0,9982

Tutorium Physik II I. Übungsblatt 17.03.2006 zu den Vorlesungen von Prof. Dr. Haussmann und Prof. Dr. Schrewe SS06 --- I-1. Im Physiklabor wird die Dichte von

Flüssigkeiten mit einer Auftriebswaage (Mohrsche Waage) bestimmt. Der

Auftriebskörper (A) taucht vollständig in die zu untersuchende Flüssigkeit ein. Zunächst wird die Waage mit destilliertem Wasser (ρ_W =0, 9982g cm⁻³ bei T =20°C) austariert. Dies erfordert, die Masse m₁ im Abstand x₁₀ =10 Teilstrichen vom

Drehpunkt aufzuhängen.

a. Dann werden unbekannte Flüssigkeiten

untersucht: Um die Waage jetzt ins Gleichgewicht zu bringen müssen zusätzlich die beiden Massen m_0,01=0, 01⋅m₁ am Teilstrich x₂ und m_0,1=0,1⋅m₁ am Teilstrich x₈ aufgehängt werden. Wie groß ist die Dichte der Flüssigkeit?

b. Welche Massen m₁, m_0,1, m_0,01....usw. müssen wo aufgehängt werden, damit bei der Dichtebestimmung von Benzol (ρ₃ =0,869g cm⁻³) die Waage ins Gleichgewicht gebracht wird?

I-2. Ein Becher der Masse m_B =0, 5kg sei mit Wasser m_W =5kggefüllt (ρ_W =1, 00g cm⁻³) und stehe auf einer Waage (unten). Ein Metallkörper unbekannter Masse und Dichte sei an einer Federwaage (oben)

aufgehängt und tauche vollständig in das Wasser ein. (Siehe Abbildung rechts) Die oberer Waage zeigt 1,56 kg, und unterer 5,94 kg.

a. Welche Dichte hat der Metallkörper? Um welches Element könnte es sich handeln?

b. Welche Masse hat der Metallkörper?

I-3. Das Element Eisen hat eine Dichte von ρ_Fe =7,897g cm⁻³ und die

relative Atommasse A_r =55,854g mol⁻¹. Mit Hilfe der Avogadro-Konstante

23 1

6, 022 10

NA = ⋅ mol⁻ kann aus diesen Angaben eine Abschätzung für den Radius eines Eisenatoms gewonnen werden. Wie groß ist ein Fe-Atom in etwa?

Metallkör per

Lösungen:

I-1a. Die Auftriebskraft ist: F_A =ρFlüssigkeit⋅ ⋅V g

Für das Verhältnis der Dichten ρ₁ und ρ₁ zweier Flüssigkeiten gilt also:

1 1

2 2

A A

F F ρ ρ ⁼

Die aus Gewichtskraft F_G (nach "unten“ gerichtet) und Auftrieb F_A (nach "oben“

gerichtet) resultierende Kraft erzeugt ein Drehmoment M_A an der Waage (mit Linksdrehung, wenn F_A >F_G), das im Gleichgewicht durch das Drehmoment der angehängten Zusatzmassen kompensiert wird M_m (Rechtsdrehung).

Die Waage ist im Gleichwicht ist, wenn die Differenz der Drehmomente gleich Null ist.

Es gilt: M_A−M_m=0

Bezeichnet man die unterschiedlichen Flüssigkeiten mit dem Index i, so gilt für das Verhältnis von Dichten und Drehmomenten:

1 1 1

2 2

2

m A

A m

M M

M M

ρ

ρ ^{= =} Für das Drehmoment der Zusatzgewichte gilt:

_mⁱ _{k k}

k i

M ⎛ x m g⎞

= ⎜⎝

∑

⎟⎠ Für zwei Flüssigkeiten (1) und (2) gilt dann:

^{1 1}

2

2

k k

k

k k

k

x m g x m g ρ

ρ

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠

=⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠

∑

∑

Bei Wasser hängt m₁ am zehnten Teilstrich x₁₀, bei der unbekannten Flüssigkeit zusätzlich m_0,1=0,1⋅m₁ am achten und m_0,1=0, 01⋅m₀ am zweiten. Es folgt:

^{1 0,1 0,01}

1

10 8 2

10

x Wasser

m m m

m ρ

ρ

⋅ + ⋅ + ⋅

= ⋅

1 10 0,1 8 0, 01 2

1, 082 1 10

x Wasser

ρ ρ

⋅ + ⋅ + ⋅

= =

⋅

ρ_x =1, 082 0, 9982⋅ g cm⁻³ =1, 080g cm⁻³

I-1b. Bei der Dichtebestimmung von Benzol hängt m₁ am achten Teilstrich, m_0,1 am siebten Teilstrich und m_0,01 am ersten Teilstrich, da gilt:

0,869

0,871 0,9982

Benzol Wasser

ρ

ρ ^{= =}

I-2a. Gewichtskraft Al-Block: F_g =m g_x

Auftriebskraft Al-Block: _{A W} ^W _x

x

F ρ V g ρ m g

= = ρ

Kraft auf die Waage oben: _{o g A} 1 ^W _x

x

F F F ρ m g

ρ

⎛ ⎞

= − = −⎜ ⎟ ⋅

⎝ ⎠

Anzeige der Waage oben: ^o _{g A} 1 ^W _x 1, 56

x

F F F m kg

g

ρ ρ

⎛ ⎞

= − = −⎜ ⎟ =

⎝ ⎠ (1)

Kraft auf die Waage unten: Fu =

(

mB +mW

)

⋅ +g FA

u

(

B W

)

^W x

x

F m m g ρ m g

= + ⋅ + ρ

Anzeige der Waage unten: ^u

(

B W

)

