. [2 ... a0. c2. [2..2]. c3. k2. WS2019/20.
(107) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:15. Mit Alternativen. Spezielle Flüsse (Alternativen). Flüsse mit Kostenfunktion. 5/10. Walter Unger 14.11.2019 11:04. Erste zwei Klauseln k0 und k1. 2]. [2..2]. b1. [2 ... [2..2]. c1. [2 ... [2..2]. b2. [2..2]. b3. 2]. 2]. c0. k1. .. [2. .. [2. 2]. [2..2]. [2..2]. 2]. .2 ] [2 .. b0. a3. 2]. [2..2]. [2..2]. .. [2. k0. yl. a2. ] .2. [2. .2] .2] [2.. a1 . [2. xl. [2..2]. [2 ... a0. c2. [2..2]. c3. k2. WS2019/20.
(108) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:15. Mit Alternativen. Spezielle Flüsse (Alternativen). Flüsse mit Kostenfunktion. 6/10. Walter Unger 14.11.2019 11:04. Erste zwei Klauseln k0 und k1. 2]. [2..2]. b1. [2 ... [2..2]. c1. [2 ... [2..2]. b2. [2..2]. b3. 2]. 2]. c0. k1. .. [2. .. [2. 2]. [2..2]. [2..2]. 2]. .2 ] [2 .. b0. a3. 2]. [2..2]. [2..2]. .. [2. k0. yl. a2. ] .2. [2. .2] .2] [2.. a1 . [2. xl. [2..2]. [2 ... a0. c2. [2..2]. c3. k2. WS2019/20.
(109) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:15. Mit Alternativen. Spezielle Flüsse (Alternativen). Flüsse mit Kostenfunktion. 7/10. Walter Unger 14.11.2019 11:04. Erste zwei Klauseln k0 und k1. 2]. [2..2]. b1. [2 ... [2..2]. c1. [2 ... [2..2]. b2. [2..2]. b3. 2]. 2]. c0. k1. .. [2. .. [2. 2]. [2..2]. [2..2]. 2]. .2 ] [2 .. b0. a3. 2]. [2..2]. [2..2]. .. [2. k0. yl. a2. ] .2. [2. .2] .2] [2.. a1 . [2. xl. [2..2]. [2 ... a0. c2. [2..2]. c3. k2. WS2019/20.
(110) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:15. Mit Alternativen. Spezielle Flüsse (Alternativen). Flüsse mit Kostenfunktion. 8/10. Walter Unger 14.11.2019 11:04. Erste zwei Klauseln k0 und k1. 2]. [2..2]. b1. [2 ... [2..2]. c1. [2 ... [2..2]. b2. [2..2]. b3. 2]. 2]. c0. k1. .. [2. .. [2. 2]. [2..2]. [2..2]. 2]. .2 ] [2 .. b0. a3. 2]. [2..2]. [2..2]. .. [2. k0. yl. a2. ] .2. [2. .2] .2] [2.. a1 . [2. xl. [2..2]. [2 ... a0. c2. [2..2]. c3. k2. WS2019/20.
(111) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:15. Mit Alternativen. Spezielle Flüsse (Alternativen). Flüsse mit Kostenfunktion. 9/10. Walter Unger 14.11.2019 11:04. Erste zwei Klauseln k0 und k1. 2]. [2..2]. b1. [2 ... [2..2]. c1. [2 ... [2..2]. b2. [2..2]. b3. 2]. 2]. c0. k1. .. [2. .. [2. 2]. [2..2]. [2..2]. 2]. .2 ] [2 .. b0. a3. 2]. [2..2]. [2..2]. .. [2. k0. yl. a2. ] .2. [2. .2] .2] [2.. a1 . [2. xl. [2..2]. [2 ... a0. c2. [2..2]. c3. k2. WS2019/20.
(112) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:15. Mit Alternativen. Spezielle Flüsse (Alternativen). Flüsse mit Kostenfunktion. 10/10. Walter Unger 14.11.2019 11:04. Erste zwei Klauseln k0 und k1. 2]. [2..2]. b1. [2 ... [2..2]. c1. [2 ... [2..2]. b2. [2..2]. b3. 2]. 2]. c0. k1. .. [2. .. [2. 2]. [2..2]. [2..2]. 2]. .2 ] [2 .. b0. a3. 2]. [2..2]. [2..2]. .. [2. k0. yl. a2. ] .2. [2. .2] .2] [2.. a1 . [2. xl. [2..2]. [2 ... a0. c2. [2..2]. c3. k2. WS2019/20.
