Formelsammlung
Mathe I/II f¨ur Informatiker & E-Techniker
<Marco.Moeller@macrolab.de>
Stand: 27.05.2005 - Version: 1.0.1
Erh¨ altlich unter http://privat.macrolab.de
Diese Formelsammlung basiert auf der Vorlesung “Ma- thematik 1/2 f¨ur Elektrotechniker” von Prof. Dr. Gun- ter Malle an der Universit¨at Kassel im Wintersemester 2003/04 und Sommersemester 2004.
Die folgende Formelsammlung steht zum kostenlosen Download zur Verf¨ugung. Das Urheberrecht und son- stige Rechte an dem Text verbleiben beim Verfasser, der keine Gew¨ahr f¨ur die Richtigkeit und Vollst¨andig- keit der Inhalte ¨ubernehmen kann.
Inhaltsverzeichnis
1 Begriffe 6
1.1 Logik . . . 6
1.1.1 Verkn¨upfungen . . . 6
1.1.2 Rechenregeln . . . 6
1.1.3 Quantoren . . . 6
1.1.4 Eigenschaften von Aussagen . . . 6
1.2 Abbildungen . . . 6
1.2.1 injektiv . . . 6
1.2.2 surjektiv . . . 7
1.2.3 bijektiv . . . 7
2 Mengen 7 2.1 Beschreibung . . . 7
2.2 Standardmengen . . . 7
2.3 Intervalle . . . 7
2.4 Operationen . . . 7
2.5 Rechenregeln . . . 7
2.6 SchrankenI.29. . . 8
2.7 H¨aufungspunktI.33 . . . 8
2.8 Ordnungsregeln . . . 8
2.8.1 Eigenschaften von Relationen . . 8
2.8.2 Typen von Relationen . . . 8
2.9 K¨orper . . . 8
2.9.1 Addition . . . 8
2.9.2 Multiplikation . . . 8
2.9.3 Distributivgesetz . . . 9
2.10 Angeordnete K¨orper . . . 9
3 Beweisverfahren 9 3.1 direkter Beweis . . . 9
3.2 indirekter Beweis . . . 9
3.3 Kontraposition . . . 9
3.4 Vollst¨andige InduktionI.33. . . 9
4 Rechenregeln 9 4.1 SummenI.13 . . . 9
4.2 Ungleichungen . . . 9
4.3 Fakult¨atI.38. . . 9
4.4 BinomialkoeffizientI.39 . . . 9
5 Trigonometrie 10 6 Komplexe Zahlen I.44 10 6.1 Definition . . . 10
6.1.1 RechenregelnI.45 . . . 10
6.2 Komplex Konjungierte ZahlI.53 . . . 10
6.3 Betrag einer Komplexen ZahlI.58 . . . . 10
6.4 PolarkoordinatenI.60 . . . 10
6.5 Fundamentalsatz der AlgebraI.71 . . . . 11
6.6 Vietascher WurzelsatzI.72 . . . 11
7 Folgen II.3 11 7.1 MonotonieII.6. . . 11
7.2 TeilfolgeII.6 . . . 11
7.3 KonvergenzII.8 . . . 11
7.4 NullfolgeII.11 . . . 11
7.5 Konvergenzkriterien . . . 11 1
2 INHALTSVERZEICHNIS
7.5.1 Teilfolgen . . . 11
7.5.2 SandwitchtheoremII.15 . . . 12
7.5.3 Monotonie / beschr¨anktII.16 . . 12
7.5.4 Cauchy-FolgeII.20 . . . 12
7.5.5 H¨aufungspunkt . . . 12
7.6 Grenzwert RechenregelnII.14 . . . 12
7.6.1 Unbestimmte Formen . . . 12
8 Reihen II.22 12 8.1 KonvergenzII.22 . . . 12
8.1.1 S¨atze ¨uber Konvergente Reihen . 12 8.2 absolut / bedingt konvergentII.163 . . . 12
8.2.1 DoppelreiheII.167. . . 12
8.2.2 UmordnungII.164. . . 13
8.2.3 Großer UmordnungssatzII.167. . 13
8.2.4 Produkt von ReihenII.165 . . . . 13
8.2.5 Cauchy-ProduktII.166 . . . 13
8.3 KonvergenzkriterienII.168 . . . 13
8.3.1 Majoranten- oder Vergleichskri- teriumII.168. . . 13
8.3.2 QuotientenkriteriumII.169 . . . . 13
8.3.3 WurzelkriteriumII.171 . . . 13
8.3.4 Leibnizsches KriteriumII.174 . . 13
8.3.5 IntegralkriteriumII.175 . . . 14
8.4 Besondere Reihen . . . 14
8.4.1 Eulersche ZahleII.34. . . 14
9 Funktionsfolgen und Funktionsreihen 14 9.1 Konvergenz . . . 14
9.1.1 Punktweise KonvergenzII.178 . . 14
9.1.2 Gleichm¨aßige KonvergenzII.178 . 14 9.2 Vertauschen von Grenzwerten . . . 14
9.2.1 IntegrationII.180 . . . 14
9.2.2 DifferenziationII.180 . . . 14
9.2.3 Funktionsreihen IntegrierenII.182 15 9.2.4 Funktionsreihen Differenzieren II.182 . . . 15
9.3 Konvergenzkriterien . . . 15
9.3.1 Cauchy-Kriterium f¨ur gleichm¨a- ßige KonvergenzII.178 . . . 15
9.3.2 MajorantenkriteriumII.182 . . . 15
9.4 PotenzreihenII.185 . . . 15
9.4.1 Konvergenz / Konvergenzradius II.185 . . . 15
9.4.2 KonvergenzradiusII.186 . . . 15
9.4.3 Integrieren / DifferenzierenII.190 15 9.4.4 Eindeutigkeitssatz f¨ur Potenzrei- henII.191 . . . 15
9.5 wichtige ReihenII.154 / II.192 . . . 15
10 FunktionenI.116 16 10.1 DefinitionI.116 . . . 16
10.2 Stetige FunktionenII.38 . . . 16
10.2.1 Kriterien f¨ur Stetigkeit . . . 16
10.3 S¨atze ¨uber stetige Funktionen . . . 16
10.3.1 Haupts¨atzeII.41. . . 16
10.3.2 VerkettungII.42 . . . 16
10.3.3 UmkehrfunktionII.43 . . . 16
10.3.4 Min-/MaximumII.43 . . . 17
10.3.5 ZwischenwertsatzII.44 . . . 17
10.3.6 gerade / ungerade Funktionen . 17 10.4 Grenzwert von Funktionen . . . 17
10.4.1 DefinitionII.46 . . . 17
10.4.2 Linksseitiger GrenzwertII.46. . . 17
10.4.3 Rechtsseitiger GrenzwertII.47 . . 17
10.4.4 Grenzwert im PunktII.47 . . . . 17
10.4.5 Grenzwert im UnendlichenII.49 . 17 10.4.6 SprungstelleII.50 . . . 17
10.4.7 hebbare Unstetigkeit . . . 18
10.4.8 Regeln von de l’HosptialII.86 . . 18
10.4.9 Grenzwertbildung mithilfe des Taylorpolynoms . . . 18
10.4.10 wichtige Grenzwerte . . . 18
10.5 Logarithmus- und Exponentialfunktion II.55 . . . 18
10.5.1 DenfinitionII.56 . . . 18
10.5.2 ln(x)-RechenregelnII.57 . . . 18
10.5.3 e-FunktionII.59 . . . 18
10.5.4 ex-RechenregelnII.59 . . . 18
10.5.5 Allgemeine Exp. Funktion / Lo- garithmusII.62 . . . 18
10.6 Differenzierbare FunktionenII.64 . . . . 18
10.6.1 DefinitionII.64 . . . 18
10.6.2 Kriterium f¨ur Differenzierbarkeit II.67 . . . 19
10.6.3 TangenteII.68 . . . 19
10.6.4 AbleitungII.69 . . . 19
INHALTSVERZEICHNIS 3
10.6.5 AbleitungsregelnII.72 . . . 19
10.6.6 Ableitung der Umkehrfunktion II.78 . . . 19
