Trägheitsmomente für verschiedene Körper (Radius R, Höhe H, Dichte r , Symmetrieachse z) Dünnwandiger Hohlzylinder (Rotation um z):
Vollzylinder (Rotation um z):
Vollkugel (Achse durch den Mittelpunkt):
Dünner Stab (Rotation um x oder y):
Dünne Scheibe (Rotation um z):
Dünne Scheibe (Rotation um x oder y): 1
] m/s [kg
] /s m [kg m/s]
[kg [kg]
] [m/s
[m/s]
[m]
2
2 2 2
a m p F
m mv p
E v m p m a v x
kin
2 2
1
2 2] /s m [kg
] /s m [kg /s]
m [kg
] m [kg
] [rad/s
[rad/s]
[rad]
2 2
2 2 2
2 2
I L D
I I L
E I L I
rot
2 2
1
2 2Ort
Geschwindigkeit Beschleunigung Masse
Impuls
kinetische Energie Kraft
Winkel
Winkelgeschwindigkeit Winkelbeschleunigung Trägheitsmoment Drehimpuls Rotationsenergie Drehmoment
Vergleich zwischen Translation und Rotation
2
2
dm M R
r I
V
z
2 4
0 2 2
2
2 1
2 r h dr 2 h R M R
r dV
r dm
r I
R
V V
z
r r r
2
5
2 M R I
z
2
,
12
1 M H I
x y
2
2
1 M R I
z
2
,
4
1 M R I
x y
Das Trägheitsmoment hängt
von der Lage und Richtung
der Drehachse ab.
2
Steinerscher Satz
Berechnung des Trägheitsmoments, wenn die die Drehachse nicht durch den Schwerpunkt S geht, sondern durch einen Punkt A mit senkrechtem Abstand a
┴zur Drehachse:
Achse durch S:
Achse durch A:
Trägheitsmoment für den Fall der Drehachse durch S plus
Trägheitsmoment der Gesamtmasse M im senkrechten Abstand a
┴.
M a I I
dm r a dm a
dm r
dm a
r I
dm r
I
S A
V V
V V
A V S
2
2 2 2
2
2
die Summe aller Drehmomente ist null, weil die Ortsvektoren vom Schwerpunkt ausgehen
Beispiel: Rollende Körper auf einer schiefen Ebene
Potenzielle Energie = kinetische Energie + Rotationsenergie
2 22
2 2
2 2
2 2
1
sin /
1
sin 2 2
/ 1
sin 2
2 1 2
sin 2
MR I
a g MR
I v a g
v dt v
d
MR I
s v g
MR v I
M v I
s M g M h g M
S
S
3
2.3.3 Der Kreisel
Ein Kreisel ist ein rotierender starrer Körper. Typische Anwendungen:
- Kinderspielzeug (vor der Einführung der Smartphones) - Navigationsinstrument (Kompass, künstlicher Horizont etc.)
- Energiespeicher (z.B. Gyrobus, 1953-60 Schweiz und Belgisch-Kongo) Bisher wurde die Rotation von symmetrisch geformten Körpern (Kugel, Zylinder...) betrachtet. Die Rotation um ihre sog. "Hauptachsen" führt zu einer besonders einfachen Beziehung zwischen Drehimpuls und dem Vektor der Kreisfrequenz:
Im allgemeinen Fall (unsymmetrische Körper und/oder andere Drehachsen) sind auch die Nichtdiagonalelemente des sog. Trägheitstensors ungleich null.
Dabei fallen Drehimpulsachse, Drehachse und Symmetrieachsen des Körpers nicht mehr zusammen und es entstehen komplizierte Bewegungen (Nutation).
Hierbei bleibt die Drehimpulsachse ortsfest, während die Figurenachse (i.d.R.
eine Symmetrieachse des Körpers) und die Drehachse umeinander und um den Drehimpuls rotieren.
