Hydrologie und Flussgebietsmanagement

Wintersemester 2007/08

Institut für Wasserwirtschaft, Hydrologie und konstruktiven Wasserbau

Vorstand: o.Univ.Prof. Dipl.-Ing. Dr. H.P. Nachtnebel

Studienblätter

H.P. Nachtnebel

Hydrologie und

Flussgebietsmanagement

LVA-Nr. 816.101

Mit Beiträgen von:

J. Fürst C. Gamperling

H. Habersack H. Holzmann

K. Leroch

C. Neuhold

G. Schuster

Seite I

INHALTSVERZEICHNIS

1 STATISTISCHE GRUNDLAGEN

1.1 Einleitung ... 1-4 1.1.1 Definitionen ... 1-4 1.2 Einfache Datenauswertung ... 1-7 1.2.1 Darstellung von Zeitreihen ... 1-7 1.2.2 Häufigkeiten ... 1-7 1.2.3 Summenlinie der Häufigkeit ... 1-10 1.2.4 Summenlinie einer Zeitreihe ... 1-11 1.2.5 Dauerlinie einer Zeitreihe ... 1-12 1.3 Wahrscheinlichkeit ... 1-14 1.4 Wahrscheinlichkeitsdichte ... 1-15 1.5 Statistische Parameter ... 1-17 1.5.1 Lageparameter ... 1-17 1.5.1.1 Arithmetisches Mittel ... 1-17 1.5.1.2 Geometrisches Mittel ... 1-18 1.5.1.3 Harmonisches Mittel ... 1-18 1.5.1.4 Median ... 1-18 1.5.1.5 Modus ... 1-20 1.5.1.6 Quantile ... 1-20 1.5.2 Dispersionsparameter (Streumaße) ... 1-20 1.5.2.1 Spannweite und interquantile Differenz ... 1-21 1.5.2.2 Varianz und Standardabweichung ... 1-21 1.5.3 Formparameter ... 1-21 1.5.3.1 Schiefe (skewness) ... 1-21 1.5.3.2 Wölbung (kurtosis) ... 1-22 1.6 Parameterschätzung ... 1-23 1.7 Diskrete Verteilungen und ihre Anwendung ... 1-24 1.7.1 Die Binominal-Verteilung ... 1-24 1.8 Stetige Verteilungen in der Hydrologie ... 1-27 1.8.1 Normalverteilungen ... 1-27 1.8.1.1 Gauss’sche Normalverteilung ... 1-27 1.8.1.2 Die standardisierte Normalverteilung ... 1-28 1.8.2 Die Logarithmische Normalverteilung ... 1-31 1.8.3 Pearson III Verteilung ... 1-32 1.8.4 Logarithmische Pearson III Verteilung ... 1-33 1.8.5 Weibull Verteilung oder Extremal Typ III Verteilung ... 1-34 1.8.6 Gumbelverteilung oder Extremal Typ I - Verteilung ... 1-35 1.9 Literatur ... 1-36

Seite II

2 EXTREMWERTSTATISTIK

2.1EINLEITUNG

... 2-3

2.1.1 Extremwerte aus Zeitreihen ... 2-3 2.2 Anwendung von stetigen Verteilungen ... 2-5 2.2.1 Hochwasserstatistik ... 2-5 2.2.1.1 Anwendung der Gumbel Verteilung... 2-6 2.2.1.2 Anwendung der Pearson-III-Verteilung ... 2-11 2.2.2 Niederwasserstatistik... 2-14 2.2.2.1 Anwendung der Weibull-Verteilung ... 2-15 2.2.3 Niederschlagsstatistik ... 2-17 2.2.3.1 Starkregenauswertung ... 2-17 2.3 Literatur ... 2-20

3 KORRELATION UND REGRESSION

3.1 Einleitung ... 3-3 3.2 Einfache lineare Korrelation und Regression ... 3-5 3.2.1 Schätzung der Regressionsgeraden ... 3-5 3.2.2 Die Kovarianz ... 3-7 3.2.3 Schätzung des Korrelationskoeffizienten ... 3-8 3.2.4 Rangkorrelation ... 3-9 3.2.5 Prüfverfahren und Vertrauensbereiche ... 3-10 3.2.5.1 Vertrauensbereich des Korrelationskoeffizienten ... 3-10 3.2.5.2 Vertrauensbereiche für die Regressionsgerade ... 3-11 3.3 Einfache nichtlineare Regression ... 3-14 3.3.1 Normalgleichungen ... 3-14 3.3.2 Linearisierende Transformation ... 3-16 3.4 Mehrfache Korrelation und Regression ... 3-19 3.4.1 Mehrfache Regression ... 3-19 3.4.2 Partieller und multipler Korrelationskoeffizient ... 3-20 3.4.3 Auswahl der Einflussgrößen ... 3-21 3.5 Anwendungen und Probleme in der Hydrologie ... 3-22 3.5.1 Anwendung der Korrelations- und Regressionsrechnung ... 3-22 3.5.2 Anwendung für eine Abflussprognose ... 3-22 3.5.3 Probleme bei der Korrelations- und Regressionsrechnung ... 3-24 3.6 Literatur ... 3-25

Seite III

4 ZEITREIHENANALYSE UND ANWENDUNG

4.1 Allgemeines ... 4-3 4.1.1 Statistische Methoden... 4-3 4.1.2 Stochastische Methoden ... 4-4 4.2 Zielsetzung... 4-4 4.3 Methodik ... 4-5 4.3.1 Trendanteil ... 4-6 4.3.1.1 Gleitender Mittelwert ... 4-7 4.3.1.2 Trendberechnung bei bekannter Periodenlänge ... 4-7 4.3.1.3 Trendgerade (Regressionsgerade)... 4-7 4.3.1.4 Trendpolynom ... 4-8 4.3.1.5 Sprunghafter Trend... 4-9 4.3.1.6 Differenzenbildung ... 4-9 4.3.2 Periodenanteil ... 4-10 4.3.2.1 Autokorrelation ... 4-10 4.3.2.2 Periodenanteil bei unbekannter Periodenlänge ... 4-11 4.3.2.3 Periodenanteil bei bekannter Periodenlänge ... 4-12 4.3.3 Stochastischer Zeitreihenanteil ... 4-14 4.4 Kreuzkorrelation ... 4-15 4.5 Anwendung von Zeitreihenmodellen ... 4-16 4.5.1 Prognose ... 4-16 4.5.2 Simulation ... 4-17 4.5.3 Fiering Modell (1967) ... 4-17 4.5.4 Speicherbemessung ... 4-17 4.6 Diskussion ... 4-20 4.7 Literatur ... 4-21

5 REGIONALISIERUNG &

RÄUMLICHE INTERPOLATION

5.1 Allgemeines ... 5-3 5.2 Untersuchte Größen ... 5-4 5.2.1 Regionalisierte Modellparameter und Eingangsgrößen ... 5-4 5.2.2 Regionalisierte Randbedingungen und Koeffizienten ... 5-4 5.3 Skalenabhängige Haupttypen der Regionalisierung ... 5-5 5.4 Darstellung von räumlichen Daten ... 5-7 5.5 Schätzung von Werten - Interpolation ... 5-8 5.5.1 Grundlagen ... 5-9 5.5.2 Globale Schätzung ... 5-9 5.5.2.1 Thiessen- Polygone ... 5-10 5.5.2.2 Triangulierung ... 5-10 5.5.2.3 Rasterverfahren ... 5-10 5.5.2.4 Isolinienverfahren ... 5-10 5.5.3 Punktschätzung ... 5-12

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5.5.3.1 Thiessen-Polygone ... 5-12 5.5.3.2 Triangulierung ... 5-13 5.5.3.3 Gewichtete Mittelung ... 5-13 5.6 Kriging ... 5-15 5.6.1 Variogramme ... 5-16 5.6.2 Experimentelles Variogramm ... 5-16 5.6.3 Theoretische Variogramme ... 5-19 5.6.4 Mögliche Anwendungen: ... 5-22 5.7 Güte der Schätzung ... 5-25 5.8 Anwendung ... 5-26 5.9 Literatur ... 5-27

6 BODENWASSERHAUSHALT

6.1 Allgemeines ... 6-3 6.1.1 Definition ... 6-3 6.1.2 Funktionen im gesamten Wasserkreislauf ... 6-3 6.2 Parameter ... 6-4 6.3 Komponenten des Bodenwasserhaushaltes und deren Gesetzmäßigkeiten ... 6-7 6.3.1 Interzeption ... 6-7 6.3.2 Verdunstung ... 6-8 6.3.2.1 Verdunstungsberechnung nach Thornthwaite ... 6-9 6.3.2.2 Verdunstungsberechnung nach Penman... 6-9 6.3.2.3 Verdunstungsberechnung nach Haude ... 6-9 6.3.2.4 Verdunstungsberechnung nach Blaney-Criddle ... 6-10 6.3.2.5 Aktuelle Verdunstung ... 6-10 6.3.3 Oberflächenabfluss und Interflow ... 6-11 6.3.4 Speicherung ... 6-11 6.3.5 Versickerung, Perkolation und kapillarer Aufstieg ... 6-11 6.3.6 Jahresgang der Bilanzgrößen ... 6-14 6.4 Modelle zur Beschreibung des Bodenwasserhaushalts ... 6-16 6.4.1 Analytische Modelle ... 6-16 6.4.2 Konzeptionelle Modelle ... 6-16 6.4.3 Transfermodelle ... 6-17 6.4.4 Deterministische, numerische Simulationsmodelle ... 6-17 6.5 Messung von Modellparameter und Systemzustände ... 6-20 6.6 Anwendungsbereich der Bodenwasserhaushalts-komponenten und Diskussion ... 6-21 6.7 Makroporen (BRAUN) ... 6-24 6.8 Literatur ... 6-25

