Tutorium Physik II I. Übungsblatt 13.10.2006 zu den Vorlesungen von Prof. Dr. Schrewe WS0607 --- I-1. Im Physiklabor wird die Dichte von
Flüssigkeiten mit einer Auftriebswaage (Mohrsche Waage) bestimmt. Der
Auftriebskörper (A) taucht vollständig in die zu untersuchende Flüssigkeit ein. Zunächst wird die Waage mit destilliertem Wasser (
0,9982 3
W g cm
bei T 20C )
austariert. Dies erfordert, die Masse m1 im Abstand x10 10 Teilstrichen vom
Drehpunkt aufzuhängen.
a. Dann werden unbekannte Flüssigkeiten
untersucht: Um die Waage jetzt ins Gleichgewicht zu bringen müssen zusätzlich die beiden Massen m0,010,01m1 am Teilstrich x2 und m0,10,1m1 am Teilstrich x8
aufgehängt werden. Wie groß ist die Dichte der Flüssigkeit?
b. Welche Massen m1, m0,1, m0,01....usw. müssen wo aufgehängt werden, damit bei der Dichtebestimmung von Benzol (3 0,869g cm3) die Waage ins Gleichgewicht gebracht wird?
I-2. Ein Becher der Masse mB 0,5kg sei mit Wasser mW 5kggefüllt ( 1,00 3
W g cm
) und stehe auf einer Waage (unten). Ein Metallkörper unbekannter Masse und Dichte sei an einer Federwaage (oben) aufgehängt und tauche vollständig in das Wasser ein. (Siehe Abbildung rechts) Die oberer Waage zeigt 1,56 kg, und unterer 5,94 kg.
a. Welche Dichte hat der Metallkörper? Um welches Element könnte es sich handeln?
b. Welche Masse hat der Metallkörper?
I-3. Das Element Eisen hat eine Dichte von Fe 7,897g cm3 und die
relative Atommasse Ar 55,854g mol1. Mit Hilfe der Avogadro-Konstante
23 1
6,022 10
NA mol kann aus diesen Angaben eine Abschätzung für den Radius eines Eisenatoms gewonnen werden. Wie groß ist ein Fe-Atom in etwa?
I-4. Zur Bestimmung der Dichte einer unbekannten Flüssigkeit mit Dichte Fl untersucht man das Verhalten von einem Stück Kork (1) (Dichte Kork:Kork 200kg m3) und einem Gewichtsstück aus Aluminium (2) (Dichte Aluminium:Al 2,70g cm3). Die Volumina der beiden Auftriebskörper sind gleich. Die
Federwaage (1) zeigt eine Kraft von 2,31N, die Federwaage (2) 7,50N.
a. Wie groß ist das Volumen der Probekörper?
b. Welche Dichte Fl hat die Flüssigkeit?
Metallkör per
I-5. Ein Kupferdraht mit einer Zugfestigkeit von 220 N mm-2 soll senkrecht ins Meer hinab gelassen werden. Bei welcher Länge wird der Kupferdraht zerreißen? (Dichte Cu:
8,95 3
Cu g cm
, Dichte Meerwasser:MW 1,025g cm3)
I-6. Ein dünnwandiges Stahlrohr mit Innendurchmesser d1100mm, dessen unteres Ende mit einer quadratischen Kupferplatte verschlossen ist, wird ins Wasser getaucht. Die Platte mit Kantenlänge d2 150mm und einer Dicke s10mm soll nur durch den Wasserdruck gegen das Rohrende gedrückt werden. Welche Eintauchtiefe h ist erforderlich, damit sich die Scheibe nicht vom Rohr löst? (Cu 8,95g cm3,W 1,00g cm3)
Lösungen:
I-1a. Die Auftriebskraft ist: FA Flüssigkeit V g
Für das Verhältnis der Dichten 1 und 1 zweier Flüssigkeiten gilt also:
1 1
2 2
A A
F F
Die aus Gewichtskraft FG (nach "unten“ gerichtet) und Auftrieb FA (nach "oben“
gerichtet) resultierende Kraft erzeugt ein Drehmoment MA an der Waage (mit Linksdrehung, wenn FA FG ), das im Gleichgewicht durch das Drehmoment der angehängten Zusatzmassen kompensiert wird Mm (Rechtsdrehung).