10.6.7 Ableitung von wichtigen Funk- tionen . . . 19
10.6.8 Relatives ExtremumII.80 . . . . 19
10.6.9 Satz von Rolle / Mittelwertsatz II.80 . . . 19
10.6.10 Charakteristika von Funktionen II.82 . . . 20
10.6.11 MonotoniekriteriumII.84 . . . 20
10.7 KurvendiskussionPapula I.378 . . . 20
10.7.1 Definitionsbereich / Definitions- l¨ucken . . . 20
10.7.2 Symmetrie . . . 20
10.7.3 Nullstellen . . . 20
10.7.4 Y-Achsenabschnitt . . . 20
10.7.5 Pole . . . 20
10.7.6 Ableitungen . . . 20
10.7.7 Relative Extremwerte (Maxima und Minima) . . . 20
10.7.8 Wendepunkte, Sattelpunkte . . . 20
10.7.9 Kr¨ummungII.160 . . . 20
10.7.10 Verhalten der Funktion f¨ur x→ ±∞, Asymptoten im Unendlichen 21 10.7.11 Wertebereich der Funktion . . . 21
10.7.12 Zeichnung der Funktion in einem geeigneten Maßstab . . . 21
11 Integralrechnung II.92 21 11.1 Ober- und Untersummen II.92 . . . 21
11.1.1 Zerlegung (Partition)II.92 . . . . 21
11.1.2 Riemann-SummeII.103 . . . 21
11.2 Riemann IntegralII.100. . . 21
11.3 Eigenschaften von Integralen II.99 . . . . 22
11.4 Fl¨achen- und Stammfunktion / unbe- stimmtes IntegralII.103. . . 22
11.4.1 partielle Integration / Produk- tintegrationII.123 . . . 22
11.4.2 Partialbruchzerlegung . . . 22
11.4.3 SubstitutionII.126 . . . 23
11.5 Uneigentliche Integrale II.131 . . . 23
11.5.1 MajorrantenkriteriumII.133 . . . 23
11.5.2 BetragskriteriumII.134 . . . 23
12 Taylorentwicklung II.141 23 12.1 Satz von TaylorII.141 . . . 24
12.1.1 Taylorpolynom / RestgliedII.141 24 12.2 TaylorreiheII.152 . . . 24
13 Funktionen mehrerer Ver¨anderlicher II.199 24 13.1 GrundbegriffeII.199. . . 24
13.1.1 Euklidische NormII.199 . . . 24
13.1.2 KonvergenzII.202 . . . 24
13.1.3 Randpunkt / H¨aufungspunktII.200 25 13.1.4 Abgeschlossen / Kompakt . . . . 25
13.2 Stetigkeit und GrenzwertII.203 . . . 25
13.2.1 StetigkeitII.203 . . . 25
13.2.2 GrenzwertII.205 . . . 25
13.2.3 (relative) Maxi-/MinimaII.207 . 25 13.3 Partielle Ableitung II.208 . . . 25
13.3.1 Partielle DifferenzierbarkeitII.208 25 13.3.2 GradientII.210 . . . 25
13.3.3 RichtungsableitungII.213 . . . . 26
13.3.4 Partielle Ableitungen h¨oherer OrdnungII.215 . . . 26
13.3.5 HessematrixQA II.238 . . . 26
13.3.6 DifferenzierbarkeitsklassenII.230 26 13.3.7 Satz von Schwarz / Vertausch- barkeit der partiellen Ableitun- genII.230 . . . 26
13.3.8 Parameterabh¨angige Integrale II.216 . . . 26
14 Differenzierbare Funktionen imRn II.219 26 14.1 Der Differenzierbarkeitsbegriff II.219 . . 26
14.1.1 Definition f¨ur dim (Bild) = 1II.219 26 14.1.2 Funktionalmatrix oder Jacobi- matrixII.223 . . . 26
14.1.3 KettenregelII.225 . . . 27
14.2 Lokale Extrema . . . 27
14.2.1 Notwendige Bedingung f¨ur lokale ExtremaII.238 . . . 27
14.2.2 Quadratische Form / DefinitII.239 27 14.2.3 Hinreichende Bedingungen f¨ur lokale ExtremstellenII.240 . . . . 27
14.2.4 Sonderfall f¨urD⊆R2 . . . 27
14.3 Implizite FunktionenII.242 . . . 27
4 INHALTSVERZEICHNIS 14.3.1 Extremwerte unter Neben-
bedingungen / Lagrange-
MultiplikationII.250 . . . 27
14.3.2 Implizite Funktionen aufR2 . . . 27
14.3.3 Satz ¨uber implizite Funktionen II.247 . . . 28
15 Integration im Rn II.256 28 15.1 Riemann-Integrale ¨uber Intervallen . . . 28
15.1.1 Zerlegung / Feinheit . . . 28
15.1.2 Definition Integral . . . 28
15.1.3 Eigenschaften von Integralen . . 28
15.2 Integrierte Integrale ¨uber IntervallenII.263 28 15.2.1 Satz von FubiniII.263 . . . 28
15.2.2 Charakteristische Funktion . . . 29
15.3 Riemann Integrale ¨uber beschr¨ankte Mengen . . . 29
15.3.1 Volumen einer MengeII.269 . . . 29
15.3.2 Riemannsche Integral . . . 29
15.3.3 Mittelwertsatz der Integralrech- nung . . . 29
15.3.4 ZylindermengenII.275 . . . 29
15.3.5 SubstitutionsregelII.278 . . . 29
16 Integrals¨atze II.285 29 16.1 KurvenintegraleII.285 . . . 29
16.1.1 glatte Kurve . . . 29
16.1.2 geschlossene / doppelpunktfreie KurveII.286 . . . 29
16.1.3 ¨Aquivalente Parametrisierung einer KurveII.287 . . . 29
16.1.4 TangenteII.287 . . . 30
16.1.5 L¨ange einer KurveII.288 . . . 30
16.1.6 Bogenl¨angeII.291 . . . 30
16.1.7 Konstantes Durchlaufen einer KurveII.292 . . . 30
16.1.8 Vektorfeld / SkalarfeldII.292 . . 30
16.1.9 KurvenintegralII.293 . . . 30
16.1.10 PotentialfeldII.295 . . . 30
16.1.11 Konvex . . . 30
16.1.12 Wegunabh¨angiges Kurveninte- gralII.295 . . . 30
16.1.13 ZentralfeldII.297 . . . 31
17 Vektorrechnung inV3 I.76 31 17.1 Definition eines VektorsI.76 . . . 31
17.2 Vektoren als Pfeile . . . 31
17.2.1 RechenregelnI.76 . . . 31
17.2.2 L¨ange eines VektorsI.81 . . . 31
17.3 Das skalare ProduktI.84 . . . 31
17.3.1 Eingeschlossener WinkelI.86. . . 31
17.3.2 Einheitsvektor / RenormierungI.88 31 17.3.3 Projektion eines VektorsI.89 . . 32
17.3.4 RichtungskosinusI.90. . . 32
17.4 Das vektorielle ProduktI.90 . . . 32
17.4.1 RechenregelnI.91 . . . 32
17.5 SpatproduktI.95 . . . 32
17.5.1 RechenregelnI.96 . . . 32
17.6 Gerade und Ebene im RaumI.99 . . . . 32
17.6.1 GeradengleichungI.99 . . . 32
17.6.2 EbenengleichungI.107 . . . 32
17.6.3 Lage von Geraden im RaumI.99 33 17.6.4 Abstand Gerade PunktI.105. . . 33
17.6.5 Abstand zweier windschiefer Ge- radenI.106 . . . 33
17.6.6 NormalenvektorI.108. . . 33