^W x ^{5, 94} x

F m m m kg

g

ρ

= + + ρ = (2)

Aus (1) folgt: _x ^{x o}

x W

m F

g ρ ρ ρ

= −

Einsetzen in (2) ^u

(

B W

)

^{W x o}

x x W

F F

m m

g g

ρ ρ

ρ ρ ρ

= + + ⋅

−

^u

(

B W

)

^{W o}

x W

F F

m m

g g

ρ ρ ρ

= + + ⋅

−

_x ^{W o} _W

u

B W

F

F m m g

g

ρ = ρ +ρ

− −

3

1, 0 3

1, 56 1, 0 5, 94 0,5 5, 0

x

g cm kg g cm

kg kg kg

ρ = ⁻ + ⁻

− −

Lösung: ρ_x =4, 54g cm⁻³. Es handelt sich um Titan

b. Masse: _x ^{x o}

x W

m F

g ρ ρ ρ

= −

4, 54

1, 56 2, 00 4, 54 1, 00

mx = kg= kg

−

I-3. Das Volumen von 1cm³ enthält 7,897g. Teilt man diesen Wert durch die relative Atommasse, so erhält die Anzahl der Mole im Volumen von 1cm³.

Molzahl pro Volumen: 7,897 _{3 3}

0,141 55,854

r

n g mol mol

V A g cm cm

= ρ = =

Atomzahl pro Volumen:

23 3 22 3

0,141 6, 022 10 8, 51 10

A

N n

N cm cm

V V

− −

= ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅

Volumen pro Atom: 1 ₂₂ ^{3 23 3}

1,17 10 8, 51 10

Atom

V V cm cm

N

= = = ⋅ −

⋅ Näherung Würfel: VAtom = ⋅

(

² R

)

³

1 ³ 1 ⁸

2, 27 10 0,113 2 ^Atom 2

R≈ ⋅ V = ⋅ ⋅ ⁻ cm= nm

Näherung Kugel: 4 ³

Atom 3

V = πR

23 3

3 3 3 3 1,17 10

0,140

4 4

VAtom cm

R nm

π π

⋅ ⋅ −

= = =

⋅ Tabellenwert zum Vergleich: R_Fe =0,126nm

Tutorium Physik II II. Übungsblatt 24.03.2006 zu den Vorlesungen von Prof. Dr. Haussmann und Prof. Dr. Schrewe SS06 --- II-1. Zur Bestimmung der Dichte einer unbekannten Flüssigkeit mit

Dichte ρ_Fl untersucht man das Verhalten von einem Stück Kork (1) (Dichte Kork:ρ_Kork =200kg m⁻³) und einem Gewichtsstück aus Aluminium (2) (Dichte Aluminium:ρ_Al =2, 70g cm⁻³). Die Volumina der beiden Auftriebskörper sind gleich. Die

Federwaage (1) zeigt eine Kraft von 2, 31N, die Federwaage (2) 7, 50N.

a. Wie groß ist das Volumen der Probekörper?

b. Welche Dichte ρ_Fl hat die Flüssigkeit?

II-2. Ein Kupferdraht mit einer Zugfestigkeit von 220 N mm^-2 soll senkrecht ins Meer hinab gelassen werden. Bei welcher Länge wird der Kupferdraht zerreißen? (Dichte Cu:

8, 95 3

Cu g cm

ρ = ⁻ , Dichte Meerwasser:ρ_MW =1, 025g cm⁻³)

II-3. Ein dünnwandiges Stahlrohr mit Innendurchmesser d₁=100mm, dessen unteres Ende mit einer quadratischen Kupferplatte verschlossen ist, wird ins Wasser getaucht. Die Platte mit Kantenlänge d₂ =150mm und einer Dicke 10s= mm soll nur durch den Wasserdruck gegen das Rohrende gedrückt werden. Welche Eintauchtiefe h ist erforderlich, damit sich die Scheibe nicht vom Rohr löst? (ρ_Cu =8, 95g cm⁻³,ρ_W =1, 00g cm⁻³)

Lösungen:

II-1a.Auftriebskraft ist größer als Gewichtskraft. Die resultierende Kraft F₁ zeigt nach oben.

Für den Betrag gilt: Kraftanzeige (1) F₁=ρ_Fl⋅V_Kork⋅ −g ρ_Kork⋅V_Kork⋅g F1=

(

ρFl −ρKork

)

⋅VKork⋅g

Auftriebskraft ist kleiner als Gewichtskraft. Die resultierende Kraft F₂ zeigt nach unten. Für den Betrag gilt: Kraftanzeige (2) F₂ =ρ_Al⋅V_Al⋅ −g ρ_Fl⋅V_Al⋅g

F2 =

(

ρAl−ρFl

)

⋅VAl⋅g Umformung nach ρ_Fl: _{Fl Al} ²

Al

F ρ =ρ −V g

Einsetzen: _{1 Al} ² _{Kork Kork}

Al

F F V g

ρ V g ρ

⎛ ⎞

=⎜ − − ⎟⋅ ⋅

⎝ ⎠

Da die Volumina gleich sind, gilt: V_Al =V_Kork =V

Einsetzen: F_{1 Al} ^F2 _Kork V g

ρ V g ρ

⎛ ⎞

=⎜ − − ⎟⋅ ⋅

⎝ ⎠

¹ Al ² Kork

(

Al Kork

)

²

F F F

V V V

g =ρ − g −ρ = ⋅ ρ −ρ − g

( )

