bei ) austariert. Dies erfordert, die Masse im Abstand Teilstrichen vom Drehpunkt aufzuhängen.

Tutorium Physik II I. Übungsblatt 23.03.2007 zu den Vorlesungen von Prof. Dr. Haussmann und Prof. Dr. Schrewe SS07 ---

I-1. Im Physiklabor wird die Dichte von Flüssigkeiten mit einer Auftriebswaage (Mohrsche Waage) bestimmt. Der

Auftriebskörper (A) taucht vollständig in die zu untersuchende Flüssigkeit ein. Zunächst wird die Waage mit destilliertem Wasser

( bei )

austariert. Dies erfordert, die Masse im Abstand Teilstrichen vom

Drehpunkt aufzuhängen.

0, 9982 3

W g cm

ρ = ⁻

10 10

x =

20 T = °C

m1

a. Dann werden unbekannte Flüssigkeiten

untersucht: Um die Waage jetzt ins Gleichgewicht zu bringen müssen zusätzlich die beiden Massen m_0,01=0, 01⋅m₁ am Teilstrich x₂ und m_0,1=0,1⋅m₁ am Teilstrich x₈ aufgehängt werden. Wie groß ist die Dichte der Flüssigkeit?

b. Welche Massen , , ....usw. müssen wo aufgehängt werden, damit bei der Dichtebestimmung von Benzol (

m1 m_0,1 m_0,01

3 3 0,869g cm

ρ = ⁻ ) die Waage ins Gleichgewicht gebracht wird?

I-2. Ein Becher der Masse m_B =0, 5kg sei mit Wasser m_W =5kggefüllt (ρ_W =1, 00g cm⁻³) und stehe auf einer Waage (unten). Ein Metallkörper unbekannter Masse und Dichte sei an einer Federwaage (oben)

aufgehängt und tauche vollständig in das Wasser ein. (Siehe Abbildung

rechts) Die oberer Waage zeigt 1,56 kg, und unterer 5,94 kg. ^Metallkör a. Welche Dichte hat der Metallkörper? Um welches Element könnte es sich per

handeln?

b. Welche Masse hat der Metallkörper?

I-3. Das Element Eisen hat eine Dichte von ρ_Fe =7,897g cm⁻³

1

und die relative Atommasse A_r =55,854g mol⁻

mol⁻1

. Mit Hilfe der Avogadro-Konstante kann aus diesen Angaben eine Abschätzung für den Radius eines Eisenatoms gewonnen werden. Welchen Radius hat ein Fe-Atom in etwa?

6, 022 1023

NA = ⋅

Lösungen:

I-1a. Die Auftriebskraft ist: F_A =ρFlüssigkeit⋅ ⋅V g

Für das Verhältnis der Dichten ρ₁ und ρ₁ zweier Flüssigkeiten gilt also:

1 1

2 2

A A

F F ρ ρ ⁼

Die aus Gewichtskraft (nach "unten“ gerichtet) und Auftrieb (nach "oben“

gerichtet) resultierende Kraft erzeugt ein Drehmoment

FG F_A

MA an der Waage (mit Linksdrehung, wenn ), das im Gleichgewicht durch das Drehmoment der angehängten Zusatzmassen kompensiert wird

FA >F_G

Mm (Rechtsdrehung).

Die Waage ist im Gleichwicht ist, wenn die Differenz der Drehmomente gleich Null ist.

Es gilt: M_A−M_m=0

Bezeichnet man die unterschiedlichen Flüssigkeiten mit dem Index i, so gilt für das Verhältnis von Dichten und Drehmomenten:

1 1 1

2 2

2

m A

A m

M M

M M

ρ

ρ ^{= =} Für das Drehmoment der Zusatzgewichte gilt:

_mⁱ _{k k}

k i

M ⎛ x m g⎞

= ⎜⎝

∑

⎟⎠ Für zwei Flüssigkeiten (1) und (2) gilt dann:

^{1 1}

2

2

k k

k

k k

k

x m g x m g ρ

ρ

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠

=⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠

∑

∑

Bei Wasser hängt m₁ am zehnten Teilstrich x₁₀, bei der unbekannten Flüssigkeit zusätzlich m_0,1=0,1⋅m₁ am achten und m_0,1=0,01⋅m₀ am zweiten. Es folgt:

^{1 0,1 0,01}

1

10 8 2

10

x Wasser

m m m

m ρ

ρ

⋅ + ⋅ + ⋅

= ⋅

1 10 0,1 8 0, 01 2

1, 082 1 10

x Wasser

ρ ρ

⋅ + ⋅ + ⋅

= =

⋅

ρ_x =1, 082 0, 9982⋅ g cm⁻³ =1, 080g cm⁻³

I-1b. Bei der Dichtebestimmung von Benzol hängt am achten Teilstrich, am siebten Teilstrich und am ersten Teilstrich, da gilt:

m1 m_0,1

m0,01

0,869

0,871 0, 9982

Benzol Wasser

ρ

ρ ^{= =}

I-2a. Gewichtskraft Al-Block: F_g =m g_x

Auftriebskraft Al-Block: _{A W} ^W _x

x

F ρ V g ρ m g

= = ρ

Kraft auf die Waage oben: _{o g A} 1 ^W _x

x

F F F ρ m g

ρ

⎛ ⎞

= − = −⎜ ⎟ ⋅

⎝ ⎠

Anzeige der Waage oben: ^o _{g A} 1 ^W _x 1,

x

F F F m kg

g

ρ ρ

⎛ ⎞

= − = −⎜ ⎟ =

⎝ ⎠ 56 (1)