7 GRUNDWASSERHAUSHALT

7.1 Zielsetzung... 7-3 7.2 Grundwasser Typen ... 7-4 7.3 Parameter ... 7-7 7.3.1 Speicherkoeffizient ... 7-7 7.3.2 Durchlässigkeitsbeiwert ... 7-8 7.4 Gesetze ... 7-9

Seite V 7.4.1 Gesetz von Darcy ... 7-9 7.4.2 Bilanzgleichung ... 7-10 7.5 Bestimmung geohydraulischer Parameter ... 7-11 7.5.1 Pumpversuche ... 7-11 7.5.2 Theoretische Grundlagen zur Auswertung von Pumpversuchen ... 7-11 7.6 Funktionen des Grundwassers ... 7-14 7.6.1 Grundwasser als Speicher... 7-15 7.6.2 Wechselwirkung zwischen Grundwasser und Oberflächengewässern ... 7-16 7.6.2.1 Speicherung bei Hochwasser (bank storage) ... 7-16 7.6.2.2 Speisung des Basisabflusses ... 7-17 7.6.2.3 Grundwasserdynamik - Qualität ... 7-18 7.6.2.4 Ökologische Aspekte ... 7-18 7.6.3 Funktionen von Grundwassersystemen ... 7-18 7.7 Grundwassermodelle ... 7-19 7.7.1 Zielsetzung ... 7-19 7.7.2 Modellbildung ... 7-19 7.7.2.1 Modelltypen ... 7-19 7.7.3 Daten ... 7-23 7.7.3.1 Parameter und Randbedingungen ... 7-23 7.7.4 Grundwassermodelle als Elemente eines Entscheidungshilfesystems ... 7-24 7.7.5 Modellanwendung ... 7-24 7.7.5.1 Grundwasserentnahmen ... 7-25 7.7.5.2 Auswirkung von Kraftwerksbauten ... 7-25 7.7.5.3 Modellierung des Schadstofftransports (siehe Kap.7.8) ... 7-25 7.8 Stofftransport ... 7-26 7.8.1 Stoffeigenschaften ... 7-26 7.8.2 Transportmechanismen ... 7-27 7.8.2.1 Advektiver Stofftransport ... 7-27 7.8.2.2 Diffusiver Stofftransport ... 7-27 7.8.2.3 Dispersiver Stofftransport ... 7-27 7.8.2.4 Advektions-Dispersions-Gleichung (ADE) ... 7-29 7.8.2.5 Transport reaktiver Stoffe ... 7-30 7.8.3 Berechnung des Stofftransports im Grundwasser –Transportmodelle ... 7-30 7.8.3.1 Analytische Modelle (kontinuierliche Lösungsverfahren) ... 7-30 7.8.3.2 Numerische Modelle (diskrete Lösungsverfahren) ... 7-31 7.8.3.3 Stochastische Modelle ... 7-32 7.8.4 Hydrologische Sanierungsmaßnahmen bei GW-Verschmutzung ... 7-32 7.9 Literatur ... 7-33

8 NIEDERSCHLAGS-ABFLUSS- MODELLE –

EINHEITSGANGLINIE

8.1 Allgemeines ... 8-3 8.1.1 Anforderungen ... 8-3 8.1.2 Entwicklung hydrologischer Einzugsgebietsmodelle ... 8-4 8.1.3 Typen von Einzugsgebietsmodellen ... 8-4 8.1.3.1 Modelltypen nach der Art der Prozessbeschreibung ... 8-4

Seite VI

8.2 Das Einheitsganglinienverfahren ... 8-6 8.2.1 Prinzipien des Einheitganglinienverfahrens ... 8-6 8.3 Komponenten des Einheitsganglinienverfahrens ... 8-10 8.3.1 Der Gebietsniederschlag ... 8-10 8.3.2 Der Effektivniederschlag ... 8-10 8.3.3 Methoden zur Bestimmung des Effektivniederschlags ... 8-11 8.3.3.1 -Index-Verfahren ... 8-11 8.3.3.2 Prozentwertmethode ... 8-11 8.3.3.3 Verfahren KÖHLER ... 8-12 8.3.3.4 Verfahren HORTON ... 8-13 8.3.3.5 SCS-CN-Methode... 8-14 8.3.4 Der Basisabfluss ... 8-16 8.4 Anwendung ... 8-17 8.5 Diskussion ... 8-19 8.6 Literatur ... 8-20

9 N-A-MODELLE: KOMBINIERTE TRANSLATIONS- UND

SPEICHERMODELLE

9.1 Allgemeines ... 9-3 9.2 Speichermodelle ... 9-4 9.2.1 Einzellinearspeicher ... 9-4 9.2.2 Lineare Speicherkaskade ... 9-5 9.2.2.1 NASH-Verfahren (NASH, 1970) ... 9-5 9.2.2.2 Verfahren nach DOOGE (DOOGE, 1950) ... 9-5 9.3 Kombinierte Modelle ... 9-7 9.3.1 Translation ... 9-7 9.3.1.1 Fließzeit (Konzentrationszeit) ... 9-7 9.3.1.2 Zeitflächendiagramm ... 9-9 9.3.2 Retention ... 9-10 9.3.2.1 HYREUN-Verfahren ... 9-10 9.4 Flussgebietsmodelle ... 9-11 9.4.1 Modellkomponenten ... 9-11 9.5 Diskussion ... 9-12 9.6 Literatur ... 9-13

Seite VII

10 RETENTION UND FLOOD ROUTING

10.1 Allgemeines ... 10-3 10.2 Stehende Retention (Seeretention) ... 10-4

10.2.1 Gesetzmäßigkeiten der stehenden Retention ... 10-4 10.2.2 Berechnungsmethoden ... 10-5 10.2.2.1 Iterationsverfahren ... 10-6 10.2.2.2 Verfahren nach PULS (Ludwig, 1979) ... 10-7 10.2.2.3 Graphisches Verfahren nach PULS... 10-8 10.2.3 Anwendung der stehenden Retention und Diskussion ... 10-9

10.3 Fließende Retention ... 10-10

10.3.1 Hydraulische Verfahren... 10-11 10.3.2 Hydrologische Verfahren ... 10-12 10.3.2.1 Muskingum-Verfahren ... 10-12 10.3.2.2 Kalinin-Miljukov-Verfahren (Rosemann, 1970) ... 10-14 10.3.3 Anwendung der fließenden Retention und Diskussion ... 10-17

10.4 Literatur ... 10-18

11 HYDROLOGISCHE VORHERSAGEN

11.1 Zielsetzung ... 11-3

11.2 Einsatzbereich von Abflussprognosemodellen ... 11-4

11.3 Arten der Prognosemodelle ... 11-5

11.3.1 Prinzip der Abflussprognose ... 11-5 11.3.2 Abflussprognose und Hochwasserschutz ... 11-6

11.4 Komponenten eines Echtzeit-Vorhersagesystems ... 11-8

11.4.1 Daten ... 11-9 11.4.2 Überblick über Modelle ... 11-10 11.4.2.1 Rein deterministische Modelle ... 11-10 11.4.2.2 Hybride stochastisch-deterministische Modelle (Transfer Funktion) ... 11-10

11.5 Prinzip und mathematische Formulierung gebräuchlicher Modelle ... 11-11

11.5.1 Pegelkorrelationen ... 11-11 11.5.2 Transfer Funktionen ... 11-12

11.6 Anwendungsbeispiel: Abflussprognosemodell Enns... 11-13

11.6.1 Implementation der Prognosekorrektur ... 11-13 11.6.2 Ermittlung der Transferfunktion ... 11-13 11.6.3 Korrektur der Tagesprognose ... 11-14

11.7 Unsicherheiten in der Prognose - Ensemble Vorhersagen ... 11-17

11.8 Literatur ... 11-18

Seite VIII

12 KONTINUIERLICHE ABFLUSS- UND FLUSSGEBIETS-

MODELLE

12.1 Allgemeines ... 12-4

12.1 Modelltypen ... 12-5

12.1.1 Modellhafte Beschreibung des Niederschlags- und Abflussprozesses ... 12-5 12.1.1.1 Deterministische Modelle ... 12-5 12.1.1.2 Stochastische Modelle ... 12-7 12.1.1.3 Hybride Modelle (stochastisch-deterministisch) ... 12-7