17.6.7 Lage zweier Ebenen im RaumI.111 33 17.6.8 Schnittpunkt Gerade EbeneI.110 33 17.6.9 Lot auf EbeneI.111. . . 33
17.6.10 Abstand Nullpunkt-EbendeI.113 33 17.6.11 Abstand Punkt-EbeneI.114 . . . 34
18 Vektorr¨aume I.159 34 18.1 DefinitionI.159 . . . 34
18.1.1 UntervektorraumI.160 . . . 34
18.1.2 LinearkombinationI.161 . . . 34
18.1.3 Triviale Darstellung des Nullvek- torsI.162 . . . 34
18.1.4 Lineare (Un-)Abh¨angigkeitI.163 34 18.1.5 Lineare H¨ulleI.165 . . . 34
18.2 Endlich-dimensionale Vektorr¨aumeI.166 35 18.2.1 ErzeugendensystemI.166 . . . 35
18.2.2 BasisI.166 . . . 35
18.2.3 Kanonische Basis / Standardba- sisI.169 . . . 35
18.2.4 DimensionI.167 . . . 35
18.2.5 NullraumI.169 . . . 35
INHALTSVERZEICHNIS 5
18.2.6 Linearer TeilraumI.169 . . . 35
18.2.7 Darstellung von Vektorr¨aumen I.169 . . . 35
18.3 KoordinatenI.171 . . . 35
18.3.1 DefinitionI.171 . . . 35
18.3.2 BasiswechselI.174. . . 35
18.3.3 Kronecker-SymbolI.176 . . . 36
18.4 Der unit¨are VektorraumCn I.177 . . . . 36
18.4.1 Skalare Produkt / BetragI.178 . 36 18.4.2 Orthogonalsystem / Orthonor- malsystem (Basis)I.180 . . . 36
18.4.3 Existenz einer Orthonormalbasis I.181 . . . 36
18.4.4 Gram-Schmidtsches- Orthonormalisierungsverfahren I.182 . . . 36
18.5 Lineare AbbildungenI.183 . . . 36
18.5.1 Bild und KernI.184 . . . 37
18.5.2 Injektiv / SurjektivI.184 . . . 37
18.5.3 Lineare Abbildung durch Bilder der BasisI.184 . . . 37
18.5.4 Koordinatenschreibweise linea- rer AbbildungenI.188 . . . 37
19 MatrizenI.190 37 19.0.5 Zeilen- und SpaltenvektorI.191 . 37 19.1 Rechenoperationen mit MatrizenI.190 . 37 19.1.1 AdditionI.195 . . . 37
19.1.2 SkalarmultiplikationI.195 . . . . 38
19.1.3 Kanonische Basis . . . 38
19.1.4 Transponierte MatrixI.192. . . . 38
19.1.5 (Anti-) Symmetrische Matrix . . 38
19.1.6 MatrixproduktI.197 . . . 38
19.1.7 Nullmatrix . . . 38
19.1.8 EinheitsmatrixI.200 . . . 39
19.2 Rang einer MatrixI.200 . . . 39
19.2.1 Zeilen-/SpaltenoperationenI.201 39 19.3 Lineare Abbildungen und MatrizenI.213 39 19.3.1 Menge aller linearen Abbildun- genI.214 . . . 39
19.3.2 Zuordnung Matrix⇔Lin. Abbil- dungI.214 . . . 39
19.3.3 Verkettung von lin. Abbildungen I.216 . . . 39
19.3.4 Inverse MatrixI.216 . . . 39
19.3.5 Regul¨are MatrixI.217 . . . 39
20 Lineare Gleichungssysteme I.220 39 20.1 Der L¨osungsraumI.220 . . . 40
20.1.1 DimensionI.221 . . . 40
20.1.2 Erweiterte MatrixI.224 . . . 40
20.1.3 RangkriteriumI.224 . . . 40
20.1.4 Basiswechsel . . . 40
20.2 L¨osen mittels Inversen . . . 40
20.3 Der Gaußsche AlgorithmusI.227. . . 40
20.3.1 Bestimmen der Inversen Matrize mittels Gauß-Algorithmus . . . . 40
21 Determinanten I.241 41 21.1 Definitionen . . . 41
21.1.1 Permutation / TranspositionI.241 41 21.1.2 Fehlstand / SignumI.242 . . . . 41
21.1.3 DeterminanteI.244 . . . 41
21.1.4 Verhalten von Determinante bei Zeilen- und Spaltenoperationen I.246 . . . 41
21.1.5 Gaußalgorithmus f¨ur Determi- nanten . . . 42
21.1.6 Determinante und RangI.248 . . 42
21.2 Entwicklung nach einer Zeile/SpalteI.250 42 21.2.1 AdjunkteI.256 . . . 42
21.2.2 Entwickeln nach einer Zeile oder SpalteI.256 . . . 42
21.2.3 Vandermonde-MatrixI.258. . . . 42
21.3 Die Cramersche RegelI.259 . . . 42
21.3.1 Inverse MatrixI.259 . . . 42
21.3.2 Carmersche RegelI.261. . . 42
22 Eigenwerte I.266 43 22.1 Charakteristisches PolynomI.266 . . . . 43
22.1.1 DefinitionI.266 . . . 43
22.1.2 ¨Ahnliche MatrixI.269 . . . 43
22.2 EigenvektorenI.272 . . . 43
22.2.1 DefinitionI.272 . . . 43
22.2.2 VielfachheitI.275 . . . 43
22.2.3 Lineare Unabh¨angigkeit von Ei- genvektorenI.276 . . . 43
22.3 Hermitesche und unit¨are MatrizenI.284 43 22.3.1 Orthogonale AbbildungI.285 . . 43
22.3.2 Unit¨are MatrizenI.284 . . . 44
22.3.3 Hermitesche MatrizenI.284 . . . 44
6 1 BEGRIFFE 23 Drehung im R2 und Quadriken 44
23.1 Gebilde . . . 44
23.1.1 Ellipse . . . 44
23.1.2 Parabel . . . 44
23.1.3 Hyperbel . . . 44
23.1.4 Drehung inR2 . . . 45
23.1.5 Spiegelung inR2 . . . 45
23.2 ¨Uberf¨uhren von allgemeine Quadriken in Normalform . . . 45
23.2.1 Allgemeine Quadrik . . . 45
23.2.2 Drehen . . . 45
23.2.3 Identifizieren des Typs . . . 45
23.2.4 Verschieben in Ursprung . . . 45 Die hinter den ¨Uberschriften angegebenen Nummern beziehen sich auf die B¨ucher “H¨ohere Mathematik mit Mathematika I-II” von W. Strampp. Die r¨omische Ziffer gibt die Buchnummer, und die arabische die Seitenzahl an. Z.B. II.45 bedeutet Band II Seite 45.
1 Begriffe
1.1 Logik
1.1.1 Verkn¨upfungen
• Negation
¬a: nichta
• Implikation
a⇒b: ausafolgtb
• Aquivalenz¨
a⇐⇒b:aundbsind ¨aquivalent (gleichwertig)
• Konjunktion a∧b:aundb
• Disjunktion a∨b:aoderb
1.1.2 Rechenregeln
• Kommutativgesetz a∧b=b∧a a∨b=b∨a
• Assoziativgesetz (a∧b)∧c=a∧(b∧c) (a∨b)∨c=a∨(b∨c)
• Distributivgesetz
a∧(b∨c) = (a∧b)∨(a∧c) a∨(b∧c) = (a∨b)∧(a∨c)
• De Morgan
¬(a∨b) = (¬a)∧(¬b)
¬(a∧b) = (¬a)∨(¬b)
• doppelte Negation
¬(¬a) =a
• neutrales Element a∨f =a
a∧f = f a∨w = w a∧w =a
• inverses Element a∨(¬a) = w a∧(¬a) = f
1.1.3 Quantoren
• Allquantor∀x:ϕ(x) f¨ur allexgiltϕ(x).
z.B.∀x∈N:x2∈N=∀xN:x2∈N
• Existenzquantor∃x:ϕ(x)
es gibt (mindestens) einxf¨ur dasϕ(x) gilt.
z.B.∃x∈N:ϕ(x) =∃xN:ϕ(x)
• ∃!x:ϕ(x) oder∃1x:ϕ(x)
es gibt genau einxf¨ur dasϕ(x) gilt.