Die Waage ist im Gleichwicht ist, wenn die Differenz der Drehmomente gleich Null ist.
Es gilt: MAMm 0
Bezeichnet man die unterschiedlichen Flüssigkeiten mit dem Index i, so gilt für das Verhältnis von Dichten und Drehmomenten:
1 1 1
2 2
2
m A
A m
M M
M M
Für das Drehmoment der Zusatzgewichte gilt:
i
m k k
k i
M x m g
Für zwei Flüssigkeiten (1) und (2) gilt dann:
1 1
2
2
k k
k
k k
k
x m g x m g
Bei Wasser hängt m1 am zehnten Teilstrich x10, bei der unbekannten Flüssigkeit zusätzlich m0,10,1m1 am achten und m0,10,01m0 am zweiten. Es folgt:
1 0,1 0,01
1
10 8 2
10
x Wasser
m m m
m
1 10 0,1 8 0,01 2
1,082 1 10
x Wasser
3 3
1, 082 0,9982 1,080
x g cm g cm
I-1b. Bei der Dichtebestimmung von Benzol hängt m1 am achten Teilstrich, m0,1 am siebten Teilstrich und m0,01 am ersten Teilstrich, da gilt:
0,869
0,871 0,9982
Benzol Wasser
I-2a. Gewichtskraft Al-Block: Fg m gx
Auftriebskraft Al-Block: A W W x
x
F V g m g
Kraft auf die Waage oben: o g A 1 W x
x
F F F m g
Anzeige der Waage oben: o g A 1 W x 1,56
x
F F F m kg
g
(1)
Kraft auf die Waage unten: Fu
mB mW
g FA
Wu B W x
x
F m m g m g
Anzeige der Waage unten: u
B W
W x 5,94 xF m m m kg
g
(2)
Aus (1) folgt: x x o
x W
m F
g
Einsetzen in (2) u
B W
W x ox x W
F F
m m
g g
u W o
B W
x W
F F
m m
g g
W o
x W
u B W
F
F m m g
g
3
1,0 3
1,56 1,0
5,94 0,5 5,0
x
g cm kg g cm
kg kg kg
Lösung: x 4,54g cm3. Es handelt sich um Titan
b. Masse: x x o
x W
m F
g
4,54 1,56 2,00 4,54 1,00
mx kg kg
I-3. Das Volumen von 1cm3 enthält 7,897g. Teilt man diesen Wert durch die relative Atommasse, so erhält die Anzahl der Mole im Volumen von 1cm3.
Molzahl pro Volumen: 3 3
7,897
0,141 55,854
r
n g mol mol
V A g cm cm
Atomzahl pro Volumen:
23 3 22 3
0,141 6,022 10 8,51 10
A
N n
N cm cm
V V
Volumen pro Atom: 22 3 23 3
1 1,17 10
8,51 10
Atom
V V cm cm
N
Näherung Würfel: VAtom
2R
33 8
1 1
2, 27 10 0,113 2 Atom 2
R V cm nm
Näherung Kugel: 4 3
Atom 3
V R
23 3 3 3 3 3 1,17 10
0,140
4 4
VAtom cm
R nm
Tabellenwert zum Vergleich: RFe 0,126nm
I-4a. Auftriebskraft ist größer als Gewichtskraft. Die resultierende Kraft F1 zeigt nach oben.
Für den Betrag gilt: Kraftanzeige (1) F1FlVKork g KorkVKorkg
1 Fl Kork Kork
F V g
Auftriebskraft ist kleiner als Gewichtskraft. Die resultierende Kraft F2 zeigt nach unten. Für den Betrag gilt: Kraftanzeige (2) F2 AlVAl g FlVAlg
2 Al Fl Al
F V g
Umformung nach Fl: Fl Al 2
Al
F
V g
Einsetzen: 1 Al 2 Kork Kork
Al
F F V g
V g
Da die Volumina gleich sind, gilt: VAl VKork V
Einsetzen: 1 Al 2 Kork
F F V g
V g
1 2 2
Al Kork Al Kork
F F F
V V V
g g g
1 2
3
1 2 9,81
9,81 2500
Al Kork Al Kork
F F
F F m
g g
V g
3
3 3
9,81 0,0004 400
9,81 2500
V m m cm
I-4b.Einsetzen (Gleichung für F2): Fl Al 2
F
V g
2
3 3
3
2700 7,50 789
0,0004 9,81
Fl
kg m N s kg m
m m
3 3
789 0,789
Fl kg m g cm
Probe (Gleichung für F1): Fl 1 Kork
F
V g
3 3 3
2,31 200 789 0,789
0,0004 9,81
Fl
kg kg g
m m cm
I-5. Der Draht reißt, wenn die resultierende Kraft Fmax größer als das Produkt aus Zugfestigkeit maxund Querschnittsfläche A des Drahtes ist.