12.2 Kontinuierliche N-A Modelle ... 12-8

12.2.1 Kurzbeschreibung der zu erfassenden hydrologischen Prozesse (nach SARTOR, 1993) ... 12-8 12.2.2 Räumliche Diskretisierung ... 12-12 12.2.3 Zeitliche Diskretisierung ... 12-13

12.3 Wasserwirtschaftlicher Rahmenplan ... 12-14

12.4 Hydrologische Einzugsgebietsmodelle (COSERO) ... 12-15

12.4.1 Einleitung ... 12-15 12.4.2 Methodik ... 12-15 12.4.2.1 Zeitliche Diskretisierung ... 12-15 12.4.2.2 Räumliche Diskretisierung ... 12-15 12.4.3 Datenanforderung ... 12-17 12.4.3.1 Zeitliche Daten ... 12-17 12.4.3.2 Räumliche Daten ... 12-17 12.4.4 Visualisierung der Ergebnisse ... 12-18

12.5 Lisflood ... 12-19

12.5.1 Einleitung ... 12-19 12.5.2 Methodik ... 12-19 12.5.2.1 Räumliche Diskretisierung ... 12-19 12.5.3 Datenanforderung ... 12-20 12.5.3.1 Zeitliche Diskretisierung ... 12-20 12.5.3.2 Räumliche Diskretisierung ... 12-21 12.5.4 Visualisierung der Ergebnisse ... 12-21

12.6 Qualitäts- und Quantitätsmodel (WEAP)... 12-22

12.6.1 Einleitung ... 12-22 12.6.2 Methodik ... 12-22 12.6.3 Datenanforderung ... 12-22 12.6.3.1 Zeitliche Diskretisierung ... 12-22 12.6.3.2 Monetäre Bewertung ... 12-23 12.6.4 Visualisierung der Ergebnisse ... 12-23

12.7 Stofftransport (WEPP) ... 12-26

12.7.1 Einleitung ... 12-26 12.7.2 Methodik ... 12-26 12.7.2.1 Hang ... 12-26 12.7.2.2 Entwässerungsgebiet ... 12-27 12.7.3 Visualisierung der Ergebnisse ... 12-28

12.8 Watershed Modeling System (WMS) ... 12-30

12.8.1 Einleitung ... 12-30 12.8.2 WMS Module ... 12-30

Seite IX

12.9 Literaturverzeichnis... 12-32

13 STOFFTRANSPORT

13.1 Allgemeines ... 13-3 13.2 Transport von Schadstoffen ... 13-4 13.3 Transport von Feststoffen ... 13-5

13.3.1 Messung ... 13-6 13.3.1.1 Korngröße und Korngrößenverteilung ... 13-6 13.3.1.2 Sohlschubspannung und Bewegungsbeginn ... 13-8 13.3.2 Quantitative Beschreibung ... 13-10 13.3.2.1 Geschiebeformel DU BOYS ... 13-11 13.3.2.2 Gleichung von SHIELDS (1936) (aus Zanke, 1982)... 13-12 13.3.2.3 Geschiebefunktion von EINSTEIN (1950) (aus Zanke, 1982) ... 13-13 13.3.2.4 Geschiebeformel nach MEYER-PETER und MÜLLER [1949] ... 13-15 13.3.2.5 Geschiebeformel GRAF ... 13-16 13.3.3 Bettbildender Wasserstand ... 13-17 13.3.4 Transportkörper ... 13-19 13.3.4.1 Riffel ... 13-19 13.3.4.2 Dünen ... 13-19 13.3.4.3 Antidünen ... 13-19

13.4 Literaturverzeichnis... 13-20

14 SEDIMENTTRANSPORT- MODELLIERUNG

14.1 Allgemeines ... 14-4 14.2 Arten des Feststofftransportes ... 14-5 14.3 Messung von Sediment ... 14-7

14.3.1 Volumenprobe ... 14-7 14.3.2 Linienzahlanalyse ... 14-8 14.3.3 Korngröße und Korngrößenverteilung ... 14-8

14.4 Hydraulisch-physikalische Grundlagen des Feststofftransportes ... 14-10

14.4.1 Sohlschubspannung ... 14-10 14.4.2 Bewegungsbeginn ... 14-11

14.5 Quantitative Beschreibung des Feststofftransportes ... 14-13

14.5.1 Geschiebeformel DU BOYS ... 14-14 14.5.2 Gleichung von SHIELDS (1936) (aus Zanke, 1982) ... 14-15 14.5.3 Geschiebefunktion von EINSTEIN (1950) (aus Zanke, 1982) ... 14-16 14.5.4 Geschiebeformel nach MEYER-PETER und Müller ... 14-19 14.5.5 Geschiebeformel GRAF ... 14-20

14.6 Bettbildender Wasserstand, Geschiebefracht und Transportkörper ... 14-21

14.6.1 Bettbildender Wasserstand ... 14-21 14.6.2 Jahresgeschiebefracht ... 14-21 14.6.3 Transportkörper ... 14-23

Seite X

14.6.3.1 Riffel ... 14-23 14.6.3.2 Dünen ... 14-23 14.6.3.3 Antidünen ... 14-23

14.7 Numerische Berechnung des Sedimenttransportes ... 14-25

14.7.1 Einleitung ... 14-25 14.7.2 Softwareprodukte ... 14-26 14.7.3 Datengrundlage für numerische Modelle ... 14-27 14.7.4 Anwendung am Beispiel GSTAR-1D ... 14-27 14.7.4.1 Grenzen der Software ... 14-28 14.7.5 Hydraulische Grundlagen ... 14-28 14.7.5.1 Stationärer Abfluss ... 14-28 14.7.5.2 Instationärer Abfluss ... 14-29 14.7.5.3 Randbedingungen-Hydraulik ... 14-29 14.7.6 Sedimenttransport ... 14-29 14.7.6.1 Routing ... 14-30 14.7.6.2 Sinkgeschwindigkeit ... 14-30 14.7.7 Sedimenttransportkapazität ... 14-31 14.7.8 Sohlmaterial ... 14-32 14.7.8.1 Randbedingungen-Sedimenttransport ... 14-32

14.8 Kalibrierung und Validierung ... 14-33

14.8.1 Kalibrierungsbeispiel ... 14-33 14.8.2 Ergebnisse ... 14-35

Diskussion ... 14-36

14.9 Literatur ... 14-37

Seite 1-1

1 STATISTISCHE GRUNDLAGEN

1.1 Einleitung ...1-4

1.1.1 Definitionen ... 1-4

1.2 Einfache Datenauswertung...1-7

1.2.1 Darstellung von Zeitreihen ... 1-7 1.2.2 Häufigkeiten ... 1-7 1.2.3 Summenlinie der Häufigkeit... 1-10 1.2.4 Summenlinie einer Zeitreihe ... 1-11 1.2.5 Dauerlinie einer Zeitreihe ... 1-12

1.3 Wahrscheinlichkeit...1-14

1.4 Wahrscheinlichkeitsdichte...1-15

1.5 Statistische Parameter...1-17

1.5.1 Lageparameter ... 1-17 1.5.1.1 Arithmetisches Mittel ... 1-17 1.5.1.2 Geometrisches Mittel... 1-18 1.5.1.3 Harmonisches Mittel... 1-18 1.5.1.4 Median ... 1-18 1.5.1.5 Modus ... 1-20 1.5.1.6 Quantile ... 1-20 1.5.2 Dispersionsparameter (Streumaße)... 1-20 1.5.2.1 Spannweite und interquantile Differenz ... 1-21 1.5.2.2 Varianz und Standardabweichung ... 1-21 1.5.3 Formparameter ... 1-21 1.5.3.1 Schiefe (skewness) ... 1-21 1.5.3.2 Wölbung (kurtosis) ... 1-22

1.6 Parameterschätzung...1-23

1.7 Diskrete Verteilungen und ihre Anwendung ...1-24

1.7.1 Die Binominal-Verteilung ... 1-24

1.8 Stetige Verteilungen in der Hydrologie ...1-27

1.8.1 Normalverteilungen ... 1-27 1.8.1.1 Gauss’sche Normalverteilung... 1-27 1.8.1.2 Die standardisierte Normalverteilung... 1-28 1.8.2 Die Logarithmische Normalverteilung ... 1-31 1.8.3 Pearson III Verteilung ... 1-32 1.8.4 Logarithmische Pearson III Verteilung ... 1-33 1.8.5 Weibull Verteilung oder Extremal Typ III Verteilung ... 1-34 1.8.6 Gumbelverteilung oder Extremal Typ I - Verteilung ... 1-35

1.9 Literatur ...1-36

Seite 1-2

Abbildungsverzeichnis

ABB 1.1: ABFLUSSGANGLINIE: DRAU 1981-1989, BESTEHEND AUS TAGESWERTEN ... 1-6 ABB 1.2: ABFLUSSGANGLINIE: DONAU 1976 – 1988, BESTEHEND AUS