Kraft auf die Waage unten: Fu =

(

mB +mW

)

⋅ +g FA

u

(

B W

)

^W x

x

F m m g ρ m g

= + ⋅ + ρ

Anzeige der Waage unten: ^u

(

B W

)

^W x ^{5, 94} x

F m m m kg

g

ρ

= + + ρ = (2)

Aus (1) folgt: _x ^{x o}

x W

m F

g ρ ρ ρ

= −

Einsetzen in (2) ^u

(

B W

)

^W

x x W

F F

m m

g g

x o

ρ ρ

ρ ρ ρ

= + + ⋅

−

^u

(

B W

)

^W

x W

F F

m m

g g

ρ o

ρ ρ

= + + ⋅

−

_x ^{W o} _W

u

B W

F

F m m g

g

ρ = ρ +ρ

− −

3

1, 0 3

1, 56 1, 0 5, 94 0,5 5, 0

x

g cm kg g cm

kg kg kg

ρ = ⁻ + ⁻

− −

Lösung: ρ_x =4, 54g cm⁻³. Es handelt sich um Titan

b. Masse: _x ^{x o}

x W

m F

g ρ ρ ρ

= −

4, 54

1, 56 2, 00 4, 54 1, 00

mx = kg=

− kg

I-3. Aus der Dichteinformation folgt: Das Volumen von enthält . Teilt man diesen Wert durch die relative Atommasse, so erhält man die Anzahl der Mole n im Volumen von .

1cm3 7,897g 1cm3

Molzahl pro Volumen: 7,897 _{3 3}

0,141 55,854

r

n g mol

V A g cm cm

ρ mol

= = =

Atomzahl pro Volumen: N n _A 0,141 6, 022 10^{23 3} 8,51 10^{22 3}

N cm

V = ⋅V = ⋅ ⋅ ⁻ = ⋅ cm⁻

Volumen pro Atom: 1 ₂₂ ^{3 23}

1,17 10 8, 51 10

Atom

V V cm

N

= = = ⋅ −

⋅

cm3

Näherung Würfel: VAtom = ⋅

(

² R

)

³

1 ³ 1 ⁸

2, 27 10 0,113 2 ^Atom 2

R≈ ⋅ V = ⋅ ⋅ ⁻ cm= nm

Näherung Kugel: 4 ³

Atom 3

V = πR

23 3

3 3 3 3 1,17 10

0,140

4 4

VAtom cm

R nm

π π

⋅ ⋅ −

= = =

⋅ Tabellenwert zum Vergleich: R_Fe =0,126nm

Tutorium Physik II II. Übungsblatt 30.03.2007 zur Vorlesungen von Prof. Dr. Schrewe SS07

--- II-1. Zur Bestimmung der Dichte einer unbekannten Flüssigkeit mit

Dichte ρ_Fl untersucht man das Verhalten von einem Stück Kork (1) (Dichte Kork:ρ_Kork =200kg m⁻³) und einem Gewichtsstück aus Aluminium (2) (Dichte Aluminium:ρ_Al =2, 70g cm⁻³

31N

). Die Volumina der beiden Auftriebskörper sind gleich. Die

Federwaage (1) zeigt eine Kraft von , die Federwaage (2) .

2, 7, 50N

a. Wie groß ist das Volumen der Probekörper?

b. Welche Dichte ρ_Fl hat die Flüssigkeit?

II-2. Ein Kupferdraht mit einer Zugfestigkeit von 220 N mm^-2 soll senkrecht ins Meer hinab gelassen werden. Bei welcher Länge wird der Kupferdraht zerreißen? (Dichte Cu:

, Dichte Meerwasser:

8, 95 3

Cu g cm

ρ = ⁻ ρ_MW =1, 025g cm⁻³)

II-3. Ein dünnwandiges Stahlrohr mit Innendurchmesser d₁=100mm, dessen unteres Ende mit einer quadratischen Kupferplatte verschlossen ist, wird ins Wasser getaucht. Die Platte mit Kantenlänge d₂ =150mm und einer Dicke soll nur durch den Wasserdruck gegen das Rohrende gedrückt werden. Welche Eintauchtiefe ist erforderlich, damit sich die Scheibe nicht vom Rohr löst? (

10 s= mm

h

95 ³

Cu 8, g cm

ρ = ⁻ ,ρ_W =1, 00g cm⁻³)

Lösungen:

II-1a. Auftriebskraft ist größer als Gewichtskraft. Die resultierende Kraft zeigt nach oben.