A Fmax max
Resultierende Kraft Fmax : Fmax FG FA
Cu MW
ALg
2 max
3 2
220
8,95 1,025 9,81
Cu MW
L N mm
g g cm m s
220 103
8,95 1, 025 9,81 2830
L m m
I-6. Die Scheibe ist kräftefrei, wenn die Gewichtskraft FG m g gleich der Differenz der Druckkräfte unterhalb und oberhalb der Scheibe ist. p0 sei der äußere Luftdruck (der zur Vereinfachung als unabhängig von der Eintauchtiefe h angenommen werden soll). Der Druck in der Wassertiefe h ist: p hW( ) p0W g h.
Die Fläche der Kupferplatte ist: AP d22
die Querschnittsfläche des Rohres: 12
R 4 A d
Gewichtskraft: FG m g CuV g Cu g A sP Cug d s22
Druckkraft unterhalb der Scheibe: FU
p0pW
h
AP p d0 22W g h d 22Druckkraft oberhalb der Scheibe: FO
p0 pW
h s
APAR
p A0 R
0 0 0
O P R R W P R
F p A p A p A p h s A A
2 2 2
0 2 2 1
O W 4
F p d g h s d d
Differenz der Druckkräfte: 22
22 12U O W 4
F F g h d h s d d
2 2 2
1 2 1
4 4
U O W
F F g h d s d s d Gleichgewichtsbedingung: FG FU FO
2 2 2 2
2 1 2 1
4 4
Cus d g W g h d s d s d
2 2 2 1
4 Cu 1 1
W
h s d d
2 2
4 150 8,95
0, 01 1 1 0, 238
100 1,00
h m m
Tutorium Physik II II. Übungsblatt 27.10.2006 zu den Vorlesungen von Prof. Dr. Schrewe WS0607 --- II-1. Der Franzose Founier möchte mit einem Heliumballon bis in eine Höhe
von ca. 40 000 m aufsteigen und von dort mit dem Fallschirm
abspringen. (Das Bild zeigt den Ballon kurz vor einem Fehlversuch im Jahr 2003, bei dem die Ballonhülle aus 16 µm Polyethylen riss). Das Volumen des prallen Ballon beträgt VB 510 000m3. Rüstmasse und Nutzlast betragen jeweils 1000 kg.
a. Warum füllt man beim Start, wie auf dem Bild erkennbar, nur einen Teil des Ballons mit dem Auftriebsgas? .
b. Welches Mindestvolumen Helium 1
VHe ist erforderlich, damit der Ballon bei einem Luftdruck von p1980hPa und einer Temperatur von T120C am Startort schweben kann?
c. Zum Vergleich: Welche Volumen Wasserstoffgas hätte man einfüllen müsse, damit der Ballon schweben kann?
d. Der Ballon wird mit dem Doppelten des Mindestvolumens gefüllt. Welche Kraft muss den Ballon bis zum Start am Boden halten? Welche Beschleunigung hat er nach dem Start?
e. Beim Aufstieg des Ballons sinkt der äußere Luftdruck. Das Gas im Ballon dehnt sich aus und füllt in der „Prallhöhe“ hP das gesamte Ballonvolumen VB. Berechnen Sie hP unter der vereinfachten Annahme, dass die barometrische Höhenformel gilt und Luftdruck und Luftdichte proportional sind.
f. Der gezeigte Ballon soll "offen" sein, d. h. beim Steigen oberhalb der Prallhöhe hp
kann überschüssiges Helium entweichen. Welche Maximalhöhe homax kann der Ballon unter den angegeben Modellbedingungen erreichen?
g. Welche Maximalhöhe hgmax würde der Ballon erreichen, wenn der Ballon
"geschlossen" wäre, d. h. wenn oberhalb der Prallhöhe hp kein Helium die Ballonhülle verlassen könnte?
h. Vergleichen Sie homax und hgmax. Wie kann man den Unterschied physikalisch erklären?