MONATSMITTELWERTEN... 1-6 ABB 1.3: HISTOGRAMM – ABSOLUTE UND RELATIVE HÄUFIGKEIT ... 1-8 ABB 1.4: ABSOLUTE HÄUFIGKEITEN DER MONATSABFLÜSSE (DONAU, KIENSTOCK, 1976-

1999) ... 1-8 ABB 1.5: EMPIRISCHE VERTEILUNGSFUNKTION DER ABFLUSSWERTE (DONAU, KIENSTOCK,

1976-1999) ... 1-10 ABB 1.6: UNTER- UND ÜBERSCHREITUNGSWAHRSCHEINLICHKEITEN (DONAU, KIENSTOCK,

1976-1999) ... 1-11 ABB 1.7: ABFLUSSGANGLINIE (A) UND DIE DAZUGEHÖRENDE SUMMENLINIE (B) MIT

ANGEGEBENEM MITTELWERT. DIE STEIGUNG DER SUMMENLINIE IST IDENTISCH MIT DEM ABFLUSS (KLEINSCHROTH1998)... 1-12 ABB 1.8: ABFLUSSGANGLINIE (A) UND DIE DAZUGEHÖRENDE DAUERLINIE (B) MIT

ANGEGEBENEN MITTELWERT ... 1-12 ABB 1.9: MITTLERE ÜBERSCHREITUNGSDAUERLINIE (DONAU, KIENSTOCK, 1976-2001) ... 1-13 ABB 1.10: DICHTE- UND VERTEILUNGSFUNKTION (MANIAK, 1992) ... 1-16 ABB 1.11: MEDIAN IN DICHTE- UND VERTEILUNGSFUNKTION DER MONATSMITTEL

(DONAU, KIENSTOCK, 1976-1999)... 1-19 ABB 1.12: QUANTILE (5%, 25%, 50%, 75% UND 90%)... 1-20 ABB 1.13: HISTOGRAMME UNTERSCHIEDLICHER DICHTEFUNKTIONEN... 1-20 ABB 1.14: (A) POSITIVE SCHIEFE, (B) SYMMETRIE , (C) NEGATIVE SCHIEFE ... 1-22 ABB 1.16: GAUSS’SCHE NORMALVERTEILUNG... 1-28 ABB 1.17: STANDARDISIERTE NORMALVERTEILUNG (LINKS: DICHTEFUNKTION, RECHTS:

VERTEILUNGSFUNKTION)... 1-29 ABB 1.18: DICHTEFUNKTION DER GEGEBENEN JAHRESSUMMEN VON NIEDERSCHLÄGEN 1-30 ABB 1.19: WAHRSCHEINLICHKEITS-DICHTE DER LOGNORMAL-VERTEILUNG... 1-32 ABB 1.20: GAMMAVERTEILUNG, TYP PEARSON III (P3) ... 1-33 ABB 1.21: DICHTEFUNKTION DER WEIBULLVERTEILUNG... 1-34 ABB 1.22: VERTEILUNGSFUNKTION DER WEIBULLVERTEILUNG... 1-34 ABB 1.23: GUMBELVERTEILUNG... 1-35

Tabellenverzeichnis

TAB 1.1: MITTLERE MAI-MONATSABFLÜSSE (DONAU, KIENSTOCK, 1976-1999)... 1-9 TAB 1.2: ABSOLUTE UND RELATIVE HÄUFIGKEITEN DER ABFLUSSWERTE ... 1-9 TAB 1.3: TRANSFORMIERTE WERTE Z UND F(Z):... 1-29

Seite 1-3

Definition des Begriffs Hydrologie

Die Hydrologie ist die Wissenschaft vom Wasser, von seinen Eigenschaften und seinen Erscheinungsformen auf und unter der Landoberfläche (DYCK, 1980). Sie beschäftigt sich mit dem Auftreten und der Verteilung des Wassers auf der Erde, inklusive seiner chemischen und physikalischen Eigenschaften. Die wesentlichen in dieser Vorlesung betrachteten Elemente des Wassereislaufs sind:

o Niederschlag o Schnee bzw. Eis

o Wasser in Flüssen, Seen und Talsperren o Abfluss und Speicherung

o Direkte und Pflanzenverdunstung o Bodenwasser

o Grundwasser

Durch die Vorlesung sollen die wesentlichen Prinzipien des hydrologischen Kreislaufs verdeutlicht werden. Basierend auf den Grundlagen der Physik, der Mathematik und der Mechanik sollen die wesentlichen Speicher- und Transportprozesse des Wasserkreislaufs zu Lande erfasst werden. Es geht um das Verständnis der Prozesse, ansatzweise sollen aber auch mathematischnumerische Lösungsverfahren erläutert werden.

Teilprozesse der Hydrologie

o Niederschlag: Absetzen von Wasserpartikeln unterschiedliche Aggregatzustände auf Erde und Vegetation

o Interzeption: Rückhalt von Niederschlag durch Oberflächenbenetzung. Rückgabe durch Verdunstung

o Schneespeicherung: Rückhalt von Niederschlag in einer Schneedecke. Zunächst fester Aggregatzustand, später unterschiedliche.

o Infiltration: Eindringen von Niederschlag in die obere, durchwurzelte Zone. Begrenzung durch Aufnahmefähigkeit des Bodens.

o Interflow: Laterale Abflusskomponente, vorwiegend hangparallel in oberflächennahen Zonen

o Oberflächenabfluss: Abfluss auf der Erdoberfläche nach Überschreiten der Infiltrationskapazität.

o Evapotranspiration: Summe direkter Verdunstung und Pflanzenverdunstung, die aufgrund der klimatischen RB und der Wasserverfügbarkeit möglich ist.

o Perkolation: Aussickerung von Bodenwasser aus der durchwurzelten Zone

o Basisabfluss: Austausch zwischen Grundwasser und Fliessgewässer aufgrund des Druckgefälles.

Seite 1-4

1.1 Einleitung

Um hydrologische Prinzipien und Methoden verstehen und anwenden zu können, müssen, zum besseren Verständnis, zuerst die Grundlagen der Hydrologie erklärt und definiert werden.

Diese sind u.a. im Bereich der Statistik zu finden, da man in der Hydrologie meist mit Hilfe relativ weniger Informationen (Stichproben) Rückschlüsse auf das Ganze (die sogenannte Grundgesamtheit) ziehen muss.

1.1.1 Definitionen

Der Wahrscheinlichkeitsbegriff

Es gibt verschiedene Beschreibungen des Begriffes "Wahrscheinlichkeit". Sie umfassen gleichartige Wahrscheinlichkeiten (klassische Definition), relative Häufigkeiten in sehr langen Versuchsreihen (empirische Definition der Wahrscheinlichkeit), und einen über Axiome definierten Wahrscheinlichkeitsbegriff.

Klassische Definition der Wahrscheinlichkeit nach Laplace

Die klassische Definition der Wahrscheinlichkeit nach Laplace setzt die Gleichwahrscheinlichkeit aller Elementarereignisse voraus. Darüber hinaus muss die Anzahl der Elementarereignisse finit sein.

( )

AnzahldermöglichenFälle Fälle günstigen der

Anzahl E

P =

Beispiel: Die Wahrscheinlichkeit eine Sechs zu würfeln lässt sich nach Laplace angeben aus der Anzahl der günstigen Fällen (eben genau die Sechs zu würfeln) und der Anzahl aller möglichen Fälle (die Zahlen Eins, Zwei...oder Sechs zu würfeln) [1],[2]

Daten

Grundlage für die quantitative Beschreibung von Zufallserscheinungen sind Beobachtungswerte oder Daten, Sie sind durch Betrag und Einheit definiert. Sie entstehen als Ergebnisse eines Experiments oder einer Messung. Spielt die Reihenfolge der Messung keine Rolle, so handelt es sich um probabilistische Zufallsdaten. Bestehen probabilistische Daten aus diskreten Zahlen, spricht man von diskreten Daten. Können ihre Werte innerhalb eines Bereichs auf der Zahlenachse an beliebiger Stelle liegen, dann handelt es sich um stetige Daten. Bei manchen Arten von Experimenten kann das Ergebnis auch eine über die Zeit stetige Funktion xi(t) sein, wie z.B. bei der Messung der turbulenten Strömungsgeschwindigkeit an einem Punkt in einer Gerinneströmung. Wiederholt man diesen Versuch, so erhält man eine zweite Funktion xi+1(t), deren Verlauf nicht mit dem der ersten Funktion übereinstimmt. Und nicht vorhersehbar ist.

Zufallsdaten dieser Art heißen stochastische Zeitfunktionen (PLATE, 1993).

Hydrologische Variable

• Grundgesamtheit und Stichprobe: In der Regel steht im Vergleich zur Gesamtheit aller denkbaren Ergebnisse einer Messung einer Größe, der sogenannten Grundgesamtheit, immer nur eine kleine Anzahl von Daten zur Verfügung. Diese ist eine Teilmenge der Grundgesamtheit, die sogenannte Stichprobe. Ziel der in der Hydrologie verwendeten statistischen Methoden ist es nun aus dieser Stichprobe Rückschlüsse auf die Grundgesamtheit zu ziehen. Die dabei gesuchten Parameter der Grundgesamtheit werden mit griechischen Buchstaben dargestellt (α ,

β

,

γ

, ...), solche der Stichproben in lateinischen Buchstaben (a, b, c, ...). Es ist die wichtigste Aufgabe der beurteilenden Statistik, aus den

Seite 1-5 Werten der Stichprobe auf die statistischen Eigenschaften der Grundgesamtheit zu schließen.