Für den Betrag gilt: Kraftanzeige (1)

F1

1 Fl Kork Kork VKork

F =ρ ⋅V ⋅ −g ρ ⋅ ⋅g F1=

(

ρFl −ρKork

)

⋅VKork⋅g

Auftriebskraft ist kleiner als Gewichtskraft. Die resultierende Kraft zeigt nach unten. Für den Betrag gilt: Kraftanzeige (2)

F2 Al

2 Al Al Fl

F =ρ ⋅V ⋅ −g ρ ⋅V ⋅g F2 =

(

ρAl−ρFl

)

⋅VAl⋅g

Umformung nach ρ_Fl: _{Fl Al} ²

Al

F ρ =ρ −V g

Einsetzen: _{1 Al} ² _{Kork Kork}

Al

F F V

ρ V g ρ

⎛ ⎞

=⎜ − − ⎟⋅ ⋅g

⎝ ⎠

Da die Volumina gleich sind, gilt: V_Al =V_Kork =V

Einsetzen: F_{1 Al} ^F2 _Kork V

ρ V g ρ

⎛ ⎞

=⎜ − − ⎟⋅ ⋅g

⎝ ⎠

¹ Al ² Kork

(

Al Kork

)

F F

V V V

g =ρ − g −ρ = ⋅ ρ −ρ −F² g

( )

1 2

3

1 2 9,81

9,81 2500

Al Kork Al Kork

F F

F F m

g g

V ρ ρ g ρ ρ

+ +

= = =

− ⋅ − ⋅

3

3 3

9,81 0, 0004 400 9,81 2500

V = m = m =

⋅ cm

II-1b. Einsetzen (Gleichung für F₂): _{Fl Al} F² ρ =ρ −V g

⋅

2

3 3

3

7, 50

2700 789

0, 0004 9,81

Fl

kg m N s kg m

m m

ρ = ⁻ − = ⁻

⋅ ρ_Fl =789kg m⁻³ =0, 789g cm⁻³ Probe (Gleichung für F₁): _Fl F¹ _Kork

ρ =V g +ρ

⋅

2, 31 _{3 3}

200 789 0, 789

0, 0004 9,81

Fl

kg kg g

m m c

ρ =^⎛⎜⎝ ⋅ + ^⎞⎟⎠ = = m³

II-2. Der Draht reißt, wenn die resultierende Kraft größer als das Produkt aus Zugfestigkeit

Fmax

σmaxund Querschnittsfläche A des Drahtes ist.

F_max =σ_max⋅A

Resultierende Kraft : F_max F_max =F_G −F_A =

(

ρ_Cu −ρ_MW

)

⋅A⋅L⋅g

( ) ( )

2 max

3 2

220

8,95 1, 025 9,81

Cu MW

L N mm

g g cm

σ ρ ρ

−

− −

= =

− ⋅ − ⋅ m s

( )

220 103

8, 95 1, 025 9,81 2830

L ⋅ m m

= =

− ⋅

II-3. Die Scheibe ist kräftefrei, wenn die Gewichtskraft F_G =m g gleich der Differenz der Druckkräfte unterhalb und oberhalb der Scheibe ist. p₀ sei der äußere Luftdruck (der zur Vereinfachung als unabhängig von der Eintauchtiefe h angenommen werden soll). Der Druck in der Wassertiefe h ist: p_W( )h = p₀+ρ_W g h.

Die Fläche der Kupferplatte ist: A_P =d₂² die Querschnittsfläche des Rohres: ₁²

R 4 A π d

=

Gewichtskraft: F_G =m g =ρ_CuV g=ρ_Cu g A s_P =ρ_Cu g d₂²s Druckkraft unterhalb der Scheibe: FU =

(

p0+pW

( )

h

)

⋅AP = p d0⋅ 2²+ρW g h d⋅ ₂² Druckkraft oberhalb der Scheibe: FO =

(

p0+ pW

(

h−s

) )

⋅

(

AP −AR

)

+ p A0 _R

)

FO = p A0 P−p A0 R+ p A0 R+ pW

(

h− ⋅s

) (

AP−AR

0 2²

( )

2² 1

O W 4

F = p d⋅ +ρ g⋅ − ⋅h s ^⎛⎜⎝d −π d ^⎞⎟⎠

2

Differenz der Druckkräfte: 2²

( )

2²

U O W 4

F −F =ρ g⋅^⎛⎜⎝h d⋅ − − ⋅h s ^⎛⎜⎝d −π d ^⎞⎟⎠^⎞⎟⎠

2 1

₁² ₂² ₁²

4 4

U O W

F −F =ρ g^⎛⎜⎝π h d +s d −π s d ^⎞⎟⎠ Gleichgewichtsbedingung: F_G =F_U−F_O

₂² ₁² ₂²

4 4

Cus d g W g π h d s d π s d

ρ =ρ ^⎛⎜ + − ^⎞⎟

⎝ ⎠

2 1

2 2 2 1

4 ^Cu 1 1

W

h s d d

ρ

π ρ

⎛ ⎛ ⎞ ⎞

= ⋅⎜⎜⎝ ⋅⎜⎝ − +⎟⎠ ⎟⎟⎠

2 2

4 150 8,95

0, 01 1 1 0, 238

100 1, 00

h m

π

⎛ ⎛ ⎞ ⎞

= ⋅⎜ ⋅⎜ − + =⎟ ⎟

⎝ ⎠

⎝ ⎠ m

Tutorium Physik II III. Übungsblatt 13.04.2007 zu den Vorlesungen von Prof. Dr. Schrewe SS07 --- III-1. Der Franzose Founier möchte mit einem Heliumballon bis in eine Höhe

von ca. 40 000 m aufsteigen und von dort mit dem Fallschirm

abspringen. (Das Bild zeigt den Ballon kurz vor einem Fehlversuch im Jahr 2003, bei dem die Ballonhülle aus 16 µm Polyethylen riss). Das Volumen des prallen Ballon beträgt . Rüstmasse und Nutzlast betragen jeweils 1000 kg.

