Übung zur Vorlesung Einführung in die Algebra

Übung zur Vorlesung

Einführung in die Algebra

Prof. Dr. J. H. Bruinier

Stephan Ehlen

Sommersemester 2009 Übungsblatt 6

Aufgabe G6.1 G/Z(G)ist niemals nicht-trivial zyklisch

Es seiG eine Gruppe undN ⊂Z(G)eine Untergruppe des Zentrums, so dassG/N zyklisch ist. Weiterhin sei x∈Gein Element, so dassx N die GruppeG/Nerzeugt.

(a) Seig∈G. Zeigen Sie, dassn∈Nundz∈N existieren, so dassg=xⁿz. (b) Zeigen Sie: IstG/Z(G)zyklisch, so istGabelsch und somitG/Z(G)trivial.

Aufgabe G6.2 Konjugationsoperation Es sei₍G,·, 1)eine Gruppe.

(a) Rechnen Sie noch einmal selbst nach, dass die Konjugationsoperation σ: G×G → G,σ(g,x) := g x g⁻¹ eine Operation vonGaufGist.

(b) Der StabilisatorG_x eines Elementsx∈Gunter der Konjugationsoperation aus Teil (a) wird auch derZentralisator vonxgenannt. Zeigen Sie, dassG_x=Ggenau dann, wennxElement des ZentrumsZ(G)vonGist.

(c) Die Bahn_Oxvonx∈Gunter der Konjugationsoperation nennt man dieKonjugationsklasse vonxund schreibt auch x^G:=Ox. Was ist1^G? Zeigen Sie, dassx^G={x}genau dann, wennx∈Z(G).

(d) Zeigen Sie: Ist|G|=pⁿeine Primzahlpotenz, so sind auch|Gx|und|x^G|Potenzen vonp. (e) Zeigen Sie mit (c) und (d): Ist_|G|=pⁿ>1eine Primzahlpotenz, so istZ(G)6={1}.

(f) Zeigen Sie mit Teil (e) und Aufgabe G6.1: IstGeine Gruppe der Ordnungp²(wobeipeine Primzahl ist), so istG abelsch.

Aufgabe G6.3 Extremalpunkte konvexer Mengen

Es seiM⊆Rⁿeine konvexe Menge, d.h. mit zwei Punktenx,y∈M liegt auch deren Verbindungsstrecke [x,y]:={x+t(y−x): 0≤t≤1}

in M. Weiterhin sei ]x,y[:={x+t(y−x): 0< t <1}. Ein Punkt x ∈ M heißt extremal, wenn für alle y,z∈ M mit x∈]y,z[schonx=y=zgilt. Es bezeichneE(M)die Menge der Extremalpunkte vonM.

(a) Bestimmen Sie die MengeE(R)für das RechteckR:= [−a,a]×[−b,b]⊆R²(füra,b>0).

(b) Zeigen Sie, dass jede Symmetrieg∈G(M)vonM die MengeE(M)invariant lässt, d.h. es istg(x)∈E(M)für alle x∈E(M).

(c) Zeigen Sie, dass_σ:G(M)×E(M)→E(M),_σ(g,x):= g(x)eine Operation von G(M) auf der Menge E(M) der Extremalpunkte vonM definiert.

Aufgabe G6.4 Mittelpunkt

Es seienx,y∈Rⁿzwei verschiedene Punkte. Zeigen Sie, dass der Mittelpunktm(x,y):=¹₂(x+y)der einzige Punkt ist, der von beiden Punkten den gleichen Abstand ¹₂d(x,y)besitzt und dass er unter den Punkten mit gleichem Abstand zu xund yden minimalen Abstand hat. Hierbei istd(x,y) =kx−yk2die euklidische Metrik.

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Aufgabe H6.1 Normalisator und Zentralisator

SeiGeine Gruppe undM⊂Geine Teilmenge. Man bezeichnet mit

Z_M:={x∈G:x m=mxfür allem∈M}

denZentralisatorvonM inGund mit

N_M:={x∈G:x M=M x} denNormalisatorvonM inG. Zeigen Sie:

(a) Z_M undN_M sind Untergruppen vonG. (Vgl. auch Aufgabe G6.2!)

(b) Zeigen Sie: IstH⊂Geine Untergruppe vonG, so istN_Hdie größte Untergruppe in derHein Normalteiler ist.

(c) Es sei wiederH⊂Geine Untergruppe. Zeigen Sie, dassZ_H ⊆N_H Normalteiler in N_H ist. Zeigen Sie weiter, dass N_H/Z_Hisomorph zu einer Untergruppe der AutomorphismengruppeAut(H)ist. (Hinweis:Vgl. Aufgabe H2.3 (c).)

Aufgabe H6.2 Extremalpunkte des Würfels und des Einheitskreises

(a) Bestimmen sie die Mengen E(W)und E(D) der Extremalpunkte des WürfelsW := [−1, 1]³ ⊆R³ und E(D)der EinheitskreisscheibeD:={(x,y):x²+y²≤1} ⊆R².

(b) Zeigen Sie, dass die Operation der Symmetriegruppe G(W) des WürfelsW auf der Menge der Extremalpunkte E(W)transitiv ist (siehe Aufgabe G6.3 (c)).

Aufgabe H6.3 Schwerpunkte

SeiM:={x₁, . . . ,x_m} ⊂Rⁿeine nicht-leere, endliche Teilmenge. Wir definieren den Schwerpunkt vonM als

b_M:= 1 m

Xm

k=1

x_k.

(a) Zeigen Sie, dass jede invertierbare affine Abbildungϕ∈Aff(Rⁿ)den Schwerpunkt vonM erhält, das heißt es gilt ϕ(b_M) =b_ϕ(M).

(b) Zeigen Sie außerdem, dass für jede Symmetrie g ∈ G(M) einer beliebigen Menge M ∈ R² für je zwei Punkte x,y∈Mgiltm(g(x),g(y)) =g(m(x,y)), wobeim(x,y)den Mittelpunkt aus Aufgabe G6.4 bezeichnet.

(c) Gegeben Sei eine konvexe Menge M ⊆Rⁿ mit ExtremalpunktenE(M), so dass b_E(M)=0∈Rⁿ. Folgern Sie, dass für die SymmetriegruppeG(M)giltG(M)⊂O_n(R).

Aufgabe H6.4 Die DiedergruppeD_n

Es seiR⊂R²das regulären-Eck, dessen Eckene_kfürk=0, . . . ,n−1gegeben seien durch

e_k=

cos 2πk

n

, sin 2πk

n

.

(a) Was sind die Extremalpunkte E(R)? Was ist der Schwerpunktb_E(R)vonE(R)? Was folgt hieraus?

(b) Bestimmen Sie den StabilisatorG(R)e₀vone₀. Andererseits, was ist die Bahn vone₀? Was sagt nun die Bahnenglei- chung?

(c) Zeigen Sie, dass die SymmetriegruppeG(R)isomorph zur DiedergruppeD_n:=C_no_αC₂der Ordnung2nist. Hierbei istC_ndie Gruppe dern-ten Einheitswurzeln und_α:C₂→Aut(C_n)ist definiert durch

α(")(z) =z^".

Hinweis: Die Hausaufgaben sind die mit dem Buchstaben “H” gekenzeichneten Aufgaben. Die bearbeiteten Aufgaben werden am 7.7. bzw. 8.7. zu Beginn der Übungen abgegeben.Bitte versehen Sie jedes Blatt mit Ihrem Namen.

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