Es liegt allerdings in der Natur der Stichprobe dass aus ihren Eigenschaften nur eine Schätzung für die Eigenschaften der Grundgesamtheit gewonnen werden kann (PLATE, 1993).

Grundgesamtheit Stichprobe

finit infinit immer finit

• Niederschlag: Tages-, Monats- und Jahressummen der Niederschlagshöhe; Intensitäten;

Relation Dauer-Niederschlagshöhe-Auftretenswahrscheinlichkeit, Dauer-Niederschlagsspende- Auftretens-Wahrscheinlichkeit

• Abflüsse: Tages-, Monats-, Jahresmittel (Tab 1.1:); Niederwasser-, Hochwasserabflüsse, Auftretenswahrscheinlichkeit; Wasserstände;

• Andere hydrologische Variablen: Verdunstung, Bodenfeuchte, Luft-, Wassertemperatur, Windrichtung, Geschwindigkeit, Schwebstoff- und Geschiebetransport, Grundwasserstand und andere.

• Zeitreihe: Hydrologische Variablen sind fast immer Funktionen von Raum und Zeit. Als Ergebnis von Messungen einer Variable an einem Punkt im Raum, dem Standort des Messgerätes, erhält man eine Zeitreihe. Die Zeitreihe ist eine Folge von Messwerten in der Ordnung ihres zeitlichen Auftretens. Die Messwerte können stetig, (Abb 1.1:) wie etwa der Wasserstand bei einem Schreiber, oder diskret, zu bestimmten Zeitpunkten, wie etwa die Ablesung eines Lattenpegels einmal täglich, aufgezeichnet werden. In letzterem Fall ist die Variable selbst, also der Wasserstand stetig, die Daten liegen allerdings in Form einer diskreten, äquidistanten Zeitreihe vor. Von einer äquidistanten Zeitreihe spricht man, wenn der Zeitabstand zwischen den Messungen bzw. den dargestellten Werten immer gleich bleibt (im Gegensatz zu inäquidistanten Zeitreihen). Dies trifft für die Daten vieler hydrologischer Variablen zu. Aus einer vollständigen Zeitreihe von Tageswerten können etwa Zeitreihen der Jahreshöchstwerte, jährliche Reihen, gewonnen werden. Oder es werden alle Werte, die einen bestimmten Grenzwert über- oder unterschreiten zu einer partiellen Reihe zusammengefügt. Die Daten liegen dann nicht mehr in äquidistanter Form vor, sondern in Form einer diskreten, inäquidistanten Zeitreihe.

Von stationären Zeitreihen spricht man, wenn sich die Charakteristik ihrer statistischen Parameter nicht mit der Zeit ändert. Der sogenannte Trend (siehe Kap. 4.3.1) ist der Hinweis auf eine Änderung des Mittelwertes oder anderer statistischer Parameter.

Seite 1-6

Abb 1.1: Abflussganglinie: Drau 1981-1989, bestehend aus Tageswerten

Abb 1.2: Abflussganglinie: Donau 1976 – 1988, bestehend aus Monatsmittelwerten

Seite 1-7

1.2 Einfache Datenauswertung

Die graphische Darstellung von Zeitreihen (Abb 1.1: und Abb 1.2:), Häufigkeiten (Abb 1.3:), Über- und Unterschreitungsdauerlinien (Abb 1.5: und Abb 1.6:) und Summenlinien (Abb 1.7:) gibt einen ersten Eindruck über die Charakteristik der vorliegenden Daten. Die optische Bewertung ist ein wesentlicher Faktor in der Datenanalyse.

1.2.1 Darstellung von Zeitreihen

Zeitreihen werden in Form von Ganglinien dargestellt. Dabei werden die beobachteten Messwerte in der zeitlichen Reihenfolge ihres Auftretens aufgetragen. Stetige Variablen werden als Polygon dargestellt, Mittelwerte und Summen als Treppenlinie.

1.2.2 Häufigkeiten

Die Darstellung der Häufigkeiten in Form eines Histogramms (Abb 1.3:) ist eine Form der Auswertung, bei der die zeitliche Reihenfolge des Auftretens keine Rolle spielt. Die Elemente der Stichprobe werden in Klassen unterteilt. Jeder Messwert (Tab 1.1:) wird nun der entsprechenden Klasse zugeordnet. Die absolute Häufigkeit H_j gibt die Anzahl der Werte pro Klasse an, wobei j den Index der Klassen j = 1, ...k darstellt (Tab 1.2:). Die Summe der absoluten Häufigkeiten H_j ergibt somit den Umfang der Stichprobe n:

∑

=

= ^k

j

Hj

n

1

Glg. 1.1 Die relative Häufigkeit hj wird durch Normierung mit der Anzahl der Stichprobenelemente n erhalten:

n

h_j = H^{j Glg. 1.2}

hj...relative Häufigkeit in Klasse j Hj...absolute Häufigkeit in Klasse j

n...Anzahl der Elemente in der Stichprobe k...Klassenzahl

Für die Festlegung der Klassenanzahl k gibt es unterschiedliche Empfehlungen:

n

k=

1

+

1 , 33

⋅

ln

, (Sturges, 1926)

000 . 100 000

, 10 ,

20

000 , 10 000

, 1 ,

16

000 , 1 100

, 13

100 ,

10

≤

<

≥

≤

<

≥

≤

<

≥

≤

≥

n k

n k

n k

n k

[7] Glg. 1.3

Man sollte die Klassenbreite Δx so wählen, dass sich 90 % der Werte in 7 Klassen befinden.

Seite 1-8

Abb 1.3: Histogramm – absolute und relative Häufigkeit

H(Q)

Q [m³/s]

Abb 1.4: Absolute Häufigkeiten der Monatsabflüsse (Donau, Kienstock, 1976-1999)

Weiters gilt, dass zur Vereinfachung der Berechnung keine leeren Klassen auftreten, und dass die Klassenbreite Δx konstant ist. Bei unterschiedlicher Klassenbreite ist darauf zu achten, dass die Häufigkeit proportional der Fläche aufgetragen wird. Die Ordinate stellt dann die Häufigkeitsdichte, das ist die Häufigkeit pro Einheit der Klassenintervalle, dar.

Seite 1-9 Tab 1.1: Mittlere Monatsabflüsse (Donau, Kienstock, 1976-1999)

Jahr Jan Feb Mrz Apr Mai Jun Jul Aug Sep Okt Nov Dez 1976 2026 1163 1018 1321 1728 2185 1383 1616 1629 1166 1114 1215 1977 1031 2614 2266 2305 2640 2140 1900 2837 1700 1038 1234 1371 1978 1260 1071 2276 1913 2527 2427 2714 1867 1824 1879 1192 1169 1979 1087 1750 2318 2576 2721 3431 2575 2109 1666 1292 2029 2073 1980 1267 2299 1440 2639 2865 3087 3461 2156 1691 1732 1328 1561 1981 1560 1666 2914 2448 2019 2016 3040 2130 1720 2480 2292 2369 1982 2579 2227 1809 2081 2640 2965 2231 1972 1392 1273 1015 1403 1983 2237 1739 1817 2442 2384 2472 1877 1751 1340 1122 868 1220 1984 1269 1369 1131 1719 2035 2126 1951 1809 2150 1578 952 947 1985 839 1910 1348 1616 2365 2393 1975 3075 1797 976 917 1355 1986 2050 1229 1521 2243 2714 2575 1763 1638 1258 1024 1022 1026 1987 1664 1622 2442 2691 3001 3396 3060 2572 1702 1146 1184 2024 1988 1371 1424 3120 3535 2726 2424 1990 1887 1975 1195 1267 2919 1989 1760 1546 1689 1944 1934 2042 2449 2049 1795 1499 1376 1344 1990 1024 1791 1976 1584 1789 2214 2456 1317 1395 1180 1576 1171 1991 1610 915 1334 1111 1953 2668 2604 3017 1091 968 1012 1584 1992 1183 1387 2055 2234 2605 2166 1693 1220 1149 1132 2374 2136 1993 1577 1250 1794 2022 1876 1999 2863 2112 2013 1648 1225 1991 1994 1953 1526 2219 2912 2571 2380 1685 1385 1411 1029 1335 1440 1995 1782 2074 1911 3029 2701 3788 2351 1789 2495 1201 1535 1530 1996 1197 924 1179 1726 2515 1942 2220 1688 2265 2257 1848 1476 1997 1028 1364 2085 1972 2512 2083 3573 1840 1149 1443 957 1621 1998 1218 1003 1704 1748 1634 1925 2028 1445 2050 1926 2856 1812 1999 1507 2225 2827 2476 4052 2904 2512 1733 1519 1330 1179 1583

Tab 1.2: Absolute und relative Häufigkeiten der Abflusswerte

Klassenzahl Klassenintervall Absolute Häufigkeit Relative Häufigkeit

j (m³/s) H_j h_j

1 1000, 1250 10 0.03

2 1250, 1500 43 0.15

3 1500, 1750 37 0.13

4 1750, 2000 43 0.15

5 2000, 2250 43 0.15

6 2250, 2500 38 0.13

7 2500, 2750 26 0.09

8 2750, 3000 23 0.08

9 3000, 3250 10 0.03

10 3250, 3500 8 0.03

11 3500, 3750 3 0.01

12 3750, 4000 2 0.01

13 4000, 4250 1 0.00

14 4250, 4500 1 0.00

Seite 1-10

1.2.3 Summenlinie der Häufigkeit

Die Summenlinie der Häufigkeit gibt für jede Klassengrenze die Häufigkeit aller Werte bis einschließlich dieser Klassengrenze an. Sind die Werte in aufsteigender Reihenfolge geordnet, erhält man damit die Unterschreitungshäufigkeit für jede Klassengrenze. Sind die Werte in absteigender Reihenfolge geordnet, erhält man die Überschreitungshäufigkeit. Zwischen den Klassengrenzen wird linear interpoliert (Abb 1.5:).