510 000 3

VB = m

a. Warum füllt man beim Start, wie auf dem Bild erkennbar, nur einen Teil des Ballons mit dem Auftriebsgas? .

b. Welches Mindestvolumen Helium V₁^He

1 980

ist erforderlich, damit der Ballon bei einem Luftdruck von p = hPa und einer Temperatur von T₁=20°C am Startort schweben kann?

rklären?

Dichte:

c. Welche Volumen Wasserstoffgas hätte man einfüllen müsse, damit der Ballon schweben kann?

d. Der Ballon wird mit dem Doppelten des Mindestvolumens gefüllt. Welche Kraft muss den Ballon bis zum Start am Boden halten? Welche Beschleunigung hat er nach dem Start?

e. Beim Aufstieg des Ballons sinkt der äußere Luftdruck. Das Gas im Ballon dehnt sich aus und füllt in der „Prallhöhe“ das gesamte Ballonvolumen . Berechnen Sie

unter der vereinfachten Annahme, dass die barometrische Höhenformel gilt und Luftdruck und Luftdichte proportional sind.

hP V_B

hP

f. Der gezeigte Ballon soll "offen" sein, d. h. beim Steigen oberhalb der Prallhöhe h_p kann überschüssiges Helium entweichen. Welche Maximalhöhe kann der Ballon unter den angegeben Modellbedingungen erreichen?

max

ho

g. Welche Maximalhöhe würde der Ballon erreichen, wenn der Ballon

"geschlossen" wäre, d. h. wenn oberhalb der Prallhöhe hp kein Helium die Ballonhülle verlassen könnte?

max

hg

h. Vergleichen Sie h_o^max und h_g^max. Wie kann man den Unterschied physikalisch e

3 0^Luft 1, 293kg m

ρ = ⁻ , ρ₀^He =0,1785kg m⁻³, 1013

3 0^H 0, 0899kg m

ρ = ⁻ bei

Standardbedingungen p₀ = hPa und T₀ = °0 C.

Lösungen:

Benennung der physikalischen Größen:

III-1.

Index 0 für Standardwerte:

Luftdichte bei Standardbedingungen: ρ₀^Luft

0

ρHe

Heliumdichte bei Standardbedingungen:

Index 1 und 2 für aktuelle Werte am Startort:

Luftdichte am Startort: ρ₁^Luft

1

ρHe

Heliumdichte am Startort:

1

VHe

He-Volumen für Schwebebedingung:

2^He 2 1^H

V = ⋅V ^e He-Volumen beim Start:

III-1a. Mit steigender Höhe wird die Luftdichte geringer. Wenn man ein konstantes Auftriebsvolumen hat, wird deshalb auch der Auftrieb geringer. Beim gezeigten Ballon ist es jedoch anders: Da der Druck im Innerer des Ballons gleich dem

Außendruck ist, nimmt die Dichte des Gases im Ballon im gleichen Verhältnis ab wie der Luftdruck und das durch die Gasfüllung definierte Ballonvolumen wächst

proportional zum Kehrwert des Luftdrucks. Da die Auftriebskraft proportional zum Produkt aus Ballonvolumen und äußerem Luftdruck ist, bleibt die Auftriebskraft solange konstant, bis das am Boden eingefüllte Gas das gesamte Ballonvolumen vollständig ausfüllt. Man bezeichnet diese Höhe als "Prallhöhe".

III-1b. Die allgemeine Gasgleichung:

1 1

1 0 0

0

T p T p

ρ

ρ ⁼ dient zur Berechnung der aktuellen Dichten ρ₁^Luft und ρ₁^He am Startort aus den Standardwerten ρ₀^Luft und ρ₀^He:

Luftdichte am Startort: ₁ ^{1 0} _{0 3 3}

1 0

980 273

1, 293 1,165 293 1013

Luft p T Luft kg kg

T p m m

ρ = ρ = ^⋅ =

⋅

1 0

1 0 3 3

1 0

980 273

0,1785 0,1609 293 1013

He p T He kg kg

T p m m

ρ = ρ = ^⋅ =

Heliumdichte am Startort: ⋅

Schwebebedingung am Boden: Auftriebskraft gleich Gewichtskraft wobei und ρ₁^He die Dichten von Luft und Helium am Startort,

FA F_G,

Luft

ρ1 1

VHe das am Boden eingefüllte Heliumvolumen,

1 1

He He

V ⋅ρ =mHe die Masse des eingefüllten Gases,

die Rüstmasse und die Masse der Nutzlast bezeichnen.

mR m_N

( )

1 1 1 1

He Luft He He

A R N

F =V ρ g = m +m +V ρ g=F_G

( )

3

3 1

1 1

2000 1991

1,165 0,1609

He R N

Luft He

m m kg m

V m

ρ ρ kg

+ ⋅

= = =

− −

He-Volumen (schweben):

III-1c. Wasserstoffdichte am Startort: ₁ ^{1 0} _{0 3 3}

1 0

980 273

0, 0899 0, 0810 293 1013

H p T H kg kg

T p m m

ρ = ρ = ^⋅ =

⋅

( )

3

3

H-Volumen (schweben): 1

ρ1 ρ Fazit:

1

2000 1845

1,165 0, 0810

H R N

Luft H

m m kg m

V m

kg

+ ⋅

= = =

− −

Die Dichte von Wasserstoff ist zwar nur halb so groß wie die von Helium, aber enersparnis von 7%.