1 2

3

1 2 9,81

9,81 2500

Al Kork Al Kork

F F

F F m

g g

V ρ ρ g ρ ρ

+ +

= = =

− ⋅ − ⋅

3

3 3

9,81 0, 0004 400

9,81 2500

V = m = m = cm

⋅ II-1b. Einsetzen (Gleichung für F₂): _{Fl Al} F²

ρ =ρ −V g

⋅

2

3 3

3

7, 50

2700 789

0, 0004 9,81

Fl

kg m N s kg m

m m

ρ = ⁻ − = ⁻

⋅ ρ_Fl =789kg m⁻³ =0, 789g cm⁻³ Probe (Gleichung für F₁): _Fl F¹ _Kork

ρ =V g +ρ

⋅

2, 31 _{3 3 3}

200 789 0, 789

0, 0004 9,81

Fl

kg kg g

m m cm

ρ =^⎛⎜⎝ ⋅ + ^⎞⎟⎠ = =

II-2. Der Draht reißt, wenn die resultierende Kraft F_max größer als das Produkt aus Zugfestigkeit σ_maxund Querschnittsfläche A des Drahtes ist.

F_max =σ_max⋅A

Resultierende Kraft F_max: ^F_max =^FG −^FA =

(

ρCu −ρMW

)

⋅^A⋅^L⋅^g

( ) ( )

2 max

3 2

220

8,95 1, 025 9,81

Cu MW

L N mm

g g cm m s

σ ρ ρ

−

− −

= =

− ⋅ − ⋅

( )

220 103

8, 95 1, 025 9,81 2830

L ⋅ m m

= =

− ⋅

II-3. Die Scheibe ist kräftefrei, wenn die Gewichtskraft F_G =m g gleich der Differenz der Druckkräfte unterhalb und oberhalb der Scheibe ist. p₀ sei der äußere Luftdruck (der zur Vereinfachung als unabhängig von der Eintauchtiefe h angenommen werden soll). Der Druck in der Wassertiefe h ist: p_W( )h = p₀+ρ_W g h.

Die Fläche der Kupferplatte ist: A_P =d₂² die Querschnittsfläche des Rohres: ₁²

R 4 A π d

=

Gewichtskraft: F_G =m g =ρ_CuV g=ρ_Cu g A s_P =ρ_Cu g d s₂² Druckkraft unterhalb der Scheibe: FU =

(

p0+pW

( )

h

)

⋅AP = p d0⋅ 2²+ρW g h d⋅ 2²

Druckkraft oberhalb der Scheibe: FO =

(

p0+ pW

(

h−s

) )

⋅

(

AP −AR

)

+ p A0 R

FO = p A0 P−p A0 R+ p A0 R+ pW

(

h− ⋅s

) (

AP−AR

)

0 2²

( )

2² 1²

O W 4

F = p d⋅ +ρ g⋅ − ⋅h s ^⎛⎜d −π d ^⎞⎟

⎝ ⎠

Differenz der Druckkräfte: 2²

( )

2² 1²

U O W 4

F −F =ρ g⋅^⎛⎜⎝h d⋅ − − ⋅h s ^⎛⎜⎝d −π d ^⎞⎟⎠^⎞⎟⎠

₁² ₂² ₁²

4 4

U O W

F −F =ρ g^⎛⎜⎝π h d +s d −π s d ^⎞⎟⎠ Gleichgewichtsbedingung: F_G =F_U−F_O

₂² ₁² ₂² ₁²

4 4

Cus d g W g π h d s d π s d ρ =ρ ^⎛⎜ + − ^⎞⎟

⎝ ⎠

2 2 2 1

4 ^Cu 1 1

W

h s d d

ρ

π ρ

⎛ ⎛ ⎞ ⎞

= ⋅⎜⎜⎝ ⋅⎜⎝ − +⎟⎠ ⎟⎟⎠

2 2

4 150 8,95

0, 01 1 1 0, 238

100 1, 00

h m m

π

⎛ ⎛ ⎞ ⎞

= ⋅⎜ ⋅⎜ − + =⎟ ⎟

⎝ ⎠

⎝ ⎠

Tutorium Physik II III. Übungsblatt 31.03.2006 zu den Vorlesungen von Prof. Dr. Haussmann und Prof. Dr. Schrewe SS06 --- III-1. Der Franzose Founier möchte mit einem Heliumballon bis in eine Höhe

von ca. 40 000 m aufsteigen und von dort mit dem Fallschirm

abspringen. (Das Bild zeigt den Ballon kurz vor einem Fehlversuch im Jahr 2003, bei dem die Ballonhülle aus 16 µm Polyethylen riss). Das Volumen des prallen Ballon beträgt V_B =510 000m³. Rüstmasse und Nutzlast betragen jeweils 1000 kg.

a. Warum füllt man beim Start, wie auf dem Bild erkennbar, nur einen Teil des Ballons mit dem Auftriebsgas? .

b. Welches Mindestvolumen Helium V₁^He ist erforderlich, damit der Ballon bei einem Luftdruck von p₁=980hPa und einer Temperatur von T₁=20°C am Startort schweben kann?

c. Welche Volumen Wasserstoffgas hätte man einfüllen müsse, damit der Ballon schweben kann?

d. Der Ballon wird mit dem Doppelten des Mindestvolumens gefüllt. Welche Kraft muss den Ballon bis zum Start am Boden halten? Welche Beschleunigung hat er nach dem Start?

e. Beim Aufstieg des Ballons sinkt der äußere Luftdruck. Das Gas im Ballon dehnt sich aus und füllt in der „Prallhöhe“ h_P das gesamte Ballonvolumen V_B. Berechnen Sie

hP unter der vereinfachten Annahme, dass die barometrische Höhenformel gilt und Luftdruck und Luftdichte proportional sind.

f. Der gezeigte Ballon soll "offen" sein, d. h. beim Steigen oberhalb der Prallhöhe h_p kann überschüssiges Helium entweichen. Welche Maximalhöhe h_o^max kann der Ballon unter den angegeben Modellbedingungen erreichen?

g. Welche Maximalhöhe h_g^max würde der Ballon erreichen, wenn der Ballon

"geschlossen" wäre, d. h. wenn oberhalb der Prallhöhe hp kein Helium die Ballonhülle verlassen könnte?

h. Vergleichen Sie h_o^max und h_g^max. Wie kann man den Unterschied physikalisch erklären?