Ebenso kann die Summenlinie der absoluten bzw. relativen Häufigkeit aus den einzelnen Elementen der Stichprobe ermittelt werden. Diese werden nach ihrem Betrag geordnet, für die Unterschreitungsdauerlinie ansteigend, für die Überschreitungsdauerlinie abfallend (Abb 1.6:), wodurch ihr Rang k definiert ist. Die Summenhäufigkeit F(x) der Variablen x ergibt sich durch die Anzahl der Werte vom 1. bis zum betrachteten Rang. Die relative Häufigkeit ergibt sich als Quotient k/n, wobei k den Rang und n die Anzahl der Stichprobenelemente bezeichnet (Abb 1.3:).

Gewässer: Donau Pegel: Kienstock (bei Krems) Beobachtungszeitraum: 1976 - 1999

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

250 500 750 1000 1250 1500 1750 2000 2250 2500 2750 3000 3250 3500 3750 4000 4250

Q [m³/s]

[%]

Abb 1.5: Empirische Verteilungsfunktion F(Q) der Abflusswerte Q (Donau, Kienstock, 1976- 1999)

Seite 1-11

Gewässer: Donau Pegel: Kienstock (bei Krems) Beobachtungszeitraum: 1976 - 1999

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

250 500 750 1000 1250 1500 1750 2000 2250 2500 2750 3000 3250 3500 3750 4000 4250

Q [m³/s]

[%]

Unterschreitungswahrscheinlichkeit Ueberschreitungswahrscheinlichkeit

Abb 1.6: Unter (F(Q)- und Überschreitungswahrscheinlichkeiten (1-F(Q)) (Donau, Kienstock, 1976-1999)

Die relativen Summenhäufigkeiten F(x) können als empirische Über- bzw.

Unterschreitungswahrscheinlichkeiten (Abb 1.6:) interpretiert werden. In letzterem Fall bedeutet ein Wert von F(x)= P für einen bestimmten Betrag der Variable x, dass die Wahrscheinlichkeit, dass ein zukünftig gemessener Wert den Wert x unterschreitet, P, oder in Prozent ausgedrückt, P*100%, beträgt – unter der Voraussetzung, dass die Stichprobe die Grundgesamtheit ausreichend beschreibt. Das Problem besteht darin, dass bei Verwendung der Formel P = F(x) = k/n die Unterschreitungswahrscheinlichkeit für den höchsten Wert automatisch mit Fu(x) = 1 berechnet wird. Das ist natürlich nicht richtig, da zukünftige Werte durchaus einmal höher als das bisher aufgetretene Maximum sein können.

1.2.4 Summenlinie einer Zeitreihe

Durch Aufsummieren der Werte der Ganglinie entsteht die Summenlinie (Abb 1.7:). Sie dient zum Beispiel zur Ermittlung der Abflussfrachten eines Flusses. Definitionsgemäß ist die Abflussfracht das im Untersuchungszeitraum aufgetretene Volumen. Dieses ergibt sich durch Integration der Abflussganglinie (Abb 1.7:).

Abflussfrachten sind in all jenen Untersuchungen von Bedeutung, die sich in irgendeiner Form mit Wasserspeicherung, etwa Hochwasser-Rückhaltebecken, Niederwasser-Aufhöhung und anderen beschäftigen. Allgemein gilt für die Ermittlung der Summenlinie für ein Zeitintervall (0,T)

∫

^⋅

= ^TQ t dt MQ T

0

) 1 (

Seite 1-12

Abb 1.7: Abflussganglinie (a) und die dazugehörende Summenlinie (b) mit angegebenem Mittelwert. Die Steigung der Summenlinie ist identisch mit dem Abfluss (KLEINSCHROTH1998)

1.2.5 Dauerlinie einer Zeitreihe

Die Dauerlinie einer Zeitreihe erhält man durch fortlaufende Aufsummierung der Häufigkeiten.

Wenn man vom niedrigsten Wert ausgeht erhält man die Unterschreitungswahrscheinlichkeit, geht man vom höchsten Wert aus die Überschreitungswahrscheinlichkeit. Die Dauerlinie spielt eine wichtige Rolle bei der statistischen Behandlung des Abflussgeschehens, sie erstreckt sich normalerweise über die Zeitspanne eines Jahres.

Abb 1.8: Abflussganglinie (a) und die dazugehörende Dauerlinie (b) mit angegebenen Mittelwert

Seite 1-13

Mittlere Überschreitungsdauerlinie der Abflüsse

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000

0 50 100 150 200 250 300 350Tage

[m³/s]

Abb 1.9: Mittlere Überschreitungsdauerlinie (Donau, Kienstock, 1976-2001)

Seite 1-14

1.3 Wahrscheinlichkeit

An ein empirisch erhaltenes Histogramm (Abb 1.3:) lässt sich eine theoretische Verteilung, gekennzeichnet durch die Dichtefunktion f(x) anpassen. Dieser Vorgang bedeutet, dass man eine Verteilung für die Grundgesamtheit annimmt, und dass diese durch Variation der Parameter an die Beobachtungen angepasst wird. Nun stellt sich natürlich oft die Frage, wie groß die Wahrscheinlichkeit P ist, dass ein beliebiger zukünftiger Messwert xi einen bestimmten Betrag x unterschreitet.

Hier stellt sich natürlich auch gleich die Frage, wie man den Begriff Wahrscheinlichkeit definiert.

Man kann sie unter zwei Gesichtspunkten sehen (KONECNY 1997):

1.) Als relative Häufigkeit in einer langen Versuchsreihe

2.) Als zugeordnete Maßzahl um die Ungewissheit eines Ereignisses zu quantifizieren Diese Situation entspricht der klassischen Definition eines Ereignisses E:

( )

AnzahldermöglichenFälle Fälle günstigen der

Anzahl E

P =

Seite 1-15

1.4 Wahrscheinlichkeitsdichte

Wahrscheinlichkeitsverteilung

Zur eindeutigen Festlegung einer Zufallsvariablen dient die Verteilungsfunktion. Sie gibt die Wahrscheinlichkeit an, mit der X einen Wert kleiner oder gleich x annimmt:

F(x) = Prob (X≤x)

Im Fall diskreter Zufallsvariablen ist die Verteilungsfunktion eine Treppenfunktion, die an den Stellen xi Sprungstellen besitzt, wobei die Sprunghöhen durch f(xi) gegeben sind. Aus den Axiomen der Wahrscheinlichkeitsrechnung ergibt sich zwangsläufig, dass die Verteilungsfunktion die Werte 0 bis 1 durchläuft [1].

Die Anforderungen an eine Dichtefunktion der Wahrscheinlichkeit sind:

f

( )

x ≥0 und

∑

⁼

i i i x

f

( ) 1

^{Glg. 1.4}

Die Wahrscheinlichkeit F ist das Integral der Dichtefunktion. Umgekehrt ergibt sich die Dichtefunktion aus der Ableitung der Wahrscheinlichkeitsfunktion.