(113) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:16. Mit Alternativen. Spezielle Flüsse (Alternativen). Flüsse mit Kostenfunktion. 1/13. Walter Unger 14.11.2019 11:04. WS2019/20. Anpassung: Variable xl in Klausel ki ] [2..2. s. xl. a0. [2..2]. a1. [1..1]. al. [2..2]. [1..1] [2 ... [1..1]. [2..2]. d1. 2]. [2..2]. ] .2. 2]. . [2. e0. bl. c1 [2 ... d0. b2. xt. y. 2] .. [2. [2..2]. ] [2..2. [1..1]. c0. b1. [2..2]. [2..2 ]. [1..1]. [1..1] x. ki. a2. [2..2 ]. b0. xn. [2..2]. [2..2]. e1. kj. t.
(114) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:16. Mit Alternativen. Spezielle Flüsse (Alternativen). Flüsse mit Kostenfunktion. 2/13. Walter Unger 14.11.2019 11:04. WS2019/20. Anpassung: Variable xl in Klausel ki ] [2..2. s. xl. a0. [2..2]. a1. [1..1]. al. [2..2]. [1..1] [2 ... [1..1]. [2..2]. d1. 2]. [2..2]. ] .2. 2]. . [2. e0. bl. c1 [2 ... d0. b2. xt. y. 2] .. [2. [2..2]. ] [2..2. [1..1]. c0. b1. [2..2]. [2..2 ]. [1..1]. [1..1] x. ki. a2. [2..2 ]. b0. xn. [2..2]. [2..2]. e1. kj. t.
(115) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:16. Mit Alternativen. Spezielle Flüsse (Alternativen). Flüsse mit Kostenfunktion. 3/13. Walter Unger 14.11.2019 11:04. WS2019/20. Anpassung: Variable xl in Klausel ki ] [2..2. s. xl. a0. [2..2]. a1. [1..1]. al. [2..2]. [1..1] [2 ... [1..1]. [2..2]. d1. 2]. [2..2]. ] .2. 2]. . [2. e0. bl. c1 [2 ... d0. b2. xt. y. 2] .. [2. [2..2]. ] [2..2. [1..1]. c0. b1. [2..2]. [2..2 ]. [1..1]. [1..1] x. ki. a2. [2..2 ]. b0. xn. [2..2]. [2..2]. e1. kj. t.
(116) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:16. Mit Alternativen. Spezielle Flüsse (Alternativen). Flüsse mit Kostenfunktion. 4/13. Walter Unger 14.11.2019 11:04. WS2019/20. Anpassung: Variable xl in Klausel ki ] [2..2. s. xl. a0. [2..2]. a1. [1..1]. al. [2..2]. [1..1] [2 ... [1..1]. [2..2]. d1. 2]. [2..2]. ] .2. 2]. . [2. e0. bl. c1 [2 ... d0. b2. xt. y. 2] .. [2. [2..2]. ] [2..2. [1..1]. c0. b1. [2..2]. [2..2 ]. [1..1]. [1..1] x. ki. a2. [2..2 ]. b0. xn. [2..2]. [2..2]. e1. kj. t.
(117) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:16. Mit Alternativen. Spezielle Flüsse (Alternativen). Flüsse mit Kostenfunktion. 5/13. Walter Unger 14.11.2019 11:04. WS2019/20. Anpassung: Variable xl in Klausel ki ] [2..2. s. xl. a0. [2..2]. a1. [1..1]. al. [2..2]. [1..1] [2 ... [1..1]. [2..2]. d1. 2]. [2..2]. ] .2. 2]. . [2. e0. bl. c1 [2 ... d0. b2. xt. y. 2] .. [2. [2..2]. ] [2..2. [1..1]. c0. b1. [2..2]. [2..2 ]. [1..1]. [1..1] x. ki. a2. [2..2 ]. b0. xn. [2..2]. [2..2]. e1. kj. t.
(118) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:16. Mit Alternativen. Spezielle Flüsse (Alternativen). Flüsse mit Kostenfunktion. 6/13. Walter Unger 14.11.2019 11:04. WS2019/20. Anpassung: Variable xl in Klausel ki ] [2..2. s. xl. a0. [2..2]. a1. [1..1]. al. [2..2]. [1..1] [2 ... [1..1]. [2..2]. d1. 2]. [2..2]. ] .2. 2]. . [2. e0. bl. c1 [2 ... d0. b2. xt. y. 2] .. [2. [2..2]. ] [2..2. [1..1]. c0. b1. [2..2]. [2..2 ]. [1..1]. [1..1] x. ki. a2. [2..2 ]. b0. xn. [2..2]. [2..2]. e1. kj. t.
