Hydrologie und

Hydrologie und

Flussgebietsmanagement

o.Univ.Prof. DI Dr. H.P. Nachtnebel

Institut für Wasserwirtschaft, Hydrologie und konstruktiver Wasserbau

Gliederung der Vorlesung

z Statistische Grundlagen

z Extremwertstatistik

z Korrelation und Regression

z Zeitreihenanalyse und Anwendung

z Regionalisierung & räumliche Interpolation

z Bodenwasserhaushalt

z Grundwasserhaushalt

z N-A Modelle – Einheitsganglinie

z N-A Modelle – kombinierte Translations- und Speichermodelle

z Kontinuierliche N-A Modelle

z Retention und Flood Routing

z Hydrologische Vorhersagen

z Flussgebietsmodelle

z Stofftransport

z Sedimenttransport – Modellierung

z Flussgebietsmodelle

Korrelation und Regression Seite 3

Definitionen / Anwendung

¾

Regression

• Ermittelt ART des Zusammenhanges von verschiedenen Messwertreihen

¾

Korrelation

• GÜTE des Zusammenhanges

• Maßzahl: Korrelationskoeffizient

¾

Anwendung

• Verknüpfung zwischen verschiedenen hydrologische Variablen zur Prognose

• Schluss von Variabler X auf Y

• schließen von Messlücken

• Trendanalyse von Beobachtungsreihen

¾

Stichprobenvoraussetzung

• Untersuchte Variablen sind normalverteilte Zufallsvariablen

• Unabhängigkeit

• Homogenität

Einfache lineare Regression

Pegel P₂ (Y)

Einfache Lineare Regression

εⁱ

Pegel P₁ (X)

εⁱ

εi … Abweichungen

Bx A y ˆ = +

Pegel P₁

Pegel P2

• Lineare Beziehungsgleichung zwischen P₁und P₂

• Regression von y auf x und umgekehrt von x auf y möglich

By

A

x ˆ = +

Korrelation und Regression Seite 5

Normalgleichungen

¾

Methode der kleinsten Quadrate Î Normalgleichungen

• Lösung des Gleichungssystems = Schätzgleichung für die Parameter a, b, c …

Abfluss und Einzugsgebietsfläche

HHQ - MHQ

y = 0.467x + 55.43 R² = 0.94

y = 0.227x + 10.24 R² = 0.98

y = 0.399x - 0.25 R² = 0.82

0 100 200 300 400 500 600 700

0 200 400 600 800 1000 1200

Einzugsgebietsfläche (km²) Q (m³/s)

HHQ MHQ MHQ Zubringer Linear (HHQ ) Linear (MHQ) Linear (MHQ Zubringer)

Korrelation und Regression Seite 7

Korrelation

{ } _∑

Min ε

Pegel B (Y)

Pegel A (X)

εi … Abweichungen

x b a y ˆ = + ⋅

y b a x ˆ = + ⋅

εiy

ε^ix

α

• Schätzung von x auf y Regressionsgerade 1

• Schätzung von y auf x Regressionsgerade 2

• Aussage über die Güte des Zusammenhangs über den

einschließenden Winkel

2 1

X Y

X‘

Mehrfache (multiple) Regression

¾

Y = a

+ a

X

+ a

X

+ a

X

linear

¾

Y= a

+ a

X

+ a

X

nichtlinear

Korrelation und Regression Seite 9

¾

Korrelationskoeffizient

• r prüft allgemein das Varianzverhältnis vom Schätzwert ŷ_izu gemessenem Wert y_i

• |r| = 1 Îidealer linearer Zusammenhang

z Positives Vorzeichen – wächst x, wächst y

z Negatives Vorzeichen – wächst x, nimmt y ab

• r = 0 Îkein Zusammenhang

z

Was drückt Korrelationskoeffizient aus?

• Varianz des Modells Varianz der Messwerte

Zusammenhang – Maßzahlen 1

( )

(

)

2

≤

≤

− −

± −

= r

y y

y r y

i i

( )

1

ˆ ²

−

∑

y

y_i ( )

1

2

−

∑

y yi

Zusammenhang – Maßzahlen 2

¾

Bestimmtheitsmaß

( )

(

)

y B y

i i

var ˆ Re

2 2

− =

= −

∑ ∑

60 % der Varianz erklärt

Korrelation und Regression Seite 11

Vertrauensbereiche für Regressionsgerade

Festlegung durch Signifikanzniveau

Vertrauensband

Prüfverfahren

¾

Stichprobe – Grundgesamtheit

• a, b und r aus Stichprobe Îsignifikant für Grundgesamtheit?

