Das Mathematische Pendel

Das Mathematische Pendel

. cor .

zen

ges

G F F

F r r r r + +

=

ϕ

m l

G r F r

F r

r r

t

F mg sin e mg cos e

F

G r r r r r

ϕ +

ϕ

= +

=

r 2 .

zen

m l e

F r r

ω

=

r .

cor .

cor e F e

Fr r r r

⊥

⊥ _ϕ

Tangentialkomponente Frt

Die Anwendung der Newton’schen Bewegungsgleichung liefert

0 e

ma e

sin

mg ϕ r

+

r

=

Die Tangentialbeschleunigung hängt mit der Winkelbe- schleunigung über den Kreisradius l (Pendellänge) zusammen:

r

a r r

&

r_ϕ =ω×

2 2

dt ld a_ϕ = ϕ

Damit erhalten wir eine homogene Differentialgleichung zweiter Ord- nung mit konstanten Koeffizienten für die gesuchte Funktion ϕ(t):

dt 0 ld sin

g ₂

2ϕ = +

ϕ

Die Sinusfunktion kann in eine Taylorreihe entwickelt werden:

( ) ( )

! ...

5

! sin 3

1 n n 2

5 3

+

− ϕ + ϕ −

ϕ +

− ϕ

=

ϕ ⁺

Für kleine Winkel ϕ < 5° ist es meistens mit hinreichender Genauig- keit möglich, die Reihenentwicklung nach dem ersten Glied abzubre- chen und den sinϕ durch ϕ zu ersetzen, so dass gilt:

dt 0 ld

g ₂

2ϕ = +

ϕ bzw. 0

l g dt

d

2

2ϕ + ϕ=

Dies ist die bekannte Schwingungsgleichung für ein mathematisches Pendel. Wir lösen diese Gleichung mit dem Ansatz

t sin

0

ω

ϕ

=

ϕ

Durch Einsetzen in die Differentialgleichung erhalten wir

l g T

2

0 = π =

ω bzw. die Schwingungsdauer

g 2 l T = π

Für ω₀ = g/l ist der Lösungsansatz eine Lösung der Schwingungsgleichung In der allgemeinen Form

t sin

0

ω

ϕ

= ϕ

.

= 0

( ) ^{l / g} ϕ +

ϕ &&

2

0

0

ϕ = ω

+ ϕ &&

ist diese Differentialgleichung auf verschiedene Vorgänge anwendbar, denen eine ungedämpfte, freie Schwingung entspricht.

In Anwendung auf das mathematische Pendel hat die Tangentialkraft rt die bekannte Pendelbewegung mit der Schwingungsdauer

F

g / 2π l

T = zur Folge.

Diskussion der Schwingungsamplitude

Mit erhält man für die Winkelgeschwindigkeit des Pendels

t sin

0

ω

ϕ

= ϕ

t cos

0

0

ω ω

ϕ

= ϕ

=

ω &

Wegen (Eulergleichung) erhält man für die Tangentialge- schwindigkeit

l

v =ϕ&

t cos l

v = ϕ

ω

ω

Im tiefsten Punkt hat das Pendel die maximale Geschwindigkeit

gl l

v

= ϕ

ω

= ϕ

Andererseits gilt wegen der Erhaltung der mechanischen Energie mit

mgh 2 v

E_ges = m ²_max =

auch

gh 2 v_max =

Durch Vergleich beider Beziehungen folgt also für die maximale Aus- lenkung

mgl / E 2 l

h

2 _ges

0 = =

ϕ

wenn h die Höhe ist, auf die das Pendel zu Beginn des Schwingungs- vorganges angehoben wurde.

Radialkomponente Frr

Die Radialkomponente bestimmt die Belastung der Pendelaufhän- gung. Mit

r r

r

mg cos e m l e

F r r && r

ϕ +

ϕ

=

setzt sich die Radialkraft aus einer Schwerkraftkomponente und einer Fliehkraftkomponente zusammen. Beschränkt man sich auf kleine Winkel (cosϕ ≈ 1) erhält man mit eine Radi- alkraft

t cos

0

0

ω ω

ϕ

= ϕ

=

ω &

t cos

g m mg

F

= + ϕ

ω

Drehung der Pendelebene (Foucault – Pendel) Frcor.

Aufgrund seiner Trägheit behält ein Pendel die Lage seiner Schwin- gungsebene bezüglich eines Inertialsystems (Fixsternhimmel) bei, während die Erde rotiert. Dies führt zu einer Drehung der Pendelebene bezüglich der Erdoberfläche. Am Nordpol dreht sich die Pendelebene genau einmal pro Tag bezüglich der Erdoberfläche. An einem beliebi- gen Breitengrad muss man den Vektor der Winkelgeschwindigkeit der Erde zerlegen:

Ω r

θ

Ω r Ω r

θ Ω

=

Ω

sin

Nordpol

Ω

= Ω

Äquator

Ω = 0

Südpol

Ω

−

=

Ω