Rationale Funktion
Eine rationale Funktion r mit Z¨ ahlergrad m und Nennergrad n ist der Quotient zweier Polynome:
r(x) = p (x)
q (x) = a
0+ a
1x + · · · + a
mx
mb
0+ b
1x + · · · + b
nx
n, a
m, b
n6= 0 .
Diese Darstellung bezeichnet man als irreduzibel, wenn p und q keinen gemeinsamen Linearfaktor besitzen. Die Nullstellen des Nenners sind dann nicht hebbare Definitionsl¨ ucken der rationalen Funktion r und werden als Polstellen bezeichnet. Ihre Ordnung entspricht der Vielfachheit der Nullstelle.
Die Variable x und die Koeffizienten a
k, b
kk¨ onnen reell oder komplex sein. Entsprechend spricht man von einer reellen oder komplexen rationalen Funktion.
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Beispiel
Funktionsgraph und Polstellen der rationalen Funktion
f (x) = x
(x + 1)(x − 3)
2einfacher Pol bei x = −1 Vorzeichenwechsel doppelter Pol bei x = 3
kein Vorzeichenwechsel Definitionsbereich
D = R \{−1, 3}
Wertebereich W = R
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Beispiel
Visualisierung der rationalen Funktion
r(z) = z
2z
3− 1 , z = x + iy uber der komplexen Ebene ¨
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einfache Polstellen an den komplexen Einheitswurzeln:
z
1= 1, z
2= e
2πi/3= − 1 2 +
√ 3
2 i, z
3= e
−2πi/3= − 1 2 −
√ 3 2 i
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