Dichte: 0Luft 1, 293kg m3, 0He 0,1785kg m3, 0H 0, 0899kg m3 bei Standardbedingungen p0 1013hPa und T0 0 C.
Lösungen:
II-1. Benennung der physikalischen Größen:
Index 0 für Standardwerte:
Luftdichte bei Standardbedingungen: 0Luft Heliumdichte bei Standardbedingungen: 0He Index 1 und 2 für aktuelle Werte am Startort:
Luftdichte am Startort: 1Luft
Heliumdichte am Startort: 1He
He-Volumen für Schwebebedingung: V1He
He-Volumen beim Start: V2He 2 V1He II-1a. Mit steigender Höhe wird die Luftdichte geringer. Wenn man ein konstantes
Auftriebsvolumen hat (wie z. B. bei einem Heißluftballon), wird deshalb der Auftrieb beim Aufsteigen geringer. Bei dem gezeigten Ballon ist es jedoch anders: Da der Druck im Innerer des Ballons gleich dem Außendruck ist, nimmt die Dichte des Gases im Ballon im gleichen Verhältnis ab wie der Luftdruck und das durch die Gasfüllung definierte Ballonvolumen wächst proportional zum Kehrwert des Luftdrucks. Da die Auftriebskraft proportional zum Produkt aus Ballonvolumen und äußerer Luftdichte ist, und die Luftdichte proportional zum Luftdruck ist, bleibt die Auftriebskraft solange konstant, bis das am Boden eingefüllte Gas das gesamte Ballonvolumen vollständig ausfüllt. Man bezeichnet diese Höhe als "Prallhöhe".
II-1b. Die allgemeine Gasgleichung:
1 1
1 0
0 0
T p T
p
dient zur Berechnung der aktuellen Dichten 1Luft und 1He am Startort aus den Standardwerten 0
Luft und 0
He:
Luftdichte am Startort: 1 1 0 0 3 3
1 0
980 273
1, 293 1,165 293 1013
Luft p T Luft kg kg
T p m m
Heliumdichte am Startort: 1 1 0 0 3 3
1 0
980 273
0,1785 0,1609 293 1013
He p T He kg kg
T p m m
Schwebebedingung am Boden: Auftriebskraft FA gleich Gewichtskraft FG, wobei 1Luft und 1He die Dichten von Luft und Helium am Startort,
1
VHe das am Boden eingefüllte Heliumvolumen,
1 1
He He
V mHe die Masse des eingefüllten Gases,
mR die Rüstmasse und mN die Masse der Nutzlast bezeichnen.
1 1 1 1
He Luft He He
A R N G
F V g m m V g F
He-Volumen (schweben):
3
3 1
1 1
2000 1991
1,165 0,1609
He R N
Luft He
m m kg m
V m
kg
II-1c. Wasserstoffdichte am Startort: 1 1 0 0 3 3 1 0
980 273
0,0899 0,0810 293 1013
H p T H kg kg
T p m m
H-Volumen (schweben):
3
3 1
1 1
2000 1845
1,165 0, 0810
H R N
Luft H
m m kg m
V m
kg
Fazit: Die Dichte von Wasserstoff ist zwar nur halb so groß wie die von Helium, aber dies bewirkt nur eine Volumenersparnis von 7%.
II-1d. Auf den Ballon wirken die Gewichtskraft FG (nach unten) und die entgegengesetzt gerichtete Auftriebskraft FA (nach oben). Wenn beim Start das doppelte Volumen des zum Schweben des Ballons benötigten Helium-Volumens eingefüllt wird, ist die resultierende Kraft nach oben gerichtet und lässt den Ballon beschleunigt steigen.