(119) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:16. Mit Alternativen. Spezielle Flüsse (Alternativen). Flüsse mit Kostenfunktion. 7/13. Walter Unger 14.11.2019 11:04. WS2019/20. Anpassung: Variable xl in Klausel ki ] [2..2. s. xl. a0. [2..2]. a1. [1..1]. al. [2..2]. [1..1] [2 ... [1..1]. [2..2]. d1. 2]. [2..2]. ] .2. 2]. . [2. e0. bl. c1 [2 ... d0. b2. xt. y. 2] .. [2. [2..2]. ] [2..2. [1..1]. c0. b1. [2..2]. [2..2 ]. [1..1]. [1..1] x. ki. a2. [2..2 ]. b0. xn. [2..2]. [2..2]. e1. kj. t.
(120) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:16. Mit Alternativen. Spezielle Flüsse (Alternativen). Flüsse mit Kostenfunktion. 8/13. Walter Unger 14.11.2019 11:04. WS2019/20. Anpassung: Variable xl in Klausel ki ] [2..2. s. xl. a0. [2..2]. a1. [1..1]. al. [2..2]. [1..1] [2 ... [1..1]. [2..2]. d1. 2]. [2..2]. ] .2. 2]. . [2. e0. bl. c1 [2 ... d0. b2. xt. y. 2] .. [2. [2..2]. ] [2..2. [1..1]. c0. b1. [2..2]. [2..2 ]. [1..1]. [1..1] x. ki. a2. [2..2 ]. b0. xn. [2..2]. [2..2]. e1. kj. t.
(121) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:16. Mit Alternativen. Spezielle Flüsse (Alternativen). Flüsse mit Kostenfunktion. 9/13. Walter Unger 14.11.2019 11:04. WS2019/20. Anpassung: Variable xl in Klausel ki ] [2..2. s. xl. a0. [2..2]. a1. [1..1]. al. [2..2]. [1..1] [2 ... [1..1]. [2..2]. d1. 2]. [2..2]. ] .2. 2]. . [2. e0. bl. c1 [2 ... d0. b2. xt. y. 2] .. [2. [2..2]. ] [2..2. [1..1]. c0. b1. [2..2]. [2..2 ]. [1..1]. [1..1] x. ki. a2. [2..2 ]. b0. xn. [2..2]. [2..2]. e1. kj. t.
(122) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:16. Mit Alternativen. Spezielle Flüsse (Alternativen). Flüsse mit Kostenfunktion. 10/13. Walter Unger 14.11.2019 11:04. WS2019/20. Anpassung: Variable xl in Klausel ki ] [2..2. s. xl. a0. [2..2]. a1. [1..1]. al. [2..2]. [1..1] [2 ... [1..1]. [2..2]. d1. 2]. [2..2]. ] .2. 2]. . [2. e0. bl. c1 [2 ... d0. b2. xt. y. 2] .. [2. [2..2]. ] [2..2. [1..1]. c0. b1. [2..2]. [2..2 ]. [1..1]. [1..1] x. ki. a2. [2..2 ]. b0. xn. [2..2]. [2..2]. e1. kj. t.
(123) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:16. Mit Alternativen. Spezielle Flüsse (Alternativen). Flüsse mit Kostenfunktion. 11/13. Walter Unger 14.11.2019 11:04. WS2019/20. Anpassung: Variable xl in Klausel ki ] [2..2. s. xl. a0. [2..2]. a1. [1..1]. al. [2..2]. [1..1] [2 ... [1..1]. [2..2]. d1. 2]. [2..2]. ] .2. 2]. . [2. e0. bl. c1 [2 ... d0. b2. xt. y. 2] .. [2. [2..2]. ] [2..2. [1..1]. c0. b1. [2..2]. [2..2 ]. [1..1]. [1..1] x. ki. a2. [2..2 ]. b0. xn. [2..2]. [2..2]. e1. kj. t.
(124) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:16. Mit Alternativen. Spezielle Flüsse (Alternativen). Flüsse mit Kostenfunktion. 12/13. Walter Unger 14.11.2019 11:04. WS2019/20. Anpassung: Variable xl in Klausel ki ] [2..2. s. xl. a0. [2..2]. a1. [1..1]. al. [2..2]. [1..1] [2 ... [1..1]. [2..2]. d1. 2]. [2..2]. ] .2. 2]. . [2. e0. bl. c1 [2 ... d0. b2. xt. y. 2] .. [2. [2..2]. ] [2..2. [1..1]. c0. b1. [2..2]. [2..2 ]. [1..1]. [1..1] x. ki. a2. [2..2 ]. b0. xn. [2..2]. [2..2]. e1. kj. t.