II-1d.

ericht be Start das oppelte Volumen des

-Volumens eingefüllt wird, ist die st de Ballon beschleunigt steigen.

'Alem

dies bewirkt nur eine Volum

I Auf den Ballon wirken die Gewichtskraft F_G (nach unten) und die entgegengesetzt g ete Auftriebskraft F_A (nach oben). Wenn im d

zum Schweben des Ballons benötigten Helium ericht t und s resultierende Kraft nach oben g e lä n D bertsches Prinzip:

(

F_A−F_G

)

−mg_es a=⁰

Gewichtskraft: ^{FG =mges⋅ =g}

(

^{mR+mN +ρ1HeV2He}

)

^⋅g

mit: ₂ = ⋅2 ₁ =3982m

Masse des Heliums: m₁^He =ρ₁^He⋅V₂^He =0,1609kg m⁻³⋅3992m³ =642kg Gesamtmasse: m_ges 2 1000kg 642kg 2642kg

3

He He

V V

= ⋅ + =

Gewichtskraft _G 2642 9,81m₂ 25, 92

F kg kN

= ⋅ s =

Auftriebskraft: ^{FA =ρ1Luft⋅V2He⋅ =g ρ1Luft⋅}

(

^2⋅V1He

)

^⋅g

1,165kg 2 1991 3 9,81m

F_A = ₃⋅ ⋅ m ⋅ ₂ =45, 51kN

m s

Beschleunigungskraft: F_a =F_A−F_G =

(

45,51 25, 92−

)

kN =19, 59kN Beschleunigung:

3

2 2

19, 59 10

7, 41 2642

a ges

F kg m m

a m kg s

= = ⋅ =

s

Fazit: Füllt man einen Ballon mit der doppelten Menge Helium, die für das Schweben am Boden benötigt wird, so wird er mit fast +g nach oben beschleunigt.

. III-1e. Der Druck im inneren des Ballons ist immer gleich dem äußeren Luftdruck

Deshalb gilt für alle Höhen h: ^pHe

( )

^{h = pLuft}

( )

^h

auch am Startort: p^He = p^Luft und

Das Verhältnis von Druck

1 1

( )

p h und Dichte ( )ρ h in der Atmosphäre ist konstant (dies gleichung und gilt deshalb unter ideal angenommen folgt aus der allgemeinen Gas

atmosphärischen Bedingungen).

( ) ( )

^He

He He

He p

h h p

1 1

ρ

ρ ⁼

Also gilt:

( )

¹

( )

¹

( )

1 1

He Luft

He He He

He He

p p

p h ρ h ρ

ρ ρ

= ⋅ = ⋅ h

und es folgt:

Wir verwenden deshalb im Dichte proportional sind.

folgenden die (idealisierte) Annahme, dass Druck und

( )

^~

( )

He He

p h ρ h

Am Startort ist: 1

(

0

)

¹

1 He

He He

VHe

h m ρ =ρ = =

Da die Masse des Heliums m₁^He im Ballon beim Aufstieg des Ballons bis auf die Höh hP konstant bleibt, gilt in der Höhe h_p:

( )

e

1 1

1

He He

He

He p

B B

m V

h V V

ρ = = ⋅ρ

( )

₁

1

He He p

He

B

h V

V ρ

ρ ^{= ⋅}

oder:

( )

_⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ ⋅ ⋅

−

⋅

=

= _{Luft p}

Luft Luft

p Luft p

He h

p p g

h p h p

0 0

1 exp

)

( ρ

Barometrische Höhenformel:

( )

₀

1 0

exp

He Luft

p

Luft Luft p

p h g

p p h

ρ

⎛ ⋅ ⎞

= ⎜− ⋅ ⎟

⎝ ⎠

oder:

1 0

0

exp

Luft He

Luft p B

g

V h

V p

ρ

⎛ ⎞

= ⎜− ⋅ ⎟

⎝ ⎠

Es folgt:

0 0 0

0 0

ln ln

Luft He Luft

B

p Luft Luft He

B

p V p V

h ^{= −}ρ g^⋅ V ⁼ ρ ⋅g^⋅ V Umformung nach h_P:

1

3 2

1013 510000

1, 293 9,81 ln 2 1991

p

h hPa

kg m⁻ m s⁻

= ⋅

Prallhöhe: h_p =7986m⋅4,853=38, 76km

III-1f. Offener Ballon: Bei einem "offenen" Ballon bleibt die Masse des Füllgases nstant. Die Masse des Gases ist höhenabhängig:

m₁He

( )

mHe h oberhalb von hp nicht mehr ko

für h>h_p. Deshalb ändert sich seine Gesamtmasse und seine Gewichtskraft F_G. Gewichtskraft für h>h_p: ^FG

( )

^{h =}

(

^{mR +mN +mHe}

( )

^h

)

^⋅g

( ) (

^He

( ) )