D'Alembertsches Prinzip:
FAFG
mges a0Gewichtskraft:
1 2
He He
G ges R N
F m g m m V g mit: V2He 2 V1He 3982m3
Masse des Heliums: m1He 1HeV2He 0,1609kg m33992m3 642kg Gesamtmasse: mges 2 1000kg642kg2642kg
Gewichtskraft G 2642 9,81m2 25,92
F kg kN
s
Auftriebskraft: FA 1LuftV2He g 1Luft
2V1He
g3
3 2
1,165 2 1991 9,81 45,51
A
kg m
F m kN
m s
Beschleunigungskraft: Fa FAFG
45,51 25,92
kN 19,59kNBeschleunigung:
3
2 2
19,59 10
7, 41 2642
a ges
F kg m m
a m kg s s
Fazit: Füllt man einen Ballon mit der doppelten Menge Helium, die für das Schweben am Boden benötigt wird, so wird er mit fast +g nach oben beschleunigt.
II-1e. Der Druck im inneren des Ballons ist immer gleich dem äußeren Luftdruck.
Deshalb gilt für alle Höhen h: pHe h pLuft h und auch am Startort: p1He p1Luft
Das Verhältnis von Druck p h( ) und Dichte ( )h in der Atmosphäre ist konstant (dies folgt aus der allgemeinen Gasgleichung und gilt deshalb unter ideal angenommen atmosphärischen Bedingungen).
Also gilt:
HeHe He
He p
h h p
1 1
und es folgt:
1
1
1 1
He Luft
He He He
He He
p p
p h h h
Wir verwenden deshalb im folgenden die (idealisierte) Annahme, dass Druck und Dichte proportional sind. pHe
h ~He
hAm Startort ist: 1
11
0
He He He
He
h m
V Da die Masse des Heliums 1
mHe im Ballon beim Aufstieg des Ballons bis auf die Höhe hP konstant bleibt, gilt in der Höhe hp:
1He 1He 1HeHe p
B B
m V
h V V
oder:
11 He p He
He
B
h V
V
Barometrische Höhenformel:
Luft p Luft LuftLuft p
p
He h
p p g
h p h p
0 0
1 exp
)
(
oder:
01 0
exp
He Luft
p
Luft Luft p
p h g
p p h
Es folgt: 1 0
0
exp
Luft He
Luft p B
g
V h
V p
Umformung nach hP : 0 0 0
0 0 1
ln ln
Luft He Luft
p Luft Luft HeB
B
p V p V
h g V g V
3 2
1013 510000
1,293 9,81 ln2 1991
p
h hPa
kg m m s
Prallhöhe: hp 7986m4,853 38,76 km
II-1f. Offener Ballon: Bei einem "offenen" Ballon bleibt die Masse des Füllgases m1He oberhalb von hp nicht mehr konstant. Die Masse des Gases ist höhenabhängig: mHe
hfür h h p. Deshalb ändert sich seine Gesamtmasse und seine Gewichtskraft FG. Gewichtskraft für h h p: F hG
mRmN mHe
h
g
He
G R N B
F h m m h V g
Auch die Auftriebskraft ändert sich mit steigender Höhe für h h p, da die Luftdichte abnimmt:
Auftriebskraft für h h p: FA
h Luft
h VBgSowohl für He
h als auch für Luft
h gilt die barometrische Höhenformel:
1 00
exp
Luft
Luft Luft
Luft
h gh
p
1 00
exp
Luft
He He
Luft
h g h
p
Die Maximalhöhe homax ist erreicht, wenn die Auftriebskraft F hA
omax gleich der Gewichtskraft F hG
omax ist.Bedingung für hmax: F hA
omax F hg
omaxAuftriebskraft:
max 1 0 max0
exp
Luft Luft
A o Luft o B
F h gh V g
p
Gewichtskraft:
max 1 0 max0
exp
Luft He
G o R N B Luft o
F h m m V gh g
p
max max
0 0
1 1
0 0
exp exp
Luft Luft
Luft He
o B R N B o
Luft Luft
g g
h V g m m V h g
p p
Es folgt: exp 00 max
1 1
Luft
R N
Luft o Luft He
B
g m m
p h V
Lösung: max 0
0 0
0
ln
Luft Luft He B
o Luft
B N
p V
h g m m
max 1,165 0,1609 510000
7986 ln
o 2000
h m
max 7986 5,545 44, 29
ho m km
II-1g. Geschlossener Ballon: Bei einem "geschlossenen" Ballon bleibt die Masse des Füllgases m1He oberhalb von hp konstant. Die Masse des Gases ist gleich der am Boden eingefüllten Gasmasse. Deshalb ändert sich die Gesamtmasse des Ballons und seine Gewichtskraft FG nicht.