(125) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:16. Mit Alternativen. Spezielle Flüsse (Alternativen). Flüsse mit Kostenfunktion. 13/13. Walter Unger 14.11.2019 11:04. WS2019/20. Anpassung: Variable xl in Klausel ki ] [2..2. s. xl. a0. [2..2]. a1. [1..1]. al. [2..2]. [1..1] [2 ... [1..1]. [2..2]. d1. 2]. [2..2]. ] .2. 2]. . [2. e0. bl. c1 [2 ... d0. b2. xt. y. 2] .. [2. [2..2]. ] [2..2. [1..1]. c0. b1. [2..2]. [2..2 ]. [1..1]. [1..1] x. ki. a2. [2..2 ]. b0. xn. [2..2]. [2..2]. e1. kj. t.
(126) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:17. Mit Alternativen. Spezielle Flüsse (Alternativen). Flüsse mit Kostenfunktion. 1/5. Walter Unger 14.11.2019 11:04. WS2019/20. Alternative Anpassung: Variable xl in Klausel ki ] [2..2. s. xl. a0. [2..2]. a1. [2..2]. a2. al. [2..2 ]. b0. [1..1]. b1. [2..2]. [2..2 ] ] [2..2. b2. xt. bl. [1 ... 1]. 1]. .. [1. c0. [1..1]. c1 [2 ... 2] .. [2. xn. ki. [2..2] [2 ... d0. [2..2]. d1. 2]. [2..2]. ] .2. 2]. . [2. e0. [2..2]. e1. kj. t.
(127) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:17. Mit Alternativen. Spezielle Flüsse (Alternativen). Flüsse mit Kostenfunktion. 2/5. Walter Unger 14.11.2019 11:04. WS2019/20. Alternative Anpassung: Variable xl in Klausel ki ] [2..2. s. xl. a0. [2..2]. a1. [2..2]. a2. al. [2..2 ]. b0. [1..1]. b1. [2..2]. [2..2 ] ] [2..2. b2. xt. bl. [1 ... 1]. 1]. .. [1. c0. [1..1]. c1 [2 ... 2] .. [2. xn. ki. [2..2] [2 ... d0. [2..2]. d1. 2]. [2..2]. ] .2. 2]. . [2. e0. [2..2]. e1. kj. t.
(128) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:17. Mit Alternativen. Spezielle Flüsse (Alternativen). Flüsse mit Kostenfunktion. 3/5. Walter Unger 14.11.2019 11:04. WS2019/20. Alternative Anpassung: Variable xl in Klausel ki ] [2..2. s. xl. a0. [2..2]. a1. [2..2]. a2. al. [2..2 ]. b0. [1..1]. b1. [2..2]. [2..2 ] ] [2..2. b2. xt. bl. [1 ... 1]. 1]. .. [1. c0. [1..1]. c1 [2 ... 2] .. [2. xn. ki. [2..2] [2 ... d0. [2..2]. d1. 2]. [2..2]. ] .2. 2]. . [2. e0. [2..2]. e1. kj. t.
(129) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:17. Mit Alternativen. Spezielle Flüsse (Alternativen). Flüsse mit Kostenfunktion. 4/5. Walter Unger 14.11.2019 11:04. WS2019/20. Alternative Anpassung: Variable xl in Klausel ki ] [2..2. s. xl. a0. [2..2]. a1. [2..2]. a2. al. [2..2 ]. b0. [1..1]. b1. [2..2]. [2..2 ] ] [2..2. b2. xt. bl. [1 ... 1]. 1]. .. [1. c0. [1..1]. c1 [2 ... 2] .. [2. xn. ki. [2..2] [2 ... d0. [2..2]. d1. 2]. [2..2]. ] .2. 2]. . [2. e0. [2..2]. e1. kj. t.
(130) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:17. Mit Alternativen. Spezielle Flüsse (Alternativen). Flüsse mit Kostenfunktion. 5/5. Walter Unger 14.11.2019 11:04. WS2019/20. Alternative Anpassung: Variable xl in Klausel ki ] [2..2. s. xl. a0. [2..2]. a1. [2..2]. a2. al. [2..2 ]. b0. [1..1]. b1. [2..2]. [2..2 ] ] [2..2. b2. xt. bl. [1 ... 1]. 1]. .. [1. c0. [1..1]. c1 [2 ... 2] .. [2. xn. ki. [2..2] [2 ... d0. [2..2]. d1. 2]. [2..2]. ] .2. 2]. . [2. e0. [2..2]. e1. kj. t.