• Negation∀x:H(x)⇔ ¬∃x:¬H(x)
Es gilt f¨ur allex,H(x)⇔Es gibt nicht einx, f¨ur dasH(x) nicht gilt.
1.1.4 Eigenschaften von Aussagen
Widerspruch heißt eine zusammengesetzte Aussage, wenn sieimmer falsch ist.
z.B.A∧ ¬A
Tautologie (Symbol: Blitz) heißt eine Aussage, wenn sieimmer wahr ist.
z.B.A∨ ¬A
1.2 Abbildungen
Mengen f :V→W
f : Urmenge→Bildmenge Elemente von Mengen a7→f(a)
f : Urbild7→Bild
1.2.1 injektiv
wenn es zu jedem unterschiedlichen Urbild auch unter- schiedliche Bilder gibt.
a6=b⇒f(a)6=f(b)
2.3 Intervalle 7 1.2.2 surjektiv
heißt eine Abbildungf :A→B, wenn es zu jedem Ele- ment aus dem Bildraum auch mindestens ein passendes Urbild gibt.
∀bB:∃aA:f(a) =b
1.2.3 bijektiv
ist eine Abbildung f, wenn sie surjektiv und injektiv ist. Dies sind 1:1 - Abbildungen.
• Bei endlichen Mengen:
f :A→B bijektiv⇒ |A|=|B|
2 Mengen
2.1 Beschreibung
Die Menge A enth¨alt alle grade Zahlen gr¨oßer als 0:
A={x|xist grade Zahl und gr¨oßer als Null} A=
x|x2 ∈N
aist ein Element der MengeA:
a∈A
2.2 Standardmengen
• Leere Menge Ø ={}
• Nat¨urlichen Zahlen N={1,2,3, . . .}
– Nat¨urlichen Zahlen mit 0 N0={0,1,2,3, . . .}
• Ganzen Zahlen
Z={. . . ,−2,−1,0,1,2, . . .}
• Rationalen Zahlen Q=n
p
q|p∈Z∧q∈No
• Reellen Zahlen
R={jeder Punkt auf dem Zahlenstrahl} – positiven reellen Zahlen
R>0={x∈R|x >0}
• Komplexen Zahlen Z=
x+iy|x, y∈R, i=√
−1
• N⊂Z⊂Q⊂R⊂C
2.3 Intervalle
• offenes Intervall
(a, b) :={x∈R|a < x < b}
• halboffenes Intervall
(a, b] :={x∈R|a < x≤b}bzw. (a, b(
[a, b) :={x∈R|a≤x < b}bzw. )a, b)
• abgeschlossenes Intervall
[a, b] :={x∈R|a < x < b}bzw. )a, b(
2.4 Operationen
• Gleichheit
A=B⇔(A⊆B∧B⊆A)
• Teilmenge
A⊆B⇔(x∈A⇒x∈B)
• echte Teilmenge
A(B⇔(A⊆B∧A6=B)
• Vereinigung
A∪B={x|x∈A∨x∈B}
• Schnitt
A∩B={x|x∈A∧x∈B}
• Ohne (Differenz)
A\B={x|x∈A∨x /∈B}
• symmetrische Differenz A∆B = (A∪B)\(A∩B)
• geordnete Paare
A×B ={(x, y)|x∈A∧y∈B}
• Potenzmenge
P(M) ={A|A⊆M}
• Komplement¨armenge
f¨urA⊆M ist ¯A={x∈M|x /∈A}
• Anzahl der Elemente
|M|=Anzahl der Elemente vonM
2.5 Rechenregeln
• Kommutativgesetz A∪B=B∪A A∩B=B∩A A∆B =B∆A
• Assoziativgesetz
A∪(B∪C) = (A∪B)∪C A∩(B∩C) = (A∩B)∩C A∆ (B∆C) = (A∆B) ∆C
• Distributivgesetz
A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C) A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C)
• De Morgan A∩B=A∪B A∪B=A∩B
8 2 MENGEN
• doppelt invers A=A
• neutrales Element A∪Ø =A A∩Ø = Ø
• inverses Element A∩A= Ø
A∪A=Grundmenge
2.6 Schranken
I.29• Untere-/Obere Schranke (s bzw S)
∀x∈M ⊆R:s≤x x≤S
• beschr¨ankt
∀x∈M ⊆R: |x| ≤SB
• Infimum / Supremum kleinste untere- / obere Schranke
inf(M); sup(M)
• Minimum/ Maximum
min(M) := inf(M) wenn inf(M) ∈ M bzw.
max(M) := sup(M) wenn sup(M)∈M
• (offene)ε-Umgebung Uε(a) ={x∈R| |x−a|< ε}
2.7 H¨ aufungspunkt
I.33• aheißt H¨aufungspunkt vonM wenn
∀ε >0, xε6=a∈M :|xε−a|< ε
• Satz von Bolzano-Weierstraß
Jede unendliche, beschr¨ankte Menge M ⊆ R be- sitzt mindestens einen H¨aufungspunkt
2.8 Ordnungsregeln
Eine Relation (Platzhalter∼) zwischen den Mengen A und B ist eine Teilmenge vonA×B.
a∼bfalls (a, b)∈A×B.
2.8.1 Eigenschaften von Relationen
• reflexiv
∀a:a∼a
• symmetrisch a∼b⇔b∼a
• antisymmetrisch a∼b∧b∼a⇒a=b
• transitiv
a∼b∧b∼c⇒a∼c
2.8.2 Typen von Relationen
• Aquivalenzrelationen¨
heißen Relationen die reflexiv, symmetrisch und transitiv sind.
z.B. Gleichheit; a ∼ b mit a, b ∈ Z ⇔ a−b ist gerade
• Ordnungsrelationen
heißen Relationen die reflexiv, antisymmetrisch und transitiv sind.
z.B.≤;≥; “a steht vor b im Lexikon”. (<; >sind keine Ordnungsrelationen, da nur 4)
2.9 K¨ orper
Eine MengeKzusammen mit den Rechenoperationen + und * heißt K¨orper wenn folgendes gilt:
Q,R,Csind beispielsweise K¨orper.
2.9.1 Addition
∀a,bK
• Abgeschlossenheit a+b∈K
• Kommutativgesetz a+b=b+a
• Assoziativgesetz
(a+b) +c=a+ (b+c)
• Neutrales Element
∃0∈K:a+0=a
• Inverses Element
∃ −a∈K:a+ (−a) = 0
2.9.2 Multiplikation
∀a,b,cK
• Abgeschlossenheit ab∈K
• Kommutativgesetz ab=ba
• Assoziativgesetz a(bc) = (ab)c
• Neutrales Element
∃1∈K: 1a=a
• Inverses Element
∀a∈K\ {0}:∃a−1∈K:aa−1= 1
9 2.9.3 Distributivgesetz
∀a,b,cK
• a(b+c) =ab+ac
2.10 Angeordnete K¨ orper
Ein K¨orper auf dem die Relation<definiert ist, wird alsangeordneter K¨orper bezeichnet. Die unter2.2 auf Seite7aufgef¨uhrten Mengen sind angeordnete K¨orper.
3 Beweisverfahren
3.1 direkter Beweis
Diesen Beweis erh¨alt man durch gezielte Umformung der Aussagen bzw. durch logisches Schließen (Implika- tion).
3.2 indirekter Beweis
Auch Widerspruchsbeweis genannt. Hier versuch man die Gleichwertigkeit von
(A⇒B)⇔((A∧(¬B))⇒F alsch) auszunutzen.
z.B.: “Wenn es regnet ist die Straße nass.”⇔“Es regnet und die Straße ist nicht nass, ist ein Widerspruch.”
