18. Polynominterpolation
Gegeben: Daten
(xi;y
i
) 2 R
2
f ¨ur
i = 0;:::;nmit paarweise verschiedenen
x0;:::;x
n
Gesucht: Polynom
fmit:
8i 2 f0;:::;ng : f(x
i
) = y
i
(1)
Beispiel:
n f
0 f(x) = y
0
1 f(x) = y
1 y
0
x
1 x
0
(x x
0
) + y
0
1
Ansatz f ¨ur beliebiges
n 2 N:
f(x) =
0 +
1
(x x
0
)+:::+
n
(x x
0
): ::(x x
n 1 )
Interpolationsbedingung (1) bestimmt
0;:::;
n
2 R
wie folgt:
1. Einsetzen von
x0:
0
= y
0
(Einsetzen von
x0) 2. L ¨osen der Gleichungen
0
+
1 (x
1
x
0 )
| {z }
6=0
= y
1
. . .
0
+
1 (x
n
x
0
) + :::+
n (x
n
x
0
) ::: (x
n
x
n 1 )
| {z }
6=0
= y
n
Das so bestimmte Polynom besitzt Grad
nund erf ¨ullt (1).
Ferner folgt aus dem Hauptsatz der Algebra: es existiert h ¨ochstens ein Polynom
fvom Grad
n, das (1) erf ¨ullt.
2
Fazit: es existiert genau ein Polynom
fvom Grad
n, welches
8i 2 f0;:::;ng : f(x
i
) = y
i
(1)
erf ¨ullt.
Beispiel:
4
Datenpaare,
n = 3i x
i
y
i
0 0 2
1
1
2
3
2
2 1 0
3 2 1
3
0 0
0
+
1 (x
1
x
0
) = y
1
, 2 +
1
1
2
=
3
2
,
1
= 1
0
+
1 (x
2
x
0
) +
2 (x
2
x
0
) (x
2
x
1
) = y
2
, 2 + 1 +
2
1 1
2
= 0
,
2
= 2
0
+
1 (x
3
x
0
) +
2 (x
3
x
0
) (x
3
x
1 ) +
3 (x
3
x
0
) (x
3
x
1
) (x
3
x
2
) = y
3
, 2 + 2 + 2 2 3
2
+
3
2 3
2
1 = 1
,
3
=
5
3
Interpolationspolynom:
f(x) = 2 + x + 2x(x
1
2 )
5
3
x(x
1
2
)(x 1)
