Effiziente Algorithmen (SS2015) Kapitel 3 Matchings Walter Unger
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(2) Einleitung 3. mit Flüssen. Altern. Pfade. Inhaltsverzeichnis. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. <. Blüten. > Walter Unger 15.7.2015 10:58. Inhalt I 1. Einleitung Definitionen maximales Matching. 2. mit Flüssen Idee Transformation. 3. Alternierende Pfade Idee Aussagen Algorithmus. 4. verbesserte Laufzeit Idee Aussagen Algorithmus. Z. Zwei Anwendungen. Beispiel. 5. mit Kosten Einleitung Erster Algorithmus Zweiter Algorithmus. 6. Blüten Probleme bei ungeraden Kreisen Algorithmus Ergebnisse. 7. Zwei Anwendungen Definitionen Aussagen Vorgehen Stabile Paarungen. SS2015.
(3) Einleitung 3. mit Flüssen. Altern. Pfade. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. <. Inhaltsverzeichnis. Blüten. Z. Zwei Anwendungen. > Walter Unger 15.7.2015 10:58. Motivation und Anwendungen. SS2015. vielfältige Zuordnungsprobleme: Kunden auf Kundenberater Anrufe im Callcenter auf Servicemitarbeiter Heiratsvermittlung Jobs auf Maschinen Schwarzgeld auf Konten Grundsätzliche Probleme: Bestimme größtes Matching. Bestimme nicht erweiterbares Matching. Bestimme größtes Matching mit Kantengewichten. Bestimme günstigstes Matching (d.h. Kosten auf den Kanten) unter allen maximum Matchings. Im Folgenden: G = (V , E ) zusammenhängend, ∣V ∣ = n, ∣E ∣ = m Im Folgenden: G = (V , W , E ) bipartit und zusammenhängend, ∣V ∪ W ∣ = n, ∣E ∣ = m.
(4) Einleitung 3. mit Flüssen. Altern. Pfade. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. <. Inhaltsverzeichnis. Blüten. Z. Zwei Anwendungen. > Walter Unger 15.7.2015 10:58. Motivation und Anwendungen. SS2015. vielfältige Zuordnungsprobleme: Kunden auf Kundenberater Anrufe im Callcenter auf Servicemitarbeiter Heiratsvermittlung Jobs auf Maschinen Schwarzgeld auf Konten Grundsätzliche Probleme: Bestimme größtes Matching. Bestimme nicht erweiterbares Matching. Bestimme größtes Matching mit Kantengewichten. Bestimme günstigstes Matching (d.h. Kosten auf den Kanten) unter allen maximum Matchings. Im Folgenden: G = (V , E ) zusammenhängend, ∣V ∣ = n, ∣E ∣ = m Im Folgenden: G = (V , W , E ) bipartit und zusammenhängend, ∣V ∪ W ∣ = n, ∣E ∣ = m.
(5) Einleitung 3. mit Flüssen. Altern. Pfade. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. <. Inhaltsverzeichnis. Blüten. Z. Zwei Anwendungen. > Walter Unger 15.7.2015 10:58. Motivation und Anwendungen. SS2015. vielfältige Zuordnungsprobleme: Kunden auf Kundenberater Anrufe im Callcenter auf Servicemitarbeiter Heiratsvermittlung Jobs auf Maschinen Schwarzgeld auf Konten Grundsätzliche Probleme: Bestimme größtes Matching. Bestimme nicht erweiterbares Matching. Bestimme größtes Matching mit Kantengewichten. Bestimme günstigstes Matching (d.h. Kosten auf den Kanten) unter allen maximum Matchings. Im Folgenden: G = (V , E ) zusammenhängend, ∣V ∣ = n, ∣E ∣ = m Im Folgenden: G = (V , W , E ) bipartit und zusammenhängend, ∣V ∪ W ∣ = n, ∣E ∣ = m.
(6) Einleitung 3. mit Flüssen. Altern. Pfade. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. <. Inhaltsverzeichnis. Blüten. Z. Zwei Anwendungen. > Walter Unger 15.7.2015 10:58. Motivation und Anwendungen. SS2015. vielfältige Zuordnungsprobleme: Kunden auf Kundenberater Anrufe im Callcenter auf Servicemitarbeiter Heiratsvermittlung Jobs auf Maschinen Schwarzgeld auf Konten Grundsätzliche Probleme: Bestimme größtes Matching. Bestimme nicht erweiterbares Matching. Bestimme größtes Matching mit Kantengewichten. Bestimme günstigstes Matching (d.h. Kosten auf den Kanten) unter allen maximum Matchings. Im Folgenden: G = (V , E ) zusammenhängend, ∣V ∣ = n, ∣E ∣ = m Im Folgenden: G = (V , W , E ) bipartit und zusammenhängend, ∣V ∪ W ∣ = n, ∣E ∣ = m.
(7) Einleitung 3. mit Flüssen. Altern. Pfade. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. <. Inhaltsverzeichnis. Blüten. Z. Zwei Anwendungen. > Walter Unger 15.7.2015 10:58. Motivation und Anwendungen. SS2015. vielfältige Zuordnungsprobleme: Kunden auf Kundenberater Anrufe im Callcenter auf Servicemitarbeiter Heiratsvermittlung Jobs auf Maschinen Schwarzgeld auf Konten Grundsätzliche Probleme: Bestimme größtes Matching. Bestimme nicht erweiterbares Matching. Bestimme größtes Matching mit Kantengewichten. Bestimme günstigstes Matching (d.h. Kosten auf den Kanten) unter allen maximum Matchings. Im Folgenden: G = (V , E ) zusammenhängend, ∣V ∣ = n, ∣E ∣ = m Im Folgenden: G = (V , W , E ) bipartit und zusammenhängend, ∣V ∪ W ∣ = n, ∣E ∣ = m.
(8) Einleitung 3. mit Flüssen. Altern. Pfade. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. <. Inhaltsverzeichnis. Blüten. Z. Zwei Anwendungen. > Walter Unger 15.7.2015 10:58. Motivation und Anwendungen. SS2015. vielfältige Zuordnungsprobleme: Kunden auf Kundenberater Anrufe im Callcenter auf Servicemitarbeiter Heiratsvermittlung Jobs auf Maschinen Schwarzgeld auf Konten Grundsätzliche Probleme: Bestimme größtes Matching. Bestimme nicht erweiterbares Matching. Bestimme größtes Matching mit Kantengewichten. Bestimme günstigstes Matching (d.h. Kosten auf den Kanten) unter allen maximum Matchings. Im Folgenden: G = (V , E ) zusammenhängend, ∣V ∣ = n, ∣E ∣ = m Im Folgenden: G = (V , W , E ) bipartit und zusammenhängend, ∣V ∪ W ∣ = n, ∣E ∣ = m.
(9) Einleitung 3. mit Flüssen. Altern. Pfade. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. <. Inhaltsverzeichnis. Blüten. Z. Zwei Anwendungen. > Walter Unger 15.7.2015 10:58. Motivation und Anwendungen. SS2015. vielfältige Zuordnungsprobleme: Kunden auf Kundenberater Anrufe im Callcenter auf Servicemitarbeiter Heiratsvermittlung Jobs auf Maschinen Schwarzgeld auf Konten Grundsätzliche Probleme: Bestimme größtes Matching. Bestimme nicht erweiterbares Matching. Bestimme größtes Matching mit Kantengewichten. Bestimme günstigstes Matching (d.h. Kosten auf den Kanten) unter allen maximum Matchings. Im Folgenden: G = (V , E ) zusammenhängend, ∣V ∣ = n, ∣E ∣ = m Im Folgenden: G = (V , W , E ) bipartit und zusammenhängend, ∣V ∪ W ∣ = n, ∣E ∣ = m.
(10) Einleitung 3. mit Flüssen. Altern. Pfade. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. <. Inhaltsverzeichnis. Blüten. Z. Zwei Anwendungen. > Walter Unger 15.7.2015 10:58. Motivation und Anwendungen. SS2015. vielfältige Zuordnungsprobleme: Kunden auf Kundenberater Anrufe im Callcenter auf Servicemitarbeiter Heiratsvermittlung Jobs auf Maschinen Schwarzgeld auf Konten Grundsätzliche Probleme: Bestimme größtes Matching. Bestimme nicht erweiterbares Matching. Bestimme größtes Matching mit Kantengewichten. Bestimme günstigstes Matching (d.h. Kosten auf den Kanten) unter allen maximum Matchings. Im Folgenden: G = (V , E ) zusammenhängend, ∣V ∣ = n, ∣E ∣ = m Im Folgenden: G = (V , W , E ) bipartit und zusammenhängend, ∣V ∪ W ∣ = n, ∣E ∣ = m.
(11) Einleitung 3. mit Flüssen. Altern. Pfade. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. <. Inhaltsverzeichnis. Blüten. Z. Zwei Anwendungen. > Walter Unger 15.7.2015 10:58. Motivation und Anwendungen. SS2015. vielfältige Zuordnungsprobleme: Kunden auf Kundenberater Anrufe im Callcenter auf Servicemitarbeiter Heiratsvermittlung Jobs auf Maschinen Schwarzgeld auf Konten Grundsätzliche Probleme: Bestimme größtes Matching. Bestimme nicht erweiterbares Matching. Bestimme größtes Matching mit Kantengewichten. Bestimme günstigstes Matching (d.h. Kosten auf den Kanten) unter allen maximum Matchings. Im Folgenden: G = (V , E ) zusammenhängend, ∣V ∣ = n, ∣E ∣ = m Im Folgenden: G = (V , W , E ) bipartit und zusammenhängend, ∣V ∪ W ∣ = n, ∣E ∣ = m.
(12) Einleitung 3. mit Flüssen. Altern. Pfade. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. <. Inhaltsverzeichnis. Blüten. Z. Zwei Anwendungen. > Walter Unger 15.7.2015 10:58. Motivation und Anwendungen. SS2015. vielfältige Zuordnungsprobleme: Kunden auf Kundenberater Anrufe im Callcenter auf Servicemitarbeiter Heiratsvermittlung Jobs auf Maschinen Schwarzgeld auf Konten Grundsätzliche Probleme: Bestimme größtes Matching. Bestimme nicht erweiterbares Matching. Bestimme größtes Matching mit Kantengewichten. Bestimme günstigstes Matching (d.h. Kosten auf den Kanten) unter allen maximum Matchings. Im Folgenden: G = (V , E ) zusammenhängend, ∣V ∣ = n, ∣E ∣ = m Im Folgenden: G = (V , W , E ) bipartit und zusammenhängend, ∣V ∪ W ∣ = n, ∣E ∣ = m.
(13) Einleitung 3. mit Flüssen. Altern. Pfade. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. <. Inhaltsverzeichnis. Blüten. Z. Zwei Anwendungen. > Walter Unger 15.7.2015 10:58. Motivation und Anwendungen. SS2015. vielfältige Zuordnungsprobleme: Kunden auf Kundenberater Anrufe im Callcenter auf Servicemitarbeiter Heiratsvermittlung Jobs auf Maschinen Schwarzgeld auf Konten Grundsätzliche Probleme: Bestimme größtes Matching. Bestimme nicht erweiterbares Matching. Bestimme größtes Matching mit Kantengewichten. Bestimme günstigstes Matching (d.h. Kosten auf den Kanten) unter allen maximum Matchings. Im Folgenden: G = (V , E ) zusammenhängend, ∣V ∣ = n, ∣E ∣ = m Im Folgenden: G = (V , W , E ) bipartit und zusammenhängend, ∣V ∪ W ∣ = n, ∣E ∣ = m.
(14) Einleitung 3. mit Flüssen. Altern. Pfade. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. <. Inhaltsverzeichnis. Blüten. Z. Zwei Anwendungen. > Walter Unger 15.7.2015 10:58. Motivation und Anwendungen. SS2015. vielfältige Zuordnungsprobleme: Kunden auf Kundenberater Anrufe im Callcenter auf Servicemitarbeiter Heiratsvermittlung Jobs auf Maschinen Schwarzgeld auf Konten Grundsätzliche Probleme: Bestimme größtes Matching. Bestimme nicht erweiterbares Matching. Bestimme größtes Matching mit Kantengewichten. Bestimme günstigstes Matching (d.h. Kosten auf den Kanten) unter allen maximum Matchings. Im Folgenden: G = (V , E ) zusammenhängend, ∣V ∣ = n, ∣E ∣ = m Im Folgenden: G = (V , W , E ) bipartit und zusammenhängend, ∣V ∪ W ∣ = n, ∣E ∣ = m.
(15) Einleitung 3. mit Flüssen. Altern. Pfade. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. <. Inhaltsverzeichnis. Blüten. Z. Zwei Anwendungen. > Walter Unger 15.7.2015 10:58. Motivation und Anwendungen. SS2015. vielfältige Zuordnungsprobleme: Kunden auf Kundenberater Anrufe im Callcenter auf Servicemitarbeiter Heiratsvermittlung Jobs auf Maschinen Schwarzgeld auf Konten Grundsätzliche Probleme: Bestimme größtes Matching. Bestimme nicht erweiterbares Matching. Bestimme größtes Matching mit Kantengewichten. Bestimme günstigstes Matching (d.h. Kosten auf den Kanten) unter allen maximum Matchings. Im Folgenden: G = (V , E ) zusammenhängend, ∣V ∣ = n, ∣E ∣ = m Im Folgenden: G = (V , W , E ) bipartit und zusammenhängend, ∣V ∪ W ∣ = n, ∣E ∣ = m.
(16) Einleitung 3:2. mit Flüssen. Definitionen. Altern. Pfade. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. <. 1∕3. Blüten. Z. Zwei Anwendungen. > Walter Unger 15.7.2015 10:58. Definitionen. SS2015. δG (v ) = ∣NG (v )∣ NG (v ) = {w ∈ V (G) ∣ {v , w } ∈ E (G)}. Definition (Matching) Sei G = (V , E ) ungerichteter Graph. M ⊆ E heißt Matching: ∀e, f ∈ M ∶ e ∩ f = ∅ D.h. ∀v ∈ V ∶ δG ′ (v ) ≤ 1 mit G ′ = (V , M). Definition ((inklusions-)maximales Matching) Sei G = (V , E ) ungerichteter Graph. M ⊆ E heißt maximales Matching: ∀M ′ ∶ M ⊊ M ′ ⊂ E ∶ M ′ ist kein Matching. Definition (maximum Matching) Sei G = (V , E ) ungerichteter Graph. M ⊆ E heißt maximum Matching: ∀M ′ ⊂ E ∶ ∣M∣ < ∣M ′ ∣ ∶ M ′ ist kein Matching..