3.3 Kontraposition
Hier wird versucht die Aussage umzudrehen (beruht auf Tautologie).
(A⇒B)⇔((¬B)⇒(¬A))
z.B.: “Wenn es Regnet ist die Straße nass.”⇔“Wenn die Straße nicht nass ist, kann es nicht geregnet haben.”
3.4 Vollst¨ andige Induktion
I.33A(n) Aussage f¨ur nat¨urliche Zahlen 1. Induktionsanfang:A(1) gilt
2. Induktionsannahme: f¨ur jedesngiltA(n)
3. Induktionsschritt: Zeige: ausA(n) folgtA(n+ 1).
(bzw.A(n+ 1) l¨asst sich mit Hilfe der Annahme A(n) beweisen)
4 Rechenregeln
4.1 Summen
I.13 Xnk=1
ak+ Xn
k=1
bk= Xn
k=1
(ak+bk) Xn
k=1
ak= Xm
k=1
ak+ Xn
k=m+1
ak 1≤m≤n Indexverschiebung:
Xb
k=a
gk = Xb+c
k=a+c
gk−c
4.2 Ungleichungen
• a < b⇔ −a >−b
• a6= 0⇔a2>0
• a < b∧0< ab⇒ 1b < 1a
• |ab|=|a| |b|
• (Umgekehrte-) DreiecksungleichungI.25
||a| − |b|| ≤ |a+b| ≤ |a|+|b|
• Cauchy-Schwarze-UngleichungI.19 (Pn
k=1akbk)2≤Pn
k=1a2k·Pn k=1b2k
• Bernullische UngleichungI.34 (1 +h)n>1 +nh, n≥2
4.3 Fakult¨ at
I.38n! = Yn
k=1
k= 1·2·. . .·(n−n)·n e! = 1 1! = 1 0! = 1
(n+ 1)! =n!·(n+ 1)
4.4 Binomialkoeffizient
I.39k≤n, n≥0, k≥0
n k
= n!
k!(n−k)!
= n·. . .·(n−k+ 1) 1·. . .·(k−1)·k n
k
= n
n−k
n k−1
+
n k
=
n+ 1 k
n 0
= 1 n
1
=n
10 6 KOMPLEXE ZAHLENI.44
• Binomischer Satz (a+b)n=Pn
k=0
n k
an−kbk Xn
k=0
n k
= 2n
5 Trigonometrie
Siehe Sieber; Mathematische Formelsammlung f¨ur Gymnasien; Klett.
Es macht meiner Meinung nach keinen Sinn, eine so gute ¨Ubersicht noch einmal “abzuschreiben”.
Kreisfunktionen Seite 15 Winkels¨atze Seite 16 Arkusfunktionen Seite 16 Ableitungen Seite 33 Stammfunktionen Seite 35
Hyperbel- und Areafunktionen Seite 37
6 Komplexe Zahlen
I.446.1 Definition
Die komplexen Zahlen bilden zusammen mit den Re- chenregeln f¨ur +,· einen K¨orper dessen Elemente wie folgt definiert sind
C:=R2={(x, y)|x, y ∈R}
z= (x, y) =x+iy∈C
x=ℜ(z) (Re) Realteil,y=ℑ(z) (Im) Imagin¨arteil i=√
−1 wird als Imagin¨are Einheit bezeichnet.
6.1.1 RechenregelnI.45
• Addition
z1+z2= (x1+x2, y1+y2)
• Multiplikation
z1z2= (x1x2−y1y2, x1y2+x2y1)
• Division z1
z2
= z1Z¯2
z2z¯2
= z1z¯2
|z2|2
=
x1x2+y1y2
x22+y22 ,x2y1−x1y2
x22+y22
• Neutrales Element der Addition z=(0,0)
• Neutrales Element der Multiplikation z=(1,0)
• i=√
−1
6.2 Komplex Konjungierte Zahl
I.53 Die komplex konjungierte Zahl vonz=x+iyheißt:¯
z=x−iy(=z∗) (Spiegelung an der reellen Achse)
• z¯¯=z
• ℜ(z) =12(z+ ¯z)
• ℑ(z) =12(z−z)¯
• z+w= ¯z+ ¯w
• zw= ¯zw¯
• (¯1z) = ¯z1
• z= ¯z⇔z∈R
• z¯z=ℜ(z)2+ℑ(z)2
• Bei Matrizen mit Komplexen Eintr¨agen:
det (A) = det ¯A
6.3 Betrag einer Komplexen Zahl
I.58|z|=p x2+y2
• |z| ≥0
• |z|2=zz¯(also 1z = z¯
|z|2)
• |z|=|−z|=|z¯|=|−z¯|
• |z1z2|=|z1| |z2|
• Dreiecksungleichung
||z1| − |z2|| ≤ |z1+z2| ≤ |z1|+|z2|
6.4 Polarkoordinaten
I.60z=x+iy=reiϕ=r(cosϕ+isinϕ)
• ℜ(z) =x=rcosϕ
• ℑ(z) =y=rsinϕ
• ϕ =Winkel des Komplexen Zeigers mit positiver Reeller Achse (Argument vonz)
arg (z) =ϕ=
arctan yx
x≥0 π+ arctan yx
x <0
11
• |z|= eiϕ
= cos2ϕ+ sin2ϕ= 1
• |z|= reiϕ
=|r| cos2ϕ+ sin2ϕ
=|r|
• z=eiϕ⇔¯z=e−iϕ
• r1eiϕ1r2eiϕ2 =r1r2ei(ϕ1+ϕ2)
• eiϕn
=eiϕn
• Formel von Moivre
(cosϕ+isinϕ)n = cos (nϕ) +isin (nϕ)
• rr12eeiϕ1iϕ2 = rr12ei(ϕ1−ϕ2)
• zk= √nz0= √nr0ei(ϕ0n+nk2π) 0≤k≤(n−1)
• a,bsind rechtwinklig zueinander ab
=r i⇔a⊥b
6.5 Fundamentalsatz der Algebra
I.71Zu jedem Polynom vom Gradn≥1 p(z) =
Xn
k=0
akzk, ak ∈C, an6= 0
gibt esn(nicht zwangsl¨aufig unterschiedliche) komple- xe Zahlenz1, . . . , zn, so dass
p(z) =an
Yn
k=1
(z−zk)
f¨ur alle z ∈ C gilt. z1, . . . , zn sind die Nullstellen des Polynoms. Diese Umformung nennt sichFaktorisieren inLinearfaktoren.
Es l¨asst sich auch nur ein Linearfaktor abspalten. Dann erh¨alt man einen Linearfaktor und ein Restpolynom vom einem um 1 verringerten Grad.
p(z) = (z−z∗)r(z)
6.6 Vietascher Wurzelsatz
I.72Xn
k=1
= −an−1
Xn
k1,k2=1,k1≤k2
= an−2
Xn
k1,k2,k3=1,k1≤k2≤k3
= −an−3
... Yn
k=1
zk = (−1)na0
7 Folgen
II.3{an}∞n=1ist eine Zuordnung, die jedem Indexn∈Neine reelle Zahlanzuordnet. Index7→Folgenglied.n7→an. hani=a1, a2, a3, . . . , an (n∈N)
Zuordnungsvorschrift in Form einer Gleichung an = f(n) (explizit) oder rekursivan+1=f(an).
7.1 Monotonie
II.6• monoton fallendan+1≤an
• streng monoton fallendan+1< an
• monoton steigendan+1≥an
• streng monoton steigendan+1> an
7.2 Teilfolge
II.6{an}∞n=1eine Folge,{nk}∞k=1eine streng monoton wach- sende Folge mitnk∈N. Dann heißt
{ank}∞k=1
Teilfolge von{an}∞n=1.
