Rationale Funktionen

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Funktionen

Rationale Funktionen

Die erste urkundlich erwähnte Rechenmaschine wurde 1623 von Wilhelm Schickard in einem Brief an Johannes Kepler knapp beschrieben. Die Maschine besteht aus einem Addier- und Subtrahierwerk sowie

einer Vorrichtung zum Multiplizieren und Dividieren. Dies ist die Originalzeichnung von Schickard.

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Funktionen: Rationale Funktionen Seite 3 www.mathema.ch

g) f(x) = x⁴ + 10x³ – 23x² – 240x + 576 h) f(x) = –2x + 5

i) f(x) = –x⁴ + 375x² + 1250x – 15000 k) f(x) = x³ – 325x + 1500

l) f(x) = –x³ + 15x² + 25x – 375 m) f(x) = –4x² – 80x + 225

n) f(x) = x⁵ + 3x⁴ – 11x³ – 27x² + 10x + 64 o) f(x) = x⁶ – 5x⁵ + 200

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Aufgabe 4: Hier sind einige gebrochen-rationale Funktionen abgebildet. Wie du siehst, können die Grafen sehr vielfältig aussehen. Wie kann man berechnen, wo die Polstellen liegen?

Wie findet man die Nullstellen? Wann hat die Funktion eine Asymptote. Welchen Definitionsbereich haben gebrochen-rationale Funktionen?

a)

( )

2 ²

f x x

x 4

= − b)

( )

2 ²

f x 2x

x 4

= +

c)

( )

³3

x 9x 1

f x x 9x

− +

= − d) ^{f x}

( )

⁼^2x²_{x 1}⁺₋^{5x 5}⁻

e) ^{f x}

( )

⁼ _{x 2.5}^{x 3}₊⁺ ^f)^{f x}

( ) ( )( )

⁼ ^{x 3 x 6}⁻ ^2x⁴ ⁺

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3. Aufgaben

Aufgabe 6: Wir betrachten diese Funktionen: ^{f x}

( )

⁼^x²⁻^{5x 11}⁺ ^und^{g x}

( )

⁼^x³ ⁺^3x² ⁻^{10x 5}⁺ ^.

a) Liegt der Punkt A(1|–1) auf dem Grafen der Funktion f bzw. auf dem Grafen von g?

b) Berechne die fehlenden Koordinaten des Punktes B(3|y), falls B auf f bzw. auf g liegt.

c) Berechne die fehlenden Koordinaten des Punktes C(x|5), falls C auf f bzw. auf g liegt.

Aufgabe 7: Finde die Schnittpunkte von ^{f x}

( )

⁼^{6x 4}⁻ ^und^{g x}

( )

^{= −}^8x² ⁻^{2x 2}⁺ ^.

Aufgabe 8: Finde die Funktionsgleichung des Polynoms, dessen Funktionsgraf durch die angegebenen Punkte geht. Gesucht ist ein Polynom

a) 1-ten Grades durch A(3|8) und B(–2|28).

b) 2-ten Grades durch A(3|5), B(–2|30) und C(4|36).

c) 3-ten Grades durch A(2|64), B(0|80), C(4|48) und D(10|480).

d) 0-ten Grades durch A(12|22)

e) Wie viele Punkte müssten angegeben werden um ein Polynom 17-ten Grades zu bestimmen?

f) Bei einem Polynom von 5-tem Grad sind 10 Punkte angegeben. Kannst du sicher sein, ein solches Polynom zu finden?

g) Welchen Grad muss ein Polynom haben, damit der Funktionsgraf sicher durch 10 Punkte durch gelegt werden kann?

Aufgabe 9: Von einem Polynom sind alle Nullstellen gegeben. Finde eine mögliche Funktionsgleichung. Es gibt zu meist mehrere mögliche Lösungen.

a) xN1 = 2, xN2 = –17. Der Funktionsgraph ist gegen unten offen.

b) xN1 = 25. Der Funktionsgraph ist fallend.

c) xN1 = 2, xN2 = –5. Das Polynom ist 3-ten Grades.

Aufgabe 10: Wir betrachten diese Funktionen: ^{f x}

( )

⁼ ^{x 18}_{x 6}⁻₋ ^und^{g x}

( )

⁼ ^x²⁺_{x 2}₊^{3x 5}⁻ ^.

a) Liegt der Punkt A(5|13) auf dem Grafen der Funktion f bzw. auf dem Grafen von g?

b) Berechne die fehlenden Koordinaten des Punktes B(3|y), falls B auf f bzw. auf g liegt.

c) Berechne die fehlenden Koordinaten des Punktes C(x|5), falls C auf f bzw. auf g liegt.

d) Für welches y liegt D(6|y) auf f?

Aufgabe 11: Berechne die Null- und die Polstellen dieser Funktionen:

a) ^{f x}

( )

⁼_x²₋^{x 6}_{5x 6}⁻ ₊ ^b)

( )

³ 2 ²

x 2x 35x

g x x 4x 4

− −

= − + c) ^{h x}

( )

⁼^x²⁺^{2x 5}_x ⁺

Aufgabe 12: Finde die Schnittpunkte von ^{f x}

( )

⁼^{6x 4}⁻ ^und^{g x}

( )

⁼ ^{x 5}_{x 4}⁻₊ ^.

Aufgabe 13: Von einer gebrochen-rationalen Funktion sind die Null- und die Polstellen bekannt.

a) N1(5|0), xP1 = 2, xP2= –6

b) N1(–4|0), N2(9|0), xP1 = 3, xP2= 7, xP3= 15