(17) Einleitung 3:2. mit Flüssen. Definitionen. Altern. Pfade. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. <. 2∕3. Blüten. Z. Zwei Anwendungen. > Walter Unger 15.7.2015 10:58. Definitionen. SS2015. δG (v ) = ∣NG (v )∣ NG (v ) = {w ∈ V (G) ∣ {v , w } ∈ E (G)}. Definition (Matching) Sei G = (V , E ) ungerichteter Graph. M ⊆ E heißt Matching: ∀e, f ∈ M ∶ e ∩ f = ∅ D.h. ∀v ∈ V ∶ δG ′ (v ) ≤ 1 mit G ′ = (V , M). Definition ((inklusions-)maximales Matching) Sei G = (V , E ) ungerichteter Graph. M ⊆ E heißt maximales Matching: ∀M ′ ∶ M ⊊ M ′ ⊂ E ∶ M ′ ist kein Matching. Definition (maximum Matching) Sei G = (V , E ) ungerichteter Graph. M ⊆ E heißt maximum Matching: ∀M ′ ⊂ E ∶ ∣M∣ < ∣M ′ ∣ ∶ M ′ ist kein Matching..
(18) Einleitung 3:2. mit Flüssen. Definitionen. Altern. Pfade. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. <. 3∕3. Blüten. Z. Zwei Anwendungen. > Walter Unger 15.7.2015 10:58. Definitionen. SS2015. δG (v ) = ∣NG (v )∣ NG (v ) = {w ∈ V (G) ∣ {v , w } ∈ E (G)}. Definition (Matching) Sei G = (V , E ) ungerichteter Graph. M ⊆ E heißt Matching: ∀e, f ∈ M ∶ e ∩ f = ∅ D.h. ∀v ∈ V ∶ δG ′ (v ) ≤ 1 mit G ′ = (V , M). Definition ((inklusions-)maximales Matching) Sei G = (V , E ) ungerichteter Graph. M ⊆ E heißt maximales Matching: ∀M ′ ∶ M ⊊ M ′ ⊂ E ∶ M ′ ist kein Matching. Definition (maximum Matching) Sei G = (V , E ) ungerichteter Graph. M ⊆ E heißt maximum Matching: ∀M ′ ⊂ E ∶ ∣M∣ < ∣M ′ ∣ ∶ M ′ ist kein Matching..
(19) Einleitung 3:3. mit Flüssen. Definitionen. Altern. Pfade. verbesserte Laufzeit. 1∕5. <. mit Kosten. Blüten. Z. Zwei Anwendungen. > Walter Unger 15.7.2015 10:58. Beispiel. SS2015. Betrachte Graph: {{a, b}} Matching. f. e. d. b. c. {{a, b}, {b, c}} kein Matching {{a, f }, {c, d}} maximales Matching {{a, f }, {b, c}, {e, d}} maximum Matching. a. Σ=0.
(20) Einleitung 3:3. mit Flüssen. Definitionen. Altern. Pfade. verbesserte Laufzeit. 2∕5. <. mit Kosten. Blüten. Z. Zwei Anwendungen. > Walter Unger 15.7.2015 10:58. Beispiel. SS2015. Betrachte Graph: {{a, b}} Matching. f. e. d. b. c. {{a, b}, {b, c}} kein Matching {{a, f }, {c, d}} maximales Matching {{a, f }, {b, c}, {e, d}} maximum Matching. a. Σ=0.
(21) Einleitung 3:3. mit Flüssen. Definitionen. Altern. Pfade. verbesserte Laufzeit. 3∕5. <. mit Kosten. Blüten. Z. Zwei Anwendungen. > Walter Unger 15.7.2015 10:58. Beispiel. SS2015. Betrachte Graph: {{a, b}} Matching. f. e. d. b. c. {{a, b}, {b, c}} kein Matching {{a, f }, {c, d}} maximales Matching {{a, f }, {b, c}, {e, d}} maximum Matching. a. Σ=0.
(22) Einleitung 3:3. mit Flüssen. Definitionen. Altern. Pfade. verbesserte Laufzeit. 4∕5. <. mit Kosten. Blüten. Z. Zwei Anwendungen. > Walter Unger 15.7.2015 10:58. Beispiel. SS2015. Betrachte Graph: {{a, b}} Matching. f. e. d. b. c. {{a, b}, {b, c}} kein Matching {{a, f }, {c, d}} maximales Matching {{a, f }, {b, c}, {e, d}} maximum Matching. a. Σ=0.
(23) Einleitung 3:3. mit Flüssen. Definitionen. Altern. Pfade. verbesserte Laufzeit. 5∕5. <. mit Kosten. Blüten. Z. Zwei Anwendungen. > Walter Unger 15.7.2015 10:58. Beispiel. SS2015. Betrachte Graph: {{a, b}} Matching. f. e. d. b. c. {{a, b}, {b, c}} kein Matching {{a, f }, {c, d}} maximales Matching {{a, f }, {b, c}, {e, d}} maximum Matching. a. Σ=0.
(24) Einleitung 3:4. mit Flüssen. Altern. Pfade. maximales Matching. verbesserte Laufzeit. 1∕7. mit Kosten. <. Blüten. > Walter Unger 15.7.2015 10:58. Algorithmus (maximales Matching) Idee: Greedy, d.h. solange es geht, wähle Kante für das Matching. 1. Gegeben G = (V , E ). 2. M=∅. 3. Solange E nicht leer, mache: 1 2 3. 4. Wähle e ∈ E . Setze M = M ∪ {e} Setze E = {e ′ ∈ E ∣ e ′ ∩ e = ∅}. Ausgabe: M.. Z. Zwei Anwendungen SS2015.
(25) Einleitung 3:4. mit Flüssen. Altern. Pfade. maximales Matching. verbesserte Laufzeit. 2∕7. mit Kosten. <. Blüten. > Walter Unger 15.7.2015 10:58. Algorithmus (maximales Matching) Idee: Greedy, d.h. solange es geht, wähle Kante für das Matching. 1. Gegeben G = (V , E ). 2. M=∅. 3. Solange E nicht leer, mache: 1 2 3. 4. Wähle e ∈ E . Setze M = M ∪ {e} Setze E = {e ′ ∈ E ∣ e ′ ∩ e = ∅}. Ausgabe: M.. Z. Zwei Anwendungen SS2015.
(26) Einleitung 3:4. mit Flüssen. Altern. Pfade. maximales Matching. verbesserte Laufzeit. 3∕7. mit Kosten. <. Blüten. > Walter Unger 15.7.2015 10:58. Algorithmus (maximales Matching) Idee: Greedy, d.h. solange es geht, wähle Kante für das Matching. 1. Gegeben G = (V , E ). 2. M=∅. 3. Solange E nicht leer, mache: 1 2 3. 4. Wähle e ∈ E . Setze M = M ∪ {e} Setze E = {e ′ ∈ E ∣ e ′ ∩ e = ∅}. Ausgabe: M.. Z. Zwei Anwendungen SS2015.
(27) Einleitung 3:4. mit Flüssen. Altern. Pfade. maximales Matching. verbesserte Laufzeit. 4∕7. mit Kosten. <. Blüten. > Walter Unger 15.7.2015 10:58. Algorithmus (maximales Matching) Idee: Greedy, d.h. solange es geht, wähle Kante für das Matching. 1. Gegeben G = (V , E ). 2. M=∅. 3. Solange E nicht leer, mache: 1 2 3. 4. Wähle e ∈ E . Setze M = M ∪ {e} Setze E = {e ′ ∈ E ∣ e ′ ∩ e = ∅}. Ausgabe: M.. Z. Zwei Anwendungen SS2015.
(28) Einleitung 3:4. mit Flüssen. Altern. Pfade. maximales Matching. verbesserte Laufzeit. 5∕7. mit Kosten. <. Blüten. > Walter Unger 15.7.2015 10:58. Algorithmus (maximales Matching) Idee: Greedy, d.h. solange es geht, wähle Kante für das Matching. 1. Gegeben G = (V , E ). 2. M=∅. 3. Solange E nicht leer, mache: 1 2 3. 4. Wähle e ∈ E . Setze M = M ∪ {e} Setze E = {e ′ ∈ E ∣ e ′ ∩ e = ∅}. Ausgabe: M.. Z. Zwei Anwendungen SS2015.
(29) Einleitung 3:4. mit Flüssen. Altern. Pfade. maximales Matching. verbesserte Laufzeit. 6∕7. mit Kosten. <. Blüten. > Walter Unger 15.7.2015 10:58. Algorithmus (maximales Matching) Idee: Greedy, d.h. solange es geht, wähle Kante für das Matching. 1. Gegeben G = (V , E ). 2. M=∅. 3. Solange E nicht leer, mache: 1 2 3. 4. Wähle e ∈ E . Setze M = M ∪ {e} Setze E = {e ′ ∈ E ∣ e ′ ∩ e = ∅}. Ausgabe: M.. Z. Zwei Anwendungen SS2015.
(30) Einleitung 3:4. mit Flüssen. Altern. Pfade. maximales Matching. verbesserte Laufzeit. 7∕7. mit Kosten. <. Blüten. > Walter Unger 15.7.2015 10:58. Algorithmus (maximales Matching) Idee: Greedy, d.h. solange es geht, wähle Kante für das Matching. 1. Gegeben G = (V , E ). 2. M=∅. 3. Solange E nicht leer, mache: 1 2 3. 4. Wähle e ∈ E . Setze M = M ∪ {e} Setze E = {e ′ ∈ E ∣ e ′ ∩ e = ∅}. Ausgabe: M.. Z. Zwei Anwendungen SS2015.
(31) Einleitung 3:5. mit Flüssen. maximales Matching. Altern. Pfade. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. <. 1∕6. Blüten. Z. Zwei Anwendungen. > Walter Unger 15.7.2015 10:58. SS2015. Beispiel Idee: Greedy Algorithmus: b1 b1. b2 b2. b3 b3. b4 b4. b5 b5. b6 b6. b7 b7. Σ=0 a1 a1. a2 a2. a3 a3. a4 a4. a5 a5. a6 a6. a7 a7.
(32) Einleitung 3:5. mit Flüssen. maximales Matching. Altern. Pfade. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. <. 2∕6. Blüten. Z. Zwei Anwendungen. > Walter Unger 15.7.2015 10:58. SS2015. Beispiel Idee: Greedy Algorithmus: b1 b1. b2 b2. b3 b3. b4 b4. b5 b5. b6 b6. b7 b7. Σ=0 a1 a1. a2 a2. a3 a3. a4 a4. a5 a5. a6 a6. a7 a7.
(33) Einleitung 3:5. mit Flüssen. maximales Matching. Altern. Pfade. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. <. 3∕6. Blüten. Z. Zwei Anwendungen. > Walter Unger 15.7.2015 10:58. SS2015. Beispiel Idee: Greedy Algorithmus: b1 b1. b2 b2. b3 b3. b4 b4. b5 b5. b6 b6. b7 b7. Σ=0 a1 a1. a2 a2. a3 a3. a4 a4. a5 a5. a6 a6. a7 a7.
(34) Einleitung 3:5. mit Flüssen. maximales Matching. Altern. Pfade. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. <. 4∕6. Blüten. Z. Zwei Anwendungen. > Walter Unger 15.7.2015 10:58. SS2015. Beispiel Idee: Greedy Algorithmus: b1 b1. b2 b2. b3 b3. b4 b4. b5 b5. b6 b6. b7 b7. Σ=0 a1 a1. a2 a2. a3 a3. a4 a4. a5 a5. a6 a6. a7 a7.
(35) Einleitung 3:5. mit Flüssen. maximales Matching. Altern. Pfade. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. <. 5∕6. Blüten. Z. Zwei Anwendungen. > Walter Unger 15.7.2015 10:58. SS2015. Beispiel Idee: Greedy Algorithmus: b1 b1. b2 b2. b3 b3. b4 b4. b5 b5. b6 b6. b7 b7. Σ=0 a1 a1. a2 a2. a3 a3. a4 a4. a5 a5. a6 a6. a7 a7.
(36) Einleitung 3:5. mit Flüssen. maximales Matching. Altern. Pfade. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. <. 6∕6. Blüten. Z. Zwei Anwendungen. > Walter Unger 15.7.2015 10:58. SS2015. Beispiel Idee: Greedy Algorithmus: b1 b1. b2 b2. b3 b3. b4 b4. b5 b5. b6 b6. b7 b7. Σ=0 a1 a1. a2 a2. a3 a3. a4 a4. a5 a5. a6 a6. a7 a7.
(37) Einleitung 3:6. mit Flüssen. maximales Matching. Altern. Pfade 1∕2. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. <. Blüten. > Walter Unger 15.7.2015 10:58. Probleme. Z. Zwei Anwendungen SS2015. Definition (Bipartites Matchingproblem) Gegeben: G = (V , W , E ) bipartiter Graph. Gesucht: Maximum Matching auf G. Definition (Bipartites kostenminimales Matchingproblem) Gegeben: G = (V , W , E ) bipartiter Graph und Kostenfunktion l ∶ E ↦ N. Gesucht: Kostenminimales maximum Matching auf G..
(38) Einleitung 3:6. mit Flüssen. maximales Matching. Altern. Pfade 2∕2. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. <. Blüten. > Walter Unger 15.7.2015 10:58. Probleme. Z. Zwei Anwendungen SS2015. Definition (Bipartites Matchingproblem) Gegeben: G = (V , W , E ) bipartiter Graph. Gesucht: Maximum Matching auf G. Definition (Bipartites kostenminimales Matchingproblem) Gegeben: G = (V , W , E ) bipartiter Graph und Kostenfunktion l ∶ E ↦ N. Gesucht: Kostenminimales maximum Matching auf G..
(39) Einleitung. mit Flüssen. 3:7. 1∕7. Idee. Altern. Pfade. verbesserte Laufzeit <. mit Kosten. Blüten. Z. Zwei Anwendungen. > Walter Unger 15.7.2015 10:58. Idee (bipartites Matching und Flüsse) Matching von V nach W entspricht “Transport”. Jeder Knoten kann eine Einheit transportieren. Jede Matchingkante kann eine Einheit transportieren. Modelliere das durch Fluss, erweitere Graph: Füge Quelle s ein und verbinde s zu jedem Knoten aus V . Füge Senke t ein und verbinde jeden Knoten aus W zu t. Diese neuen Kanten können eine Einheit transportieren.. SS2015.
(40) Einleitung. mit Flüssen. 3:7. 2∕7. Idee. Altern. Pfade. verbesserte Laufzeit <. mit Kosten. Blüten. Z. Zwei Anwendungen. > Walter Unger 15.7.2015 10:58. Idee (bipartites Matching und Flüsse) Matching von V nach W entspricht “Transport”. Jeder Knoten kann eine Einheit transportieren. Jede Matchingkante kann eine Einheit transportieren. Modelliere das durch Fluss, erweitere Graph: Füge Quelle s ein und verbinde s zu jedem Knoten aus V . Füge Senke t ein und verbinde jeden Knoten aus W zu t. Diese neuen Kanten können eine Einheit transportieren.. SS2015.