Man nehme als Index der einen Folge die Folgenglieder einer anderen Folge, so dass man nur spezielle Elemente erh¨alt, z.B. jedes Zweite.
7.3 Konvergenz
II.8Der Wert den eine Folge im Unendlichen annimmt, wirdGrenzwertgenannt. Wenn sie einen Grenzwert be- sitzt wird siekonvergentgenannt, ansonstendivergent.
∀ε >0 :|an−a|< ε
nlim→∞an=a
7.4 Nullfolge
II.11nlim→∞an= 0
• z.B. die geometrische Reihe:
∀ |q|<1 : lim
n→∞qn= 0
7.5 Konvergenzkriterien
7.5.1 Teilfolgen
{an}konvergent wenn jede ihrer Teilfolgen konvergent.
II.13
12 8 REIHENII.22 7.5.2 SandwitchtheoremII.15
Wenn: limn→∞an=a limn→∞bn=a an≤cn ≤bn
dann folgt: limn→∞cn=a
7.5.3 Monotonie / beschr¨ankt II.16
Jede monoton wachsende (monoton fallende) nach oben (nach unten) beschr¨ankte Folge{an} ist konver- gent.
a= sup{an} (bzw.a= inf{an})
7.5.4 Cauchy-Folge II.20 Jede Cauchy-Folge ist konvergent.
∀ε >0, k∈N:|an+k−an|< εdefiniert eine Cauchy- Folge
7.5.5 H¨aufungspunkt
Wenn bei einer beschr¨ankten Folge der kleinste H¨au- fungspunkt (Limes inferior: lim inf) gleich dem Gr¨oßten (Limes superior: lim sup) ist, ist dies der Grenzwert der FolgeII.21
lim inf
n→∞ an= lim sup
n→∞ an= lim
n→∞an=a
7.6 Grenzwert Rechenregeln
II.14nlim→∞an+bn=a+b
nlim→∞anbn=ab
nlim→∞
an
bn =a b b6= 0
• Im Allgemeinen lassen sich zwei Grenzwertbildun- gen nicht in der Reihenfolge vertauschen!
7.6.1 Unbestimmte Formen
Unbestimmte Formen siehe Tabelle1. Diese lassen sich alle bis auf x = (∞ − ∞) l¨osen mit Hilfe der Regeln von de l’Hospital (siehe10.4.8auf Seite18).
8 Reihen
II.22Eine Reihe (sn) ist eine Folge von Teilsummen einer anderen Folge (an).
sn= Xn
v=1
av
Tabelle 1: unbestimmte Formen limf limg unbestimmt
+∞ −∞ lim(f+g) 0 +∞ lim(f ·g) 0 −∞ lim(f ·g)
0 0 limfg
+∞ +∞ limfg
−∞ −∞ limfg
+∞ −∞ limfg
−∞ +∞ limfg
8.1 Konvergenz
II.22nlim→∞sn = lim
n→∞
Xn
v=1
av= X∞
v=1
av=a
Die Reihen P∞
v=1av und P∞
v=1bv seien konvergent, dann gilt:II.23
X∞
v=1
cav=ca, X∞
v=1
(av+bv) =a+b
8.1.1 S¨atze ¨uber Konvergente Reihen Wenn eine ReiheP∞
v=1avkonvergiert, dann istaveine Nullfolge (a= 0)II.24
• Cauchy-Konvergenzkriterium f¨ur Reihen P∞
v=1av konvergent, wenn
∀ε >0 :∃nε∈N:∀n > m > nε: Pn
k=m+1ak
<
ε
8.2 absolut / bedingt konvergent
II.163Die Reihe P∞
k=0ak heißt absolut konvergent, falls die ReiheP∞
k=0|ak|konvergiert, bedingt konvergent, falls zwarP∞
k=0ak konvergiert,P∞
k=0|ak|aber divergiert.
• Wenn eine Reihe P∞
k=0ak absolut konvergiert, dann konvergiert sie auch bedingt.
• Wenn eine ReiheP∞
k=0ak divergiert, dann diver- giert auchP∞
k=0|ak|.
• Die Summe (P∞
k=0(ak+bk)) zweier absolut kon- vergenter Reihen (P∞
k=0ak,P∞
k=0bk) ist die auch absolut konvergent.
8.2.1 Doppelreihe II.167 DurchP∞
v,µ=0avµwird eine Doppelreihe gegeben.
8.3 KonvergenzkriterienII.168 13 8.2.2 Umordnung II.164
SeiP∞
k=0ak eine Reihe undπ:N∪ {0} →N∪ {0}eine bijektive Abbildung. Dann heißt die Reihe
X∞
k=0
aπ(k)
eine Umordnung der Ausgangsreihe.
• Jede Umordnung einer absolut konvergenten Rei- he ist ebenfalls (gegen den gleichen Wert) konver- gent.
• SeiP∞
k=0ak bedingt konvergent. Dann gibt es zu jedem−∞ ≤s≤ ∞eine Umordnung sie bedingt gegenskonvergiert:P∞
k=0aπs(k)=s 8.2.3 Großer Umordnungssatz II.167
Ordnet man die Doppelreihe in beliebiger Reihenfol- ge zu einer einfachen Reihe an, so entsteht eine stets mit der gleichen Summes absolut konvergente Reihe.
Alle Zeilensummen P∞
µ=0avµ sowie alle Spaltensum- men P∞
v=0avµsind absolut konvergent. Die Reihe der Spaltensummen bzw. Reihensummen konvergiert abso- lut gegens:
X∞
v,µ=0
avµ= X∞
v=0
X∞
µ=0
avµ
!
= X∞
µ=0
X∞
v=0
avµ
!
=s
• gilt sinngem¨aß auch f¨ur Mehrfachreihen P∞
v1,...,vm=0av1,...,vm
8.2.4 Produkt von ReihenII.165
Wenn zwei Reihen absolut konvergieren, dann konver- giert die Reihe der Produkte (bei beliebiger Anord- nung) ebenfalls absolut, und es gilt:
P∞
k=0p˜k =P∞
k=1
j=1 (akbj) =P∞
k,j=0(akbj)
= (P∞
k=0ak) (P∞
k=0bk) =ab 8.2.5 Cauchy-ProduktII.166
Das Cauchy-Produkt ist absolut konvergent:
X∞
v=0
Xv
µ=0
aµbv−µ
!
= X∞
v=0
av
! ∞ X
v=0
bv
!
8.3 Konvergenzkriterien
II.1688.3.1 Majoranten- oder Vergleichskriterium II.168
∀v≥v0≥0 : 0≤av ≤bv.
Wenn die Reihe P∞
v=0bv konvergiert, dann konver- giert auch die ReiheP∞
v=0av, und es gilt:P∞
v=0av ≤ P∞
v=0bv.
Wenn die Reihe P∞
v=0bv divergiert, dann divergiert auch die ReiheP∞
v=0av.
8.3.2 Quotientenkriterium II.169 SeiP∞
v=0av eine Reihe mitav6= f¨ur allev∈Nund lim sup
v→∞
av+1
av
= ¯gund lim inf
v→∞
av+1
av
= g Dann gilt:
• Ist ¯g <1, so konvergiert die ReiheP∞
v=0av abso- lut.
• Ist g>1, so divergiert die ReiheP∞
v=0av.
• F¨ur jeweils = 1 gibt das Kriterium keinen Auf- schluss.
• siehe Wurzelkriterum (ist st¨arker als Quotienten- kriterium)
8.3.3 Wurzelkriterium II.171 SeiP∞
v=0av eine Reihe mit lim sup
v→∞
pv
|av|= ¯g
• Ist ¯g <1, so konvergiert die Reihe absolut.
• Ist ¯g >1, so divergiert die Reihe.
• F¨ur ¯g= 1 gibt das Kriterium keinen Aufschluss.
• lim supv→∞pv
|av| ≤lim supv→∞
av+1
av
lim infv→∞ v
p|av| ≥lim infv→∞
av+1
av
– Bezug zum Quotientenkriterium.