Dichte: ρ₀^Luft =1, 293kg m⁻³, ρ₀^He =0,1785kg m⁻³, ρ₀^H =0, 0899kg m⁻³ bei Standardbedingungen p₀ =1013hPa und T₀ = °0 C.

Lösungen:

III-1. Benennung der physikalischen Größen:

Index 0 für Standardwerte:

Luftdichte bei Standardbedingungen: ρ₀^Luft Heliumdichte bei Standardbedingungen: ρ₀^He Index 1 und 2 für aktuelle Werte am Startort:

Luftdichte am Startort: ρ₁^Luft Heliumdichte am Startort: ρ₁^He He-Volumen für Schwebebedingung: V₁^He

He-Volumen beim Start: V₂^He = ⋅2 V₁^He III-1a. Mit steigender Höhe wird die Luftdichte geringer. Wenn man ein konstantes

Auftriebsvolumen hat, wird deshalb auch der Auftrieb geringer. Beim gezeigten Ballon ist es jedoch anders: Da der Druck im Innerer des Ballons gleich dem

Außendruck ist, nimmt die Dichte des Gases im Ballon im gleichen Verhältnis ab wie der Luftdruck und das durch die Gasfüllung definierte Ballonvolumen wächst

proportional zum Kehrwert des Luftdrucks. Da die Auftriebskraft proportional zum Produkt aus Ballonvolumen und äußerem Luftdruck ist, bleibt die Auftriebskraft solange konstant, bis das am Boden eingefüllte Gas das gesamte Ballonvolumen vollständig ausfüllt. Man bezeichnet diese Höhe als "Prallhöhe".

III-1b. Die allgemeine Gasgleichung:

1 1

1 0 0

0

T p T p

ρ

ρ ⁼ dient zur Berechnung der aktuellen Dichten ρ₁^Luft und ρ₁^He am Startort aus den Standardwerten ρ₀^Luft und ρ₀^He:

Luftdichte am Startort: ₁ ^{1 0} _{0 3 3}

1 0

980 273

1, 293 1,165 293 1013

Luft p T Luft kg kg

T p m m

ρ = ρ = ^⋅ =

⋅

Heliumdichte am Startort: ₁ ^{1 0} _{0 3 3}

1 0

980 273

0,1785 0,1609 293 1013

He p T He kg kg

T p m m

ρ = ρ = ^⋅ =

⋅

Schwebebedingung am Boden: Auftriebskraft F gleich Gewichtskraft _A F_G, wobei ρ₁^Luft und ρ₁^He die Dichten von Luft und Helium am Startort,

1

VHe das am Boden eingefüllte Heliumvolumen,

1 1

He He

V ⋅ρ =mHe die Masse des eingefüllten Gases,

mR die Rüstmasse und m_N die Masse der Nutzlast bezeichnen.

( )

1 1 1 1

He Luft He He

A R N G

F =V ρ g = m +m +V ρ g=F He-Volumen (schweben):

( )

3

3 1

1 1

2000 1991

1,165 0,1609

He R N

Luft He

m m kg m

V m

ρ ρ kg

+ ⋅

= = =

− −

III-1c. Wasserstoffdichte am Startort: ₁ ^{1 0} _{0 3 3}

1 0

980 273

0, 0899 0, 0810 293 1013

H p T H kg kg

T p m m

ρ = ρ = ^⋅ =

⋅

H-Volumen (schweben):

( )

3

3 1

1 1

2000 1845

1,165 0, 0810

H R N

Luft H

m m kg m

V m

ρ ρ kg

+ ⋅

= = =

− −

Fazit: Die Dichte von Wasserstoff ist zwar nur halb so groß wie die von Helium, aber dies bewirkt nur eine Volumenersparnis von 7%.

III-1d. Auf den Ballon wirken die Gewichtskraft F_G (nach unten) und die entgegengesetzt gerichtete Auftriebskraft F_A (nach oben). Wenn beim Start das doppelte Volumen des zum Schweben des Ballons benötigten Helium-Volumens eingefüllt wird, ist die resultierende Kraft nach oben gerichtet und lässt den Ballon beschleunigt steigen.

D'Alembertsches Prinzip:

(

FA−FG

)

−mges a=⁰

Gewichtskraft: ^{FG =mges⋅ =g}

(

^{mR+mN +ρ1HeV2He}

)

^⋅g

mit: V₂^He = ⋅2 V₁^He =3982m³

Masse des Heliums: m₁^He =ρ₁^He⋅V₂^He =0,1609kg m⁻³⋅3992m³ =642kg Gesamtmasse: m_ges = ⋅2 1000kg+642kg=2642kg

Gewichtskraft _G 2642 9,81m₂ 25, 92

F kg kN

= ⋅ s =

Auftriebskraft: ^{FA =ρ1Luft⋅V2He⋅ =g ρ1Luft⋅}

(

^2⋅V1He

)

^⋅g

3

3 2

1,165 2 1991 9,81 45, 51

A

kg m

F m kN

m s

= ⋅ ⋅ ⋅ =

Beschleunigungskraft: F_a =F_A−F_G =

(

45, 51 25,92−

)

kN =19, 59kN Beschleunigung:

3

2 2

19, 59 10

7, 41 2642

a ges

F kg m m

a m kg s s

= = ⋅ =

Fazit: Füllt man einen Ballon mit der doppelten Menge Helium, die für das Schweben am Boden benötigt wird, so wird er mit fast +g nach oben beschleunigt.