G R N B

F h = m +m +ρ h V⋅ ⋅g

Auch die Auftriebskraft ändert sich mit steigender Höhe für h>h_p, da die Luftdichte :

abnimmt:

Auftriebskraft für h>h_p F_A

( )

h =ρ^Luft

( )

h ⋅V_B ⋅g

Sowohl für ^ρHe

( )

^{h als auch für ρLuft}

( )

^{h gilt} die barometrische Höhenformel:

( )

1 ⁰

0

exp

Luft

Luft Luft ⎛ ρ g ⎞

h Luft h

ρ =ρ ⎜− p ⎟

⎝ ⎠

( )

1 ⁰

0

exp

Luft

He He

Luft

h gh

p ρ =ρ ^⎛⎜−ρ ^⎞⎟

⎝ ⎠

Die Maximalhöhe h_o^max ist erreicht, wenn die Auftriebskraft ^FA

( )

^homax gleich der Gewichtskraft ^FG

( )

^{homax ist.}

Bedingung für h^max: ^FA

( )

^{homax =F hg}

( )

^omax

Auftriebskraft: ^A

( )

^{homax =ρ1Luftexp⎛}⎜^{−ρ0Luftghomax⎞}⎟^{V gB}

0

F Luft

⎝ p ⎠

Gewichtskraft: ^FG

( )

^{homax 1} ⎜ ^{0 max}

0

exp

Luft He

R N B Luft o

m m V gh g

p ρ ρ

⎛ ⎛ ⎞⎞

=⎜⎜⎝ + + ⎝− ⎟⎠⎟⎟⎠

0 max

1 exp 1

Luft Luft

o B

Luft

gh V g

ρ ^⎛⎜−ρ ^⎞⎟ = ρ ^{0 max}

0 0

exp

Luft He

R N B Luft o

m m V g h g

p p

⎛ ⎛ ρ ⎞⎞

+ + −

⎜ ⎜ ⎟⎟

⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎝ ⎠⎠

( )

0 max

0 1 1

Es folgt: exp

Luft

R N

Luft o Luft He

B

g m m

p h V

ρ

ρ ρ

⎛− ⎞= +

⎜ ⎟

⎝ ⎠ −

(

^{0 0}

)

Lösung: h^{max 0}

0

ln

Luft

Luft He B

o Luft

B N

p V

g m m

ρ ρ

ρ

− ⋅

⋅ +

=

( )

max 7

ho = 1,165 0,1609 510000 986 ln

m − 2000 ⋅

⋅

max 7

ho = 986m⋅5, 545=44, 29km

III-1g. Geschlossener Ballon: Bei einem "geschlossenen" Ballon bleibt die Masse des tant. Die Masse des Gases ist gleich der am

rt sich die Gesamtmasse des Ballons und Füllgases m₁^He oberhalb von h_p kons

Boden eingefüllten Gasmasse. Deshalb ände seine Gewichtskraft F_G nicht.

( ) (

^1He

)

^.

G G R N

F h =F = m +m +m ⋅ =g konst mit Startvolumen V₂^{He FG =mges⋅ =g}

(

^{mR+mN +ρ1HeV2He}

)

^⋅g

2 1

und V₂^He = ⋅V^{He FG =mges⋅ =g}

(

^{mR+mN + ⋅2 ρ1HeV1He}

)

^⋅g

F_G =25,92kN

Die Auftriebskraft ist jedoch höhenabhängig, genau wie beim "offenen" Ballon.

( )

1 ⁰

0

A exp Luft

F h h V

ρ p

= ⎜− ⎟

⎝ ⎠

Maxim

Luft Luft

B

g g

ρ

⎛ ⎞

Die alhöhe h_g^max für den "geschlossenen" Ballon wird erreicht, wenn gilt:

( )

^max

A hg Fg

F =

( )

max

1^Luftexp h_g V_B g m_R m_N 2 1^HeV1^He

ρ ^{⎛ 0 ⎞} ρ

0 Luft

Luft

g g

p

−ρ ⋅ ⋅ = + + ⋅ ⋅

⎜ ⎟

⎝ ⎠

0 max 1 1

⎛

0 1

exp 2

Luft He He

R N

Luft g Luft

B

g m m V

p h V

ρ ρ

ρ

⎞ + + ⋅

− =

⎜ ⎟ ⋅

⎝ ⎠

max

He

0 1 1

0 1

ln 2

Luft He

R N

g Luft Luft

B

p m m V

g V

ρ

ρ ρ

+ + ⋅

⋅ ⋅

h = −

( )

max 1000 1000

7986 ln

h m +

= − ⋅ 642

1,165 510000

g

kg kg +

⋅

max 2642

7986 ln 7986 5, 4156

594150

g

h m kg

= − ⋅ kg = + ⋅

max 7986 5, 4156 43, 428

hg = ⋅ = km

llon ist die Maximalhöhe immer kleiner als die Maximalhöhe bei einem offenen Ballon.

Erklärung: Die Auftriebskraft wird durch das Ballonvolumen III-1h. Bei einem geschlossenen Ba

max

max

hg

ho

VB und die Dichte der n Luft bestimmt. Beides ist beim offenen und beim geschlossenen Ballon gleich. Unterschiedlich ist jedoch die Gewichtskraft: Der offenen Ballon kann

blassen und verliert deshalb Masse, während der geschlossenen Ballon seine Masse bis zur Maximalhöhe behält.