(41) Einleitung. mit Flüssen. 3:7. 3∕7. Idee. Altern. Pfade. verbesserte Laufzeit <. mit Kosten. Blüten. Z. Zwei Anwendungen. > Walter Unger 15.7.2015 10:58. Idee (bipartites Matching und Flüsse) Matching von V nach W entspricht “Transport”. Jeder Knoten kann eine Einheit transportieren. Jede Matchingkante kann eine Einheit transportieren. Modelliere das durch Fluss, erweitere Graph: Füge Quelle s ein und verbinde s zu jedem Knoten aus V . Füge Senke t ein und verbinde jeden Knoten aus W zu t. Diese neuen Kanten können eine Einheit transportieren.. SS2015.
(42) Einleitung. mit Flüssen. 3:7. 4∕7. Idee. Altern. Pfade. verbesserte Laufzeit <. mit Kosten. Blüten. Z. Zwei Anwendungen. > Walter Unger 15.7.2015 10:58. Idee (bipartites Matching und Flüsse) Matching von V nach W entspricht “Transport”. Jeder Knoten kann eine Einheit transportieren. Jede Matchingkante kann eine Einheit transportieren. Modelliere das durch Fluss, erweitere Graph: Füge Quelle s ein und verbinde s zu jedem Knoten aus V . Füge Senke t ein und verbinde jeden Knoten aus W zu t. Diese neuen Kanten können eine Einheit transportieren.. SS2015.
(43) Einleitung. mit Flüssen. 3:7. 5∕7. Idee. Altern. Pfade. verbesserte Laufzeit <. mit Kosten. Blüten. Z. Zwei Anwendungen. > Walter Unger 15.7.2015 10:58. Idee (bipartites Matching und Flüsse) Matching von V nach W entspricht “Transport”. Jeder Knoten kann eine Einheit transportieren. Jede Matchingkante kann eine Einheit transportieren. Modelliere das durch Fluss, erweitere Graph: Füge Quelle s ein und verbinde s zu jedem Knoten aus V . Füge Senke t ein und verbinde jeden Knoten aus W zu t. Diese neuen Kanten können eine Einheit transportieren.. SS2015.
(44) Einleitung. mit Flüssen. 3:7. 6∕7. Idee. Altern. Pfade. verbesserte Laufzeit <. mit Kosten. Blüten. Z. Zwei Anwendungen. > Walter Unger 15.7.2015 10:58. Idee (bipartites Matching und Flüsse) Matching von V nach W entspricht “Transport”. Jeder Knoten kann eine Einheit transportieren. Jede Matchingkante kann eine Einheit transportieren. Modelliere das durch Fluss, erweitere Graph: Füge Quelle s ein und verbinde s zu jedem Knoten aus V . Füge Senke t ein und verbinde jeden Knoten aus W zu t. Diese neuen Kanten können eine Einheit transportieren.. SS2015.
(45) Einleitung. mit Flüssen. 3:7. 7∕7. Idee. Altern. Pfade. verbesserte Laufzeit <. mit Kosten. Blüten. Z. Zwei Anwendungen. > Walter Unger 15.7.2015 10:58. Idee (bipartites Matching und Flüsse) Matching von V nach W entspricht “Transport”. Jeder Knoten kann eine Einheit transportieren. Jede Matchingkante kann eine Einheit transportieren. Modelliere das durch Fluss, erweitere Graph: Füge Quelle s ein und verbinde s zu jedem Knoten aus V . Füge Senke t ein und verbinde jeden Knoten aus W zu t. Diese neuen Kanten können eine Einheit transportieren.. SS2015.
(46) Einleitung. mit Flüssen. 3:8. 1∕32. Idee. Altern. Pfade. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. <. Blüten. > Walter Unger 15.7.2015 10:58. Bipartites Matching und Flüsse. 0. 0. 0∕ 0∕ 11∕0 1∕ 0. 0∕ 0∕ 11∕0 1∕ 0. 0∕ 0∕ 11∕0 1∕ 0. 0∕ 0∕ 11∕0 1∕ 0. a5 a5 0. b7 b7 0 0∕1∕0 1 0∕1∕0 0 1∕ 0∕1 1∕0 0∕. a4 a4 0. b6 b6 0. 0 1∕ 0∕1 1∕0 0∕ 0∕1∕0 1 0∕1∕0. a3 a3 0. b5 b5 0. 0 1∕ 0∕1 1∕0 0∕. 0 1∕ 0∕1 1∕0 0∕. a2 a2 0. b4 b4 0. 0 1∕ 0∕1 1∕0 0∕ 0∕1∕0 1 0∕1∕0. 0 1∕ 0∕1 1∕0 0∕ 0∕1∕0 1 0∕1∕0 Σ=0 a1 a1 0. b3 b3 0. 0∕ 0∕ 11∕0 1∕ 0. b2 b2 0. 0∕ 0∕ 11∕0 1∕ 0. b1 b1 0. a6 a6 0. Z. Zwei Anwendungen. a7 a7 0. SS2015.
(47) Einleitung. mit Flüssen. 3:8. 2∕32. Idee. Altern. Pfade. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. <. Blüten. > Walter Unger 15.7.2015 10:58. Bipartites Matching und Flüsse s 0. 0∕ 0∕ 11∕0 1∕ 0. 0∕ 0∕ 11∕0 1∕ 0. 0∕ 0∕ 11∕0 1∕ 0. 0∕ 0∕ 11∕0 1∕ 0 0. a5 a5 0. b7 b7 0 0∕1∕0 1 0∕1∕0 0 1∕ 0∕1 1∕0 0∕. a4 a4 0. b6 b6 0. 0 1∕ 0∕1 1∕0 0∕ 0∕1∕0 1 0∕1∕0. a3 a3 0. b5 b5 0. 0 1∕ 0∕1 1∕0 0∕. 0 1∕ 0∕1 1∕0 0∕. a2 a2 0. b4 b4 0. 0 1∕ 0∕1 1∕0 0∕ 0∕1∕0 1 0∕1∕0. 0 1∕ 0∕1 1∕0 0∕ 0∕1∕0 1 0∕1∕0 Σ=0 a1 a1 0. b3 b3 0. 0∕ 0∕ 11∕0 1∕ 0. 0∕ 0∕ 11∕ 1∕ 0 0. b2 b2 0. 0∕ 0∕ 11∕0 1∕ 0. b1 b1 0. 0∕1 0∕ 0∕ 1∕00 11∕0 1∕ ∕1∕ 0 0. 0 1∕ 0 0∕1 1∕ 0∕ 0∕1∕0 1 0∕1∕0. 1∕0 1∕0 0∕1 ∕00∕1 ∕0 1 0∕1 0∕. a6 a6 0. Z. Zwei Anwendungen. a7 a7 0. SS2015.
(48) Einleitung. mit Flüssen. 3:8. 3∕32. Idee. Altern. Pfade. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. <. Blüten. > Walter Unger 15.7.2015 10:58. Bipartites Matching und Flüsse s 0. 0∕ 0∕ 11∕0 1∕ 0. 0∕ 0∕ 11∕0 1∕ 0 t 0. a5 a5 0. 0 11∕0 11∕ 0∕ 1∕00∕ 1∕0 0∕ 0∕. 0∕ 0∕ 11∕ 1∕ 0 0. 0∕ 0∕ 11∕0 1∕ 0. 0∕ 0∕ 11∕0 1∕ 0. b6 b6 0. b7 b7 0 0∕1∕0 1 0∕1∕0 0 1∕ 0∕1 1∕0 0∕. a4 a4 0 0∕1∕0 1 0∕1∕0. 0 1∕ 0 0∕1 1∕ 0∕. a3 a3 0 0∕11 0∕11 ∕ 0∕1 00∕1 ∕0 ∕0 ∕0. b5 b5 0. 0 1∕ 0∕1 1∕0 0∕ 0∕1∕0 1 0∕1∕0 0 1∕ 0∕1 1∕0 0∕. 0 1∕ 0∕1 1∕0 0∕. a2 a2 0. b4 b4 0. 0 1∕ 0∕1 1∕0 0∕ 0∕1∕0 1 0∕1∕0. 0 1∕ 0∕1 1∕0 0∕ 0∕1∕0 1 0∕1∕0 Σ=0 a1 a1 0. b3 b3 0. 0∕ 0∕ 11∕0 1∕ 0. 0∕ 0∕ 11∕ 1∕ 0 0. b2 b2 0. 0∕ 0∕ 11∕0 1∕ 0. b1 b1 0. 0∕1 0∕ 0∕ 1∕00 11∕0 1∕ ∕1∕ 0 0. 0 1∕ 0 0∕1 1∕ 0∕ 0∕1∕0 1 0∕1∕0. 1∕0 1∕0 0∕1 ∕00∕1 ∕0 1 0∕1 0∕. a6 a6 0. Z. Zwei Anwendungen. a7 a7 0. SS2015.
(49) Einleitung. mit Flüssen. 3:8. 4∕32. Idee. Altern. Pfade. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. <. Blüten. > Walter Unger 15.7.2015 10:58. Bipartites Matching und Flüsse s 0. b4 b4 0. t 0. 1. 0 1∕0 1∕ 0∕ 1∕00∕ 1∕0 0∕ 1 0∕. b7 b7 0. 0∕ 0∕ 1∕0 1∕ 0. 0∕ 0∕ 1∕0 1∕ 0. 1. 0∕ 0∕ 1∕0 1∕ 0. 1. a5 a5 0. 10 ∕ 0∕ 1∕ 1∕ 0 0. 1. 0∕ 0∕ 1∕0 1∕ 0. 0∕ 0∕ 1∕0 1∕ 0. 1. 0∕ 0∕ 1∕0 1∕ 0. a4 a4 0. 0∕1∕01 0∕1∕0 01 1∕ 0 0∕ 1∕ 0∕. a3 a3 0 0∕1 0∕1 ∕ 0∕1 00∕1 ∕0 ∕0 1 1 ∕0. b6 b6 0. 0∕1∕0 1 0∕1∕0 1 0 1∕ 0∕ 1∕0 0∕. a2 a2 0. b5 b5 0 1 0 1∕ 0∕ 1∕0 0∕ 0∕1∕0 1 0∕1∕0 1 0 1∕ 0∕ 1∕0 0∕. 1 0 1∕ 0∕ 1∕0 0∕ 0∕1∕0 1 0∕1∕0 1 0 1∕ 0∕ 1∕0 0∕. 1 0 1∕ 0∕ 1∕0 0∕ 0∕1∕0 1 0∕1∕0. Σ=0 a1 a1 0. b3 b3 0. 1. 1. 10 ∕ 0∕ 1∕ 1∕ 0 0. b2 b2 0. 1. b1 b1 0. 0∕ 0∕ 0∕ 1∕00 1∕0 1∕ ∕1∕ 1 0 0. 01 1∕ 0 0∕ 1∕ 0∕ 0∕1∕01 0∕1∕0. ∕0 ∕0 0∕1 ∕00∕1 ∕0 1 0∕11 0∕. 1. a6 a6 0. Z. Zwei Anwendungen. a7 a7 0. SS2015.
(50) Einleitung. mit Flüssen. 3:8. 5∕32. Idee. Altern. Pfade. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. <. Blüten. > Walter Unger 15.7.2015 10:58. Bipartites Matching und Flüsse s 0. b4 b4 0. t 0. 1. 0 1∕0 1∕ 0∕ 1∕00∕ 1∕0 0∕ 1 0∕. b7 b7 0. 0∕ 0∕ 1∕0 1∕ 0. 0∕ 0∕ 1∕0 1∕ 0. 1. 0∕ 0∕ 1∕0 1∕ 0. 1. a5 a5 0. 10 ∕ 0∕ 1∕ 1∕ 0 0. 1. 0∕ 0∕ 1∕0 1∕ 0. 0∕ 0∕ 1∕0 1∕ 0. 1. 0∕ 0∕ 1∕0 1∕ 0. a4 a4 0. 0∕1∕01 0∕1∕0 01 1∕ 0 0∕ 1∕ 0∕. a3 a3 0 0 0∕ 1∕10 ∕1∕ ∕ 0∕1 0 ∕1 1∕0 1 1. b6 b6 0. 0∕1∕0 1 0∕1∕0 1 0 1∕ 0∕ 1∕0 0∕. a2 a2 0. b5 b5 0 1 0 1∕ 0∕ 1∕0 0∕ 0∕1∕0 1 0∕1∕0 1 0 1∕ 0∕ 1∕0 0∕. 1 0 1∕ 0∕ 1∕0 0∕ 0∕1∕0 1 0∕1∕0 1 0 1∕ 0∕ 1∕0 0∕. 1 0 1∕ 0∕ 1∕0 0∕ 0∕1∕1 1 1 0∕1∕1. Σ=0 a1 a1 0. b3 b3 0. 1. 1. 10 ∕ 0∕ 1∕ 1∕ 0 0. b2 b2 0. 1. b1 b1 0. 0∕ 0∕ 0∕ 1∕00 1∕0 1∕ ∕1∕ 1 0 0. 01 1∕ 0 0∕ 1∕ 0∕ 0∕1∕01 0∕1∕0. ∕0 ∕1 0∕1 ∕10∕1 ∕0 1 0∕11 0∕. 1. a6 a6 0. Z. Zwei Anwendungen. a7 a7 0. SS2015.
(51) Einleitung. mit Flüssen. 3:8. 6∕32. Idee. Altern. Pfade. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. <. Blüten. > Walter Unger 15.7.2015 10:58. Bipartites Matching und Flüsse s 0. 0∕ 0∕ 11∕0 1∕ 0. 0∕ 0∕ 11∕0 1∕ 0 t 0. a5 a5 0. 0 11∕0 11∕ 0∕ 1∕00∕ 1∕0 0∕ 0∕. 0∕ 0∕ 11∕ 1∕ 0 0. 0∕ 0∕ 11∕0 1∕ 0. 0∕ 0∕ 11∕0 1∕ 0. b6 b6 0. b7 b7 0 0∕1∕0 1 0∕1∕0 0 1∕ 0∕1 1∕0 0∕. a4 a4 0 0∕1∕0 1 0∕1∕0. 0 1∕ 0 0∕1 1∕ 0∕. a3 a3 0 11∕ ∕11∕ 0 0∕11 1∕11 1 ∕1 ∕0 ∕0 ∕1. b5 b5 0. 0 1∕ 0∕1 1∕0 0∕ 0∕1∕0 1 0∕1∕0 0 1∕ 0∕1 1∕0 0∕. 0 1∕ 0∕1 1∕0 0∕. a2 a2 0. b4 b4 0. 0 1∕ 0∕1 1∕0 0∕ 0∕1∕0 1 0∕1∕0. 0 1∕ 0∕1 1∕0 0∕ 1∕1∕1 1∕1 1∕1∕1 1 Σ=0 a1 a1 0. b3 b3 0. 0∕ 0∕ 11∕0 1∕ 0. 0∕ 0∕ 11∕ 1∕ 0 0. b2 b2 0. 0∕ 0∕ 11∕0 1∕ 0. b1 b1 0. 0∕1 0∕ 0∕ 1∕00 11∕0 1∕ ∕1∕ 0 0. 0 1∕ 0 0∕1 1∕ 0∕ 0∕1∕0 1 0∕1∕0. ∕11 1∕0 ∕ 1∕11 1∕10∕1 ∕0 1 1∕1 0∕. a6 a6 0. Z. Zwei Anwendungen. a7 a7 0. SS2015.