Spielende Kinder in einem Bild von Pieter Bruegel dem Älteren
(um 1525 - 1569)
Spielende Kinder (Wolfgang und Niels) 1954 in Lund/Schweden
I L I
I I
I I I
L L L
z C
y B
x A
z y x
C B A
z y
x
~
0 0
0 0
0
0
4
Präzession des Kreisels
Hier sei nur ein relativ einfache Fall betrachtet: Ein symmetrischer Kreisel rotiert um eine Hauptachse (Drehimpuls || Kreisfrequenzvektor) und ist an einem Punkt unterstützt. Aufgrund der Schwerkraft wirkt auf ihn ein Drehmoment (s. Skizze)
I r g m
I r g m L
D
e L
L g m r D
p
p
sin
sin sin
sin
Der Kreisel weicht senkrecht zur Gewichtskraft aus. Die Bewegung der Kreiselachse mit Kreisfrequenz
pheißt Präzession. Allerdings kann dies nicht die volle Erklärung sein, denn wenn der einseitig aufgehängt Kreisel zu langsam dreht, ist es nicht mehr plausibel, dass er nicht herunterfällt. Eine
detailliertere Erklärung erfordert die Corioliskraft (hier noch nicht behandelt), die erst einsetzt, wenn der
Kreisel zu fallen beginnt. Wenn der Kreisel sehr schnell rotiert, fällt er nur wenig und es sieht so aus, als
ob er sofort horizontal ausweichen würde.
5
Rotationsenergie der Erde (homogene Kugel, R = 6370 km, M = 6∙10 24 kg, T = 1 Tag)
J
s m kg
2 29
2 6 2 2 24
2 2
10 6 , 2
3600 24
5
5 , 39 10
37 , 6 10
6 2
5 2 2 1 2
1
E
R T M I
E
Die Erde als Kreisel
J 2.9
J
1729 12
12
10 10
6 . 2 10 1 . 1
10 1 . 1 2
2
dE
d E
dE I E
d dE
mittlere Abnahme pro Jahr
pro Jahr (Weltenergiebedarf 5∙10 20 J im Jahr 2010)
Die Rechnung ist sehr ungenau: Die Erde ist keine homogene Kugel, sondern die Dichte nimmt zum Erdmittelpunkt zu (d.h. das Trägheitsmoment und die Rotationsenergie ist kleiner). Die Erdrotation ist großen Schwankungen unterworfen. Wir beobachten nur die Rotation der Erdkruste, die sich gegen das Erdinnere verschieben kann. Neben der Abnahme aufgrund aufgrund der Gezeitenreibung gibt es jahreszeitliche und längerfristige Umverteilungen der Erdmasse (Jetstream, Vegetation, Eismassen ...).
Aufgrund der Abplattung der Erde und der Neigung der Erdachse gegen die Ekliptik übt die Sonne ein Drehmoment auf die Erde aus. Die Periode der Präzessionsbewegung beträgt ca. 26000 Jahre (d.h. die Erdachse zeigt nicht immer zum Polarstern).
Hinzu kommt einen Nutationsbewegung und weitere Effekte:
das Drehmoment der Sonne ist nicht konstant, auch Mond
und Planeten üben Drehmomente aus. Die geografischen Pole
wandern mit einer Periode von 305 Tagen ungefähr entlang
eines Kreises von 15 m Durchmesser.
6
Die Erde als Kreisel
Sonne
Stellung der Erdachse in Winterhalbjahr der Nordhalbkugel.
Für die von der Kugelgestalt abweichenden äquatorialen
"Wülste" besteht ein Ungleichgewicht zwischen Zentrifugal- kraft und Zentripetalkraft (Gravitation) → Drehmoment
Größerer Abstand zur Sonne:Zentrifugalkraft überwiegt
Kleinerer Abstand zur Sonne:
Gravitationskraft überwiegt
Standardinstrumente eines Flugzeugs, drei davon sind Kreiselinstrumente:
- Künstlicher Horizont (Mitte oben) zeigt die Fluglage relativ zum Horizont.
- Kurskreisel (Mitte unten) zeigt den Kurs, nachdem er einmal auf die richtige Richtung eingestellt wurde (Drehknopf links).
- Wendezeiger (links unten) zeigt die Kursänderung beim Kurvenflug. Die mit R und L markierten Striche entsprechen einem Vollkreis in 2 Minuten.
Die übrigen Instrumente (ohne Kreisel) sind der Fahrtmesser (links oben, Geschwindigkeit in Knoten), Höhenmesser (rechts oben, Höhe in 1000 Fuß) und das Variometer (rechts unten, Höhenänderung in 100 Fuß/Minute).