(131) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:18. Mit Alternativen. 1/10. Spezielle Flüsse (Alternativen). Flüsse mit Kostenfunktion Walter Unger 14.11.2019 11:04. Konstruktion 1. Für jede Variable konstruiere einen Baustein, wie oben.. WS2019/20.
(132) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:18. Mit Alternativen. 2/10. Spezielle Flüsse (Alternativen). Flüsse mit Kostenfunktion Walter Unger 14.11.2019 11:04. Konstruktion 1. Für jede Variable konstruiere einen Baustein, wie oben. Der obere Zweig entspricht der Variablen selber.. WS2019/20.
(133) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:18. Mit Alternativen. 3/10. Spezielle Flüsse (Alternativen). Flüsse mit Kostenfunktion Walter Unger 14.11.2019 11:04. Konstruktion 1. Für jede Variable konstruiere einen Baustein, wie oben. Der obere Zweig entspricht der Variablen selber. Der untere Zweig entspricht der negierten Variablen.. WS2019/20.
(134) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:18. Mit Alternativen. 4/10. Spezielle Flüsse (Alternativen). Flüsse mit Kostenfunktion Walter Unger 14.11.2019 11:04. Konstruktion 1. Für jede Variable konstruiere einen Baustein, wie oben. Der obere Zweig entspricht der Variablen selber. Der untere Zweig entspricht der negierten Variablen.. 2. Für jede Klausel konstruiere einen Baustein, wie oben.. WS2019/20.
(135) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:18. Mit Alternativen. 5/10. Spezielle Flüsse (Alternativen). Flüsse mit Kostenfunktion Walter Unger 14.11.2019 11:04. Konstruktion 1. Für jede Variable konstruiere einen Baustein, wie oben. Der obere Zweig entspricht der Variablen selber. Der untere Zweig entspricht der negierten Variablen.. 2. Für jede Klausel konstruiere einen Baustein, wie oben. Der erste Zweig entspricht dem ersten Literal in der Klausel.. WS2019/20.
(136) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:18. Mit Alternativen. 6/10. Spezielle Flüsse (Alternativen). Flüsse mit Kostenfunktion Walter Unger 14.11.2019 11:04. Konstruktion 1. Für jede Variable konstruiere einen Baustein, wie oben. Der obere Zweig entspricht der Variablen selber. Der untere Zweig entspricht der negierten Variablen.. 2. Für jede Klausel konstruiere einen Baustein, wie oben. Der erste Zweig entspricht dem ersten Literal in der Klausel. Die weiteren Zweige dem zweiten und dem dritten Literal in der Klausel.. WS2019/20.
(137) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:18. Mit Alternativen. 7/10. Spezielle Flüsse (Alternativen). Flüsse mit Kostenfunktion Walter Unger 14.11.2019 11:04. Konstruktion 1. Für jede Variable konstruiere einen Baustein, wie oben. Der obere Zweig entspricht der Variablen selber. Der untere Zweig entspricht der negierten Variablen.. 2. Für jede Klausel konstruiere einen Baustein, wie oben. Der erste Zweig entspricht dem ersten Literal in der Klausel. Die weiteren Zweige dem zweiten und dem dritten Literal in der Klausel.. 3. Hänge alle Bausteine für die Variablen und Klauseln hintereinander.. WS2019/20.
(138) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:18. Mit Alternativen. 8/10. Spezielle Flüsse (Alternativen). Flüsse mit Kostenfunktion Walter Unger 14.11.2019 11:04. Konstruktion 1. Für jede Variable konstruiere einen Baustein, wie oben. Der obere Zweig entspricht der Variablen selber. Der untere Zweig entspricht der negierten Variablen.. 2. Für jede Klausel konstruiere einen Baustein, wie oben. Der erste Zweig entspricht dem ersten Literal in der Klausel. Die weiteren Zweige dem zweiten und dem dritten Literal in der Klausel.. 3. Hänge alle Bausteine für die Variablen und Klauseln hintereinander.. 4. Für jedes Auftreten eines Literals in einer Klausel mache die obige Anpassung.. WS2019/20.