(52) Einleitung. mit Flüssen. 3:8. 7∕32. Idee. Altern. Pfade. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. <. Blüten. > Walter Unger 15.7.2015 10:58. Bipartites Matching und Flüsse s 0. 0∕ 0∕ 11∕0 1∕ 0. 0∕ 0∕ 11∕0 1∕ 0 t 0. a5 a5 0. 0 11∕0 11∕ 0∕ 1∕00∕ 1∕0 0∕ 0∕. 0∕ 0∕ 11∕ 1∕ 0 0. 0∕ 0∕ 11∕0 1∕ 0. 0∕ 0∕ 11∕0 1∕ 0. b6 b6 0. b7 b7 0 0∕1∕0 1 0∕1∕0 0 1∕ 0∕1 1∕0 0∕. a4 a4 0 0∕1∕0 1 0∕1∕0. 0 1∕ 0 0∕1 1∕ 0∕. a3 a3 0 11∕ ∕11∕ 0 0∕11 1∕1 0 ∕1 ∕0 ∕0 ∕0. b5 b5 0. 0 1∕ 0∕1 1∕0 0∕ 0∕1∕0 1 0∕1∕0 0 1∕ 0∕1 1∕0 0∕. 0 1∕ 0∕1 1∕0 0∕. a2 a2 0. b4 b4 0. 0 1∕ 0∕1 1∕0 0∕ 0∕1∕0 1 0∕1∕0. 0 1∕ 0∕1 1∕0 0∕ 1∕1∕0 1∕1 1∕1∕0 Σ=0 a1 a1 0. b3 b3 0. 0∕ 0∕ 11∕0 1∕ 0. 0∕ 0∕ 11∕ 1∕ 0 0. b2 b2 0. 0∕ 0∕ 11∕0 1∕ 0. b1 b1 0. 0∕1 0∕ 0∕ 1∕00 11∕0 1∕ ∕1∕ 0 0. 0 1∕ 0 0∕1 1∕ 0∕ 0∕1∕0 1 0∕1∕0. ∕10 1∕0 ∕ 1∕11 ∕00∕1 ∕0 1 1∕1 0∕. a6 a6 0. Z. Zwei Anwendungen. a7 a7 0. SS2015.
(53) Einleitung. mit Flüssen. 3:8. 8∕32. Idee. Altern. Pfade. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. <. Blüten. > Walter Unger 15.7.2015 10:58. Bipartites Matching und Flüsse. 10 ∕ 0∕ 1∕ 1∕ 0 0. b2 b2 0. 0∕ 0∕ 0∕ 1∕00 1∕0 1∕ ∕1∕ 1 0 0. b3 b3 0. b4 b4 0. b5 b5 0. 1 b6 b6 0. b7 b7 0. 1. b1 b1 0. s 0. 01 1∕ 0 0∕ 1∕ 0∕ 0∕1∕01 0∕1∕0. 1 ∕0 1∕0 1 ∕ 0 1 ∕00∕ 1∕ 1∕11 0∕. a5 a5 0. 0 1∕0 1∕ 0∕ 1∕00∕ 1∕0 0∕ 1 0∕. 10 ∕ 0∕ 1∕ 1∕ 0 0. t 0. 1. 1. 0∕ 0∕ 1∕0 1∕ 0. 0∕ 0∕ 1∕0 1∕ 0. 1. 0∕ 0∕ 1∕0 1∕ 0. 1. 0∕ 0∕ 1∕0 1∕ 0. 0∕ 0∕ 1∕0 1∕ 0. 1. 0∕ 0∕ 1∕0 1∕ 0. 1. 1. a4 a4 0. 0∕1∕01 0∕1∕0 01 1∕ 0 0∕ 1∕ 0∕. a3 a3 0 1∕1 0∕1 ∕ 1∕1 00∕1 ∕0 ∕0 ∕0 1. 0∕1∕0 1 0∕1∕0 1 0 1∕ 0∕ 1∕0 0∕. 1 0 1∕ 0∕ 1∕0 0∕ 0∕1∕0 1 0∕1∕0 1 0 1∕ 0∕ 1∕0 0∕. a2 a2 10. 1 0 1∕ 0∕ 1∕0 0∕ 0∕1∕0 1 0∕1∕0 1 0 1∕ 0∕ 1∕0 0∕. 1 0 1∕ 0∕ 1∕0 0∕ 1∕1∕0 1∕1∕0. Σ=0 a1 a1 0. a6 a6 0. Z. Zwei Anwendungen. a7 a7 0. SS2015.
(54) Einleitung. mit Flüssen. 3:8. 9∕32. Idee. Altern. Pfade. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. <. Blüten. > Walter Unger 15.7.2015 10:58. Bipartites Matching und Flüsse. 10 ∕ 0∕ 1∕ 1∕ 0 0. b2 b2 0. 0∕ 0∕ 0∕ 1∕00 1∕0 1∕ ∕1∕ 1 0 0. b3 b3 0. b4 b4 0. b5 b5 0. 1 b6 b6 0. b7 b7 0. 1. b1 b1 0. s 0. 01 1∕ 0 0∕ 1∕ 0∕ 0∕1∕1 1 1 0∕1∕1. 1 ∕0 1∕0 1 ∕ 0 1 ∕00∕ 1∕ 1∕11 0∕. a5 a5 0. 0 1∕0 1∕ 0∕ 1∕00∕ 1∕0 0∕ 1 0∕. 10 ∕ 0∕ 1∕ 1∕ 0 0. t 0. 1. 1. 0∕ 0∕ 1∕0 1∕ 0. 0∕ 0∕ 1∕0 1∕ 0. 1. 0∕ 0∕ 1∕0 1∕ 0. 1. 0∕ 0∕ 1∕1 1∕ 1. 0∕ 0∕ 1∕0 1∕ 0. 1. 0∕ 0∕ 1∕0 1∕ 0. 1. 1. a4 a4 0. 0∕1∕01 0∕1∕0 11 1∕ 1 0∕ 1∕ 0∕. a3 a3 0 1∕1 0∕1 ∕ 1∕1 00∕1 ∕0 ∕0 ∕0 1. 0∕1∕0 1 0∕1∕0 1 0 1∕ 0∕ 1∕0 0∕. 1 0 1∕ 0∕ 1∕0 0∕ 0∕1∕0 1 0∕1∕0 1 0 1∕ 0∕ 1∕0 0∕. a2 a2 10. 1 0 1∕ 0∕ 1∕0 0∕ 0∕1∕0 1 0∕1∕0 1 0 1∕ 0∕ 1∕0 0∕. 1 0 1∕ 0∕ 1∕0 0∕ 1∕1∕0 1∕1∕0. Σ=0 a1 a1 0. a6 a6 0. Z. Zwei Anwendungen. a7 a7 0. SS2015.
(55) Einleitung. mit Flüssen. 3:8. 10∕32. Idee. Altern. Pfade. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. <. Blüten. > Walter Unger 15.7.2015 10:58. Bipartites Matching und Flüsse s 0. 0∕ 0∕ 11∕0 1∕ 0. 0∕ 0∕ 11∕0 1∕ 0 t 0. a5 a5 0. 0 11∕0 11∕ 0∕ 1∕00∕ 1∕0 0∕ 0∕. 0∕ 0∕ 11∕ 1∕ 0 0. 0∕ 0∕ 11∕0 1∕ 0. 0∕ 0∕ 11∕0 1∕ 0. b6 b6 0. b7 b7 0 0∕1∕0 1 0∕1∕0 0 1∕ 0∕1 1∕0 0∕. a4 a4 0 0∕1∕0 1 0∕1∕0. 1 11∕ 1 11∕∕ 11∕ 1∕. a3 a3 0 11∕ ∕11∕ 0 0∕11 1∕1 0 ∕1 ∕0 ∕0 ∕0. b5 b5 0. 0 1∕ 0∕1 1∕0 0∕ 0∕1∕0 1 0∕1∕0 0 1∕ 0∕1 1∕0 0∕. 0 1∕ 0∕1 1∕0 0∕. a2 a2 0. b4 b4 0. 0 1∕ 0∕1 1∕0 0∕ 0∕1∕0 1 0∕1∕0. 0 1∕ 0∕1 1∕0 0∕ 1∕1∕0 1∕1 1∕1∕0 Σ=0 a1 a1 0. b3 b3 0. 0∕ 0∕ 11∕0 1∕ 0. 0∕ 0∕ 11∕ 1∕ 0 0. b2 b2 0. 1∕ 1∕ 1∕1 11∕ 1. b1 b1 0. 0∕1 0∕ 0∕ 1∕00 11∕0 1∕ ∕1∕ 0 0. 0 1∕ 0 0∕1 1∕ 0∕ 1∕1∕1 1∕1 1∕1∕1 1. ∕10 1∕0 ∕ 1∕11 ∕00∕1 ∕0 1 1∕1 0∕. a6 a6 0. Z. Zwei Anwendungen. a7 a7 0. SS2015.
(56) Einleitung. mit Flüssen. 3:8. 11∕32. Idee. Altern. Pfade. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. <. Blüten. > Walter Unger 15.7.2015 10:58. Bipartites Matching und Flüsse s 0. 0∕ 0∕ 11∕0 1∕ 0. 0∕ 0∕ 11∕0 1∕ 0 t 0. a5 a5 0. 0 11∕0 11∕ 0∕ 1∕00∕ 1∕0 0∕ 0∕. 0∕ 0∕ 11∕ 1∕ 0 0. 0∕ 0∕ 11∕0 1∕ 0. 0∕ 0∕ 11∕0 1∕ 0. b6 b6 0. b7 b7 0 0∕1∕0 1 0∕1∕0 0 1∕ 0∕1 1∕0 0∕. a4 a4 0 0∕1∕0 1 0∕1∕0. 0 11∕ 0 11∕∕ 1∕ 1∕. a3 a3 0 11∕ ∕11∕ 0 0∕11 1∕1 0 ∕1 ∕0 ∕0 ∕0. b5 b5 0. 0 1∕ 0∕1 1∕0 0∕ 0∕1∕0 1 0∕1∕0 0 1∕ 0∕1 1∕0 0∕. 0 1∕ 0∕1 1∕0 0∕. a2 a2 0. b4 b4 0. 0 1∕ 0∕1 1∕0 0∕ 0∕1∕0 1 0∕1∕0. 0 1∕ 0∕1 1∕0 0∕ 1∕1∕0 1∕1 1∕1∕0 Σ=0 a1 a1 0. b3 b3 0. 0∕ 0∕ 11∕0 1∕ 0. 0∕ 0∕ 11∕ 1∕ 0 0. b2 b2 0. 1∕ 1∕ 1∕10 1∕ 0. b1 b1 0. 0∕1 0∕ 0∕ 1∕00 11∕0 1∕ ∕1∕ 0 0. 0 1∕ 0 0∕1 1∕ 0∕ 1∕1∕0 1∕1 1∕1∕0. ∕10 1∕0 ∕ 1∕11 ∕00∕1 ∕0 1 1∕1 0∕. a6 a6 0. Z. Zwei Anwendungen. a7 a7 0. SS2015.
(57) Einleitung. mit Flüssen. 3:8. 12∕32. Idee. Altern. Pfade. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. <. Blüten. > Walter Unger 15.7.2015 10:58. Bipartites Matching und Flüsse s 0. 0∕ 0∕ 0∕ 1∕00 1∕0 1∕ ∕1∕ 1 0 0. a5 a5 0. 0∕1∕01 0∕1∕0 t 0. 1. 0 1∕0 1∕ 0∕ 1∕00∕ 1∕0 0∕ 1 0∕. b7 b7 0. 1. 0∕ 0∕ 1∕0 1∕ 0. 0∕ 0∕ 1∕0 1∕ 0. 0∕ 0∕ 1∕0 1∕ 0. 1. a4 a4 0. 10 ∕ 0∕ 1∕ 1∕ 0 0. 0∕ 0∕ 1∕0 1∕ 0. 1. 0∕ 0∕ 1∕0 1∕ 0. b6 b6 0. 0∕1∕0 1 0∕1∕0 1 0 1∕ 0∕ 1∕0 0∕. 1. b5 b5 0 1 0 1∕ 0∕ 1∕0 0∕ 0∕1∕0 1 0∕1∕0 1 0 1∕ 0∕ 1∕0 0∕. a3 a3 0 1∕1 0∕1 ∕ 1∕1 00∕1 ∕0 ∕0 ∕0 1. ∕0 ∕1 ∕0 1 1 ∕1 1. a2 a2 10. 1 0 1∕ 0∕ 1∕0 0∕ 0∕1∕0 1 0∕1∕0 1 0 1∕ 0∕ 1∕0 0∕. 1 0 1∕ 0∕ 1∕0 0∕ 1∕1∕0 1∕1∕0. Σ=0 a1 a1 0. b4 b4 0. 1. 1. b3 b3 0. 1∕ 1∕ 1∕0 1∕ 0 1. b2 b2 0. 1. b1 b1 0. 01 1∕ 0 0∕ 1∕ 0∕ 1∕1∕0 1∕1∕0. 10 ∕ 0∕ 1∕ 1∕ 0 0 1. 1 ∕0 1∕0 1 ∕ 0 1 ∕00∕ 1∕ 1∕11 0∕. a6 a6 0. Z. Zwei Anwendungen. a7 a7 0. SS2015.
(58) Einleitung. mit Flüssen. 3:8. 13∕32. Idee. Altern. Pfade. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. <. Blüten. > Walter Unger 15.7.2015 10:58. Bipartites Matching und Flüsse s 0. 0∕ 0∕ 0∕ 1∕00 1∕0 1∕ ∕1∕ 1 0 0. a5 a5 0. 0∕1∕01 0∕1∕0 t 0. 1. 0 1∕0 1∕ 0∕ 1∕00∕ 1∕0 0∕ 1 0∕. b7 b7 0. 1. 0∕ 0∕ 1∕0 1∕ 0. 0∕ 0∕ 1∕0 1∕ 0. 0∕ 0∕ 1∕0 1∕ 0. 1. a4 a4 0. 10 ∕ 0∕ 1∕ 1∕ 1 1. 0∕ 0∕ 1∕0 1∕ 0. 1. 0∕ 0∕ 1∕0 1∕ 0. b6 b6 0. 0∕1∕0 1 0∕1∕0 1 0 1∕ 0∕ 1∕0 0∕. 1. b5 b5 0 1 0 1∕ 0∕ 1∕0 0∕ 0∕1∕1 1 1 0∕1∕1 1 0 1∕ 0∕ 1∕0 0∕. a3 a3 0 1∕1 0∕1 ∕ 1∕1 00∕1 ∕0 ∕0 ∕0 1. ∕0 ∕1 ∕0 1 1 ∕1 1. a2 a2 10. 1 0 1∕ 0∕ 1∕0 0∕ 0∕1∕0 1 0∕1∕0 1 0 1∕ 0∕ 1∕0 0∕. 1 0 1∕ 0∕ 1∕0 0∕ 1∕1∕0 1∕1∕0. Σ=0 a1 a1 0. b4 b4 0. 1. 1. b3 b3 0. 1∕ 1∕ 1∕0 1∕ 0 1. b2 b2 0. 1. b1 b1 0. 11 1∕ 1 0∕ 1∕ 0∕ 1∕1∕0 1∕1∕0. 10 ∕ 0∕ 1∕ 1∕ 0 0 1. 1 ∕0 1∕0 1 ∕ 0 1 ∕00∕ 1∕ 1∕11 0∕. a6 a6 0. Z. Zwei Anwendungen. a7 a7 0. SS2015.