( )

Luft h ρ äußere

beim Steigen Auftriebsgas a

Tutorium Physik II IV. Übun zur Vorlesungen Prof. Dr. Schrewe

gsblatt 20.04.2007 SS07

--- IV-1. Ein zylinderförmiger Schwimmer mit Durchmesser von d =50mm und einer Höhe

dünnem Messingblech (Di )

ie dick muss das Blech sein, wenn der Schwi von 40h= mm soll aus sehr chte ρ_Me =8,

mm

3

6gcm⁻3

er mit einem gefertigt werden. W

Viertel seiner Höhe aus Benzin (Dichte: ρ_B =0, 75g cm⁻ ) herausragen soll.?

ei t D

t a.

IV-2. Eine Schwimmboje besteht aus einem Schwimmkörper in Form ner Kugel (Durchmesser: 2m), auf dem ein 10m hoher Mast (Zylinder mi urchmesser

0, 2

d = m) befestigt ist. Die Gesamtmasse der Boje (einschließlich Mast und Ballas des Schwimmkörpers) beträgt 4, 4t.

Im Meer ragt die Mastspitze 8h_M = m aus dem Wasser. Welche Dichte hat das Meerwasser?

. Die Boje wird in eine Flussmündung geschleppt. Die Mastspitze ragt nur noch aus dem Wasser. Wie groß ist die Wasserdichte jetzt?

c. Um welche Masse Ballast müsste die Boje erleichtert werden, damit der Mast auch im Süßwasser wieder 8 m aus dem Wasser ragt?

IV-3. Die vier Reifen eines PKW mit der Masse von 1200 kg seien jeweils mit einem Überdruck von 2 bar gefüllt (1 bar = 1000 hPa).

a. Wie groß ist die Kontaktfläche eines einzelnen Reifens mit der Fahrbahn?

b. Wie ändert sich die Kontaktfläche, wenn der Besitzer sein Fahrzeug mit Breitreifen (z. B. 30% größerer Breite) ausstattet und diese dann mit ebenfalls 2 bar Druck befüllt?

IV-4. Nach Angaben eines französischen Herstellers wird unter dem Namen “Aircar” ein Stadtfahrzeug mit Druckluftantrieb entwickelt. Als Antriebsmittel sollen insgesamt 95000 l Luft mit einem Druck von 30 MPa in vier Druckflaschen (Metallhohlkörper, die mit hochfestem Kevlar umwickelt sind) gespeichert werden.

a. Welches Volumen hat jede einzelne Druckflasche? Welche Masse hat die gespeicherte Luft, die bei Fahrtantritt insgesamt vom Fahrzeug mitgeführt werden muss?

b. Nehmen Sie an, dass die Druckflaschen Kugelform besitzen. Zur Abschätzung der Kräfte, die auf die Kevlarwicklung wirken, berechnen Sie Kräfte, mit der zwei Halbkugeln durch den Luftdruck auseinander getrieben werden. Bestimmen Sie zum Vergleich die Masse, deren Gewichtskraft gleich groß wäre?

c. Man nehme an, dass eine leere Druckflasche eine Masse von 40 kg habe. Bei welchem Luftinnendruck sinkt ein schwimmender Tank im Wasser nach unten?

Dichte: , bei Standardbedingungen

b

S 2 h = m

3 0^Luft 1, 293kg m

ρ = ⁻ p₀ =1013hPa und T₀ = °0 C.

Lösungen:

IV-1 Auftriebsbedingung: F_A =ρ_BV g₁ =m_ges g=F_G

1 BV mges

ρ =

Auftriebsvolumen: ₁ ² 3 ³

58,89 V =πr ⋅4h= cm

Gesamtmasse Messing: m_ges =A_Wand⋅ ⋅x ρ_M mit x = Wanddicke Fläche der Wände: ^{AWand = ⋅2}

( )

^{πr2 +2πr h⋅}

2 2

39, 27 62,83 A_Wand = cm + cm

( )

^{2 2}

2⋅ πr +2πr h⋅ =102,1cm

Lösung: m^ges

x=

Wand M

A ⋅ρ

1 B

Wand M

x A V ρ

ρ

= ⋅

⋅

58,89cm3 0, 75

2 0, 0503 0, 503 102,1 8, 6

x cm mm

= cm = =

⋅

⋅

IV-2a. Volumen des Schwimmkörpers: 4 ^{3 3}

4,1888

K Kugel

V =V = π R = m 3

Eintauchtiefe des Mastes: L h− _M =10m−8m=2m

Auftriebsvolumen des Mastes: V_M =V_Zylinder =πr h² _M =0, 0628m³

Gesamtvolumen (Mast + Kugel): ³

Auftrieb ist gleich Gewichtskraft: F 4, 2516

ges K M

V =V +V = m

A M ges ges G

F =ρ V g=m g=

Dichte Meerwasser:

6

3

6 3

4, 4 10

1, 0349 4, 2516 10

ges M

ges

m g

V cm g cm

ρ = = ^⋅ = ⁻

⋅ -2b.

