Hydrologie und

Hydrologie und

Flussgebietsmanagement

o.Univ.Prof. DI Dr. H.P. Nachtnebel

Institut für Wasserwirtschaft, Hydrologie und konstruktiver Wasserbau

Gliederung der Vorlesung

1. Statistische Grundlagen

2. Extremwertstatistik

3. Korrelation und Regression

4. Zeitreihenanalyse und Anwendung

5. Regionalisierung & räumliche Interpolation

6. Bodenwasserhaushalt

7. Grundwasserhaushalt

8. N-A Modelle – Einheitsganglinie

9. N-A Modelle – kombinierte Translations- und Speichermodelle

10. Retention und Flood Routing

11. Hydrologische Vorhersagen

12. Kontinuierliche Abfluss und Flussgebietsmodelle Stofftransport

Regionalisierung

¾

Ist wesentlich in der Hydrologie, da meist nur Punktdaten vorliegen, aber Aussagen über

andere Orte (wo keine Messstelle ist), bzw. über Flächen (Kartierung) benötigt werden

¾

Bodenkarte: aus Punktmessungen erstellt und

„homogene“ Bereich ausgewiesen

¾

Die meisten Verfahren beruhen auf Interpolation

Regionalisierung

¾ Darstellung von Feldern hydrologischer Daten und Parameter (Isolinien)

¾ Glättung räumlicher Verteilungen

¾ Ausweisung homogener Teilgebiete

¾ Übertragung von Punktinformation innerhalb eines Gebietes (auf die Fläche)

¾ Übertragung von Punktinformation aus einem Gebiet auf Punkte eines anderen Gebiets

¾ Änderung von Modellparametern bei Übertragung auf andere räumliche Skala

¾ Abhängigkeit von Modellparametern von gebiets-

Beispiel für Interpolation

¾

Heterogene Landschaft und einige Messstellen

Beispiel für Interpolation

¾

Die Berechnung der Verdunstung erfolgt durch

Gewichtung der Nutzungseinheiten

Jahresniederschlag in Österreich

Messnetz

Interpolation auf RasterInterpolation auf Flussgebiet

Allgemeines „Räumliche Interpolation“

¾ Hintergrund

• Hydrologische Daten weisen räumliche Variabilität auf (neben zeitlicher)

• Vergleich von Messwerten benachbarter Stationen

¾ Ziel

• Schätzung von Werten an einem nicht beobachteten Punkt

• Darstellung der räumlichen Variabilität

¾ Methodik

• Interpolationsverfahren deterministisch stochastisch

Regionalisierungsverfahren

¾ Anwendung

Interpolation

¾

Interpolation

• Schätzung von Werten an nicht beobachteten Stellen

¾

Unterteilung

• Globale Schätzung

z Schätzung eines charakteristischen Wertes für das Beobachtungsgebiet

• Punktschätzung

z Ermittlung der Werte an einem bestimmten Punkt P(X,Y)

