Lineare Algebra 1 3. Übungsblatt Lösungshinweise

Lineare Algebra 1 3. Übungsblatt Lösungshinweise

Fachbereich Mathematik WS 2011/2012

Prof. Dr. A. Kollross 04.11.2011

K. Schwieger

Gruppenübung

Aufgabe G1

Wobei handelt es sich um ein Monoid bzw. eine Gruppe?

(Rⁿ,+, 0) (R,·, 1) (Q\ {0},·, 1) (Z\ {0},·, 1) (N,+, 0) (Z,−, 0) Monoid

Gruppe

Welche der folgenden Mengen sind mit der angegebenen Verknüpfung Gruppen? Was ist ggf. das neutrale Element?

Welche Verknüpfungen sind assoziativ, welche sind kommutativ?

(a) (Q,∗)mita∗b:=a+2b, (b) (N,∗)mita∗b:=min(a,b), (c) (Q,∗)mita∗b:= ¹₂(a+b). (d) (Q\ {0},∗)mita∗b:=2a b.

Lösungshinweise:

(Rⁿ,+, 0) (R,·, 1) (Q\ {0},·, 1) (Z\ {0},·, 1) (N,+, 0) (Z,−, 0)

Monoid ja ja ja ja ja nein

Gruppe ja nein ja nein nein nein

(a) Keine Gruppe, da∗nicht assoziativ ist:

(a∗b)∗c) =a+2b+2c6=a∗(b∗c) =a+2b+4c

∗ist auch nicht kommutativ:a∗b=a+2b6=b∗a=2a+b.

(b) Die Operation∗ist zwar assoziativ, aber es gibt kein neutrales Element (daNkein größtes Element besitzt).∗ist auch kommutativ.

(c) Keine Gruppe, da∗nicht assoziativ ist:

(a∗b)∗c) =a+b+2c

4 6=a∗(b∗c) =2a+b+c 4 Aber∗ist kommutativ.

(d) Die Verknüpfung∗ist assoziativ:

a∗(b∗c) =4a bc= (a∗b)∗c

Das neutrale Element iste=¹₂, denn für allea∈Q\ {0}gilt:a∗e=a=e∗a. Zu jedema∈Q\ {0}ist das Inverse a⁻¹=_4a¹. Damit ist dieses eine Gruppe. Weiterhin ist∗auch kommutativ, also sogar eine abelsche Gruppe.

Aufgabe G2 (Fingerübungen)

(a) SeiGeine Gruppe. Zeigen Sie, dass für allea,b,c∈Gdie sog.Kürzungsregelgilt:

ac=bc =⇒ a=b.

1

(b) Finden Sie ein Monoid, in welchem die Kürzungsregel gilt, das aber keine Gruppe ist.

(c) Finden Sie ein Monoid, in welchem die Kürzungsregel nicht gilt.

Lösungshinweise:

(a) Multiplikation mitc⁻¹von rechts. (b) Z.B.Nmit Addition.

(c) Z.B.N0mit Multiplikation.

Aufgabe G3 (Permutationen)

Betrachten Sie die beiden Permutationen π:=

1 2 3 4 5 6 7 8

5 7 6 8 1 3 2 4

, σ:=

1 2 3 4 5 6 7 8

5 6 1 2 3 4 7 8

. (1)

(a) Veranschaulichen Sie die Permutationenπundσjeweils durch Zeichnungen mit acht Punkten.

(b) Berechnen Sieπ⁻¹,σ⁻¹,π²,π³,σ²undσ³. Lösungshinweise:

(a) Fürπ:

1 5

2 7

3 6

4 8

Fürσ: 1 3

5

2 4

6

7 8

(b) Die Rechenergebnisse zur Kontrolle:π²=id,π³=π,σ³=id. Die Inversen erhällt man zum einen durch Vertau- schen (und Neuordnen) der oberen und unteren Zeile, zum anderen ergibt sich aus den Gleichungenπ⁻¹=πund σ⁻¹=σ²mit

σ²=

1 2 3 4 5 6 7 8

3 4 5 6 1 2 7 8

.