III-1e. Der Druck im inneren des Ballons ist immer gleich dem äußeren Luftdruck.

Deshalb gilt für alle Höhen h: ^pHe

( )

^{h = pLuft}

( )

^h

und auch am Startort: p₁^He = p₁^Luft

Das Verhältnis von Druck ( )p h und Dichte ( )ρ h in der Atmosphäre ist konstant (dies folgt aus der allgemeinen Gasgleichung und gilt deshalb unter ideal angenommen atmosphärischen Bedingungen).

Also gilt:

( )

( )

^He

He He

He p

h h p

1 1

ρ

ρ ⁼

und es folgt:

( )

¹

( )

¹

( )

1 1

He Luft

He He He

He He

p p

p h ρ h ρ h

ρ ρ

= ⋅ = ⋅

Wir verwenden deshalb im folgenden die (idealisierte) Annahme, dass Druck und Dichte proportional sind. ^pHe

( )

^{h ~ρHe}

( )

^h

Am Startort ist: 1

( )

¹

1

0

He

He He

He

h m ρ =ρ = =V

Da die Masse des Heliums m₁^He im Ballon beim Aufstieg des Ballons bis auf die Höhe hP konstant bleibt, gilt in der Höhe h_p:

( )

^{1He 1He 1He}

He p

B B

m V

h V V

ρ = = ⋅ρ

oder:

( )

₁

1

He He p

He

B

h V

V ρ

ρ ^{= ⋅}

Barometrische Höhenformel:

( )

_⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ ⋅ ⋅

−

⋅

=

= _{Luft p}

Luft Luft

p Luft p

He h

p p g

h p h p

0 0

1 exp

)

( ρ

oder:

( )

₀

1 0

exp

He Luft

p

Luft Luft p

p h g

p p h

ρ

⎛ ⋅ ⎞

= ⎜− ⋅ ⎟

⎝ ⎠

Es folgt: ^{1 0}

0

exp

Luft He

Luft p B

g

V h

V p

ρ

⎛ ⎞

= ⎜− ⋅ ⎟

⎝ ⎠

Umformung nach h_P: ^{0 0 0}

0 0 1

ln ln

Luft He Luft

B

p Luft Luft He

B

p V p V

h ^{= −}ρ g^⋅ V ⁼ ρ ⋅g^⋅ V

3 2

1013 510000

1, 293 9,81 ln 2 1991

p

h hPa

kg m⁻ m s⁻

= ⋅

Prallhöhe: h_p =7986m⋅4,853=38, 76km

III-1f. Offener Ballon: Bei einem "offenen" Ballon bleibt die Masse des Füllgases m₁^He oberhalb von hp nicht mehr konstant. Die Masse des Gases ist höhenabhängig: ^mHe

( )

^h

für h>h_p. Deshalb ändert sich seine Gesamtmasse und seine Gewichtskraft F_G. Gewichtskraft für h>h_p: ^FG

( )

^{h =}

(

^{mR +mN +mHe}

( )

^h

)

^⋅g

( ) (

^He

( ) )

G R N B

F h = m +m +ρ h V⋅ ⋅g

Auch die Auftriebskraft ändert sich mit steigender Höhe für h>h_p, da die Luftdichte abnimmt:

Auftriebskraft für h>h_p: F_A

( )

h =ρ^Luft

( )

h ⋅V_B ⋅g

Sowohl für ^ρHe

( )

^h als auch für ^ρLuft

( )

^h gilt die barometrische Höhenformel:

( )

1 ⁰

0

exp

Luft

Luft Luft

Luft

h gh

p ρ =ρ ^⎛⎜−ρ ^⎞⎟

⎝ ⎠

( )

1 ⁰

0

exp

Luft

He He

Luft

h gh

p ρ =ρ ^⎛⎜−ρ ^⎞⎟

⎝ ⎠

Die Maximalhöhe h_o^max ist erreicht, wenn die Auftriebskraft ^FA

( )

^homax gleich der Gewichtskraft ^FG

( )

^{homax ist.}

Bedingung für h^max: ^FA

( )

^{homax =F hg}

( )

^omax

Auftriebskraft:

( )

^{max 1 0 max}

0

exp

Luft Luft

A o Luft o B

F h gh V g

p

ρ ^⎛ ρ ^⎞

= ⎜− ⎟

⎝ ⎠

Gewichtskraft:

( )

^{max 1 0 max}

0

exp

Luft He

G o R N B Luft o

F h m m V gh g

p ρ ρ

⎛ ⎛ ⎞⎞

=⎜⎜⎝ + + ⎜⎝− ⎟⎠⎟⎟⎠

max max

0 0

1 1

0 0

exp exp

Luft Luft

Luft He

o B R N B o

Luft Luft

g g

h V g m m V h g

p p

ρ ρ

ρ ^⎛⎜⎝− ^⎞⎟⎠ =^⎛⎜⎜⎝ + + ρ ^⎛⎜⎝− ^⎞⎟⎠^⎞⎟⎟⎠

Es folgt:

( )

0 max

0 1 1

exp

Luft

R N

Luft o Luft He

B

g m m

p h V

ρ

ρ ρ

⎛− ⎞= +

⎜ ⎟

⎝ ⎠ −

Lösung: max 0

(

^{0 0}

)

0

ln

Luft

Luft He B

o Luft

B N

p V

h g m m

ρ ρ

ρ

− ⋅

= ⋅ +

( )

max 1,165 0,1609 510000 7986 ln

o 2000

h m − ⋅

= ⋅

max 7986 5,545 44, 29

ho = m⋅ = km

III-1g. Geschlossener Ballon: Bei einem "geschlossenen" Ballon bleibt die Masse des Füllgases m₁^He oberhalb von hp konstant. Die Masse des Gases ist gleich der am Boden eingefüllten Gasmasse. Deshalb ändert sich die Gesamtmasse des Ballons und seine Gewichtskraft F_G nicht.