1He
.G G R N
F h F m m m g konst mit Startvolumen 2
VHe FG mges g
mRmN 1HeV2He
gund V2He 2 V1He FG mges g
mRmN 2 1HeV1He
g25,92 FG kN
Die Auftriebskraft ist jedoch höhenabhängig, genau wie beim "offenen" Ballon.
1 00
exp
Luft Luft
A Luft B
F h gh V g
p
Die Maximalhöhe hgmax für den "geschlossenen" Ballon wird erreicht, wenn gilt:
maxA g g
F h F
0 max
1 1 1
0
exp 2
Luft
Luft He He
g B R N
Luft
gh V g m m V g
p
0 max 1 1
0 1
exp 2
Luft He He
R N
Luft g Luft
B
g m m V
p h V
max 0 1 1
0 1
ln 2
Luft He He
R N
g Luft Luft
B
p m m V
h g V
max 1000 1000 642
7986 ln
1,165 510000
g
h m kg
kg
max 2642
7986 ln 7986 5, 4156
594150
g
h m kg
kg
max 7986 5, 4156 43, 428
hg km
II-1h. Bei einem geschlossenen Ballon ist die Maximalhöhe hgmax immer kleiner als die Maximalhöhe homax bei einem offenen Ballon.
Erklärung: Die Auftriebskraft wird durch das Ballonvolumen VB und die Dichte der äußeren Luft Luft
h bestimmt. Beides ist beim offenen und beim geschlossenen Ballon gleich. Unterschiedlich ist jedoch die Gewichtskraft: Der offenen Ballon kann beim Steigen Auftriebsgas ablassen und verliert deshalb Masse, während dergeschlossenen Ballon seine Masse bis zur Maximalhöhe behält.
Tutorium Physik II III. Übungsblatt 10.11.2006 zu den Vorlesungen von Prof. Dr. Schrewe WS0607 --- III-1. In einem U-Rohr befindet sich Glycerin mit einer Säulenlänge von
40
l cm. Eine linke Seite des Rohres ist offen, die rechte verschlossen.
Durch Überdruck in dem verschlossenen Teil wird die Flüssigkeitssäulen um xm 8cm aus der Ruhelage bei x0 0ausgelenkt.
Zum Zeitpunkt t0 wird der Verschluss des rechten U-Rohrschenkels geöffnet und die Flüssigkeitssäule beginnt zu schwingen.
a. Stellen Sie die Bewegungsgleichung der ungedämpften Schwingung auf und bestimmen Sie die Formel für die Eigenkreisfrequenz der
ungedämpften Schwingung 0 ab.
b. Welche maximale Geschwindigkeit vmax hat die Flüssigkeitssäule?
c. Wie groß ist die Beschleunigung a0 zum Zeitpunkt t0?
III-2. An der Laufkatze eines Krans hängt ein kugelförmiger Behälter mit dem Durchmesser von 1 m und der Masse 3 t. Das Seil, an der die Kugel hängt, sei ebenfalls 1 m lang.
Die Masse des Seils soll vernachlässigt werden. Die Laufkatze bewegt sich mit einer Geschwindigkeit von 2 m s-1. Beim plötzlichen Bremsen der Laufkatze beginnt die Last zu schwingen.
a. Bestimmen Sie die Eigenkreisfrequenz 0, die Eigenfrequenz f0 und die Schwingungsdauer T0 der ungedämpften Schwingung.
b. Welchen (maximalen) Auslenkungswinkel maxerreicht die Last nach der Abbremsung?
III-3. Es sollen unterschiedliche Pendel betrachtet werden, die eine gleiche Schwingungsdauer von T 1s besitzen.
a. Pendel Nr. 1: Eine Scheibe mit Radius R = 10 cm soll um einen Drehpunkt innerhalb der Scheibe, aber außerhalb des Schwerpunkts drehbar aufgehängt werden. Welchen Abstand hat der Drehpunkt vom Schwerpunkt?
b. Pendel Nr. 2: Das Pendel bestehe aus der im Teil a. genannten Scheibe mit Radius 10 cm, die in diesem Fall an einem am Rand befestigten (masselosen) Faden aufgehängt werden soll. Wie groß ist der Abstand zwischen dem Schwerpunkt der Scheibe und dem Drehpunkt am Ende des Fadens?