Aufgabe G4 (Die Diedergruppe)

Sein≥3. Wir betrachten ein gleichseitigesn-Eck mit den Eckpunktenp₁,p₂, . . . ,p_n. Die DiedergruppeD_nist die Menge aller (längenerhaltenden) bijektive Transformationen, die dasn-Eck wieder in sich überführen (z.B. Spiegelungen oder Drehungen).

(a) Machen Sie sich klar, dassD_neine Gruppe bildet.

(b) In den Übungen haben wir bereits gesehen, dass die Menge S(M)der Permutationen von M:={p₁, . . . ,p_n} ei- ne Gruppe bildet. Wie lässt sich eine Transformation in D_n eindeutig als Permutation der Eckpunkte p₁, . . . ,p_n darstellen? Folgern Sie, dass sichD_nals Untergruppe vonS(M)auffassen lässt.

(c) GiltD_n=S(M)?

(d) Zeigen Sie, dassD_nnicht abelsch ist.

(e) (offene Aufgabe) Finden Sie eine möglichst große echte Untergruppe von D_n. Zeigen Sie, dass diese Untergruppe abelsch ist.

Lösungshinweise:

(a) Die Verknüpfung bildet die Hintereinanderausführung. Das neutrale Element ist die Transformation, die dasn-Eck unverändert lässt. Wir schreiben hierfürId.

(b) Jede Transformation desn-Ecks transformiert eine Ecke wieder auf eine Ecke. Somit lässt sich jeder Transformation αauch eine Permutation der Ecken zuordnen durch

σ_α:M→M, p_i7→α(p_i).

Durch diese Permutation istαeindeutig bestimmt, denn durch das Bild aller Eckpunkte ist eine Transformation des n-Ecks eindeutig bestimmt. (Genauer genügt schon das Bild zweier nebeneinander liegender Eckpunkte.)

Außerdem gilt für alle Transformationenα,βdesn-Ecks

σId=id_M σ_α◦β=σ_α◦σ_β σ_(α−1)= (σ_α)⁻¹

Statt mit Transformationen des n-Ecks zu rechnen können wir also auch mit den zugehörigen Permutationen in S(M)rechnen. Wir identifizieren im Folgenden D_n mit der Teilmenge{τ_α|α∈D_n} ⊆S(M). (Dies ist nach den obigen Rechenregeln eine Untergruppe vonS(M).)

2

(c) Wir nehmen im Folgenden o.B.d.A. (ohne Beschränkung der Allgemeinheit) an, dass p₁, . . . ,p_n auch in dieser Reihenfolge imn-Eck auftauchen, d.h.p_iist jeweils mitp_i+1bzw.p_nmitp₁verbunden.

Fürn=3gilt dannD₃=S(M). Man überlegt sich hier leicht, dass alle 6 Elemente vonS(M)auch durch Transfor- mationen des Dreiecks darstellbar sind.

Fürn>3gilt hingegenD_n6=S(M). Hier liegt z.B. die Permutation σ=

1 2 3 4 5 . . . n

1 3 2 4 5 . . . n

nicht inD_n, weil es keine zugeörige Transformation desn-Ecks gibt. Die Transformation müsste alle Eckpunkte bis aufp₂undp₃gleich lassen und die Punktep₂undp₃vertauschen. Doch eine solche Transformation überführt nicht dasn-Eck in sich.

(d) Wir betrachten eine Drehung desn-Ecksαund eine Spiegelungβmit den zugehörigen Permutationen τ_α:=

p₁ p₂ p₃ . . . p_n−1 p_n p₂ p₃ p₄ . . . p_n p₁

, τ_β:=

p₁ p₂ p₃ . . . p_n−1 p_n p₁ p_n p_n−1 . . . p₃ p₂

.

Die Hintereinanderausführungα◦βbzw.β◦αhaben dann die zugehörige Permutationen τ_α◦β=τ_α◦τ_β=

p₁ p₂ p₃ . . . p_n−1 p_n p₂ p₁ p_n . . . p₄ p₃

, τ_β◦α=τ_β◦τ_α=

p₁ p₂ p₃ . . . p_n−1 p_n p_n p_n−1 p_n−2 . . . p₂ p₁

.