(59) Einleitung. mit Flüssen. 3:8. 14∕32. Idee. Altern. Pfade. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. <. Blüten. > Walter Unger 15.7.2015 10:58. Bipartites Matching und Flüsse s 0. 0∕ 0∕ 11∕0 1∕ 0. 0∕ 0∕ 11∕0 1∕ 0 t 0. a5 a5 0. 0 11∕0 11∕ 0∕ 1∕00∕ 1∕0 0∕ 0∕. 1∕ 1∕ 11∕∕1 11∕ 1 1. 0∕ 0∕ 11∕0 1∕ 0. 0∕ 0∕ 11∕0 1∕ 0. b6 b6 0. b7 b7 0 0∕1∕0 1 0∕1∕0 0 1∕ 0∕1 1∕0 0∕. a4 a4 0 0∕1∕0 1 0∕1∕0. 0 11∕ 0 11∕∕ 1∕ 1∕. a3 a3 0 11∕ ∕11∕ 0 0∕11 1∕1 0 ∕1 ∕0 ∕0 ∕0. b5 b5 0. 0 1∕ 0∕1 1∕0 0∕ 1∕1∕1 1∕1 1∕1∕1 1 0 1∕ 0∕1 1∕0 0∕. 0 1∕ 0∕1 1∕0 0∕. a2 a2 0. b4 b4 0. 0 1∕ 0∕1 1∕0 0∕ 0∕1∕0 1 0∕1∕0. 0 1∕ 0∕1 1∕0 0∕ 1∕1∕0 1∕1 1∕1∕0 Σ=0 a1 a1 0. b3 b3 0. 0∕ 0∕ 11∕0 1∕ 0. 0∕ 0∕ 11∕ 1∕ 0 0. b2 b2 0. 1∕ 1∕ 1∕10 1∕ 0. b1 b1 0. 0∕1 0∕ 0∕ 1∕00 11∕0 1∕ ∕1∕ 0 0. 1 11∕ 1 11∕∕ 11∕ 1∕ 1∕1∕0 1∕1 1∕1∕0. ∕10 1∕0 ∕ 1∕11 ∕00∕1 ∕0 1 1∕1 0∕. a6 a6 0. Z. Zwei Anwendungen. a7 a7 0. SS2015.
(60) Einleitung. mit Flüssen. 3:8. 15∕32. Idee. Altern. Pfade. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. <. Blüten. > Walter Unger 15.7.2015 10:58. Bipartites Matching und Flüsse s 0. 0∕ 0∕ 11∕0 1∕ 0. 0∕ 0∕ 11∕0 1∕ 0 t 0. a5 a5 0. 0 11∕0 11∕ 0∕ 1∕00∕ 1∕0 0∕ 0∕. 1∕ 1∕ 11∕∕1 1∕ 0 0. 0∕ 0∕ 11∕0 1∕ 0. 0∕ 0∕ 11∕0 1∕ 0. b6 b6 0. b7 b7 0 0∕1∕0 1 0∕1∕0 0 1∕ 0∕1 1∕0 0∕. a4 a4 0 0∕1∕0 1 0∕1∕0. 0 11∕ 0 11∕∕ 1∕ 1∕. a3 a3 0 11∕ ∕11∕ 0 0∕11 1∕1 0 ∕1 ∕0 ∕0 ∕0. b5 b5 0. 0 1∕ 0∕1 1∕0 0∕ 1∕1∕0 1∕1 1∕1∕0 0 1∕ 0∕1 1∕0 0∕. 0 1∕ 0∕1 1∕0 0∕. a2 a2 0. b4 b4 0. 0 1∕ 0∕1 1∕0 0∕ 0∕1∕0 1 0∕1∕0. 0 1∕ 0∕1 1∕0 0∕ 1∕1∕0 1∕1 1∕1∕0 Σ=0 a1 a1 0. b3 b3 0. 0∕ 0∕ 11∕0 1∕ 0. 0∕ 0∕ 11∕ 1∕ 0 0. b2 b2 0. 1∕ 1∕ 1∕10 1∕ 0. b1 b1 0. 0∕1 0∕ 0∕ 1∕00 11∕0 1∕ ∕1∕ 0 0. 0 11∕ 0 11∕∕ 1∕ 1∕ 1∕1∕0 1∕1 1∕1∕0. ∕10 1∕0 ∕ 1∕11 ∕00∕1 ∕0 1 1∕1 0∕. a6 a6 0. Z. Zwei Anwendungen. a7 a7 0. SS2015.
(61) Einleitung. mit Flüssen. 3:8. 16∕32. Idee. Altern. Pfade. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. <. Blüten. > Walter Unger 15.7.2015 10:58. Bipartites Matching und Flüsse s 0. ∕0 ∕1 ∕0 1 1 ∕1 1 1∕1∕0 1∕1∕0. 0∕ 0∕ 0∕ 1∕00 1∕0 1∕ ∕1∕ 1 0 0. 10 ∕ 0∕ 1∕ 1∕ 0 0 1. b3 b3 0. b7 b7 0. 1 0∕1∕01 0∕1∕0 t 0. a5 a5 0. 1. 0∕ 0∕ 1∕0 1∕ 0. 0∕ 0∕ 1∕0 1∕ 0. 1. 0∕ 0∕ 1∕0 1∕ 0. 1. a4 a4 0 1∕ 1∕ 1∕ 1∕ 0 1 0. 0∕ 0∕ 1∕0 1∕ 0. 1. 0∕ 0∕ 1∕0 1∕ 0. b6 b6 0. 0∕1∕0 1 0∕1∕0 1 0 1∕ 0∕ 1∕0 0∕. 1. b5 b5 0 1 0 1∕ 0∕ 1∕0 0∕ 1∕1∕0 1∕1∕0 1 0 1∕ 0∕ 1∕0 0∕. a3 a3 0 1∕1 0∕1 ∕ 1∕1 00∕1 ∕0 ∕0 ∕0 1. ∕0 ∕1 ∕0 1 1 ∕1 1. a2 a2 10. 1 0 1∕ 0∕ 1∕0 0∕ 0∕1∕0 1 0∕1∕0 1 0 1∕ 0∕ 1∕0 0∕. 1 0 1∕ 0∕ 1∕0 0∕ 1∕1∕0 1∕1∕0. Σ=0 a1 a1 0. b4 b4 0. 1∕ 1∕ 1∕0 1∕ 0 1. b2 b2 0. 1. b1 b1 0. 1. 0 1∕0 1∕ 0∕ 1∕00∕ 1∕0 0∕ 1 0∕. 1. 1 ∕0 1∕0 1 ∕ 0 1 ∕00∕ 1∕ 1∕11 0∕. a6 a6 0. Z. Zwei Anwendungen. a7 a7 0. SS2015.
(62) Einleitung. mit Flüssen. 3:8. 17∕32. Idee. Altern. Pfade. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. <. Blüten. > Walter Unger 15.7.2015 10:58. Bipartites Matching und Flüsse s 0. ∕0 ∕1 ∕0 1 1 ∕1 1 1∕1∕0 1∕1∕0. 0∕ 0∕ 0∕ 1∕00 1∕1 1∕ ∕1∕ 1 1 0. 10 ∕ 0∕ 1∕ 1∕ 0 0 1. b3 b3 0. b7 b7 0. 1 0∕1∕01 0∕1∕0 t 0. a5 a5 0. 1. 0∕ 0∕ 1∕0 1∕ 0. 0∕ 0∕ 1∕0 1∕ 0. 1. 0∕ 0∕ 1∕0 1∕ 0. 1. a4 a4 0 1∕ 1∕ 1∕ 1∕ 0 1 0. 0∕ 0∕ 1∕0 1∕ 0. 1. 0∕ 0∕ 1∕0 1∕ 0. b6 b6 0. 0∕1∕1 1 1 0∕1∕1 1 0 1∕ 0∕ 1∕0 0∕. 1. b5 b5 0 1 0 1∕ 0∕ 1∕0 0∕ 1∕1∕0 1∕1∕0 1 0 1∕ 0∕ 1∕0 0∕. a3 a3 0 1∕1 0∕1 ∕ 1∕1 00∕1 ∕0 ∕0 ∕0 1. ∕0 ∕1 ∕0 1 1 ∕1 1. a2 a2 10. 1 0 1∕ 0∕ 1∕0 0∕ 0∕1∕0 1 0∕1∕0 1 0 1∕ 0∕ 1∕0 0∕. 1 0 1∕ 0∕ 1∕0 0∕ 1∕1∕0 1∕1∕0. Σ=0 a1 a1 0. b4 b4 0. 1∕ 1∕ 1∕0 1∕ 0 1. b2 b2 0. 1. b1 b1 0. 1. 0 1∕1 1∕ 0∕ 1∕00∕ 1∕1 0∕ 1 0∕. 1. 1 ∕0 1∕0 1 ∕ 0 1 ∕00∕ 1∕ 1∕11 0∕. a6 a6 0. Z. Zwei Anwendungen. a7 a7 0. SS2015.
(63) Einleitung. mit Flüssen. 3:8. 18∕32. Idee. Altern. Pfade. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. <. Blüten. > Walter Unger 15.7.2015 10:58. Bipartites Matching und Flüsse s 0. 0∕ 0∕ 11∕0 1∕ 0. 0∕ 0∕ 11∕0 1∕ 0 t 0. a5 a5 0. 0 ∕11 11∕ 11∕ 0∕ 1∕01∕ 11∕1 1∕ 0∕. 1∕ 1∕ 11∕∕1 1∕ 0 0. 0∕ 0∕ 11∕0 1∕ 0. 0∕ 0∕ 11∕0 1∕ 0. b6 b6 0. b7 b7 0 1∕1∕1 1∕1 1∕1∕1 1 0 1∕ 0∕1 1∕0 0∕. a4 a4 0 0∕1∕0 1 0∕1∕0. 0 11∕ 0 11∕∕ 1∕ 1∕. a3 a3 0 11∕ ∕11∕ 0 0∕11 1∕1 0 ∕1 ∕0 ∕0 ∕0. b5 b5 0. 0 1∕ 0∕1 1∕0 0∕ 1∕1∕0 1∕1 1∕1∕0 0 1∕ 0∕1 1∕0 0∕. 0 1∕ 0∕1 1∕0 0∕. a2 a2 0. b4 b4 0. 0 1∕ 0∕1 1∕0 0∕ 0∕1∕0 1 0∕1∕0. 0 1∕ 0∕1 1∕0 0∕ 1∕1∕0 1∕1 1∕1∕0 Σ=0 a1 a1 0. b3 b3 0. 0∕ 0∕ 11∕0 1∕ 0. 0∕ 0∕ 11∕ 1∕ 0 0. b2 b2 0. 1∕ 1∕ 1∕10 1∕ 0. b1 b1 0. 0∕1 11∕ 0∕ 1∕01 ∕11∕1 1∕ ∕11∕ 1 0. 0 11∕ 0 11∕∕ 1∕ 1∕ 1∕1∕0 1∕1 1∕1∕0. ∕10 1∕0 ∕ 1∕11 ∕00∕1 ∕0 1 1∕1 0∕. a6 a6 0. Z. Zwei Anwendungen. a7 a7 0. SS2015.
(64) Einleitung. mit Flüssen. 3:8. 19∕32. Idee. Altern. Pfade. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. <. Blüten. > Walter Unger 15.7.2015 10:58. Bipartites Matching und Flüsse s 0. 0∕ 0∕ 11∕0 1∕ 0. 0∕ 0∕ 11∕0 1∕ 0 t 0. a5 a5 0. 0 ∕10 11∕ 11∕ 0∕ 1∕01∕ 1∕0 1∕ 0∕. 1∕ 1∕ 11∕∕1 1∕ 0 0. 0∕ 0∕ 11∕0 1∕ 0. 0∕ 0∕ 11∕0 1∕ 0. b6 b6 0. b7 b7 0 1∕1∕0 1∕1 1∕1∕0 0 1∕ 0∕1 1∕0 0∕. a4 a4 0 0∕1∕0 1 0∕1∕0. 0 11∕ 0 11∕∕ 1∕ 1∕. a3 a3 0 11∕ ∕11∕ 0 0∕11 1∕1 0 ∕1 ∕0 ∕0 ∕0. b5 b5 0. 0 1∕ 0∕1 1∕0 0∕ 1∕1∕0 1∕1 1∕1∕0 0 1∕ 0∕1 1∕0 0∕. 0 1∕ 0∕1 1∕0 0∕. a2 a2 0. b4 b4 0. 0 1∕ 0∕1 1∕0 0∕ 0∕1∕0 1 0∕1∕0. 0 1∕ 0∕1 1∕0 0∕ 1∕1∕0 1∕1 1∕1∕0 Σ=0 a1 a1 0. b3 b3 0. 0∕ 0∕ 11∕0 1∕ 0. 0∕ 0∕ 11∕ 1∕ 0 0. b2 b2 0. 1∕ 1∕ 1∕10 1∕ 0. b1 b1 0. 0∕1 11∕ 0∕ 1∕01 ∕11∕0 1∕ ∕1∕ 0 0. 0 11∕ 0 11∕∕ 1∕ 1∕ 1∕1∕0 1∕1 1∕1∕0. ∕10 1∕0 ∕ 1∕11 ∕00∕1 ∕0 1 1∕1 0∕. a6 a6 0. Z. Zwei Anwendungen. a7 a7 0. SS2015.