III-4. Betrachten Sie ein Pendel, dass aus drei Kugeln mit gleicher Masse mK und gleichem Radius
cm
R5 und Verbindungsstangen der Länge 2
L R gebildet wird, die als masselos betrachtet werden sollen. Die Drehachse verlaufe durch den Mittelpunkt der oberen Kugel. Berechnen Sie:
a. die Eigen(kreis)frequenz 0und die
Schwingungsdauer T0 für eine ungedämpfte Schwingung,
c. die Länge lM , die ein mathematisches Pendel mit der gleichen Schwingungsdauer hätte.
Lösungen:
III-1a.Die Differenz der beiden Flüssigkeitssäulen entspricht einer Säulenhöhe von 2x. Der Schweredruck am Boden der Säule ist:
S Fl 2
p g x Querschnittsfläche der Säule: A
Rückstellende Kraft: FRück p AS 2Fl g A x Gesamtmasse der Säule: mFl V Fl A l
(Näherung: Man betrachte statt der U-förmigen Flüssigkeitssäule einen Zylinder der Länge l und Querschnittsfläche A)
D’Alembertsches Prinzip: i 0
i
F m x
hier: FRückm x0 Einsetzen: 2Fl g A x Fl A l x 0Es folgt: l x 2 g x 0
Standardform der DGL: 02
2g 0
x x x x
l
mit: 0 2 1
7,071
g s
l
Schwingungsdauer: 0 2 0,8886
2
T l s
g
Lösung für x(t): x t( )xmcos
0t
III-1b.Lösung für die Geschwindigkeit: v t
x t
xm 0sin
0t
Maximalgeschwindigkeit: vmax xm0 0,08m7,071s10,566m s1 III-1c.Lösung für Beschleunigung: a t( ) xm 02cos
0t
Für t0 gilt: 02 2
2 2 0,08 10
( 0)
0, 4
m m
a t x x g m s
l
( 0) 4 2
a t m s
III-2a. Eigenkreisfrequenz der ungedämpften Schwingung für ein physikalisches Pendel:
0
ges
m g d
J
Nach dem Steinerschen Satz ist: Jges JS m d2
Trägheitsmoment der Kugel 2 2 2 5 300
JS mR kg m Abstand Schwerpunkt – Drehpunkt: d 1m0,5m1,5m
22 2 2
5 3
ges S
J J m d m R m R
2 6750 2
m d kg m
2 2
47 7050
ges 5
J m R kg m
1
0 2
5 3
2,5023 47
m g d m g R
J m R s
Eigenkreisfrequenz: 0 1
15 2,53
47
g s
R
mit g10m s2
Eigenfrequenz: 0 0 1
1 0, 40
f 2 s
Schwingungsdauer: 0
0
1 2, 45
T s
f
III-2b.Energieerhaltungssatz: Die kinetische Energie der mit v0 bewegten Kugel ist gleich der potentielle Energie in der Höhe h0:
Energie: 02 0
1 6000
2m v m g h J Höhe h0:
2 2
0 0, 2
2 2
m v v
h m
m g g
mit g10m s2
Lenkt man ein Pendels der Länge l um den Winkel max aus, so wird der Schwerpunkt um h0 gehoben.
0 (1 cos max) h l Winkelauslenkung max: max arccos 1 h0
l
2 max 0
arccos 1 arccos 13 30
2 15
v
g l III-3a.Trägheitsmoment einer Scheibe in Bezug auf den Schwerpunkt:
1 2 S 2
J m R
Wenn die Drehachse im Abstand d vom Schwerpunktes liegt, gilt:
2 0,5 2 2
ges S
J J m d m R m d
Schwingungsdauer: 0 2 2
ges 0,5
m g d m g d
J m R m d
0 2 2
0
2
0,5 g d
T R d
2
0 2 2
0,5 g d R d
2 2 2
0 0,5 g d R d
2 2
2 0
g 0,5
d d R
2
2
1/ 2 4 2
0 0
4 0,5 2
g g
d R
2 4 2
0 2 0
1/ 2 4 0,5 2
64 8
g T g T
d R
Mit g10 m s1 folgt: 1/ 2 4 2 2
100 10
0,5 0,1
64 8
d m m
2
1/ 2 4
100 0,5 0,1 0,127
d 64 m m
Lösung zur positiven Wurzel: d123,18cm Lösung zur negativen Wurzel: 2
2,16 1 d cm2
III-3a. Der gesuchte Drehpunkt innerhalb der Scheibe entspricht Lösung d2 2,16cm III-3b. Der gesuchte Drehpunkt außerhalb der Scheibe entspricht Lösung d123,17cm III-4a.Die Schwerpunkte der drei Kugeln bilden ein gleichseitiges Dreieck mit der
Seitenlänge DR2RR4R. Für die Höhe im Dreieck gilt:
2 2
2
D
D h
m R
R R
h 16 2 4 2 12 0,1732
Der Schwerpunkt liegt auf der Höhe des gleichseitigen Dreiecks. Für den Abstand zwischen Drehpunkt und Schwerpunkt gilt:
m R
R h
d 2,309 0,11547
9 48 3
2
.