( ) (

^1He

)

^.

G G R N

F h =F = m +m +m ⋅ =g konst mit Startvolumen V₂^{He FG =mges⋅ =g}

(

^{mR+mN +ρ1HeV2He}

)

^⋅g

und V₂^He = ⋅2 V₁^{He FG =mges⋅ =g}

(

^{mR+mN + ⋅2 ρ1HeV1He}

)

^⋅g

25, 92 FG = kN

Die Auftriebskraft ist jedoch höhenabhängig, genau wie beim "offenen" Ballon.

( )

1 ⁰

0

exp

Luft Luft

A Luft B

F h gh V g

p

ρ ^⎛ ρ ^⎞

= ⎜− ⎟

⎝ ⎠

Die Maximalhöhe h_g^max für den "geschlossenen" Ballon wird erreicht, wenn gilt:

( )

^max

A g g

F h =F

( )

0 max

1 1 1

0

exp 2

Luft

Luft He He

g B R N

Luft

gh V g m m V g

p

ρ ^⎛⎜−ρ ^⎞⎟⋅ ⋅ = + + ⋅ρ ⋅

⎝ ⎠

0 max 1 1

0 1

exp 2

Luft He He

R N

Luft g Luft

B

g m m V

p h V

ρ ρ

ρ

⎛ ⎞ + + ⋅

− =

⎜ ⎟ ⋅

⎝ ⎠

max 0 1 1

0 1

ln 2

Luft He He

R N

g Luft Luft

B

p m m V

h g V

ρ

ρ ρ

+ + ⋅

= − ⋅

⋅

( )

max 1000 1000 642

7986 ln

1,165 510000

g

h m kg

kg

+ +

= − ⋅

⋅

max 2642

7986 ln 7986 5, 4156

594150

g

h m kg

= − ⋅ kg = + ⋅

max 7986 5, 4156 43, 428

hg = ⋅ = km

III-1h. Bei einem geschlossenen Ballon ist die Maximalhöhe h_g^max immer kleiner als die Maximalhöhe h_o^max bei einem offenen Ballon.

Erklärung: Die Auftriebskraft wird durch das Ballonvolumen V_B und die Dichte der äußeren Luft ^ρLuft

( )

^h bestimmt. Beides ist beim offenen und beim geschlossenen Ballon gleich. Unterschiedlich ist jedoch die Gewichtskraft: Der offenen Ballon kann beim Steigen Auftriebsgas ablassen und verliert deshalb Masse, während der

geschlossenen Ballon seine Masse bis zur Maximalhöhe behält.

Tutorium Physik II IV. Übungsblatt 07.04.2006 zu den Vorlesungen von Prof. Dr. Haussmann und Prof. Dr. Schrewe SS06 --- IV-1. Ein zylinderförmiger Schwimmer mit Durchmesser von d =50mm und einer Höhe

von 40h= mm soll aus sehr dünnem Messingblech (Dichte ρ_Me =8, 6gcm⁻³) gefertigt werden. Wie dick muss das Blech sein, wenn der Schwimmer mit einem Viertel seiner Höhe aus Benzin (Dichte: ρ_B =0, 75g cm⁻³) herausragen soll.?

IV-2. Eine Schwimmboje besteht aus einem Schwimmkörper in Form einer Kugel (Durchmesser: 2m), auf dem ein 10m hoher Mast (Zylinder mit Durchmesser

0, 2

d = m) befestigt ist. Die Gesamtmasse der Boje (einschließlich Mast und Ballast des Schwimmkörpers) beträgt 4, 4t.

a. Im Meer ragt die Mastspitze 8h_M = m aus dem Wasser. Welche Dichte hat das Meerwasser?

b. Die Boje wird in eine Flussmündung geschleppt. Die Mastspitze ragt nur noch

S 2

h = m aus dem Wasser. Wie groß ist die Wasserdichte jetzt?

c. Um welche Masse Ballast müsste die Boje erleichtert werden, damit der Mast auch im Süßwasser wieder 8 m aus dem Wasser ragt?

IV-3. Die vier Reifen eines PKW mit der Masse von 1200 kg seien jeweils mit einem Überdruck von 2 bar gefüllt (1 bar = 1000 hPa).

a. Wie groß ist die Kontaktfläche eines einzelnen Reifens mit der Fahrbahn?

b. Wie ändert sich die Kontaktfläche, wenn der Besitzer sein Fahrzeug mit Breitreifen (z. B. 30% größerer Breite) ausstattet und diese dann mit ebenfalls 2 bar Druck befüllt?