¾

Methodik

• Prinzip der gewichteten linearen Kombination Globale Schätzung Punktschätzung

Globale Schätzung: Thiessen-Polygone

¾ Methodik

• Jeder Punkt erhält ein

Gewicht entsprechend des Flächenanteils des

zugehörigen Polygons Ai am Gesamtgebiet

• Geometrische Zuordnung jedes Punktes zur

nächstgelegenen Station

Globale Schätzung: Triangulierung

¾

Methodik

• Festlegung eines Dreiecksnetzes

• Messpunkte in den Knoten

• Jedem Dreieck wird der Mittelwert der Eckpunkte zugeordnet

Globale Schätzung: Rasterverfahren

¾

Methodik

• Gleichförmiges Raster über gesamtes Gebiet

• Jeder Messwert erhält Gewicht, das (1/Anzahl der Messwerte der

entsprechenden Zelle) ist

• Summe des Gewichts jeder Zelle ist 1

z Nachteil

• Ergebnis ist von der Größe des gewählten Rasters abhängig

Globale Schätzung: Isohyetenmethode

¾

Anwendung

• Häufig für die Ermittlung des Gebietsniederschlages

¾

Methodik

• Interpolation der Isolinien des Niederschlags

• Flächen zwischen den

Isolinien stellen Gewicht für das Mittel der

Niederschlagshöhen dar

Beispiel: Messnetz und Nitratbelastung

x N123 x N212

Punktschätzung: Thiessen-Polygone

• Oberfläche der Schätzfunktion weist an den Polygongrenzen Sprünge auf

Punktschätzung: Triangulierung

¾

Methodik

z Durch Eckpunkte ist das jeweilige

Dreieck eindeutig definiert

z Bestimmung der

Parameter aus dem Gleichungssystem

¾

Vorteil

z Keine Sprünge an den Kanten

cy bx

a y

x

N( , ) = + +

1 1

1 1

1(x , y ) a bx cy

N = + +

2 2

2 2

2(x , y ) a bx cy

N = + +

Punktschätzung: Inverse Distanzmethode

¾

Methodik

• Jeder Messwert wird in Abhängigkeit vom Abstand zur Lage des gesuchten Punktes gewichtet

• Größeres Gewicht, wenn Messwert näher zum gesuchten Punkt liegt

α jk

j d

w = c

∑

= * ( , )

) ,

( _{k k j j j j}

k x y w N x y

N

Kriging

¾ Allgemeines

• Geostatistisches Verfahren zur Interpolation von räumlichen Daten

• Oberbegriff für stochastische Interpolationsverfahren

• Anfang der 60er von Krige (Bergbauingenieur in SA) entwickelt

• Mathematische Begründund durch Delhomme und G. Matheron, (Ecole des Mines, Frankreich)

• für geodätische Fragestellungen durch Krarup und Moritz über Kovarianzfunktionen weiterentwickelt (um 1969)

¾ Behandelt räumliche Zusammenhänge

¾ Ergebnis und Vorteil

• Schätzwert und dessen Schätzvarianz

¾ Idee

• Wenn 2 Punkte räumlich nahe beisammen sind, werden auch deren

Methodik

¾ Statistische Eigenschaften sind unabhängig von der Lage einer Messstelle

¾ Benachbarte Messstellen zeigen einen deutlicheren Zusammenhang als weit entfernt liegende Messstellen

P₁

P₂ P₃

P

5 P

6

Kriging

¾

Ist ein BLUE Estimator

Best Linear Unbiased Estimator

¾

Erlaubt die lineare Schätzung eines Wertes und die Ermittlung der Unsicherheit!

¾

Die Schätzung basiert auf der Analyse des

räumlichen Zusammenhanges (Variogramm)

Ordinary Kriging: Methodik

• Anzahl von Messpunkten mit Messwerten Z(.)

• Wähle einen beliebigen Anfangspunkt i

• Definiere Distanz d₁

• Suche alle jene Paare, die diese Distanzbedingung erfüllen

• Varianzen errechnen nach γ(d) = ½n∗Σ{ z(i) – z(j) } ²

• Gehe zum nächsten Punkt und setze die Methode fort

• Am Ende erhält man die Varianz der Messwerte, die etwa d₁

entfernt sind i

j

j

j j

j

d₁ d₂

j d₁

Ordinary Kriging

¾

Empirisches Variogramm

• Variogramm aus den errechneten Varianzen

Varianz

Distanz

d₁ d d₃

Empirisches Variogramm

Theoretisches Variogramm

¾

Theoretisches Variogramm

• Ermittlung einer passenden

Verteilung

Theoretische Variogramme

Theoretische Variogramme

¾ Nugget ist ein Maß für Streuung des Signals im Nahbereich (Messfehler)

Semivarianz für d = 0:

γ(d) = ½n∗Σ{ Z(i) – Z(i+d) } ² ⇒ γ(d) = 0

¾ Range gibt an, wie weit (räumlich) die Punkte korrelieren:

Innerhalb dieses Bereiches ist Interpolation sinnvoll.

¾ Sill gibt das Maximum des Semivariogramms

an. Dies ist ein Maß für die Varianz der beobach- teten Messwerte.