(139) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:18. Mit Alternativen. 9/10. Spezielle Flüsse (Alternativen). Flüsse mit Kostenfunktion Walter Unger 14.11.2019 11:04. Konstruktion 1. Für jede Variable konstruiere einen Baustein, wie oben. Der obere Zweig entspricht der Variablen selber. Der untere Zweig entspricht der negierten Variablen.. 2. Für jede Klausel konstruiere einen Baustein, wie oben. Der erste Zweig entspricht dem ersten Literal in der Klausel. Die weiteren Zweige dem zweiten und dem dritten Literal in der Klausel.. 3. Hänge alle Bausteine für die Variablen und Klauseln hintereinander.. 4. Für jedes Auftreten eines Literals in einer Klausel mache die obige Anpassung. Falls es eine Belegung der Variablen gibt, die die Formel erfüllt, dann:. 5. WS2019/20.
(140) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:18. Mit Alternativen. 10/10. Spezielle Flüsse (Alternativen). Flüsse mit Kostenfunktion Walter Unger 14.11.2019 11:04. Konstruktion 1. Für jede Variable konstruiere einen Baustein, wie oben. Der obere Zweig entspricht der Variablen selber. Der untere Zweig entspricht der negierten Variablen.. 2. Für jede Klausel konstruiere einen Baustein, wie oben. Der erste Zweig entspricht dem ersten Literal in der Klausel. Die weiteren Zweige dem zweiten und dem dritten Literal in der Klausel.. 3. Hänge alle Bausteine für die Variablen und Klauseln hintereinander.. 4. Für jedes Auftreten eines Literals in einer Klausel mache die obige Anpassung. Falls es eine Belegung der Variablen gibt, die die Formel erfüllt, dann:. 5. geht ein Fluss von 2 durch jeweils den Zweig, der der Belegung der Variablen entspricht.. WS2019/20.
(141) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:19. Einleitung. 1/5. Spezielle Flüsse (Alternativen). Flüsse mit Kostenfunktion Walter Unger 14.11.2019 11:04. Motivation Benutzung der Kanten (Transportwege) im allgemeinen nicht umsonst.. WS2019/20.
(142) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:19. Einleitung. Spezielle Flüsse (Alternativen). 2/5. Flüsse mit Kostenfunktion Walter Unger 14.11.2019 11:04. Motivation Benutzung der Kanten (Transportwege) im allgemeinen nicht umsonst. Daher sollten wir die Kosten minimieren.. WS2019/20.
(143) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:19. Einleitung. Spezielle Flüsse (Alternativen). 3/5. Flüsse mit Kostenfunktion Walter Unger 14.11.2019 11:04. Motivation Benutzung der Kanten (Transportwege) im allgemeinen nicht umsonst. Daher sollten wir die Kosten minimieren. Kosten sind minimal, wenn der Fluss Null ist.. WS2019/20.
(144) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:19. Einleitung. Spezielle Flüsse (Alternativen). 4/5. Flüsse mit Kostenfunktion Walter Unger 14.11.2019 11:04. Motivation Benutzung der Kanten (Transportwege) im allgemeinen nicht umsonst. Daher sollten wir die Kosten minimieren. Kosten sind minimal, wenn der Fluss Null ist. Daher suchen wir:. Kostenminimalen Fluss mit Wert W .. WS2019/20.
(145) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:19. Einleitung. Spezielle Flüsse (Alternativen). 5/5. Flüsse mit Kostenfunktion Walter Unger 14.11.2019 11:04. Motivation Benutzung der Kanten (Transportwege) im allgemeinen nicht umsonst. Daher sollten wir die Kosten minimieren. Kosten sind minimal, wenn der Fluss Null ist. Daher suchen wir:. Kostenminimalen Fluss mit Wert W . Wichtig: G sollte keine Kreise mit negativen Kosten (Gewichtssumme) enthalten.. WS2019/20.
(146) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:20. Einleitung. Spezielle Flüsse (Alternativen). 1/10. Das Flussproblem mit Kosten Definition (Min-Cost-Flow-Problem). Flüsse mit Kostenfunktion Walter Unger 14.11.2019 11:04. WS2019/20.
(147) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:20. Einleitung. Spezielle Flüsse (Alternativen). 2/10. Das Flussproblem mit Kosten Definition (Min-Cost-Flow-Problem) Eingabe: G = (V , E , s, t, c, l), W mit:. Flüsse mit Kostenfunktion Walter Unger 14.11.2019 11:04. WS2019/20.
(148) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:20. Einleitung. Spezielle Flüsse (Alternativen). 3/10. Flüsse mit Kostenfunktion Walter Unger 14.11.2019 11:04. Das Flussproblem mit Kosten Definition (Min-Cost-Flow-Problem) Eingabe: G = (V , E , s, t, c, l), W mit: (V , E ) ist ein gerichteter Graph (n = |V |, m = |E |). WS2019/20.