– Wenn erster Grenzwert existiert, dann exi- stiert auch der zweite.
– Das Wurzelkriertum ist st¨arker als das Quo- tientenkriterium.
8.3.4 Leibnizsches Kriterium II.174
Sei{av}∞v=1eine Nullfolge mit∀v: av ≥0, av≥av+1. Dann ist die Reihe
X∞
v=1
(−1)v+1av
konvergent. F¨ur die n-te Teilsumme gilt die Absch¨at- zung:
X∞
v=1
(−1)v+1av− Xn
v=1
(−1)v+1av
≤an+1
14 9 FUNKTIONSFOLGEN UND FUNKTIONSREIHEN 8.3.5 IntegralkriteriumII.175
Sei∀x[1,∞): f : [1,∞)→R, f(x)≤0 monoton fallend, und die Folge av = f(v), v ∈N eine Nullfolge. Dann gilt:
X∞
v=1
avkonvergiert⇔ Z ∞
x=1
f(x)dxkonvergiert
8.4 Besondere Reihen
• Weitere Reihen siehe9.5auf der n¨achsten Seite
• geometrische ReiheII.25 Pn
v=0qv= 1−1q−n+1q
(konvergent wenn|q|<1)
• harmonische ReiheII.27 P∞
v=1 1
v (divergent)
• alternierende harmonische ReiheII.28 P∞
v=1(−1)v+1 1v (konvergent)
• Pn
k=1k= n(n+1)2
• Pn k=1 1
k(k+1) =Pn k=1
1 k −k+11
= 1−n+11
• Pn
k=1k2=n(n+1)(2n+1) 6
• Pn k=0
m+k k
=
m+n+ 1 n
• Pn k=0k
n k
=n2n−1
8.4.1 Eulersche Zahle II.34
Folgende Reihen sind absolut Konvergent gegene.
X∞
v=0
1 v! = lim
n→∞
1 + 1
n n
=e
nlim→∞
1−1
n n
=1 e
nlim→∞
1− 1
n2 n
= 1
9 Funktionsfolgen und Funkti- onsreihen
9.1 Konvergenz
9.1.1 Punktweise Konvergenz II.178
Eine Folge von Funktionen (fn)∞n=1, fn : [a, b] → R konvergiert punktweise, wenn ∀x[a,b] : (fn(x))∞n=1 kon- vergiert. Die durchf(x) = limn→∞fn(x) in [a, b] er- kl¨arte Funktion heißt Grenzfunktion.
Man schreibt
fn(x)
pktw.
−→
n→ ∞ f(x)
9.1.2 Gleichm¨aßige Konvergenz II.178
Die Funktion fn : [a, b] → R, (n≥1), und f : [a, b] → R seien beschr¨ankt. Die Folge (fn)∞n=1 kon- vergiert gleichm¨aßig gegen die Grenzfunktionf, wenn die folgende Beziehung gilt:
nlim→∞ max
x∈[a,b]|fn(x)−f(x)|= 0 Man schreibt
fn(x) glm.
−→
n→ ∞ f(x)
• jede gleichm¨aßig konvergente Folge ist auch punkt- weise Konvergent.
• wenn alle (fn)∞n=1 stetig⇒f ist stetig in [a, b]
• man kann in jedem Punkt zwei Grenzprozesse vertauschen:
f(x0) = lim
x→x0
xlim→∞fn(x)
= lim
x→∞
xlim→x0
fn(x)
= lim
x→∞fn(x0)
9.2 Vertauschen von Grenzwerten
9.2.1 Integration II.180
Die Folge (fn)∞n=1 von stetigen Funktionen konvergiere gleichm¨aßig gegen die Grenzfunktionf. Dann gilt
Z b a
f(x)dx = Z b
a
lim
n→∞fn(x) dx
= lim
n→∞
Z b
a
fn(x)dx
!
9.2.2 Differenziation II.180
Die Folge von stetig differenzierbaren Funktionen (fn)∞n=1 konvergiere in [a, b] punktweise gegen f. Die Folge der Ableitungen (fn′)∞n=1 konvergiere gleichm¨a- ßig in [a, b]. Dann istf stetig diffbar, und
f′(x) = d dx
lim
n→∞fn(x)
= lim
n→∞fn′ (x)
9.5 wichtige ReihenII.154 / II.192 15 9.2.3 Funktionsreihen IntegrierenII.182
Sei (fn)∞n=1 stetig auf [a, b]. Die Reihe f(x) :=
P∞
k=1fk(x) konvergiere gleichm¨aßig auf [a, b]. Dann ist die Grenzwertfunktionf stetig in [a, b] und
Z b a
f(x)dx = Z b
a
X∞
v=1
fv(x)
! dx
= X∞
v=1
Z b
a
fv(x)dx
!
9.2.4 Funktionsreihen DifferenzierenII.182 Sei (fn)∞n=1 stetig differenzierbar auf [a, b]. Die Rei- he f(x) = P∞
k=1fk(x) konvergiere punktweise gegen f, und P∞
k=1fk′(x) konvergiere gleichm¨aßig auf [a, b].
Dann istf(x)stetig differenzierbar und f′(x) = d
dx X∞
v=1
fv(x)
!
= X∞
v=1
fv′(x)
9.3 Konvergenzkriterien
9.3.1 Cauchy-Kriterium f¨ur gleichm¨aßige KonvergenzII.178
Eine Folgefn : [a, b]→R, (n≥1) beschr¨ankter Funk- tionen konvergiert genau dann gleichm¨aßig gegen die beschr¨ankte Grenzfunktionf : [a, b]→R, wenn:
∀ǫ >0 :∃nǫ:∀n, m > nǫ:
xmax∈[a,b]|fm(x)−fn(x)|< ǫ
9.3.2 MajorantenkriteriumII.182
Sei (fn)∞n=1auf [a, b] beschr¨ankt, und (cn)∞n=1eine Zah- lenfolge mit|fn(x)| ≤cnf¨ur allex∈[a, b]. Konvergiert (cn)∞n=1, so konvergiert auch P∞
k=1fk(x) gleichm¨aßig auf [a, b].
9.4 Potenzreihen
II.185Sei (ak)∞k=0 eine Folge undx0∈R. Die Reihe X∞
k=0
ak(x−x0)k
heißt Potenzreihe mit Koeffizienten ak und Entwick- lungspunktx0 (z.B. Taylorreihe).
9.4.1 Konvergenz / Konvergenzradius II.185 Seif =P∞
k=0ak(x−x0)k eine Potenzreihe, die an der Stelle ˜xkonvergiert. Dann konvergiert die Reihe abso- lut und gleichm¨aßig in jedem Intervall|x−x0| ≤cf¨ur
jedesc <|x˜−x0|. Divergiertf in ˜x, so divergiertf f¨ur allexmit|x−x0|>|x˜−x0|.
Wenn D := {x|f(x) konvergiert} der Definitionsbe- reich vonf ist, heißtρ:= supx∈D|x−x0|der Konver- genzradius vonf.
• InCbildet ρeinen Kreis umx0
• ¨uber Punkte x = x0 ±ρ kann nichts ausgesagt werden
• ρ= 0 Konvergenz nur beix0
• ρ=∞Konvergenz f¨ur allex
• eine Potenzreihe ist innerhalb ihres Konvergenzra- dius stets eine stetige Funktion.
9.4.2 Konvergenzradius II.186 Seif =P∞
k=0ak(x−x0)k eine Potenzreihe. Dann ist
ρ= 1
lim supk→∞pk
|ak| = lim
k→∞
ak
ak+1
der Konvergenzradius. Die erste Formel ist die Hada- masche Formel (gilt immer). Die Zweite Formel gilt nur, wenn dieser Grenzwert auch existiert.