Theoretische Variogramme

¾ Grundannahmen sind:

Die Messwerte sind zufällig und räumlich stationär

¾ d.h.:

Die Schätzung statistischer Parameter ist unabhängig vom Ort

¾ Ähnlich wie bei Zeitreihen sind bei räumlichen Daten zuerst die Trends zu eliminieren

¾ Die räumliche Korrelation nimmt mit der Entfernung ab

Empirische Variogramme

¾

Nugget Effekt

drückt die lokale Variabilität aus

zB: es werden in kurzer Zeit am selben Ort

Messungen gemacht, die leicht variieren

Empirische Variogramme

γ(h) Die Messwerte haben

einen räumlichen

Trend und daher sind sie auch bei größerer Entfernung noch

korreliert Beispiel:

Grundwasserbelastung

Empirische Variogramme

h

γ(h) Die Messwerte zeigen in

Raum wiederkehrendes Verhalten

z.B. Messwerte aus

geologischen Formationen die sich wiederholen.

Durchlässigkeit in Seiten- tälern eines Flusslaufes

Theoretische Variogramme

Linear bis Parabolisch

Theoretische Variogramme

Sphärisch

Theoretische Variogramme Sphärisch

c Nuggeteffekt a Reichweite ω Varianz

Theoretische Variogramme Exponentiell

+ c

Theoretische Variogramme

Gauss

Theoretische Variogramme

de Wijs oder logarithmisch

Vergleich theoretischer Variogramme

Schätzung von Werten aus Punktmessungen

¾ Gegeben sind an den Orten x_i die zugehörigen Messwerte Z(x_i)

¾ Gesucht ist der Messwert Z*(x₀) an der Stelle x₀

¾ Die Schätzung für Z*(x₀) und die Schätzvarianz lauten

¾ λ_i... Gewicht

( ) ∑ ( )

=

⋅

= ⁿ

i

i

i Z x

x Z

1

* 0 λ

( ) ^{λλ γ λγ μ}

σ = −

∑ ∑

∑

= =

= n

i

i n

i i j

i j i n

j

x x x

x x

1 1

1

2 ( ) 2 ( )

Schätzung der Gewichte λ

¾

Es liegen bei n Messpunkten n Gewichte λ

vor.

¾

Diese ergeben sich aus der Lösung des Gleichungssystems

1

1

∑

= n

i

λ

∑

Beispiel

¾

Gegeben ein Lineares Variogramm γ(h) = |h|

¾

Zwei Messwerte:

Z(u

) = 2 und u

= 1 Z(u

) = 4 und u

= -2

¾

Gesucht ist Schätzung für Ort u = 0.

?

Messwerte

Berechnung

¾

0λ

+ 3λ

+ μ = 1

¾

3λ

+ 0λ

+ μ = 2

¾

λ

+ λ

= 1

¾

λ

= 2/3

λ

= 1/3 μ=0

¾

Z(u=0) = 8/3=2.6666

Krigingvarianten

¾ Ordinary Kriging: setzt räumliche Stationärität voraus

¾ Universal Kriging: schätzt polynomialen Trend

¾ External Drift Kriging: schätzt örtlich variablen Trend

¾ Indicator Kriging: erlaubt Schranken anzugeben

Krigingvarianten

¾ Ordinary Kriging: setzt räumliche Stationärität voraus

¾ Universal Kriging: schätzt polynomialen Trend

¾ External Drift Kriging: schätzt örtlich variablen Trend

¾ Indicator Kriging: erlaubt Schranken anzugeben

Krigingvarianten

¾ Ordinary Kriging: setzt räumliche Stationärität voraus

¾ Universal Kriging: schätzt polynomialen Trend

¾ External Drift Kriging: schätzt örtlich variablen Trend

¾ Indicator Kriging: erlaubt Schranken anzugeben

¾ Co-Kriging Kriging: schätzt die räumliche Verteilung in Abhängigkeit einer anderen Variablen

¾ Fuzzy Kriging: erlaubt die Analyse unscharfer Werte

¾ Siehe I. Clark und W. Harper; 2000

Unsicherheit in Daten

Realität (unknown) Beobachtungen

Interpolation mit Kriging

Glättet und hat geringe Var.

Messwerte

External Drift Kriging

Zusammenfassung

¾

Regionalisierung und Interpolation ist wichtig in der Hydrologie

¾

Gruppierung von Information

¾

Übertragung von Information

¾

Deterministische und stochastische Methoden

¾

Lineare und nichtlineare Methoden

¾

Kriging und geostatistische Verfahren haben

breite Anwendung gefunden