Zeigen Sie: Es gibt genau dann einen q-exakten Baum mit bBlättern, wenn(q−1) ein Teiler von(b−1)ist

Prof. Dr. R. Schrader SS 2005 Katja Korherr

4. Übung zur Vorlesung Informatik I Abgabe: 13.05. bis 13.00 Uhr Besprechung: 16.05. bis 20.05.

in den Übungsgruppen

Bitte schreiben Sie das Kürzel Ihrer Übungsgruppe rechts obenauf Ihr Übungs- blatt. Nur so können wir sicherstellen, dass Ihre Lösungen auch bei Ihrem Übungs- leiter ankommen und korrigiert werden.

Aufgabe 1: (?)

Ein Baum heisst q-exakt, wenn jeder innere Knoten genau q Söhne hat. Zeigen Sie: Es gibt genau dann einen q-exakten Baum mit bBlättern, wenn(q−1) ein Teiler von(b−1)ist.

(4 Punkte)

Aufgabe 2: (?)

Eine Permutationσ∈SnheißtNachbarschaftsvertauschungan der Stellei(1≤ i < n), falls gilt:

σ(j) =







i+ 1 fallsj=i i fallsj=i+ 1

j sonst

id(n)∈Snsei die Permutation, die jedes Element auf sich selbst abbildet.

a) Seiπ∈Sneine Permutation mit InversionszahlI(π). Zeigen Sie:πkann durch genauI(π)Nachbarschaftsvertauschungen zuid(n)überführt werden. Zeigen Sie also, dassI(π)Nachbarschaftsvertauschungenσ₁, σ₂, . . . , σI(π)existieren so dass π◦σ₁◦σ₂◦ · · · ◦σI(π)=id(n)gilt.

b) Entwerfen Sie einen Algorithmus im Pseudocode, der mit Hilfe von Nach- barschaftsvertauschungen die InversionszahlI(π)einer Permutationπ∈Snberech- net.

(2+2 Punkte)

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Aufgabe 3:

Seien n, k ∈ N und sei Π(n, k) := {π ∈ Sn | I(π) = k}. Für welche nund für welche k gilt die folgende Aussage: Eine Permutation π liegt genau dann in Π(n, k)wenn Ihre ReflexionπˆinΠ(n, k)liegt?

Aufgabe 4: (?)

Zeigen Sie: Für den Algorithmus “Bubblesort” gilt: MAv(n) =O(n²)

(3 Punkte)

Aufgabe 5:

Zeichnen Sie den Rekursionsbaum der entsteht, wenn die Eingabefolge A= [3,4,7,10,6,8,1,9,2,5]

mit dem Algorithmus “Quicksort” sortiert wird.

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