Kreiselinstrumente
7
2.4 Schwingungen (und Wellen)
Schwingungsphänomene, d.h. zeitlich periodische Schwankungen von physikalischen Größen, sind in Natur und Technik sehr weit verbreitet:
- mechanische Schwingungen (Pendel, Saiten und Körper von Musikinstrumenten, Vibrationen etc.) - Schwingungen auf Wasseroberflächen
- periodische Schwankungen der Luftdichte (Akustik)
- periodische Schwankung von Spannung, Strom, elektrischem oder magnetischem Feld - Schwingungen von Atomen um ihre Ruhelage
- Schwingungen von Teilchen in einem Beschleuniger - Herzschlag und andere biologische Phänomene
- periodische Schwankungen von Temperatur, Leuchtkraft von Sternen, Tierpopulation, Börsenkurs ...
Schwingungen ...
- sind gedämpft oder ungedämpft - sind frei oder erzwungen
- sind periodisch, nicht periodisch oder chaotisch - besitzen eine oder mehrere Frequenzen
2.4.1 Der ungedämpfte harmonische Oszillator
- entsteht aufgrund einer Rückstellkraft, die linear mit der Auslenkung wächst - zeitlicher Verlauf kann durch Sinusfunktion dargestellt werden
Beispiel (Wiederholung): Feder mit Federkonstante k (Hookesches Gesetz) F k x
0
x
m x k x
k x m
F
Beispiel für eine eine Differenzialgleichung, in der x und Ableitungen davon vorkommen - hier nur die zweite Ableitung.
Gesucht wird eine Funktion x(t) ist eine Lösung dieser Gleichung, d.h. die Gleichung ist erfüllt. Hier muss die zweite Ableitung der Funktion bis auf einen konstanten Faktor in der Funktion identisch sein.
Aussichtsreiche Kandidaten: Sinus, Kosinus, e-Funktion.
8
t i
t i t
i t
i
t i t
i t
i
e A t x
t A
e C e
C e
C t x
t A
A e A e
A e t
x
t A
t x
v A x t
A t x x
x
t A
t x v
x
v t t x
t v x
B B
v x
A x x
t B
t A
t x
t B
t A
t x
t B
t A
t x
0
0
*
0 0
0 0
0
0 0 0 0
0
0 0
0 0
0 0
0
2 2
) (
cos )
(
2 cos 2
) 2 (
cos )
(
sin )
( 0
) 0 (
cos )
( 0
) 0 (
sin cos
) ( )
0 (
) 0 (
sin cos
) (
cos sin
) (
sin cos
) (
c.c.
c.c.
2
0
x x
m
k
Allgemeiner Ansatz:
Löst die Bewegungsgleichung der Feder, wie man durch Einsetzen sieht:
Allgemeine Anfangsbedingung:
Spezielle Anfangsbedingungen:
Andere Schreibweisen für die allgemeine Form
verkürzt, d.h. im Ergebnis Imaginärteil ignorieren Re( ) ) tan Im(
2
) Im(
) Re(
0
C
C C A
C i
C C
cos i sin e
iA
0eine reele Zahl und C eine komplexe Zahl, der Stern * und c.c. steht für "konjugiert komplex", wobei i zu i wird.
9
Sinus (blau) und Kosinus (rot) entsprechen den Endpunkten der zwei Linien in der komplexen Zahlenebene (links) Im Experiment kann man zeigen (wenn man es schafft, die beiden Bewegungen zu synchronisieren), dass die sinusförmige Schwingung der Projektion eines im Kreis laufenden Stabes entspricht.
Beispiel: Fadenpendel der Länge L mit Masse m:
d.h. harmonische Schwingung für kleine Auslenkungen, Frequenz hängt nur von g und L ab (Messmethode für g!), nicht von der Masse. Für größere Auslenkungen:
Lösung komplizierter,
Schwingungsfrequenz wird mit zunehmender Amplitude kleiner.
l g l
g
g m g
m l
m F
mit 0
0
sin
2
0 sin
l
g
m∙g
m∙g∙sin
10
Phasenraumdarstellung von Schwingungen Ort gegen Geschwindigkeit aufgetragen
- kleine Auslenkungen: Ellipsen
- größere Auslenkung: verzerrte Ellipsen
- jenseits der sog. Separatrix (rot): ungebundene Bewegung ("Überschläge") - gedämpftes Pendel: Spirale nach innen
Energiebilanz für Federpendel und Fadenpendel
Ständiger Wechsel von potenzieller Energie (Höhe beim Fadenpendel, Zustand der Feder beim Federpendel) und kinetischer Energie (beim Durchgang durch die Ruhelage mit minimaler potenzieller Energie ist die Geschwindigkeit am größten.