IV-4. Nach Angaben eines französischen Herstellers wird unter dem Namen “Aircar” ein Stadtfahrzeug mit Druckluftantrieb entwickelt. Als Antriebsmittel sollen insgesamt 95000 l Luft mit einem Druck von 30 MPa in vier Druckflaschen (Metallhohlkörper, die mit hochfestem Kevlar umwickelt sind) gespeichert werden.

a. Welches Volumen hat jede einzelne Druckflasche? Welche Masse hat die gespeicherte Luft, die bei Fahrtantritt insgesamt vom Fahrzeug mitgeführt werden muss?

b. Nehmen Sie an, dass die Druckflaschen Kugelform besitzen. Zur Abschätzung der Kräfte, die auf die Kevlarwicklung wirken, berechnen Sie Kräfte, mit der zwei Halbkugeln durch den Luftdruck auseinander getrieben werden. Bestimmen Sie zum Vergleich die Masse, deren Gewichtskraft gleich groß wäre?

c. Man nehme an, dass eine leere Druckflasche eine Masse von 40 kg habe. Bei welchem Luftinnendruck sinkt ein schwimmender Tank im Wasser nach unten?

Dichte: ρ₀^Luft =1, 293kg m⁻³, bei Standardbedingungen p₀ =1013hPa und T₀ = °0 C.

Lösungen:

IV-1 Auftriebsbedingung: F_A =ρ_BV g₁ =m_ges g=F_G

1 BV mges

ρ =

Auftriebsvolumen: ₁ ² 3 ³

58,89 V =πr ⋅4h= cm

Gesamtmasse Messing: m_ges =A_Wand⋅ ⋅x ρ_M mit x = Wanddicke Fläche der Wände: ^{AWand = ⋅2}

( )

^{πr2 +2πr h⋅}

2 2

39, 27 62,83 AWand = cm + cm

( )

^{2 2}

2⋅ πr +2πr h⋅ =102,1cm

Lösung: ^ges

Wand M

x m

A ρ

= ⋅

1 B

Wand M

x V A

ρ ρ

= ⋅

⋅

3 2

58,89 0, 75

0, 0503 0, 503 102,1 8, 6

x cm cm mm

cm

= ⋅ = =

⋅

IV-2a. Volumen des Schwimmkörpers: 4 ^{3 3}

4,1888

K Kugel 3

V =V = π R = m Eintauchtiefe des Mastes: L h− _M =10m−8m=2m

Auftriebsvolumen des Mastes: V_M =V_Zylinder =πr h² _M =0, 0628m³ Gesamtvolumen (Mast + Kugel): V_ges =V_K +V_M =4, 2516m³

Auftrieb ist gleich Gewichtskraft: F_A =ρ_MV_gesg=m_gesg=F_G

Dichte Meerwasser:

6

3

6 3

4, 4 10

1, 0349 4, 2516 10

ges M

ges

m g

V cm g cm

ρ = = ^⋅ = ⁻

⋅ IV-2b. Eintauchtiefe des Mastes: L h− _S =10m−2m=8m

Auftriebsvolumen des Mastes: V_M =V_Zylinder =πr h² _S =0, 2513m³ Gesamtvolumen: V_ges =V_K +V_M =4, 4401m³

Auftrieb ist gleich Gewichtskraft: A=ρ_SV_gesg=m_ges g

Dichte Süßwasser: _S ^ges 0, 9910 ³

ges

m g cm

ρ = V = ⁻

IV-2c. Zusatzvolumen des Mastes VZ =πr²

(

hS −hM

)

=^0,1885m³ Auftrieb der Zusatzmasse: F_A^zusätzlich =ρ_SV g_Z =m g_B Masse des Ballastes m_B =ρ_SV_Z =186,8kg IV-3a. Absolutdruck im Reifen: p_Reifen = p_Über + p_aussen

Druckdifferenz innen – aussen: ∆ =p p_Reifen− p_aussen

Kontaktfläche pro Rad: 147 ² 4

PKW R

m g

A cm

p

= ⋅ =

⋅ ∆ IV-3b. Kontaktfläche ist unabhängig von der Reifenbreite.

IV-4a. Boyle-Mariottsches Gesetz: pV =const.

0 0 1

1V p V

p =

mit V₀ =95000l und p₀ ≅1000hPa

und p1=30MPa=300 1000⋅

(

hPa)

)

=300⋅ p0

Gesamtvolumen des Tanks: l l

p V

V p 316,7

300 95000

1 0 0

1 = = =

Volumen einer Druckflasche: V_Fl V 79,17l 4

1

1 =

=

Gesamtmasse der Luft: _{Luft Luft 0} 1, 293kg₃*95 ³ 123

m V m kg

ρ m

= ⋅ = =

IV-4b. Volumen einer Druckflasche: ³

3 4 R V_Fl = π

Radius der Kugel: V cm cm

R ^Fl 26,6

4 10 17 , 79 3 4

3

3

3 3

3 ⋅ ⋅ =

=

= π π

Querschnittsfläche der Kugel: A_Fl =π R² =2229cm²

Kraft:

2 6

2 4 2 2

30 10 2229 6, 7

Fl 10

N cm

F p A MN

m cm m

= = ⋅ =

Auf die Kevlarwicklung wirkt eine Zugkraft, die der Gewichtskraft einer Masse von F 670

m t

= g ≈ entspricht.