( ) ∫ ( )

∞

−

=

x

dt t f x

F Glg. 1.5

( )

^F

( )

^x

dx x d

f = Glg. 1.6

Die Anforderungen an eine Wahrscheinlichkeitsfunktion sind:

• F ist monoton steigend

• F

( )

−∞ =0 bzw. F

( )

∞ =1

Es besteht natürlich die Erwartung, dass sich auch dieser Messwert x_i konform der bisherigen Stichprobe verhalten wird. Die relative Häufigkeit dieser Stichprobe ist daher ein Maß für die gesuchte Wahrscheinlichkeit P. Die aufgrund der Stichprobe abgeleitete theoretische Wahrscheinlichkeit, das ist die Wahrscheinlichkeit der vermuteten Grundgesamtheit, wird durch die Wahrscheinlichkeitsverteilung F(x) und die Wahrscheinlichkeitsdichte f(x) beschrieben (Abb 1.10:). Die Wahrscheinlichkeit, dass die Variable einen Wert zwischen a und b annimmt ist:

Seite 1-16

(

a x b

)

f

( )

x dx F(b) F(a) P

b

a

−

=

=

≤

<

∫

^{Glg. 1.7}

(

a x

)

f

( )

x dx F

(a )

P

a

=

=

≤

∫

∞

−

Glg. 1.8

(

^{a x}

)

^f

( )

^{x dx 1 F(a)}

P

a

−

=

=

≥

∫

^{∞ Glg. 1.9}

a, b ....Parameter

Abb 1.10: Dichte- und Verteilungsfunktion (MANIAK, 1992)

Seite 1-17

1.5 Statistische Parameter

Die statistischen Parameter dienen der mathematischen Beschreibung einer Stichprobe vom Umfang n mit den Daten x1, x2, x3, ... xn. Meistens ist es so, dass sich die Stichprobenelemente in einem bestimmten Wertebereich konzentrieren. Die Lageparameter geben einen Zahlenwert zur Festlegung des Wertebereichs des konzentrierten Auftretens an. Die Verteilung der Stichprobenelemente über einen Bereich auf der Merkmalsachse wird durch die Dispersionsparameter (Streumaße) beschrieben. Weitere Parameter können für die Beschreibung der Art der Verteilung entlang der Merkmalsachse herangezogen werden.

Prinzipiell ist zwischen den Parameter der Stichprobe und jenen der Grundgesamtheit zu unterscheiden. Die Parameter der Stichprobe, meist durch lateinische Buchstaben gekennzeichnet, ändern sich mit dem Stichprobenumfang und konvergieren gegen die Parameter der Grundgesamtheit. Letztere sind fast nie bestimmbar; sie werden durch griechische Symbole gekennzeichnet.

1.5.1 Lageparameter

Der Mittelwert, der Median und der Modus legen eine Stichprobe auf der Merkmalsachse fest und dienen damit der einfachen Charakterisierung dieser Daten.

1.5.1.1 Arithmetisches Mittel

Das arithmetische Mittel x einer Stichprobe x₁, x₂, ... x_n ist die Maßzahl für das zentrale Verhalten einer Stichprobe vom Umfang n. Es ergibt sich aus folgender Gleichung:

( ) ∑

=

= + +

= ⁿ

i i

n x

x n n x

x

1 1

1

1

K ^{Glg. 1.10}

Liegen bereits nach Klassen geordnete Daten vor, lässt sich der Mittelwert aus der relativen Häufigkeit h_j jeder Klasse und den Klassenmittelwerten X_j ermitteln:

( ) ∑

=

= +

+

= ^k

i i i k

k hX

X n h X

n h X

1 1

1

1

1

K ^{Glg. 1.11}

Das arithmetische Mittel kann nur von metrischen Daten berechnet werden. Es setzt mindestens intervallskalierte Merkmale voraus. Es gilt nicht für ordinale Daten, für logarithmierte Werte (z.B.

pH-Werte) oder für zirkulare Daten (z.B. Winkelangaben). Soll z. B. das arithmetische Mittel aus pH-Werten berechnet werden, so sind diese Werte zuerst zu delogarithmieren, dann wird das arithmetische Mittel daraus berechnet. Das Ergebnis wird anschließend wieder logarithmiert, um den pH-Mittelwert zu erhalten. Es entspricht somit dem geometrischen Mittel (siehe unten).

Sind die einzelnen Daten bereits in Klassen mit den Mitten xi und der Häufigkeit fi geordnet, dann gilt:

∑

= f_ix_i

x Glg. 1.12

Seite 1-18

1.5.1.2 Geometrisches Mittel

Das geometrische Mittel ist die n-te Wurzel aus dem Produkt aller Werte. Verwendung findet das geometrische Mittel z B. bei Vorliegen einer logarithmischen Verteilung. Hier charakterisiert das geometrische Mittel besser die Lage der Daten als das arithmetische Mittel. Es ist immer kleiner oder gleich dem arithmetische Mittel. Das geometrische Mittel x_g wird aus einer Stichprobe von Einzelwerten aus folgender Gleichung ermittelt:

( )

^{n n}

i i n

n

g x x x x

x

/ 1

1 /

1 2

1 ⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

=⎛

=

∏

K = ^{Glg. 1.13}

1.5.1.3 Harmonisches Mittel

Die Gleichung zur Berechnung des harmonischen Mittels lautet:

=

∑

+ + +

=

i i n

h

x n x

x x x n

1 1

1 1

2 1

K ^{Glg. 1.14}

1.5.1.4 Median ^~

x = x₅₀

Der Median ist jener Wert auf der Merkmalsachse, der die Summenlinie der Häufigkeitsverteilung halbiert (Abb 1.11:). Er wird von 50% der Werte überschritten bzw. unterschritten. Der Median einer, nach dem Betrag geordneten Reihe von Einzelwerten, ist bei einer ungeraden Anzahl von Werten jener Wert mit dem Rang (n+1)/2. Bei einer geraden Anzahl von Werten ist es das Mittel jener Werte mit dem Rang n/2 bzw. (n/2)+1. Im Gegensatz zum arithmetischen Mittel wird der Median durch extreme Werte des Merkmals nur wenig beeinflusst, sodass er gegenüber Ausreißern weniger empfindlich ist. Besonders bei schiefen Verteilungen ist der Median oft das geeignetste Maß zur Charakterisierung der mittleren Tendenz [1].

Seite 1-19 Medianwert

Q50%=1802 m³/s

Medianwert Q50%=1802 m³/s [%]

100 %

50 %

0 %

Abb 1.11: Median in Dichte- und Verteilungsfunktion der Monatsmittel (Donau, Kienstock, 1976-1999)

Seite 1-20

1.5.1.5 Modus

Der Modus, auch Modalwert genannt, ist der am häufigsten auftretende Wert einer Stichprobe, bzw. jener Klassenmittelwert mit der größten Häufigkeit. Für symmetrische, eingipflige Verteilungen sind Median, arithmetisches Mittel und der Modus ihrem Zahlenwert nach identisch.

1.5.1.6 Quantile

Häufig verwendete Quantile sind jene mit 10%, 25%, 50% (Median), 75% und 90% auf der Ordinate der Häufigkeitssummenlinie. Die entsprechenden Werte auf der Merkmalsachse sind x10, x25, x50, x75 und x90 (Abb 1.12:).

1. Quantile (25%-Quantile)

Median (50%-Quantile)

3.Quantile (75%-Quantile)

Quantile der relativen Summenhäufigkeit

Abb 1.12: Quantile (5%, 25%, 50%, 75% und 90%)

1.5.2 Dispersionsparameter (Streumaße)

Unter dieser Bezeichnung sind alle Parameter zusammengefasst, welche die Verteilung der Stichprobenelemente entlang der Merkmalsachse beschreiben. Dazu zählen die Spannweite, interquantile Differenzen sowie Varianz und Standardabweichung. Abb 1.13: zeigt verschiedene Verteilungen, die bei gleichem Mittelwert unterschiedliche Dispersions-Charakteristiken aufweisen.

Häufigkeit von x Häufigkeit von x

Abb 1.13: Histogramme unterschiedlicher Dichtefunktionen

Seite 1-21 Trotz verschiedener Verteilungen ist der Mittelwert immer der gleiche. Deshalb ist es nötig, die Verteilung zusätzlich mit Hilfe der Dispersionsparameter (Spannweite & interquantile Differenz, Varianz & Standardabweichung, Wölbung & Schiefe) zu beschreiben.

1.5.2.1 Spannweite und interquantile Differenz

Die Spannweite ist als Differenz des maximalen und minimalen Wertes der Stichprobenelemente definiert: w = x_max - x_min.

Für die interquantile Differenz werden die Werte x₇₅ und x₂₅ herangezogen: D = x₇₅ - x₂₅. Spannweite und interquantile Differenz können durch Bezug auf den Mittelwert, w/x bzw. D/x, normalisiert und damit vergleichbar gemacht werden. Da dieser Parameter nur 2 Werte aus den Beobachtungen verwendet, besteht eine beträchtliche Unsicherheit. Man verwendet daher die Parameter Varianz und Standardabweichung.

1.5.2.2 Varianz und Standardabweichung

Die Varianz ist ein Maß dafür, wie stark die Beobachtungen durchschnittlich von ihrem arithmetischen Mittel abweichen Sie berücksichtigt die beidseitige Abweichung. Die Varianz der Stichprobe s_x² wird aus den quadrierten Abweichungen der einzelnen Stichprobenelemente vom Mittelwert berechnet:

( )

∑

=

− −

= ⁿ

i i

x x x

s n

1 2 2

1

1

Glg. 1.15

Die Standardabweichung ist die positive Wurzel der Varianz:

( )

∑

=

− −

= ⁿ

i i

x x x

s n

1

2

1

1 Glg. 1.16

Die Gleichungen zur Berechnung der entsprechenden Variationskoeffizienten Cv lauten:

x

C_V = s^x Glg. 1.17

1.5.3 Formparameter

Die Formparameter Schiefe und Wölbung beschreiben die Form der Verteilung.