(65) Einleitung. mit Flüssen. 3:8. 20∕32. Idee. Altern. Pfade. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. <. Blüten. > Walter Unger 15.7.2015 10:58. Bipartites Matching und Flüsse s 0. 1 0∕ 1∕ 0∕ 1∕01 1∕0 1∕ ∕1∕ 1 0 0. 10 ∕ 0∕ 1∕ 1∕ 0 0 1. ∕0 ∕1 ∕0 1 1 ∕1 1 1∕1∕0 1∕1∕0. b7 b7 0. 1 0∕1∕01 0∕1∕0 t 0. a5 a5 0. 1. 0 1∕0 1∕ 0∕ 1∕01∕ 1∕0 1∕ 0∕. 0∕ 0∕ 1∕0 1∕ 0. 0∕ 0∕ 1∕0 1∕ 0. 1. 0∕ 0∕ 1∕0 1∕ 0. 1. a4 a4 0 1∕ 1∕ 1∕ 1∕ 0 1 0. 0∕ 0∕ 1∕0 1∕ 0. 1. 0∕ 0∕ 1∕0 1∕ 0. b6 b6 0. 1∕1∕0 1∕1∕0 1 0 1∕ 0∕ 1∕0 0∕. 1. b5 b5 0 1 0 1∕ 0∕ 1∕0 0∕ 1∕1∕0 1∕1∕0 1 0 1∕ 0∕ 1∕0 0∕. a3 a3 0 1∕1 0∕1 ∕ 1∕1 00∕1 ∕0 ∕0 ∕0 1. ∕0 ∕1 ∕0 1 1 ∕1 1. a2 a2 10. 1 0 1∕ 0∕ 1∕0 0∕ 0∕1∕0 1 0∕1∕0 1 0 1∕ 0∕ 1∕0 0∕. 1 0 1∕ 0∕ 1∕0 0∕ 1∕1∕0 1∕1∕0. Σ=0 a1 a1 0. b4 b4 0. 1. b3 b3 0. 1∕ 1∕ 1∕0 1∕ 0 1. b2 b2 0. 1. b1 b1 0. 1. 1 ∕0 1∕0 1 ∕ 0 1 ∕00∕ 1∕ 1∕11 0∕. Z. Zwei Anwendungen. a6 a6 01. a7 a7 0. SS2015.
(66) Einleitung. mit Flüssen. 3:8. 21∕32. Idee. Altern. Pfade. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. <. Blüten. > Walter Unger 15.7.2015 10:58. Bipartites Matching und Flüsse s 0. 1 0∕ 1∕ 0∕ 1∕01 1∕0 1∕ ∕1∕ 1 0 0. 10 ∕ 0∕ 1∕ 1∕ 0 0 1. ∕0 ∕1 ∕0 1 1 ∕1 1 1∕1∕0 1∕1∕0. b7 b7 0. 1 0∕1∕01 0∕1∕0 t 0. a5 a5 0. 1. 0 1∕0 1∕ 0∕ 1∕01∕ 1∕0 1∕ 0∕. 0∕ 0∕ 1∕0 1∕ 0. 0∕ 0∕ 1∕0 1∕ 0. 1. 0∕ 0∕ 1∕0 1∕ 0. 1. a4 a4 0 1∕ 1∕ 1∕ 1∕ 0 1 0. 0∕ 0∕ 1∕0 1∕ 0. 1. 0∕ 0∕ 1∕1 1∕ 1. b6 b6 0. 1∕1∕0 1∕1∕0 1 0 1∕ 0∕ 1∕0 0∕. 1. b5 b5 0 1 0 1∕ 0∕ 1∕0 0∕ 1∕1∕0 1∕1∕0 1 0 1∕ 0∕ 1∕0 0∕. a3 a3 0 1∕1 0∕1 ∕ 1∕1 00∕1 ∕1 ∕1 ∕0 1. ∕0 ∕1 ∕0 1 1 ∕1 1. a2 a2 10. 1 0 1∕ 0∕ 1∕0 0∕ 0∕1∕0 1 0∕1∕0 1 0 1∕ 0∕ 1∕0 0∕. 1 1 1∕ 0∕ 1∕1 0∕ 1∕1∕0 1∕1∕0 1. Σ=0 a1 a1 0. b4 b4 0. 1. b3 b3 0. 1∕ 1∕ 1∕0 1∕ 0 1. b2 b2 0. 1. b1 b1 0. 1. 1 ∕0 1∕1 1 ∕ 1 1 ∕00∕ 1∕ 1∕11 0∕. Z. Zwei Anwendungen. a6 a6 01. a7 a7 0. SS2015.
(67) Einleitung. mit Flüssen. 3:8. 22∕32. Idee. Altern. Pfade. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. <. Blüten. > Walter Unger 15.7.2015 10:58. Bipartites Matching und Flüsse s 0. 0∕ 0∕ 11∕0 1∕ 0. 0∕ 0∕ 11∕0 1∕ 0 t 0. a5 a5 0. 0 ∕10 11∕ 11∕ 0∕ 1∕01∕ 1∕0 1∕ 0∕. 1∕ 1∕ 11∕∕1 1∕ 0 0. 0∕ 0∕ 11∕0 1∕ 0. 1. 1∕ 1∕ 1∕1 11∕ 1. b6 b6 0. b7 b7 0 1∕1∕0 1∕1 1∕1∕0 0 1∕ 0∕1 1∕0 0∕. a4 a4 0 0∕1∕0 1 0∕1∕0. 0 11∕ 0 11∕∕ 1∕ 1∕. a3 a3 0 11∕ ∕11∕ 1 11∕∕11 1∕1 0 ∕11 ∕1 ∕1 ∕0. b5 b5 0. 0 1∕ 0∕1 1∕0 0∕ 1∕1∕0 1∕1 1∕1∕0 0 1∕ 0∕1 1∕0 0∕. 0 1∕ 0∕1 1∕0 0∕. a2 a2 0. b4 b4 0. 0 1∕ 0∕1 1∕0 0∕ 0∕1∕0 1 0∕1∕0. 1 1∕ 1∕ 1∕1 1∕1 0∕1∕0 1 0∕1∕0 Σ=0 a1 a1 0. b3 b3 0. 0∕ 0∕ 11∕0 1∕ 0. 0∕ 0∕ 11∕ 1∕ 0 0. b2 b2 0. 1∕ 1∕ 1∕10 1∕ 0. b1 b1 0. 0∕1 11∕ 0∕ 1∕01 ∕11∕0 1∕ ∕1∕ 0 0. 0 11∕ 0 11∕∕ 1∕ 1∕ 1∕1∕0 1∕1 1∕1∕0. ∕10 ∕∕11 ∕ 1∕11 ∕01∕11 1∕1 1 1∕1 1∕. a6 a6 0. Z. Zwei Anwendungen. a7 a7 0. SS2015.
(68) Einleitung. mit Flüssen. 3:8. 23∕32. Idee. Altern. Pfade. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. <. Blüten. > Walter Unger 15.7.2015 10:58. Bipartites Matching und Flüsse s 0. 0∕ 0∕ 11∕0 1∕ 0. 0∕ 0∕ 11∕0 1∕ 0 t 0. a5 a5 0. 0 ∕10 11∕ 11∕ 0∕ 1∕01∕ 1∕0 1∕ 0∕. 1∕ 1∕ 11∕∕1 1∕ 0 0. 0∕ 0∕ 11∕0 1∕ 0. 1∕ 1∕ 1∕10 1∕ 0. b6 b6 0. b7 b7 0 1∕1∕0 1∕1 1∕1∕0 0 1∕ 0∕1 1∕0 0∕. a4 a4 0 0∕1∕0 1 0∕1∕0. 0 11∕ 0 11∕∕ 1∕ 1∕. a3 a3 0 11∕ ∕11∕ 1 11∕∕11 1∕1 0 ∕1 ∕0 ∕0 ∕0. b5 b5 0. 0 1∕ 0∕1 1∕0 0∕ 1∕1∕0 1∕1 1∕1∕0 0 1∕ 0∕1 1∕0 0∕. 0 1∕ 0∕1 1∕0 0∕. a2 a2 0. b4 b4 0. 0 1∕ 0∕1 1∕0 0∕ 0∕1∕0 1 0∕1∕0. 0 1∕ 1∕ 1∕0 1∕ 0∕1∕0 1 0∕1∕0 Σ=0 a1 a1 0. b3 b3 0. 0∕ 0∕ 11∕0 1∕ 0. 0∕ 0∕ 11∕ 1∕ 0 0. b2 b2 0. 1∕ 1∕ 1∕10 1∕ 0. b1 b1 0. 0∕1 11∕ 0∕ 1∕01 ∕11∕0 1∕ ∕1∕ 0 0. 0 11∕ 0 11∕∕ 1∕ 1∕ 1∕1∕0 1∕1 1∕1∕0. ∕10 ∕∕10 ∕ 1∕11 ∕01∕11 ∕0 1 1∕1 1∕. a6 a6 0. Z. Zwei Anwendungen. a7 a7 0. SS2015.
(69) Einleitung. mit Flüssen. 3:8. 24∕32. Idee. Altern. Pfade. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. <. Blüten. > Walter Unger 15.7.2015 10:58. Bipartites Matching und Flüsse s 0. 1 0∕ 1∕ 0∕ 1∕01 1∕0 1∕ ∕1∕ 1 0 0. 10 ∕ 0∕ 1∕ 1∕ 0 0 1. ∕0 ∕1 ∕0 1 1 ∕1 1 1∕1∕0 1∕1∕0. 1 0∕1∕01 0∕1∕0 t 0. a5 a5 0. 1. 0 1∕0 1∕ 0∕ 1∕01∕ 1∕0 1∕ 0∕. 0∕ 0∕ 1∕0 1∕ 0. 0∕ 0∕ 1∕0 1∕ 0. 1. 0∕ 0∕ 1∕0 1∕ 0. 1. a4 a4 0 1∕ 1∕ 1∕ 1∕ 0 1 0. 0∕ 0∕ 1∕0 1∕ 0. b7 b7 0 1∕1∕0 1∕1∕0 1 0 1∕ 0∕ 1∕0 0∕. 1. b6 b6 0. 1 0 1∕ 0∕ 1∕0 0∕ 1∕1∕0 1∕1∕0 1 0 1∕ 0∕ 1∕0 0∕. a3 a3 0 1∕1 1∕1 ∕ 1∕1 01∕1 ∕0 ∕0 ∕0. 1. ∕0 ∕1 ∕0 1 1 ∕1 1. a2 a2 10. b5 b5 0. 1. b4 b4 0. 1 0 1∕ 0∕ 1∕0 0∕ 0∕1∕0 1 0∕1∕0 1 0 1∕ 0∕ 1∕0 0∕. 0 1∕ 0 1∕ 1 1∕1∕ 0∕1∕0 1 0∕1∕0 Σ=0 a1 a1 0. b3 b3 0. 1∕ 1∕ 1∕0 1∕ 0 1. b2 b2 0. 1∕ 1∕ 1∕0 1∕ 0 1. b1 b1 0. 1. 1 1 ∕0 1∕0 1 ∕ 0 1 ∕01∕ 1∕ 1∕1 1∕. Z. Zwei Anwendungen. a6 a6 01. a7 a7 0. SS2015.
(70) Einleitung. mit Flüssen. 3:8. 25∕32. Idee. Altern. Pfade. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. <. Blüten. > Walter Unger 15.7.2015 10:58. Bipartites Matching und Flüsse s 0. 1 0∕ 1∕ 0∕ 1∕01 1∕0 1∕ ∕1∕ 1 0 0. 10 ∕ 0∕ 1 ∕ 1∕ 1 1 1. ∕0 ∕1 ∕0 1 1 ∕1 1 1∕1∕0 1∕1∕0. 1 0∕1∕01 0∕1∕0 t 0. a5 a5 0. 1. 1 1∕0 1∕ 0∕ 1∕11∕ 1∕0 1∕ 0∕. 0∕ 0∕ 1∕0 1∕ 0. 0∕ 0∕ 1∕0 1∕ 0. 1. 0∕ 0∕ 1∕0 1∕ 0. 1. a4 a4 0 1∕ 1∕ 1∕ 1∕ 0 1 0. 0∕ 0∕ 1∕1 1∕ 1. b7 b7 0 1∕1∕0 1∕1∕0 1 0 1∕ 0∕ 1∕0 0∕. 1. b6 b6 0. 1 1 1∕ 0∕ 1∕1 0∕ 1∕1∕0 1∕1∕0 1 1 1 1∕ 0∕ 1∕1 0∕. a3 a3 0 1∕1 1∕1 ∕ 1∕1 01∕1 ∕0 ∕0 ∕0. 1. ∕0 ∕1 ∕0 1 1 ∕1 1. a2 a2 10. b5 b5 0. 1. b4 b4 0. 1 0 1∕ 0∕ 1∕0 0∕ 0∕1∕0 1 0∕1∕0 1 1 1∕ 0∕ 1∕1 0∕. 0 1∕ 0 1∕ 1 1∕1∕ 0∕1∕1 1 1 0∕1∕1 Σ=0 a1 a1 0. b3 b3 0. 1∕ 1∕ 1∕0 1∕ 0 1. b2 b2 0. 1∕ 1∕ 1∕0 1∕ 0 1. b1 b1 0. 1. 1 1 ∕0 1∕0 1 ∕ 0 1 ∕01∕ 1∕ 1∕1 1∕. Z. Zwei Anwendungen. a6 a6 01. a7 a7 0. SS2015.
(71) Einleitung. mit Flüssen. 3:8. 26∕32. Idee. Altern. Pfade. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. <. Blüten. > Walter Unger 15.7.2015 10:58. Bipartites Matching und Flüsse s 0. 11 ∕10 11∕ 11∕∕ 1∕ 11∕11∕ 1∕0 1∕ 1∕. b7 b7 0. 0∕ 0∕ 11∕0 1∕ 0. 0∕ 0∕ 11∕0 1∕ 0 1 t 0. a5 a5 0 1∕ 1∕ 11∕∕1 1∕ 0 0. 1∕ 1∕ 1∕1 11∕ 1. 0∕1 0∕ 11∕0 1∕ 0. b6 b6 0. 1∕1∕0 1∕1 1∕1∕0 0 1∕ 0∕1 1∕0 0∕. a4 a4 0 0∕1∕0 1 0∕1∕0. 0 11∕ 0 11∕∕ 1∕ 1∕. a3 a3 0 11∕ ∕11∕ 1 11∕∕11 1∕1 0 ∕1 ∕0 ∕0 ∕0. b5 b5 0. 1 1∕ 1∕ 1∕1 1∕1 0∕1∕0 1 0∕1∕0 1 1∕ 1∕ 1∕1 1∕1. 1 1∕ 1∕ 1∕1 1∕1. a2 a2 0. b4 b4 0. 0 1∕ 0∕1 1∕0 0∕ 0∕1∕0 1 0∕1∕0. 0 11∕ 0∕1 1∕0 0∕ 1∕1∕1 1∕1 1∕1∕1 1 Σ=0 a1 a1 0. b3 b3 0. 0∕ 0∕ 11∕0 1∕ 0. 1∕ 1∕ 11∕∕1 11∕ 1 1. b2 b2 0. 0∕1 0∕ 11∕0 1∕ 0. b1 b1 0. 0∕1 11∕ 0∕ 1∕01 ∕11∕0 1∕ ∕1∕ 0 0. 0 11∕ 0 11∕∕ 1∕ 1∕ 1∕1∕0 1∕1 1∕1∕0. ∕10 ∕∕10 ∕ 1∕11 ∕01∕11 ∕0 1 1∕1 1∕. a6 a6 0. Z. Zwei Anwendungen. a7 a7 0. SS2015.