2 2 2
2 2 2
2
2 1 2
1
2 cos 1
1 2 1 2
1
l m l
g m E
l m l
g m E
E E
E
v m x
k E
ges ges kin
pot ges
ges
Federpendel
Fadenpendel (exakt)
Fadenpendel (Kosinus entwickelt)
Mechanisches Analogon für die sog. "Synchrotronschwingung" von Elektronen in einem Speicherring. Durch die Auslenkung in der Ruhelage
aufgrund der Masse m wird das Phasenraumbild unsymmetrisch. Mitte: Messdaten mit einem solchen Pendel an einem Winkelsensor.
11
k
T I I
k k I
D
x k x m F
2 2
0
s m
kg
21 , 45
406 , 0
2
22 2
2
I M a M R M R M R T
I
SDrehschwingung
in Analogie zur Translation
Beispiel: Reifenpendel
Fall a) Nabe frei beweglich, Trägheitsmoment
Fall b) Nabe arretiert, Trägheitsmoment nach dem Steinerschen Satz s m
kg m
0,26
kg
2 20 , 203
21 , 02
2
3
M R T
I
2 2
s kg m 65 , 7
sin
R M g R M g k R M g
D
Experiment in der Vorlesung:
gemessene Zeit für 10 Schwingungen a) 10 s b) 14 s
k
: Richtmoment = Drehmoment pro Winkeleinheit
12
2.4.2 Gedämpfte harmonische Schwingung
Bewegungsgleichung mit Dämpfungsterm, Ansatz mit komplexer Amplitude C:
2 2 0
2 2 2
, 1
2 2
2 2
~ cos ~
) ( 2
0 2
2 2
t e
A t x
e e C x
e C x
e C x
e C x x
x x
t
t t
t
Schwingfall:
aperiodischer Grenzfall:
Kriechfall:
Das Ergebnis hängt davon ab, ob der Ausdruck unter der Wurzel positiv oder negativ ist
Aperiodischer Grenzfall und Kriechfall sind keine periodischen Schwingungen. Die Bewegung hängt von den Anfangsbedingungen ab und soll hier nicht berechnet werden. Beispiele:
Pohlesches Rad zur Demonstration gedämpfter und erzwungener Schwingungen
aperiodischer Grenzfall
Kriechfall
13
2.4.3 Erzwungene Schwingung, Resonanz
Bewegungsgleichung mit Dämpfungsterm und externer Anregung:
Lösung für schwache Dämpfung nach dem Einschwingen:
t i E
m e x F x
x 2
2
2 2
2/ 2
2tan 2
2 2cos )
(
E E E
E E
m A F
t A
t
x
Verhalten bei Dämpfung 0: Amplitude in der Nähe der Eigenfrequenz steigt stark an ("Resonanzkatastrophe"), die Phasenverschiebung steigt abrupt von nahezu 0 (geringe Verzögerung) auf knapp unter (fast gegenphasig).
Beispiel rechts oben: kleine (blau) und größere Dämpfung (rot).
Experimente zur Resonanz
a) Pohlsches Rad: Beobachtung von Phase und Amplitude für verschiedene Frequenzen der Anregung
b) Stimmgabel wird angeschlagen. Eine zweite Stimmgabel schwingt mit, wenn beide etwa die gleiche Frequenz haben c) Fadenpendel verschiedener Länge entlang einer Schnur aufgehängt (und dadurch gekoppelt). Ein Pendel schwingt.
Von den anderen Pendeln schwingen diejenigen mit, die
eine ähnliche Länge (und damit ähnliche Frequenz) haben
14
2.4.4 Gekoppelte Pendel
Gekoppelte Pendel beeinflussen sich gegenseitig. Bei vielen gekoppelten Pendeln (Grenzfall kontinuierliches Medium) führt die Kopplung dazu, dass sich eine Schwingung fortpflanzt: es entsteht eine Welle.