(149) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:20. Einleitung. Spezielle Flüsse (Alternativen). 4/10. Flüsse mit Kostenfunktion Walter Unger 14.11.2019 11:04. Das Flussproblem mit Kosten Definition (Min-Cost-Flow-Problem) Eingabe: G = (V , E , s, t, c, l), W mit: (V , E ) ist ein gerichteter Graph (n = |V |, m = |E |) s, t ∈ V mit s 6= t. WS2019/20.
(150) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:20. Einleitung. Spezielle Flüsse (Alternativen). 5/10. Flüsse mit Kostenfunktion Walter Unger 14.11.2019 11:04. Das Flussproblem mit Kosten Definition (Min-Cost-Flow-Problem) Eingabe: G = (V , E , s, t, c, l), W mit: (V , E ) ist ein gerichteter Graph (n = |V |, m = |E |) s, t ∈ V mit s 6= t c : E 7→ N+. WS2019/20.
(151) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:20. Einleitung. Spezielle Flüsse (Alternativen). 6/10. Flüsse mit Kostenfunktion Walter Unger 14.11.2019 11:04. Das Flussproblem mit Kosten Definition (Min-Cost-Flow-Problem) Eingabe: G = (V , E , s, t, c, l), W mit: (V , E ) ist ein gerichteter Graph (n = |V |, m = |E |) s, t ∈ V mit s 6= t c : E 7→ N+ l : E 7→ Z und W ∈ N. WS2019/20.
(152) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:20. Einleitung. Spezielle Flüsse (Alternativen). 7/10. Flüsse mit Kostenfunktion Walter Unger 14.11.2019 11:04. Das Flussproblem mit Kosten Definition (Min-Cost-Flow-Problem) Eingabe: G = (V , E , s, t, c, l), W mit: (V , E ) ist ein gerichteter Graph (n = |V |, m = |E |) s, t ∈ V mit s 6= t c : E 7→ N+ l : E 7→ Z und W ∈ N Ausgabe: f : E 7→ R+ 0 mit:. WS2019/20.
(153) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:20. Einleitung. Spezielle Flüsse (Alternativen). 8/10. Flüsse mit Kostenfunktion Walter Unger 14.11.2019 11:04. Das Flussproblem mit Kosten Definition (Min-Cost-Flow-Problem) Eingabe: G = (V , E , s, t, c, l), W mit: (V , E ) ist ein gerichteter Graph (n = |V |, m = |E |) s, t ∈ V mit s 6= t c : E 7→ N+ l : E 7→ Z und W ∈ N Ausgabe: f : E → 7 R+ 0 mit: ∀e : f (e) 6 c(e).. WS2019/20.
(154) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:20. Einleitung. Spezielle Flüsse (Alternativen). 9/10. Flüsse mit Kostenfunktion Walter Unger 14.11.2019 11:04. WS2019/20. Das Flussproblem mit Kosten Definition (Min-Cost-Flow-Problem) Eingabe: G = (V , E , s, t, c, l), W mit: (V , E ) ist ein gerichteter Graph (n = |V |, m = |E |) s, t ∈ V mit s 6= t c : E 7→ N+ l : E 7→ Z und W ∈ N Ausgabe: f : E → 7 R+ 0 mit: ∀e : f (e) 6 c(e). P P ∀v ∈ V \ {s, t} : (a,v )∈E f ((a, v )) = (v ,a)∈E f ((v , a)).
(155) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:20. Einleitung. Spezielle Flüsse (Alternativen). 10/10. Flüsse mit Kostenfunktion Walter Unger 14.11.2019 11:04. WS2019/20. Das Flussproblem mit Kosten Definition (Min-Cost-Flow-Problem) Eingabe: G = (V , E , s, t, c, l), W mit: (V , E ) ist ein gerichteter Graph (n = |V |, m = |E |) s, t ∈ V mit s 6= t c : E 7→ N+ l : E 7→ Z und W ∈ N Ausgabe: f : E → 7 R+ 0 mit: ∀e : f (e) 6 c(e). P P ∀v ∈ V \ {s, t} : (a,v )∈E f ((a, v )) = (v ,a)∈E f ((v , a)) Ziel: Bestimme Fluss f P w (f ) = W und minimalen l(f ) = e∈E f (e) · l(e). D.h. l(f ) = min{l(g ) | g ist Fluss mit w (g ) = W }..
(156) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:21. Einleitung. 1/9. Spezielle Flüsse (Alternativen). Flüsse mit Kostenfunktion Walter Unger 14.11.2019 11:04. Beobachtungen Falls W = 1, so entspricht das dem kürzesten Wege Problem.. WS2019/20.