IV-4c. Ein Körper schwimmt, wenn gilt: F_A =ρ_WV g≥m_ges g=F_G Gesamtmasse: m_ges =m_Tank +m_Luft

Masse der Luft im Tank: mLuft =ρLuft

( )

pi ⋅VTank

Dichte ist proportional zum Druck:

( ) ( )

₀ p₀

p p

p _i

Luft i

Luft =

ρ ρ

Es folgt:

( ) ( )

Tank i Luft

i

Luft p V

p p p

m = ⋅ ⋅

0

ρ 0

Auftriebskraft: F_A =ρ_W⋅V_Tank⋅g

Es folgt:

( )

0

0 Luft

Wasser Tank Tank i Tank

V g m p p V g

p

ρ ≥^⎛⎜⎜ +ρ ^⎞⎟⎟⋅

⎝ ⎠

( )

0 0

i Wasser Tank Tank

Luft Tank

p V m

p p V

ρ ρ

≤ −

3 0

1, 0 79,17 40 1, 293 10 79,17

pi kg kg

p ⁻ kg

⋅ ⋅ −

≤ ⋅ ⋅

Lösung:

0 i 383 p p ≤

Innendruck der Kugel: p_i ≤283 10⋅ ³hPa

Tutorium Physik II V. Übungsblatt 21.04.2006 zu den Vorlesungen von Prof. Dr. Haussmann und Prof. Dr. Schrewe SS06 --- V-1. Eine Masse m₁=0, 5kg wird an eine Feder gehängt. In der Ruhelage mit m1

verlängert sich die Feder im Vergleich zur unbelasteten Feder um 5 cm. Anschließend wird eine zweite Masse m₂ =1, 0kg an die gleiche Feder gehängt, diese in die neue Ruhelage gebracht und dann um 10 cm ausgelenkt und bei t=0 losgelassen.

(Reibung soll vernachlässigt werden.)

a. Welche Eigenkreisfrequenz ω₀, welche Eigenfrequenz f₀ hat die Schwingung?

b. Wie groß ist die Schwingungsdauer T₀?

c. Welche Amplitude hat die schwingende Masse nach 100 s?

d. Wie groß ist die Geschwindigkeit nach 150 s?

V-2. Eine Feder mit der Federkonstante D=500N m⁻¹ soll für einen Schwingungsversuch verwendet werden. Dazu wird die Feder senkrecht (parallel zur nach oben gerichteten y-Achse) ausgerichtet und eine Masse m=2kg an die noch ungespannte Feder gehängt werden, die dann zum Zeitpunkt t=0 bei y=0 losgelassen wird.

a. Bestimmen Sie den Wert y₀ der Ruhelage, um die herum die Masse schwingt.

b. Welche (betragsmäßig) größte Elongation y_max wird erreicht?

c. Welche Eigenkreisfrequenz ω₀ hat die Schwingung.

d. Welchen Wert hat die kleinste Amplitude y_min , und nach welcher Zeit t>0 wird sie erstmals erreicht?

e. Wie groß sind die Maximalwerte der Geschwindigkeit und der Beschleunigung?

Lösungen:

V-1a. Federkonstante: ¹ ₂

01 01

0,5 10 0, 05 100

Fel m g kg m N

D x x m s m

= = = ⋅ =

Ruhelage mit Masse 2:

2 2

02 1

1 10

0,1 10 100

Fel kg m s

x m cm

D N m

−

= = − = =

Eigenkreisfrequenz:

1

1 0

100 10

1

D N m

m kg s

ω = = ⁻ = ⁻

Eigenfrequenz: ₀ ⁰ 1, 59 ¹ 1, 6

f 2ω s Hz

π

= = − =

V-1b. Schwingungsdauer: ₀

0 0

1 2

0, 628

T s

f π

= =ω =

V-1c. Schwingungsgleichung: y t

( )

=y0⋅cos

(

ω0t

)

für die beschriebenen

Anfangsbedingungen: y t

(

=0

)

= y0 =0,1m und ^{y t}

(

⁼⁰

) (

^{=v t=0}

)

^=0.

Amplitude nach 100 s: ^{y t}

(

^=100s

)

^{=0,1m⋅cos 10}

(

^s−1⋅100s

)

^{=0, 0562m}

(

¹⁰⁰

)

^{5, 62}

y t = s = cm

V-1c. Geschwindigkeit: v t

( )

= y t

( )

= − ⋅y0 ω0.sin

(

ω0t

)

(

¹⁵⁰

)

^{0,1 10 1.sin 10}

(

^{1 150}

)

v t= s = − m⋅ s⁻ s⁻ ⋅ s

(

¹⁵⁰

)

^{0,1 10 1}

(

^{0, 9939}

)

^{0, 994m}

v t s m s

s

= = − ⋅ − ⋅ − = +

V-2a. Der Anhängepunkt an der ungespannten Feder soll nach Aufgabenstellung der y- Koordinate 0y= entsprechen.

Gewichtskraft der Masse m=2kg: 20F_g =m g = N

Ausdehnung der Feder: ₀ 20

0, 04 4 500

el Fg

F N m

y m cm

D D N

= = = = =

V-2b. Die y-Koordinate in der Ruhelage der Schwingung ist: y₀ = −4cm.

Schwingungen werden zweckmäßigerweise durch Koordinaten beschrieben, die in der Ruhelage der Schwingung den Wert Null haben. Im vorliegenden Fall wäre es die

y′-Koordinate für die gilt: y′ = −y y0 = − −y

(

4cm

)

= +y 4cm Rücktransformation: y= +y′ y₀ = −y′ 4cm

(Hinweis: Mit y′ ist hier Ableitung gemeint, sondern eine Koordinate die um y0

verschoben ist.)

Die Schwingung wird durch die für Federpendel übliche Differentialgleichung beschrieben:

D 0

y y

′+m ′=

Die allgemeine Lösung lautet: y t′

( )

=y0′⋅sin

(

ω0t+ϕ0

)

, wobei y′₀ die Anfangsamplitude im y'-Koordinatensystem und ϕ₀ eine Phasenverschiebung bezeichnet, die durch die Anfangsbedingungen festgelegt werden müssen.

Im vorliegenden Fall lauten die