Hausübung

Aufgabe H1 (4 Punkte)

SeiMeine beliebige Menge. Besonders einfach sind die folgenden Permutationen vonM:

a₁7→a₂, a₂7→a₃, . . . a_k7→a₁

mit paarweise verschiedenen Elementena₁, . . . ,a_k ∈M, wobei die übrigen Elemente vonM nicht bewegt werden. Für eine solche Permutation schreiben wir auch(a₁a₂. . .a_k)und nennen sie einenZyklus.

(a) (Ohne Wertung) Machen Sie sich klar, dass(a₁a₂. . .a_k) = (a₂a₃. . .a_ka₁)gilt.

(b) Berechnen Sie die inverse Permutation zu(1 3 5 7)und allgemeiner zu einem Zyklusτ= (a₁. . .a_k). (c) Berechnen Sie(1 2 3)◦(2 4)und(2 4)◦(1 2 3).

Man kann zeigen, dass sich jede Permutation aufMals ein Produkt (Komposition) von Zyklen schreiben lässt.

(d) Stellen Sie die Permutationen aus Aufgabe G3(1) als Produkt (Komposition) von Zyklen dar.

Lösungshinweise:

(b) (1 3 5 7)⁻¹= (7 5 3 1).

(c) (1 2 3)◦(2 4) = (1 2 4 3)und(2 4)◦(1 2 3) = (1 4 2 3).

(d) π= (1 5)(2 7)(3 6)(4 8)undσ= (1 5 3)(2 6 4).

Aufgabe H2 (4 Punkte)

(a) In jeder Zeile und jeder Spalte der folgenden Verküpfungstafel kommt jedes Element genau einmal vor. Trotzdem handelt es sich nicht um eine Gruppentafel. Warum nicht?

e a b c d e e a b c d

a a e c d b

b b d e a c

c c b d e a

d d c a b e

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(b) Seiens,t∈Z. Man betrachte aufZdie Verknüpfungmit ab:=sa+t b

für allea,b∈Z. Für welches,tist diese Verknüpfung assoziativ bzw. kommutativ?

Lösungshinweise:

Aufgabe H3 (Isometriegruppen) (4 Punkte)

Wir betrachten die MengeRⁿdern-Tupel reeller Zahlen mit der euklidischen Länge k(x₁, . . . ,x_n)k:=Æ

x²₁+· · ·+x_n²

Eine Abbildungϕ:Rⁿ→Rⁿheißtlängenerhaltendoder auch eineIsometrie, falls kϕ(x)−ϕ(y)k=kx−yk für allex,y∈Rⁿgilt.

(a) Geben Sie mindestens drei Isometrien desR²an.

(b) Zeigen Sie, dass die MengeIso(Rⁿ)aller bijektiven Isometrien desRⁿbezüglich der Komposition von Abbildungen eine Gruppe bildet. IstIso(Rⁿ)abelsch?

Lösungshinweise:

(a) Z.B. die Identität oder(x₁,x₂)7→(−x₁,x₂)oder(x₁,x₂)7→(x₁cosα−x₂sinα,x₂cosα+x₁sinα)(Drehung) oder (x₁,x₂)7→(x₁+a₁,x₂+a₂)für(a₁,a₂)∈R²(Translation).

(b) Wir müssen nur zeigen, dassIso(Rⁿ)eine Untergruppe der Permutationen vonRⁿist: Das neutrale Elementϕ= id_Rnist tatächlich eine Isometrie (trivial). Für zwei Isometrienϕ,ψist die Kompositionϕ◦ψwieder eine Isometrie, denn

kϕ ψ(x)

−ϕ ψ(y)

k=kψ(x)−ψ(y)k=kx−yk

für allex,y∈Rⁿ. Außerdem ist auch die Umkehrabbildungϕ⁻¹wieder eine Isoemtrie, denn kϕ⁻¹(x)−ϕ⁻¹(y)k=kϕ ϕ⁻¹(x)

−ϕ ϕ⁻¹(y)

k=kx−yk für allex,y∈Rⁿ.

Die GruppeIso(Rⁿ)ist fürn>0nicht abelsch, wie schon die obigen Beispiele zeigen.

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