(72) Einleitung. mit Flüssen. 3:8. 27∕32. Idee. Altern. Pfade. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. <. Blüten. > Walter Unger 15.7.2015 10:58. Bipartites Matching und Flüsse s 0. 0∕ 0∕ 11∕0 1∕ 0. 0∕ 0∕ 11∕0 1∕ 0 t 0. a5 a5 0. 10 ∕10 11∕ 11∕∕ 1∕ 1∕01∕ 1∕0 1∕ 1∕. 1∕ 1∕ 11∕∕1 1∕ 0 0. 1∕ 1∕ 1∕10 1∕ 0. 0∕ 0∕ 11∕0 1∕ 0. b6 b6 0. b7 b7 0 1∕1∕0 1∕1 1∕1∕0 0 1∕ 0∕1 1∕0 0∕. a4 a4 0 0∕1∕0 1 0∕1∕0. 0 11∕ 0 11∕∕ 1∕ 1∕. a3 a3 0 11∕ ∕11∕ 1 11∕∕11 1∕1 0 ∕1 ∕0 ∕0 ∕0. b5 b5 0. 0 1∕ 1∕ 1∕0 1∕ 0∕1∕0 1 0∕1∕0 0 1∕ 1∕ 1∕0 1∕. 0 1∕ 1∕ 1∕0 1∕. a2 a2 0. b4 b4 0. 0 1∕ 0∕1 1∕0 0∕ 0∕1∕0 1 0∕1∕0. 0 1∕ 0∕1 1∕0 0∕ 1∕1∕0 1∕1 1∕1∕0 Σ=0 a1 a1 0. b3 b3 0. 0∕ 0∕ 11∕0 1∕ 0. 1∕ 1∕ 11∕∕1 1∕ 0 0. b2 b2 0. 0∕ 0∕ 11∕0 1∕ 0. b1 b1 0. 0∕1 11∕ 0∕ 1∕01 ∕11∕0 1∕ ∕1∕ 0 0. 0 11∕ 0 11∕∕ 1∕ 1∕ 1∕1∕0 1∕1 1∕1∕0. ∕10 ∕∕10 ∕ 1∕11 ∕01∕11 ∕0 1 1∕1 1∕. a6 a6 0. Z. Zwei Anwendungen. a7 a7 0. SS2015.
(73) Einleitung. mit Flüssen. 3:8. 28∕32. Idee. Altern. Pfade. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. <. Blüten. > Walter Unger 15.7.2015 10:58. Bipartites Matching und Flüsse. 1 0∕ 1∕ 0∕ 1∕01 1∕0 1∕ ∕1∕ 1 0 0. 1. 1∕ 1∕ 1∕ 1∕ 0 1 0. b3 b3 0. b4 b4 0. b5 b5 0. t 0. a5 a5 0. 1. 0 1∕0 1∕ 1∕ 1∕01∕ 1∕0 1∕ 1∕. 1. 0∕ 0∕ 1∕0 1∕ 0. 1. 0∕ 0∕ 1∕0 1∕ 0. 1. 0∕ 0∕ 1∕0 1∕ 0. 1. 0∕ 0∕ 1∕0 1∕ 0. 1. 0∕ 0∕ 1∕0 1∕ 0. 1. 1. a4 a4 0 0∕1∕01 0∕1∕0. ∕0 ∕1 ∕0 1 1 ∕1 1. a3 a3 0 1∕1 1∕1 ∕ 1∕1 01∕1 ∕0 ∕0 ∕0. 1. b7 b7 0 1∕1∕0 1∕1∕0 1 0 1∕ 0∕ 1∕0 0∕. 0 1∕ 0 1∕ 1 1∕1∕ 0∕1∕0 1 0∕1∕0 0 1∕ 1∕ 1∕0 1∕. 1 0 1∕ 0∕ 1∕0 0∕ 0∕1∕0 1 0∕1∕0 0 1∕ 1∕ 1∕0 1∕. a2 a2 10. b6 b6 0. 1. 1. 1 0 1∕ 0∕ 1∕0 0∕ 1∕1∕0 1∕1∕0. Σ=0 a1 a1 0. 1∕ 1∕ 1∕ 1∕ 0 1 0. b2 b2 0. 1∕ 1∕ 1∕0 1∕ 0 1. b1 b1 0. s 0. ∕0 ∕1 ∕0 1 1 ∕1 1 1∕1∕0 1∕1∕0. 1 1 ∕0 1∕0 1 ∕ 0 1 ∕01∕ 1∕ 1∕1 1∕. Z. Zwei Anwendungen. a6 a6 01. a7 a7 0. SS2015.
(74) Einleitung. mit Flüssen. 3:8. 29∕32. Idee. Altern. Pfade. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. <. Blüten. > Walter Unger 15.7.2015 10:58. Bipartites Matching und Flüsse. 1 0∕ 1∕ 0∕ 1∕11 1∕0 1∕ ∕1∕ 1 0 1. 1. 1∕ 1∕ 1∕ 1∕ 0 1 0. b3 b3 0. b4 b4 0. b5 b5 0. t 0. a5 a5 0. 1. 0 1∕0 1∕ 1∕ 1∕01∕ 1∕0 1∕ 1∕. 1. 0∕ 0∕ 1∕0 1∕ 0. 1. 0∕ 0∕ 1∕1 1∕ 1. 1. 0∕ 0∕ 1∕0 1∕ 0. 1. 0∕ 0∕ 1∕1 1∕ 1. 1. 0∕ 0∕ 1∕1 1∕ 1. 1. 1. a4 a4 0 0∕1∕1 1 1 0∕1∕1. ∕0 ∕1 ∕0 1 1 ∕1 1. a3 a3 0 1∕1 1∕1 ∕ 1∕1 01∕1 ∕0 ∕0 ∕0. 1. b7 b7 0 1∕1∕0 1∕1∕0 1 0 1∕ 0∕ 1∕0 0∕. 0 1∕ 0 1∕ 1 1∕1∕ 0∕1∕0 1 0∕1∕0 0 1∕ 1∕ 1∕0 1∕. 1 1 1∕ 0∕ 1∕1 0∕ 0∕1∕0 1 0∕1∕0 0 1∕ 1∕ 1 ∕0 1∕. a2 a2 10. b6 b6 0. 1. 1. 1 1 1∕ 0∕ 1∕1 0∕ 1∕1∕0 1∕1∕0 1. Σ=0 a1 a1 0. 1∕ 1∕ 1∕ 1∕ 0 1 0. b2 b2 0. 1∕ 1∕ 1∕0 1∕ 0 1. b1 b1 0. s 0. ∕0 ∕1 ∕0 1 1 ∕1 1 1∕1∕0 1∕1∕0. 1 1 ∕0 1∕0 1 ∕ 0 1 ∕01∕ 1∕ 1∕1 1∕. Z. Zwei Anwendungen. a6 a6 01. a7 a7 0. SS2015.
(75) Einleitung. mit Flüssen. 3:8. 30∕32. Idee. Altern. Pfade. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. <. Blüten. > Walter Unger 15.7.2015 10:58. Bipartites Matching und Flüsse s 0. 1∕ 1∕ 1∕1 11∕ 1. 0∕ 0∕ 11∕0 1∕ 0 t 0. a5 a5 0. 10 ∕10 11∕ 11∕∕ 1∕ 1∕01∕ 1∕0 1∕ 1∕. 1∕ 1∕ 11∕∕1 1∕ 0 0. 0∕1 0∕ 11∕0 1∕ 0. 1. 1∕ 1∕ 1∕1 11∕ 1. b6 b6 0. b7 b7 0 1∕1∕0 1∕1 1∕1∕0 0 1∕ 0∕1 1∕0 0∕. a4 a4 0 1∕1∕1 1∕1 1∕1∕1 1. 0 11∕ 0 11∕∕ 1∕ 1∕. a3 a3 0 11∕ ∕11∕ 1 11∕∕11 1∕1 0 ∕1 ∕0 ∕0 ∕0. b5 b5 0. 0 1∕ 1∕ 1∕0 1∕ 0∕1∕0 1 0∕1∕0 0 11∕ 0∕1 1∕0 0∕. 0 11∕ 0∕1 1∕0 0∕. a2 a2 0. b4 b4 0. 1 1∕ 1∕ 1∕1 1∕1 0∕1∕0 1 0∕1∕0. 1 1∕ 1∕ 1∕1 1∕1 0∕1∕0 1 0∕1∕0 Σ=0 a1 a1 0. b3 b3 0. 0∕ 0∕ 11∕0 1∕ 0. 1∕ 1∕ 11∕∕1 1∕ 0 0. b2 b2 0. 1∕ 1∕ 1∕1 11∕ 1. b1 b1 0. 11∕∕ 11∕ 1∕1 11∕11 ∕11∕0 1∕ ∕1∕ 0 1. 0 11∕ 0 11∕∕ 1∕ 1∕ 1∕1∕0 1∕1 1∕1∕0. ∕10 ∕∕10 ∕ 1∕11 ∕01∕11 ∕0 1 1∕1 1∕. a6 a6 0. Z. Zwei Anwendungen. a7 a7 0. SS2015.
(76) Einleitung. mit Flüssen. 3:8. 31∕32. Idee. Altern. Pfade. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. <. Blüten. > Walter Unger 15.7.2015 10:58. Bipartites Matching und Flüsse s 0. 1∕ 1∕ 1∕10 1∕ 0. 0∕ 0∕ 11∕0 1∕ 0. 0∕ 0∕ 11∕0 1∕ 0 t 0. a5 a5 0. 10 ∕10 11∕ 11∕∕ 1∕ 1∕01∕ 1∕0 1∕ 1∕. 1∕ 1∕ 11∕∕1 1∕ 0 0. 1∕ 1∕ 1∕10 1∕ 0. b6 b6 0. b7 b7 0 1∕1∕0 1∕1 1∕1∕0 0 1∕ 0∕1 1∕0 0∕. a4 a4 0 1∕1∕0 1∕1 1∕1∕0. 0 11∕ 0 11∕∕ 1∕ 1∕. a3 a3 0 11∕ ∕11∕ 1 11∕∕11 1∕1 0 ∕1 ∕0 ∕0 ∕0. b5 b5 0. 0 1∕ 1∕ 1∕0 1∕ 0∕1∕0 1 0∕1∕0 0 1∕ 0∕1 1∕0 0∕. 0 1∕ 0∕1 1∕0 0∕. a2 a2 0. b4 b4 0. 0 1∕ 1∕ 1∕0 1∕ 0∕1∕0 1 0∕1∕0. 0 1∕ 1∕ 1∕0 1∕ 0∕1∕0 1 0∕1∕0 Σ=0 a1 a1 0. b3 b3 0. 0∕ 0∕ 11∕0 1∕ 0. 1∕ 1∕ 11∕∕1 1∕ 0 0. b2 b2 0. 1∕ 1∕ 1∕10 1∕ 0. b1 b1 0. 11∕∕ 11∕ 1∕ 11∕01 ∕11∕0 1∕ ∕1∕ 0 0. 0 11∕ 0 11∕∕ 1∕ 1∕ 1∕1∕0 1∕1 1∕1∕0. ∕10 ∕∕10 ∕ 1∕11 ∕01∕11 ∕0 1 1∕1 1∕. a6 a6 0. Z. Zwei Anwendungen. a7 a7 0. SS2015.
(77) Einleitung. mit Flüssen. 3:8. 32∕32. Idee. Altern. Pfade. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. <. Blüten. > Walter Unger 15.7.2015 10:58. Bipartites Matching und Flüsse. 1. 0 1∕0 1∕ 1∕ 1∕01∕ 1∕0 1∕ 1∕. 1. 0∕ 0∕ 1∕0 1∕ 0. 1∕ 1∕ 1∕0 1∕ 0 1. 0∕ 0∕ 1∕0 1∕ 0. 1. 1. 1∕1∕0 1∕1∕0 t 0. a5 a5 0 1∕ 1∕ 1∕ 1∕ 0 1 0. a4 a4 0. b7 b7 0. 1. 1. 1∕ 1∕ 1∕ 1∕ 0 1 0. 0∕ 0∕ 1∕0 1∕ 0. b6 b6 0. 1∕1∕0 1∕1∕0 1 0 1∕ 0∕ 1∕0 0∕. 1. b5 b5 0. 0 1∕ 0 1∕ 1 1∕1∕ 0∕1∕0 1 0∕1∕0 1 0 1∕ 0∕ 1∕0 0∕. a3 a3 0 1∕1 1∕1 ∕ 1∕1 01∕1 ∕0 ∕0 ∕0. 1. ∕0 ∕1 ∕0 1 1 ∕1 1. a2 a2 10. 1 1 1∕ 1∕ 1∕ 1∕01 1∕0 1∕ ∕1∕ 0 0. b4 b4 0. 0 1∕ 0 1∕ 1 1∕1∕ 0∕1∕0 1 0∕1∕0 1 0 1∕ 0∕ 1∕0 0∕. 0 1∕ 0 1∕ 1 1∕1∕ 0∕1∕0 1 0∕1∕0 Σ=0 a1 a1 0. b3 b3 0. 1∕ 1∕ 1∕0 1∕ 0 1. b2 b2 0. 1∕ 1∕ 1∕0 1∕ 0 1. b1 b1 0. s 0. ∕0 ∕1 ∕0 1 1 ∕1 1 1∕1∕0 1∕1∕0. 1 1 ∕0 1∕0 1 ∕ 0 1 ∕01∕ 1∕ 1∕1 1∕. Z. Zwei Anwendungen. a6 a6 01. a7 a7 0. SS2015.
(78) Einleitung 3:9. mit Flüssen. Transformation. Altern. Pfade. verbesserte Laufzeit. 1∕10. mit Kosten. <. Blüten. Z. Zwei Anwendungen. > Walter Unger 15.7.2015 10:58. SS2015. Formale Transformation Sei G = (V , W , E ) bipartiter Graph. Bestimme G ′ = (V ∪ W ∪ {s, t}, E ′ ) mit: E ′ = E ′′ ∪ Es ∪ Et E ′′ = {(v , w ) ∣ {v , w } ∈ E ∧ v ∈ V ∧ w ∈ W } Es = {(s, v ) ∣ v ∈ V } Et = {(w , t) ∣ w ∈ W } Setze c ∶ E ′ ↦ N mit ∀e ∈ E ′ ∶ c(e) = 1. Lemma Das bipartite Matchingproblem kann in Zeit O(n + m) auf das Flussproblem transformiert werden. G hat Matching der Größe α genau dann, wenn w (G ′ ) = α. Theorem Das maximum Matching Problem ist auf bipartiten Graphen in Zeit O(n3 ) lösbar..