Das Trägheitsmoment ist die Summe des Trägheitsmomente der oberen Kugel (J1) und der beiden unteren Kugeln (J2 und J3).
Obere Kugel 1 2
5 2m R J K
Untere Kugel 2 3 2 2
2
K 5 K
J J m D m R
2 2 2
2 3
2 82
4 5 K 5 K
J J m R m R
2 2 3 16, 4 K J J m R
Trägheitsmoment: 1 2 3 2
166
ges 5 K
J J J J m R
2 2
1 2 3 33, 2 0, 083
ges K K
J J J J m R m m
Eigenkreisfrequenz 0 2
3 2,309
166 5
ges K
ges K
m g d m g R
J m R
1 0 0, 2086 g 0, 4568 g 6.46
R R s
Schwingungsdauer: 0
0
2 0,973
T s
w
VI-4c.Länge des Mathem. Pendels: 2
0
0, 24 24
M
l g m cm
Tutorium Physik II IV. Übungsblatt 24.11.2006 zu den Vorlesungen von Prof. Dr. Schrewe WS0607 --- 1. In einem U-Rohr befindet sich Öl mit einer Säulenlänge von l40cm. Eine Seite
des Rohres ist offen, die andere verschlossen. Durch Überdruck in dem verschlossenen Teil wird die Flüssigkeitssäulen um xm 8cm
aus der Ruhelage bei x0 0ausgelenkt. Zum Zeitpunkt t0 wird der Verschluss des U-Rohres geöffnet und die
Flüssigkeitssäule beginnt zu schwingen.
Im III. Übungsblatt haben Sie die Bewegungsgleichung der ungedämpften Schwingung aufgestellt und die Formel für die Eigenkreisfrequenz der ungedämpften Schwingung 0 ermittelt.
a. Die Beobachtung zeigt, dass die Amplitude nach 5
Schwingungsperioden auf 2 mm abgeklungen ist. Wie lautet die Amplitudenfunktion der gedämpften Schwingung? Wie groß sind die Abklingkonstante , die Eigenkreisfrequenz e und die Schwingungsdauer Te der gedämpften Schwingung?
b. Wie groß ist die Beschleunigung a0 zum Zeitpunkt t0?
c. Im III. Übungsblatt haben Sie bereits die maximale Geschwindigkeit für eine ungedämpfte Schwingung bestimmt. Bestimmen Sie jetzt den Zeitpunkt und den Wert der maximalen Geschwindigkeit für die gedämpfte Schwingung der
Flüssigkeitssäule?
IV-2. Für ein Stabpendel, ein homogener dünner Stab der Länge L, dessen Drehpunkt L/ 3 vom oberen Ende entfernt ist, wird eine Schwingungsdauer von 2,00 s gemessen. Das Pendel schwingt gedämpft. Während jeder Schwingungsperiode verringert sich die Amplitude um 30%.
a. Bestimme die Eigen(kreis-)frequenz e der gedämpften Schwingung.
b. Bestimme die Abklingkonstante .
c. Bestimme die Eigen(kreis-)frequenz 0 und die Eigenfrequenz f0 und die Schwingungsdauer T0 der ungedämpften Schwingung.
d. Bestimme die Formel für das Massenträgheitsmoment JStab des Pendels.
e. Berechne die Pendellänge L.
f. Berechne für die Anfangsbedingungen
t0
20und
t0
0 die Zeit, nach der dasAmplitudenmaximum auf weniger als 1° abgeklungen ist.
Abb. 4