1.5.3.1 Schiefe (skewness)

Die Schiefe C_s ist ein Maß für die Symmetrie bzw. Asymmetrie einer Verteilung. Median und arithmetisches Mittel fallen nicht zusammen. Alle Werte die kleiner sind als der Mittelwert haben einen positiven, alle Werte größer als der Mittelwert einen negativen Beitrag zur Schiefe. Ist die Verteilung symmetrisch, ist die Schiefe Null. Eine Verteilung mit einem langsam fallenden Ast an der rechten Seite weist eine positive Schiefe auf, bzw. wird als linksschief bezeichnet. Verhält es sich umgekehrt, spricht man von einer negativen Schiefe, bzw. rechtsschiefen Verteilung (Abb 1.14:). Dieser Parameter ist wichtig bei Extremwerten wo das Verhalten der Verteilung in Randbereichen wichtig ist. Die Gleichung wird in Kapitel 4.1. gezeigt. Der Schiefekoeffizient C_s ist dimensionslos.

Seite 1-22

3

)3

( ) 2 )(

1

( _X

i

S s

x x n

n

C n _•

∑

⁻

−

= − Glg. 1.18

x f(x)

x x

Abb 1.14: (a) Positive Schiefe, (b) Symmetrie , (c) Negative Schiefe

1.5.3.2 Wölbung (kurtosis)

Die Wölbung C_k ist ein Maß für die Konzentration der Stichprobenelemente um den Mittelwert. Sie weist bei einer schmalen und spitzen Verteilung einen geringeren Wert auf als bei einer breiten flachen Verteilung ). Die Wölbung ist dimensionslos. Die Gleichung zur Ermittlung der Wölbung wird im Kapitel 4.1. angegeben.

4

)4

( ) 2 )(

1

( _X

i

k S

x x n

n

C n _∗

∑

⁻

−

= − Glg. 1.19

Seite 1-23

1.6 Parameterschätzung

Die verfügbare Datenmenge (die Stichprobe) ist im Vergleich zur theoretisch denkbaren viel größeren Datenmenge (der Grundgesamtheit) sehr gering. Die Dichtefunktion der Wahrscheinlichkeit f(x), die alle statistischen Informationen einer Zufallsvariable enthält, ist daher in den meisten praktischen Anwendungsfällen nicht bekannt. Das Ziel der statistischen Schätzung ist es, die Parameter dieser Dichtefunktion so genau als möglich aus den gemessenen Daten zu schätzen. Dazu ist es zuerst notwendig, eine geeignete theoretische Verteilung festzulegen und dann deren Parameter zu schätzen. Für die Bestimmung der Parameter einer gewählten Verteilung werden vorgegebene Berechnungsverfahren angewendet. Diese sind die Schätzung der Parameter nach der Momenten-Methode, der Maximum-Likelihood-Methode und nach Bayes.

Ziel der Parameterschätzung ist die Auswahl eines erwartungstreuen Schätzverfahrens mit einer möglichst geringen Fehlervarianz. Dazu sollen alle Informationen, die in den Daten zur Verfügung stehen, verwendet werden. Weiters soll das Schätzverfahren mit zunehmender Größe der Stichprobe bessere Ergebnisse liefern, und die Funktion sollte möglichst einfach sein.

Seite 1-24

1.7 Diskrete Verteilungen und ihre Anwendung

1.7.1 Die Binominal-Verteilung

Wiederholte unabhängige Versuche, bei welchen in jedem Versuch nur zwei Versuchsausgänge möglich sind und deren Eintretenswahrscheinlichkeiten während der ganzen Versuchsreihe konstant bleiben, nennt man Bernoulli-Experiment. Die beiden möglichen Versuchsausgänge werden als Erfolg und Misserfolg bezeichnet. Bezeichnet man die Wahrscheinlichkeit des Auftretens eines Erfolges mit p und des Nichtauftretens mit q, so ist p+q=1.

Die Binominal-Verteilung gibt die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass bei n unabhängigen Versuchen ein Ereignis, dem beim Einzelversuch die Wahrscheinlichkeit p zukommt, genau k-mal auftritt:

( ; , )

¹

)

(

⎟⎟⎠ ⁻

⎜⎜ ⎞

⎝

=⎛

= p^xqⁿ

x p n n x P x

f x = 0,1,....,n Glg. 1.20

Wobei:

n... Anzahl der Versuche k... Anzahl der Erfolge

Die Wahrscheinlichkeiten P(x;n,p) bilden also eine Verteilung B(n,p), die Binominal-Verteilung mit den Parametern n und p. (Beispiele siehe Skriptum „Statistik“ für die Studienrichtung KTWW, Kapitel 4)

Seite 1-25

0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

x

f(x)

p = 0,25

0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

x

f(x)

p = 0,5

0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

x

f(x)

p = 0,75

Abb 1.15: Binominal-Verteilung Wahrscheinlichkeitsfunktion für n = 10 und verschiedene p-Werte

Anwendung in der Hydrologie:

• Berechnung der Wahrscheinlichkeit dass ein Hochwasser mit der Jährlichkeit n genau einmal in n Jahren auftritt

• Berechnung der Wahrscheinlichkeit dass im Zeitraum von n Jahren mindestens ein Hochwasser mit der Jährlichkeit n auftritt

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Beispiel zur Binominal-Verteilung [1], [2]

Die Wahrscheinlichkeit eines Hochwassers einer bestimmten Mindesthöhe sei 5 % pro Jahr. Man erwartet also, dass in 100 Jahren fünf solcher Hochwässer auftreten. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, in 100 Jahren genau 10 Hochwässer dieser Höhe zu erleben?

Wir fassen die Fragestellung als ein Bernoulli-Experiment auf. Als Erfolg bezeichnen wir das Ereignis "Hochwasser mit bestimmter Mindesthöhe", als Nichterfolg einen Wasserstand unter diesem Wert. Wir gehen von der Annahme aus, dass zwischen zwei Hochwasserwellen soviel Zeit verstreicht, dass die eine Welle nicht auf der anderen aufbaut, zwei Hochwässer somit unabhängig voneinander sind. Die Erfolgswahrscheinlichkeit p ist festgelegt mit p = 0,05, die Gegenwahrscheinlichkeit beträgt demnach q = 0,95. Das Experiment wird n = 100 mal (100 Jahre) durchgeführt. Der Erwartungswert für n = 100 wurde bereits oben erwähnt: In 100 Jahren erwarten wir das Auftreten des Wasserstandes mit einer Häufigkeit von

μ

=n⋅p=

5

.

( )

017 , 0 95 , 0 05 , 10 0 100 10

90

10 ⋅ ≈

⎟⎟⋅

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

=⎛

=

⋅

⎟⎟⋅

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

=⎛

= ^{xi n−xi}

i

q x p

X n P

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit beträgt ca. 0,017 oder 1,7 %.

Seite 1-27

1.8 Stetige Verteilungen in der Hydrologie

In folgenden Kapiteln werden die Dichtefunktionen und Parameter einiger in der Hydrologie verbreiteten theoretischen Häufigkeitsverteilungen angeführt und die Funktionen dargestellt.

1.8.1 Normalverteilungen

1.8.1.1 Gauss’sche Normalverteilung

Von den stetigen Verteilungen ist die Gauss’sche Normalverteilung (auch bekannt als Gauss’sche Glockenkurve) als Verteilung für eine große Anzahl zufälliger Ereignisse von besonderer Bedeutung. Obwohl sie für hydrologische Untersuchungen nur bedingt zur Anwendung kommt, bildet sie die Grundlage für eine Reihe von Verfahren, wie Anpassung von Verteilungsfunktionen, Verteilung von zufälligen Messfehlern, Vergleich mit anderen Verteilungsfunktionen, Stichprobenverteilung von Parametern sowie Erzeugung von normalverteilten Zufallszahlen. Die Normalverteilung ist eine symmetrische, zweiparametrige, beidseitig unbegrenzte Verteilung (Abb 1.16:).

Dichtefunktion:

( )

2

2 1

2

1 ^{− ⎜}_⎝^{⎛ − ⎟}_⎠^⎞

= ^σ

μ

π σ

x

e x

f es gilt:

(

−∞<x<+∞

)

^{Glg. 1.21}

Die Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktion F

( ) (

x =P x_i ≤x

)

lautet:

Verteilungsfunktion:

( ) ∫

∞

−

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

− ⎛ −

=

x t

dt e

x F

2

2 1

2

1 _σ^μ

π

σ

^{Glg. 1.22}

Anwendungsbereiche:

• Untersuchung von Monats- und Jahresniederschlägen;

• Untersuchung von Monats- und Jahresabflüssen;

• Jahresmittel der Temperatur

• Anpassung von symmetrischen empirischen Verteilungen von Zufallsvariablen

• Verteilung von Fehlern und Störungen von Messgrößen

• Simulation zufälliger Prozesse