(157) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:21. Einleitung. 2/9. Spezielle Flüsse (Alternativen). Flüsse mit Kostenfunktion Walter Unger 14.11.2019 11:04. WS2019/20. Beobachtungen Falls W = 1, so entspricht das dem kürzesten Wege Problem. Falls l(e) = 0 für alle e ∈ E , dann können die obigen Algorithmen leicht zur Lösung des Problems adaptiert werden:.
(158) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:21. Einleitung. Spezielle Flüsse (Alternativen). 3/9. Flüsse mit Kostenfunktion Walter Unger 14.11.2019 11:04. WS2019/20. Beobachtungen Falls W = 1, so entspricht das dem kürzesten Wege Problem. Falls l(e) = 0 für alle e ∈ E , dann können die obigen Algorithmen leicht zur Lösung des Problems adaptiert werden: 1. Falls erstmalig w (f ) > W gilt, dann breche ab..
(159) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:21. Einleitung. Spezielle Flüsse (Alternativen). 4/9. Flüsse mit Kostenfunktion Walter Unger 14.11.2019 11:04. WS2019/20. Beobachtungen Falls W = 1, so entspricht das dem kürzesten Wege Problem. Falls l(e) = 0 für alle e ∈ E , dann können die obigen Algorithmen leicht zur Lösung des Problems adaptiert werden: 1 2. Falls erstmalig w (f ) > W gilt, dann breche ab. Sei p der Wert der letzten Erweiterung..
(160) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:21. Einleitung. 5/9. Spezielle Flüsse (Alternativen). Flüsse mit Kostenfunktion Walter Unger 14.11.2019 11:04. WS2019/20. Beobachtungen Falls W = 1, so entspricht das dem kürzesten Wege Problem. Falls l(e) = 0 für alle e ∈ E , dann können die obigen Algorithmen leicht zur Lösung des Problems adaptiert werden: 1 2 3. Falls erstmalig w (f ) > W gilt, dann breche ab. Sei p der Wert der letzten Erweiterung. Ersetze den letzten Fluss durch eine Fluss mit dem Wert p − (w (f ) − W )..
(161) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:21. Einleitung. 6/9. Spezielle Flüsse (Alternativen). Flüsse mit Kostenfunktion Walter Unger 14.11.2019 11:04. WS2019/20. Beobachtungen Falls W = 1, so entspricht das dem kürzesten Wege Problem. Falls l(e) = 0 für alle e ∈ E , dann können die obigen Algorithmen leicht zur Lösung des Problems adaptiert werden: 1 2 3. Falls erstmalig w (f ) > W gilt, dann breche ab. Sei p der Wert der letzten Erweiterung. Ersetze den letzten Fluss durch eine Fluss mit dem Wert p − (w (f ) − W ).. Alternativ kann auch wie folgt vorgegangen werden:.
(162) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:21. Einleitung. Spezielle Flüsse (Alternativen). 7/9. Flüsse mit Kostenfunktion Walter Unger 14.11.2019 11:04. WS2019/20. Beobachtungen Falls W = 1, so entspricht das dem kürzesten Wege Problem. Falls l(e) = 0 für alle e ∈ E , dann können die obigen Algorithmen leicht zur Lösung des Problems adaptiert werden: 1 2 3. Falls erstmalig w (f ) > W gilt, dann breche ab. Sei p der Wert der letzten Erweiterung. Ersetze den letzten Fluss durch eine Fluss mit dem Wert p − (w (f ) − W ).. Alternativ kann auch wie folgt vorgegangen werden: 1. Erzeuge neue Quelle s 0 ..
(163) Spezielle Flüsse (Mindestfluss) 2:21. Einleitung. Spezielle Flüsse (Alternativen). 8/9. Flüsse mit Kostenfunktion Walter Unger 14.11.2019 11:04. WS2019/20. Beobachtungen Falls W = 1, so entspricht das dem kürzesten Wege Problem. Falls l(e) = 0 für alle e ∈ E , dann können die obigen Algorithmen leicht zur Lösung des Problems adaptiert werden: 1 2 3. Falls erstmalig w (f ) > W gilt, dann breche ab. Sei p der Wert der letzten Erweiterung. Ersetze den letzten Fluss durch eine Fluss mit dem Wert p − (w (f ) − W ).. Alternativ kann auch wie folgt vorgegangen werden: 1 2. Erzeuge neue Quelle s 0 . Füge Kante e 0 = (s 0 , s) mit c(e 0 ) = W hinzu..
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