Zwei gekoppelte Pendel (z.B. zwei Fadenpendel, Wilberforce-Pendel, zwei Stimmgabeln):
Hier aus Zeitgründen keine Herleitung, sondern die wesentlichen Ergebnisse für den Fall
Es gibt zwei Eigenschwingungen. Nur diese beiden Moden führen die Pendel längere Zeit mit konstanter Amplitude aus. Andere Schwingungsformen sind Kombinationen dieser beiden Moden, die beiden Pendel haben abwechselnd große und kleine Amplituden (Schwebung).
Frequenzen der Eigenschwingungen:
B A
AB B
B B
B
B A AB A
A A
A
x x k
x k x
m
x x k
x k x
m
k k k m
m
m
A
B
A
B
m k l g m
k
2
AB 2 1 21
Pendel in Phase, Kopplungsfeder entspannt, hier als Beispiel: Fadenpendel der Länge l
Pendel gegenphasig, Kopplungsfeder gespannt
Anmerkung: Hier sind 1 und 2 nicht die Pendel, sondern die
Modennummer (oben wurden die Pendel mit A und B bezeichnet)
15
Halbe Schwebungsperiode (Energie ist von einem zum anderen Pendel und zurück geflossen, d.h. Zeit zwischen zwei Stillständen):
2 1
2
2 2 2 2
2
ABk
ABm k
m k m
k k
T
Anmerkung:
Für 2 gekoppelte Pendel gibt es 2 Eigenmoden mit Phasendifferenz 2/2, für ein System mit N gekoppelten Pendeln gibt es N verschiedene Eigenmoden mit Phasendifferenz 2/N (Beispiel: 192 Elektronenpakete in DELTA mit 192 Eigenmoden, Phasendifferenz zwischen zwei benachbarten Moden /96)
Beispiele für gekoppelte Pendel
Zwei Fadenpendel, gekoppelt mit einer Feder Wilberforce-Pendel (nach Lionel. P. Wilberforce), eine Kombination aus Federpendel
(senkrechte Schwingung) und Torsionspendel (Drehschwingung) mit ähnlicher Frequenz,
so dass das Pendel abwechselnd senkrecht schwingt oder rotiert.
16
2.4.5 Mechanische Wellen
Eine Schwingung an einem Ort koppelt an benachbarte schwingungsfähige Systeme und breitet sich mit einer Geschwindigkeit v in einem Medium aus. Beispiele: Viele gekoppelte Pendel hintereinander, Seilwellen, Wasserwellen, Schallwellen, seismische Wellen etc. Später: Elektromagnetische Wellen und Gravitationswellen können sich ohne ein Medium ausbreiten.
In einer Dimension entlang der z-Achse (Periode T, Wellenlänge l ):
An einem fest Ort z beobachtet man eine Schwingung der Dauer T (Periode), d.h. mit Frequenz f = 1/T, zu einem Zeitpunkt t misst man einen Abstand l zwischen zwei Wellenbergen (Wellenlänge).
Die Phasengeschwindigkeit ist gegeben durch
Im Gegensatz dazu ist die sog. Gruppengeschwindigkeit (mehr dazu später).
l
l
2 sin 2
2 sin )
,
( 0 0
z A t k z k
T A t
t z
x Wellenzahl
l f l
T v k
dt dz dt
k dz z
k dt t
d
0
Phdk v d
Gr
17
Jean Baptise Fourier (1768 - 1830)
Die Addition von zwei sin-Funktionen mit leicht verschiedener Frequenz ergibt ein Schwebungsmuster. Mit der Addition weiterer Wellenzügen (10 im Beispiel rechts) mit benachbarten Frequenzen entsteht ein "Wellenpaket".
x x x x
f cos 5
5 3 1 3 cos cos 1
)
(
2
2f x x x sin 5 x
5 3 1 3 sin sin 1
)
( f x x x sin 3 x
3 2 1 2 sin sin 1
)
(
Beispiele (jeweils 4 Terme addiert):
Dreieck Rechteck Sägezahn
Anmerkung: Fourier-Transformation
Eine periodische Funktion kann als Fourier-Reihe dargestellt werden, d.h. jede Schwingung, die nicht als reiner Sinus oder Kosinus dargestellt werden kann,
"besteht" aus einer Kombination von diskreten Frequenzen. Nicht-periodische Funktionen können als Fourier-Integrale dargestellt werden, d.h. jeder zeitliche Verlauf "besteht" aus einem Kontinuum von Frequenzen.
1 1
0
cos sin
2 ) 1 (
n n
n
n
n x b n x
a a
x f
i k x dk
k f x
f