9.4.3 Integrieren / Differenzieren II.190 Sei f =P∞
k=0ak(x−x0)k eine Potenzreihe mit Kon- vergenzradiusρ >0. Dann gilt
g(x) = X∞
k=0
(k+ 1)ak+1(x−x0)k
h(x) = X∞
k=1
ak−1
k (x−x0)k
haben ebenfalls den Konvergenzradiusρ und g(x) = f′(x), h
x=Rx
x0f(t)dt .
9.4.4 Eindeutigkeitssatz f¨ur Potenzreihen II.191
Wenn zwei Potenzreihen in einem beliebig kleinen In- tervallǫ >0 absolut konvergieren und ¨ubereinstimmen, sind sie bereits identisch (∀kN:ak=bk).
9.5 wichtige Reihen
II.154 / II.192• Weitere Reihen siehe8.4auf der vorherigen Seite
• ex=P∞
k=0 xk
k!
• sin (x) =P∞
k=0(−1)k x(2k+1)!2k+1
• cos (x) =P∞
k=0(−1)k x(2k)!2k
16 10 FUNKTIONENI.116
• sinh (x) =P∞ k=0 x2k+1
(2k+1)!
• cosh (x) =P∞
k=0 x2k (2k)!
• geometrische Reihe (|x|<1)
1
1±x =P∞
k=0(∓1)kxk
• abgeleitete geometrische Reihe (|x|<1)
1
(1±x)2 =P∞
k=0(∓1)k(k+ 1)xk
• ln (1−x) =P∞
k=1(−1)k+1xkk
• arctan (x) =P∞
k=0(−1)k x2k+12k+1
10 Funktionen
I.11610.1 Definition
I.116• D = Definitionsbereich, W = Wertebereich. Die Zuordnungsvorschriftf ordnet jedem Elementx∈ Dgenau ein Elementy=f(x)∈W zu. Man sagt, f bildetD aufW ab.x= Urbild,f(x) = Bild
f :Df →Wf, x7→f(x)
• Gleichheit
Dg=Df f(x) =g(x)
• Restriktion
Dg ⊆ Df l¨asst sich das wie folgt schreiben g = f|Dg
d.h.f gilt nur f¨ur TeilmengeDg
10.2 Stetige Funktionen
II.38• f :D→Rheißt stetig im Punktx0, wenn
∀ε >0, x∈D:∃δε>0 :|x−x0|< δε⇒
|f(x)−f(x0)|< ε
• Stetig in D
fallsf in in jedem Punktx0∈D stetig ist.
• gleichm¨aßig Stetig
∀ε >0, x, x0∈D:∃δε>0 :|x−x0|< δε⇒
|f(x)−f(x0)|< ε
(Die Steigung ist in D endlich, z.B.y= sin(x).
y=x2 ist inRnicht gleichm¨aßig stetig).
10.2.1 Kriterien f¨ur Stetigkeit
• FolgenkriteriumII.40
f ist stetig im Punkt x0 ⊂ D, wenn die zu ir- gendeiner gegenx0 konvergenten Folge{x˜n} ⊂D geh¨origen Folge von Funktionswerten{f(˜xn)}ge- genf(x0) konvergiert.
nlim→∞x˜n=x0⇒ lim
n→∞f(˜xn) =f(x0)
⇒f stetig inx0.
• AbleitungII.68
Wenn eine Funktion in x0 differenzierbar ist, ist sie dort auch stetig.
10.3 S¨ atze ¨ uber stetige Funktionen
10.3.1 Haupts¨atze II.41
Seien f, g: D →R stetig inx0 ∈D. Dann sind auch folgende Funktionen stetig:
• f+g:D→R
• f g:D→R
• fg :D→Rfallsg(xn)6= 0
10.3.2 Verkettung II.42
Seif :D→Rstetig inx0∈D,g:f(D)→Rstetig in f(x0). Dann gilt:
Verkettungg◦f :D→Rist stetig.
bzw.x7→g(f(x)) stetig inx0
• f◦f−1
(x) =x
10.3.3 Umkehrfunktion II.43
Sei f : [a, b]→R eine streng monotone, in x0 ∈ [a, b]
stetige Funktion. Dann ist die Umkehrfunktion f−1 : f([a, b])→Rin f(x0)∈f([a, b]) stetig.
• Entspricht einer Spiegelung der Funktion an der Geradeny=x
• f◦f−1
(x) =x
• Nur !!! bei stetigen, streng monotonen Funktionen m¨oglich. Anderenfalls Definitionsbereich passend einschr¨anken.
10.4 Grenzwert von Funktionen 17 10.3.4 Min-/Maximum II.43
Eine Funktion hat ein (absolutes) Minimum bzw. Ma- ximumx0, wennf(x)≥f(x0) bzw.f(x)≤f(x0).
minf(x) =x bzw. maxf(x) =x
Bei einem beschr¨ankten Wertebereich muss eine steti- ge Funktion ein absolutes Minimum und ein absolutes Maximum besitzen.
Dies ist relativ, falls dies nur in einer Umgebung um x0 gilt.
xmin∈[a,b]f(x) =x bzw. max
x∈[a,b]f(x) =x
10.3.5 Zwischenwertsatz II.44
Bei einer stetigen, beschr¨ankten Funktion wird jeder Wert zwischen dem Minimum und dem Maximum als Funktionswert angenommen.
10.3.6 gerade / ungerade Funktionen
• Eine Funktiong(x) ist gerade, wenn g(−x) =g(x)
– sind Spiegelsymmetrisch zur Y-Achse – z.B. Polynome in denen nur gerade Exponen-
ten auftauchen (p(x) =Pn
k=0a2kx2k) – z.B. cos(x)
• Eine Funktionu(x) ist ungerade, wenn u(−x) =−u(x)
– sind Punktsymmetrisch zum Ursprung – z.B. Polynome in denen nur ungera-
de Exponenten Auftauchen (p(x) = Pn
k=0a2k+1x2k+1) – z.B. sin(x)
• Der (un)gerade Anteil einer beliebigen Funktion f :R→Rist definiert durch
– gerade:g(x) := f(x)+f(2 −x) – ungerade:u(x) :=f(x)−2f(−x) – f(x) =g(x) +u(x)
– z.B.f(x) =ex
g(x) =ex+e2−x = cosh(x) u(x) =ex−2e−x = sinh(x)
10.4 Grenzwert von Funktionen
10.4.1 DefinitionII.46 D= (a, b)\ {x0}
f :D→Rhat den Grenzwert y, falls f¨ur jede gegenx0
konvergente Folge,
(xn);xn∈D; limn→∞xn=x0folgendes gilt:
limn→∞f(xn) =y
y ist die stetige Fortsetzung vonf inx0. Somit w¨aref(x) =
f(x) x∈D
y x=x0 stetig.
10.4.2 Linksseitiger Grenzwert II.46
Die Funktionf : (a, x0) →R besitzt in x0 den links- seitigen Grenzwert y, mit Zuhilfenahme einer gegenx0
konvergenten Folge:
xlim→x−f(x) =y
10.4.3 Rechtsseitiger GrenzwertII.47
Die Funktionf : (x0, b)→Rbesitzt inx0 den rechts- seitigen Grenzwert y, mit Zuhilfenahme einer gegenx0
konvergenten Folge:
xlim→x+f(x) =y
10.4.4 Grenzwert im Punkt II.47
Eine Funktion besitzt in einem Punkt x0 dann einen Grenzwerty, wenn ihr links-/rechtsseitiger Grenzwert
¨ubereinstimmen.
lim
x→x−0
f(x) = lim
x→x+0
f(x) =y
10.4.5 Grenzwert im Unendlichen II.49
Eine Funktion kann im Unendlichen einen Grenzwert besitzen. Z.B. limx→∞ 1
x = 0
x→−∞lim f(x) = lim
t→0−f 1
t
x→lim+∞f(x) = lim
t→0+f 1
t
10.4.6 SprungstelleII.50
Eine Funktion besitzt eine Sprungstelle im Punktx0, wenn:
lim
x→x−0 f(x)6= lim
x→x+0 f(x)
