Interpolation mit Polynomen
Funktionswerte f
kan n + 1 paarweise verschiedenen St¨ utzstellen x
k, k = 0, . . . , n, k¨ onnen eindeutig durch ein Polynom p vom Grad ≤ n interpoliert werden:
p(x
k) = f
k, k = 0, . . . , n . Dieses Interpolationspolynom l¨ aßt sich in der Form
p(x) =
n
X
k=0
f
kq
k(x), q
k(x) = Y
j6=k
x − x
jx
k− x
jdarstellen, wobei die Polynome q
kals Lagrange-Polynome bezeichnet werden. Sie haben im Punkt x
kden Wert 1 und verschwinden an allen anderen Punkten x
j:
q
k(x
j) = δ
k,jmit δ dem Kronecker-Symbol.
Beweis (i) Existenz:
q
k(x
j) = δ
j,k= ⇒
p(x
j) = X
k
f
kδ
j,k= f
jInterpolationsbedingungen (ii) Eindeutigkeit:
F¨ ur ein weiteres Interpolationspolynom ˜ p hat die Differenz p − p ˜ mindestens n + 1 Nullstellen:
(p − p)(x ˜
k) = 0, k = 0, . . . , n .
Grad(p − p) ˜ ≤ n = ⇒ p = ˜ p, denn ein nicht-triviales Polynom mit
Grad ≤ n kann h¨ ochstens n Nullstellen haben
Beispiel
Sch¨ atzung des Minimums einer Funktion f aus den Daten
x 1 2 4
f 3 0 6
mit Hilfe eines interpolierenden quadratischen Polynoms p: min f ≈ min p Lagrange-Polynome q
k(x) = Q
j6=k
x − x
jx
k− x
jq
0(x) = x − 2
1 − 2 x − 4
1 − 4 = x
2− 6x + 8 3 q
2(x) = x − 1
4 − 1 x − 2
4 − 2 = x
2− 3x + 2
6
Interpolierendes Polynom p = P
2k=0
f
kq
kvom Grad ≤ 2 p(x) = 3q
0(x) + 0 + 6q
2(x)
q
0(x) = (x
2− 6x + 8) + (x
2− 3x + 2)
= 2x
2− 9x + 10
0 = p
0(x) = 4x − 9 = ⇒ Minimum bei x = 9/4 ( p
00(x) = 4 > 0 )
Approximation
min f ≈ p(9/4) = 2(9/4)
2− 9(9/4) + 10 = −1/8
Beispiel
Sch¨ atzung von Zwischenwerten an St¨ utzstellen x
k+1/2= (k + 1/2)h durch kubische Interpolation ¨ aquidistanter Daten (x
k, f
k), x
k= kh
4-Punkt-Formel
f
k+1/2= (−f
k−1+ 9f
k+ 9f
k+1− f
k+2)/16
Gewichte −
161,
169,
169, −
161: Werte der Lagrange-Polynome an der St¨ utzstelle x
k+1/2z.B. Wert f¨ ur x
k+1/2= (k + 1/2)h des Lagrange-Polynoms zu x
k−1= (k − 1)h (Null bei x
k, x
k+1, x
k+2)
−1 16 =
x−kh
(k−1)h−kh
x−(k+ 1)h (k−1)h−(k+ 1)h
x−(k+ 2)h (k−1)h−(k+ 2)h
x=(k+1/2)h