(79) Einleitung 3:9. mit Flüssen. Transformation. Altern. Pfade. verbesserte Laufzeit. 2∕10. mit Kosten. <. Blüten. Z. Zwei Anwendungen. > Walter Unger 15.7.2015 10:58. SS2015. Formale Transformation Sei G = (V , W , E ) bipartiter Graph. Bestimme G ′ = (V ∪ W ∪ {s, t}, E ′ ) mit: E ′ = E ′′ ∪ Es ∪ Et E ′′ = {(v , w ) ∣ {v , w } ∈ E ∧ v ∈ V ∧ w ∈ W } Es = {(s, v ) ∣ v ∈ V } Et = {(w , t) ∣ w ∈ W } Setze c ∶ E ′ ↦ N mit ∀e ∈ E ′ ∶ c(e) = 1. Lemma Das bipartite Matchingproblem kann in Zeit O(n + m) auf das Flussproblem transformiert werden. G hat Matching der Größe α genau dann, wenn w (G ′ ) = α. Theorem Das maximum Matching Problem ist auf bipartiten Graphen in Zeit O(n3 ) lösbar..
(80) Einleitung 3:9. mit Flüssen. Transformation. Altern. Pfade. verbesserte Laufzeit. 3∕10. mit Kosten. <. Blüten. Z. Zwei Anwendungen. > Walter Unger 15.7.2015 10:58. SS2015. Formale Transformation Sei G = (V , W , E ) bipartiter Graph. Bestimme G ′ = (V ∪ W ∪ {s, t}, E ′ ) mit: E ′ = E ′′ ∪ Es ∪ Et E ′′ = {(v , w ) ∣ {v , w } ∈ E ∧ v ∈ V ∧ w ∈ W } Es = {(s, v ) ∣ v ∈ V } Et = {(w , t) ∣ w ∈ W } Setze c ∶ E ′ ↦ N mit ∀e ∈ E ′ ∶ c(e) = 1. Lemma Das bipartite Matchingproblem kann in Zeit O(n + m) auf das Flussproblem transformiert werden. G hat Matching der Größe α genau dann, wenn w (G ′ ) = α. Theorem Das maximum Matching Problem ist auf bipartiten Graphen in Zeit O(n3 ) lösbar..
(81) Einleitung 3:9. mit Flüssen. Transformation. Altern. Pfade. verbesserte Laufzeit. 4∕10. mit Kosten. <. Blüten. Z. Zwei Anwendungen. > Walter Unger 15.7.2015 10:58. SS2015. Formale Transformation Sei G = (V , W , E ) bipartiter Graph. Bestimme G ′ = (V ∪ W ∪ {s, t}, E ′ ) mit: E ′ = E ′′ ∪ Es ∪ Et E ′′ = {(v , w ) ∣ {v , w } ∈ E ∧ v ∈ V ∧ w ∈ W } Es = {(s, v ) ∣ v ∈ V } Et = {(w , t) ∣ w ∈ W } Setze c ∶ E ′ ↦ N mit ∀e ∈ E ′ ∶ c(e) = 1. Lemma Das bipartite Matchingproblem kann in Zeit O(n + m) auf das Flussproblem transformiert werden. G hat Matching der Größe α genau dann, wenn w (G ′ ) = α. Theorem Das maximum Matching Problem ist auf bipartiten Graphen in Zeit O(n3 ) lösbar..
(82) Einleitung 3:9. mit Flüssen. Transformation. Altern. Pfade. verbesserte Laufzeit. 5∕10. mit Kosten. <. Blüten. Z. Zwei Anwendungen. > Walter Unger 15.7.2015 10:58. SS2015. Formale Transformation Sei G = (V , W , E ) bipartiter Graph. Bestimme G ′ = (V ∪ W ∪ {s, t}, E ′ ) mit: E ′ = E ′′ ∪ Es ∪ Et E ′′ = {(v , w ) ∣ {v , w } ∈ E ∧ v ∈ V ∧ w ∈ W } Es = {(s, v ) ∣ v ∈ V } Et = {(w , t) ∣ w ∈ W } Setze c ∶ E ′ ↦ N mit ∀e ∈ E ′ ∶ c(e) = 1. Lemma Das bipartite Matchingproblem kann in Zeit O(n + m) auf das Flussproblem transformiert werden. G hat Matching der Größe α genau dann, wenn w (G ′ ) = α. Theorem Das maximum Matching Problem ist auf bipartiten Graphen in Zeit O(n3 ) lösbar..
(83) Einleitung 3:9. mit Flüssen. Transformation. Altern. Pfade. verbesserte Laufzeit. 6∕10. mit Kosten. <. Blüten. Z. Zwei Anwendungen. > Walter Unger 15.7.2015 10:58. SS2015. Formale Transformation Sei G = (V , W , E ) bipartiter Graph. Bestimme G ′ = (V ∪ W ∪ {s, t}, E ′ ) mit: E ′ = E ′′ ∪ Es ∪ Et E ′′ = {(v , w ) ∣ {v , w } ∈ E ∧ v ∈ V ∧ w ∈ W } Es = {(s, v ) ∣ v ∈ V } Et = {(w , t) ∣ w ∈ W } Setze c ∶ E ′ ↦ N mit ∀e ∈ E ′ ∶ c(e) = 1. Lemma Das bipartite Matchingproblem kann in Zeit O(n + m) auf das Flussproblem transformiert werden. G hat Matching der Größe α genau dann, wenn w (G ′ ) = α. Theorem Das maximum Matching Problem ist auf bipartiten Graphen in Zeit O(n3 ) lösbar..
(84) Einleitung 3:9. mit Flüssen. Transformation. Altern. Pfade. verbesserte Laufzeit. 7∕10. mit Kosten. <. Blüten. Z. Zwei Anwendungen. > Walter Unger 15.7.2015 10:58. SS2015. Formale Transformation Sei G = (V , W , E ) bipartiter Graph. Bestimme G ′ = (V ∪ W ∪ {s, t}, E ′ ) mit: E ′ = E ′′ ∪ Es ∪ Et E ′′ = {(v , w ) ∣ {v , w } ∈ E ∧ v ∈ V ∧ w ∈ W } Es = {(s, v ) ∣ v ∈ V } Et = {(w , t) ∣ w ∈ W } Setze c ∶ E ′ ↦ N mit ∀e ∈ E ′ ∶ c(e) = 1. Lemma Das bipartite Matchingproblem kann in Zeit O(n + m) auf das Flussproblem transformiert werden. G hat Matching der Größe α genau dann, wenn w (G ′ ) = α. Theorem Das maximum Matching Problem ist auf bipartiten Graphen in Zeit O(n3 ) lösbar..
(85) Einleitung 3:9. mit Flüssen. Transformation. Altern. Pfade. verbesserte Laufzeit. 8∕10. mit Kosten. <. Blüten. Z. Zwei Anwendungen. > Walter Unger 15.7.2015 10:58. SS2015. Formale Transformation Sei G = (V , W , E ) bipartiter Graph. Bestimme G ′ = (V ∪ W ∪ {s, t}, E ′ ) mit: E ′ = E ′′ ∪ Es ∪ Et E ′′ = {(v , w ) ∣ {v , w } ∈ E ∧ v ∈ V ∧ w ∈ W } Es = {(s, v ) ∣ v ∈ V } Et = {(w , t) ∣ w ∈ W } Setze c ∶ E ′ ↦ N mit ∀e ∈ E ′ ∶ c(e) = 1. Lemma Das bipartite Matchingproblem kann in Zeit O(n + m) auf das Flussproblem transformiert werden. G hat Matching der Größe α genau dann, wenn w (G ′ ) = α. Theorem Das maximum Matching Problem ist auf bipartiten Graphen in Zeit O(n3 ) lösbar..
(86) Einleitung 3:9. mit Flüssen. Transformation. Altern. Pfade. verbesserte Laufzeit. 9∕10. mit Kosten. <. Blüten. Z. Zwei Anwendungen. > Walter Unger 15.7.2015 10:58. SS2015. Formale Transformation Sei G = (V , W , E ) bipartiter Graph. Bestimme G ′ = (V ∪ W ∪ {s, t}, E ′ ) mit: E ′ = E ′′ ∪ Es ∪ Et E ′′ = {(v , w ) ∣ {v , w } ∈ E ∧ v ∈ V ∧ w ∈ W } Es = {(s, v ) ∣ v ∈ V } Et = {(w , t) ∣ w ∈ W } Setze c ∶ E ′ ↦ N mit ∀e ∈ E ′ ∶ c(e) = 1. Lemma Das bipartite Matchingproblem kann in Zeit O(n + m) auf das Flussproblem transformiert werden. G hat Matching der Größe α genau dann, wenn w (G ′ ) = α. Theorem Das maximum Matching Problem ist auf bipartiten Graphen in Zeit O(n3 ) lösbar..
(87) Einleitung 3:9. mit Flüssen. Transformation. Altern. Pfade. verbesserte Laufzeit. 10∕10. mit Kosten. <. Blüten. Z. Zwei Anwendungen. > Walter Unger 15.7.2015 10:58. SS2015. Formale Transformation Sei G = (V , W , E ) bipartiter Graph. Bestimme G ′ = (V ∪ W ∪ {s, t}, E ′ ) mit: E ′ = E ′′ ∪ Es ∪ Et E ′′ = {(v , w ) ∣ {v , w } ∈ E ∧ v ∈ V ∧ w ∈ W } Es = {(s, v ) ∣ v ∈ V } Et = {(w , t) ∣ w ∈ W } Setze c ∶ E ′ ↦ N mit ∀e ∈ E ′ ∶ c(e) = 1. Lemma Das bipartite Matchingproblem kann in Zeit O(n + m) auf das Flussproblem transformiert werden. G hat Matching der Größe α genau dann, wenn w (G ′ ) = α. Theorem Das maximum Matching Problem ist auf bipartiten Graphen in Zeit O(n3 ) lösbar..
(88) Einleitung 3:10. mit Flüssen. Transformation. Altern. Pfade 1∕11. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. <. Blüten. Z. Zwei Anwendungen. > Walter Unger 15.7.2015 10:58. SS2015. Formale Transformation mit Kostenfunktion Sei G = (V , W , E ) bipartiter Graph und l ∶ E ↦ Z. Bestimme G ′ = (V ∪ W ∪ {s, t}, E ′ ) und l ′ ∶ E ′ ↦ Z mit: E ′ = E ′′ ∪ Es ∪ Et E ′′ = {(v , w ) ∣ {v , w } ∈ E ∧ v ∈ V ∧ w ∈ W } Es = {(s, v ) ∣ v ∈ V } und Et = {(w , t) ∣ w ∈ W }. ∀(v , w ) ∈ E ′′ ∶ l ′ (v , w ) = l(v , w ). ∀e ∈ Es ∪ Et ∶ l ′ (e) = 0. Setze c ∶ E ′ ↦ N mit ∀e ∈ E ′ ∶ c(e) = 1. Lemma Das bipartite Matchingproblem mit Kosten kann in Zeit O(n + m) auf das Flussproblem mit Kosten transformiert werden. Theorem G hat Matching der Größe α mit Kosten β genau dann, wenn w (G ′ ) = α und die Kosten des Flusses sind β..
(89) Einleitung 3:10. mit Flüssen. Transformation. Altern. Pfade 2∕11. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. <. Blüten. Z. Zwei Anwendungen. > Walter Unger 15.7.2015 10:58. SS2015. Formale Transformation mit Kostenfunktion Sei G = (V , W , E ) bipartiter Graph und l ∶ E ↦ Z. Bestimme G ′ = (V ∪ W ∪ {s, t}, E ′ ) und l ′ ∶ E ′ ↦ Z mit: E ′ = E ′′ ∪ Es ∪ Et E ′′ = {(v , w ) ∣ {v , w } ∈ E ∧ v ∈ V ∧ w ∈ W } Es = {(s, v ) ∣ v ∈ V } und Et = {(w , t) ∣ w ∈ W }. ∀(v , w ) ∈ E ′′ ∶ l ′ (v , w ) = l(v , w ). ∀e ∈ Es ∪ Et ∶ l ′ (e) = 0. Setze c ∶ E ′ ↦ N mit ∀e ∈ E ′ ∶ c(e) = 1. Lemma Das bipartite Matchingproblem mit Kosten kann in Zeit O(n + m) auf das Flussproblem mit Kosten transformiert werden. Theorem G hat Matching der Größe α mit Kosten β genau dann, wenn w (G ′ ) = α und die Kosten des Flusses sind β..
(90) Einleitung 3:10. mit Flüssen. Transformation. Altern. Pfade 3∕11. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. <. Blüten. Z. Zwei Anwendungen. > Walter Unger 15.7.2015 10:58. SS2015. Formale Transformation mit Kostenfunktion Sei G = (V , W , E ) bipartiter Graph und l ∶ E ↦ Z. Bestimme G ′ = (V ∪ W ∪ {s, t}, E ′ ) und l ′ ∶ E ′ ↦ Z mit: E ′ = E ′′ ∪ Es ∪ Et E ′′ = {(v , w ) ∣ {v , w } ∈ E ∧ v ∈ V ∧ w ∈ W } Es = {(s, v ) ∣ v ∈ V } und Et = {(w , t) ∣ w ∈ W }. ∀(v , w ) ∈ E ′′ ∶ l ′ (v , w ) = l(v , w ). ∀e ∈ Es ∪ Et ∶ l ′ (e) = 0. Setze c ∶ E ′ ↦ N mit ∀e ∈ E ′ ∶ c(e) = 1. Lemma Das bipartite Matchingproblem mit Kosten kann in Zeit O(n + m) auf das Flussproblem mit Kosten transformiert werden. Theorem G hat Matching der Größe α mit Kosten β genau dann, wenn w (G ′ ) = α und die Kosten des Flusses sind β..
(91) Einleitung 3:10. mit Flüssen. Transformation. Altern. Pfade 4∕11. verbesserte Laufzeit. mit Kosten. <. Blüten. Z. Zwei Anwendungen. > Walter Unger 15.7.2015 10:58. SS2015. Formale Transformation mit Kostenfunktion Sei G = (V , W , E ) bipartiter Graph und l ∶ E ↦ Z. Bestimme G ′ = (V ∪ W ∪ {s, t}, E ′ ) und l ′ ∶ E ′ ↦ Z mit: E ′ = E ′′ ∪ Es ∪ Et E ′′ = {(v , w ) ∣ {v , w } ∈ E ∧ v ∈ V ∧ w ∈ W } Es = {(s, v ) ∣ v ∈ V } und Et = {(w , t) ∣ w ∈ W }. ∀(v , w ) ∈ E ′′ ∶ l ′ (v , w ) = l(v , w ). ∀e ∈ Es ∪ Et ∶ l ′ (e) = 0. Setze c ∶ E ′ ↦ N mit ∀e ∈ E ′ ∶ c(e) = 1. Lemma Das bipartite Matchingproblem mit Kosten kann in Zeit O(n + m) auf das Flussproblem mit Kosten transformiert werden. Theorem G hat Matching der Größe α mit Kosten β genau dann, wenn w (G ′ ) = α und die Kosten des Flusses sind β..
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