¾

r signifikant ≠ 0 mit Irrtumswahrscheinlichkeit α

• Für die Umgebung r = 0 ÎVariable folgt Student-Verteilung

• t < t_α,n-2… r weicht NICHT signifikant von 0 ab

• t > t_α,n-2… r ≠ 0

1 2

2 r r n

t −

= − sr

t=r−ρ

Korrelation und Regression Seite 13

Prüfverfahren 2 / Vertrauensbereich von r

¾

Vertrauensbereich von r

• αals Quantil der Standardverteilung – beidseitig

• Ober- und Untergrenzen von r über αund Fisher-Transformation

Student-Verteilung

f(r)

Einfache nichtlineare Regression

Y

Einfache nicht lineare

Regression X

ˆ A Bx Cx

y = + +

• Stichprobenvoraussetzungen gelten – Kontrolle der Normalverteilung mittels Histogramm

• Nichtlineare Beziehungsgleichung

•

{

ε

}

Korrelation und Regression Seite 15

Grundwasserneubildung im Marchfeld

¾

y = Grundwasserneubildung (mm/10 Tage)

¾

x

= Dekadennummer im Jahr ( - )

¾

X

= Niederschlag/Dekade (mm/10 Tage)

¾

x

= Vorregensumme (mm)

¾

x

= Temperatur (°C)

¾

x

= Bodenmächtigkeit (cm)

¾

( ) ( )

( )

( )

3

2 1

024 . 0 059

. 0 048

. 0

10 . 0 055

. 0 53

, 0

x x

x

x x

y

− +

⋅

− +

⋅ +

+

⋅ +

⋅

− +

=

Niederschlag

Verdunstung

GW-Neubildung

Nichtlineare Multiple Regression

Abflussspitze, Gebietscharakteristik, Jährlichkeit

¾

A Einzugsgebietsfläche

¾

S Gefälle des Hauptflusses

¾

S

Speicherkapazität (Retentionsraum)

¾

I 24h Niederschlag für Jährlichkeit T

¾

t Temperaturfaktor für Gefrieren/Schneeschmelze

¾

O Orographischer Faktor (NS-Verteilung)

e d t c

b

S S I t O

A a

Q = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

Korrelation und Regression Seite 17

¾

dQ: Differenz von Abflüssen:

z 24h-Prognose

z 48h-Prognose

z 72h-Prognose

¾

dQA: Differenz von Pegelabflüssen

¾

dQS: Differenz von Schneeschmelzabflüssen

¾

dQB: Differenz von Bodenspeicherabflüssen

¾

GN: Tagessumme des Gebietsniederschlags

¾

GT: Tagesmittel der Gebietstemperatur

Prognosemodell

Korrelation und Regression Seite 19

Abflussprognosen

0 2 00 0 4 00 0 6 00 0 8 00 0

Abfluß [m³/s]

48 h - P ro gn ose Q b eo b a ch te t

Q m o d ellie rt 0

2 00 0 4 00 0 6 00 0

Abfluß [m³/s]

P ro gno se peg el G re ife nstein

24 h - P ro g no se A b flu ß m o d e llie ru n g H e rb s t 1 9 9 5 -9 6

Q be o ba ch te t Q m o de lliert

0 50 1 0 0 15 0 2 0 0 25 0

0 20 00 40 00 60 00

Abfluß [m³/s]

72 h - P ro gn o se Q be o b ac hte t

Q m o de llie rt

Rückblick Korrelation und Regression

¾

Erklären von Regression / Korrelation und deren Voraussetzungen

¾

Arten der Regression / Korrelation

z

Einfach linear

z

Nichtlinear

z

Mehrfach

¾

Maßzahlen für den Zusammenhang

z

Korrelationskoeffizient

z

Bestimmtheitsmaß

¾

Beispiele aus der Hydrologie