IV Eintauchtiefe des Mastes: L h− _S =10m−2m=8m

2 3

Auftriebsvolumen des Mastes: V_M =V_Zylinder =πr h_S =0, 2513m Gesamtvolumen: V_ges =V_K +V_M =4, 4401m³ Auftrieb ist gleich Gewichtskraft: A=ρ_SV_gesg=m_ges g

Dichte Süßwasser: _S ^ges 0, 9910 ³

ges

m g cm

ρ = V = ⁻

IV-2c. Zusatzvolumen des Mastes VZ r

(

hS hM

)

zusätzlich

2 3

0,1885m π

= − =

Auftrieb der Zusatzmasse: m g_B

Masse des Ballastes kg

A S Z

F =ρ V g= 186,8

B S Z

m =ρ V =

IV-3a. Absolutdruck im Reifen: p_Reifen = p_Über + p_aussen Druckdifferenz innen – aussen: Δ =p p_Reifen− p_aussen

147 2

4

PKW R

m g

A c

p⋅ m

= =

Kontaktfläche pro Rad: ⋅ Δ

IV-3b. Kontaktfläche ist unabhängig von der Reifenbrei . te IV-4a. Boyle-Mariottsches Gesetz: pV =const.

0 0 1

1V p V

p =

mit V₀ =95000l und p₀ ≅1000hPa

( )

1 30 300 1000 ) 300 0

p = MPa= ⋅ hPa = ⋅p

und

l l p

V

V p 316,7

300 95000

1 0 0

1 = = =

Gesamtvolumen des Tanks:

l V

V_Fl 79,17 4

1

1 =

= Volumen einer Druckflasche:

3 0 1, 293 3*95 123

Luft Luft

m V kg m

ρ m

= ⋅ = =

Gesamtmasse der Luft: kg

3

3 4 R V_Fl = π IV-4b. Volumen einer Druckflasche:

Radius der Kugel: V cm cm

R ^Fl 26,6

4 10 17 , 79 3 4

3

3

3 3

3 ⋅ ⋅ =

=

= π π

2

2 2229cm

R A_Fl =π = Querschnittsfläche der Kug l:e

Kraft:

2 6

2 4 2 2

30 10 2229 6, 7

Fl 10

N cm

F p A MN

m cm m

= = ⋅ =

Auf die Kevlarwicklung wirkt eine Zugkraft, die der Gewichtskraft einer Masse von F 670

m t

= g ≈ entspricht.

V-4c. Ein Körper schwimmt, wenn gilt: F

I F_A =ρ_WV g≥m_ges g= _G

Gesamtmasse: m_ges =m_Tank +m_Luft

( )

i Tank Luft

Luft p V

m =ρ ⋅

Masse der Luft im Tank:

Dichte ist proportional zum Druck:

( ) ( )

0 p0

p p

p _i

Luft i

Luft =

ρ ρ

( ) ( )

Tank i Luft

i

Luft p V

p

p = p ⋅ ⋅

0

ρ 0

m

Es folgt:

Auftriebskraft: F_A =ρ_W⋅V_Tank⋅g

( )

0 0

Es folgt: _{Wasser Tank Tank} Luf^t p _{i Tank}

V g m p V g

p

ρ ≥^⎛⎜⎜ +ρ ^⎞⎟⎟⋅

⎝ ⎠

( )

0 0

i Wasser Tank Tank

Luft Tank

p V m

p p V

ρ ρ

≤ −

3 0

1, 0 79,17 40 1, 293 10 79,17

pi kg kg

p ⁻ kg

⋅ ⋅ −

≤ ⋅ ⋅

Lösung:

0 i 383 p p ≤

Innendruck der Kugel: p_i ≤283 10⋅ ³hPa

Tutorium Physik II V. b zu den Vorlesungen von Prof. Dr. Schrewe

Übungs latt 27.04.2007 SS07

--- -1. Eine Masse g wird an eine Feder gehängt. In der Ruhelage mit m1

Vergleich zur unbelasteten Feder um 5 cm. Anschließend wird eine zwei g an die gleiche Feder gehängt, diese in die neue

m ausgelenkt und bei ---

V m₁=0, 5k

verlängert sich die Feder im te Masse

Ruhelage gebracht und dann um

2 1, 0 m = k

10 c t =0 losgelassen.

(Reibung soll vernachlässigt werden.)

a. Welche Eigenkreisfrequenz ω₀, welche Eigenfrequenz f₀ hat die Schwingung?

b. Wie groß ist die Schwingungsdauer ?

c. Welche Amplitude hat die schwingende Masse nach 100 s?

d. Wie groß ist die Geschwindigkeit nach 150 s?

V-2. Eine Feder mit der Federkonstante T0

500 1

D= N m⁻ eder senkrech se m 2kg

soll für einen Schwingungsversuch verwendet werden. Dazu wird die F t (parallel zur nach oben gerichteten y-Achse) ausgerichtet und eine Mas = an die noch ungespannte Feder gehängt werden, die dann zum Zeitpunkt t=0 bei y=0 losgelassen wird.

a. Bestimmen Sie den Wert y₀ der Ruhelage, um die herum die Masse schwingt.

b. Welche (betragsmäßig) größte Elongation y_max wird erreicht?

c. Welche Eigenkreisfrequenz ω₀ hat die Schwingung.

d. Welchen Wert hat die kleinste Amplitude y_min , und nach welcher Zeit wird sie erstmals erreicht?

e. Wie groß sind die Maximalwerte der Geschwindigkeit und der Beschleunigung?

0 t>