Formelsammlung Physik I/II f¨u

Physik I/II f¨ur E-Techniker

<Marco.Moeller@macrolab.de>

Stand: 27.05.2005 - Version: 1.0.2

Erh¨ altlich unter http://privat.macrolab.de

Diese Formelsammlung basiert auf der Vorlesung “Physik 1/2 f¨ur Elektrotechniker” von Prof. Dr. Klaus R¨oll an der Universit¨at Kassel im Wintersemester 2003/04 und Sommersemester 2004.

Die folgende Formelsammlung steht zum kostenlosen Download zur Verf¨ugung. Das Urheberrecht und sonstige Rechte an dem Text verbleiben beim Verfasser, der keine Gew¨ahr f¨ur die Richtigkeit und Vollst¨andigkeit der Inhalte ¨ubernehmen kann.

Inhaltsverzeichnis

1 Einheiten und Vorsatzzeichen 4

1.1 Einheiten . . . 4

1.2 Vorsatzzeichen . . . 4

2 Atomare Eigenschaften 4 3 Eindimensionale Bewegung 5 3.1 Weg und Geschwindigkeit . . . 5

3.2 Kraft und Beschleunigung . . . 5

3.3 Harmonische Schwingungen . . . 5

3.4 Vektorielle Bewegung . . . 6

3.5 Bahnkurven . . . 6

4 Energie 7 4.1 Mechanische Arbeit . . . 7

4.2 Energie . . . 7

5 Planeten und Sattelitenbewegung 7 5.1 Gravitation . . . 7

5.2 Planetensystem . . . 7

5.3 Erde . . . 8

5.4 Planeten- und Sattelitenbahnen . . . 8 1

2 INHALTSVERZEICHNIS

6 Elektrostatisches Feld^I.153 9

6.1 Grundlagen^I.153 . . . 9

6.2 Spezielle Felder . . . 10

6.2.1 Sternf¨ormige / Homogene Felder . . . 10

6.2.2 Dipol^I.166. . . 11

6.2.3 Linienladungen^I.167 . . . 11

6.3 Im Kondensator gespeicherte Energie^I.184 . . . 12

6.4 Energie im Elektrischen Feld (Mechanisch)^I.186. . . 12

6.5 Weitere Details . . . 12

7 Magnetische Felder 13 7.1 Grundlagen . . . 13

7.2 Spule . . . 13

7.3 Permantentmagneten . . . 13

7.4 Kenngr¨oßen von Magnetischen Materialien . . . 14

8 Elektronen und Ionenstrahlen 15 8.1 Kr¨afte aus dem E-Feld . . . 15

8.1.1 Anwendung: Elektronenspektrometer . . . 15

8.2 Kr¨afte aus dem Magnetfeld (Lorentz-Kraft) . . . 15

8.2.1 Anwendung . . . 16

9 Impuls 16 9.1 Impulsgesetz . . . 16

9.1.1 Raketenantrieb . . . 16

9.1.2 Strahltriebwerk (Flugzeug) . . . 17

9.2 Stoßvorg¨ange . . . 17

10 Relativit¨atstheorie 18 10.1 Transformation zwischen Inertialsystemen . . . 18

10.2 Masse und Energie . . . 18

11 Schwingungen 19 11.1 Darstellung von Schwingungen . . . 19

11.2 Schwingungstypen . . . 19

11.3 Allgemeine Schwingung . . . 19

11.4 Anharmonische Schwingung . . . 19

11.5 Resonanz (erzwungene Schwingung) . . . 20

12 Wellen 20

12.1 Grundlagen . . . 20

12.1.1 elektromagnetischeWelle . . . 21

12.2 Energietransport . . . 21

12.3 Ebene Welle . . . 21

12.4 Stehende Welle . . . 22

12.5 Interferenz . . . 22

12.6 Interferometer . . . 22

12.7 Doppler Effekt . . . 22

12.7.1 Sternbewegung . . . 23

12.8 Exkursion: Aufbau des Weltalls . . . 23

12.8.1 Parallaxe . . . 23

12.8.2 Milchstraße . . . 23

12.9 Beugung . . . 23

12.9.1 Beugungsgitter . . . 23

13 Wellen und Quanten 24 13.1 Thermische Strahlung . . . 24

13.2 Welle und Teilchen . . . 24

14 Automaufbau 25 14.1 Bohr’sches Atom-Modell . . . 25

14.1.1 Ein-Elektronen System . . . 25

14.1.2 Energie-Niveau-Schema . . . 25

14.2 Energie- ¨Uberg¨ange . . . 25

14.3 R¨ontgenstrahlung . . . 26

15 Physik der Gase 26 15.1 W¨arme-Energie / Temperatur . . . 26

15.2 Atome und Molek¨ule . . . 26

15.3 Innere Energie . . . 26

15.4 Zustandsgleichung des (idealen) Gases . . . 27

16 Thermodynamik 27 16.1 Mechanische Arbeit . . . 27

16.2 Energieerhaltung . . . 28

16.3 W¨arme Kraftmaschine . . . 28

16.4 Kreisprozesse . . . 28

4 2 ATOMARE EIGENSCHAFTEN

1 Einheiten und Vorsatzzeichen

1.1 Einheiten

Alle Einheiten lassen sich auf die 7 SI-Basiseinheiten (System International) zur¨uckf¨uhren. Dies sind L¨ange (m), Masse (kg), Zeit (s), Stromst¨arke (A), Temperatur (K), Stoffmenge (Mol) und die Lichtst¨arke (cd).

Eine ausf¨uhrliche Auflistung finden sie in Tabelle1.

Tabelle 1: Einheiten

Gr¨oße Formel-Buchstabe Einheit Einheit-Name

L¨ange l m Meter

Masse m kg KiloGramm

Zeit t s Sekunde

Stromst¨arke I, i(t) A Ampere

Temperatur T,ϑ ^◦C Grad-Celsius

K Grad-Kelvin

Stoffmenge m Mol mol

Lichtst¨arke cd Candela

el. Ladung Q C=As Coulomb

el. Spannung U, u(i) V =_C^J = ^m_s3^2kgA Volt el. Widerstand R Ω = _S¹ =^V_A =^m_s3²A^kg2 Ohm

el. Leitwert G S= _Ω¹ = ^A_V =_m^s32^Akg² Siemens

mag. Fluß φ Wb =V s= ^m_s2^2kgA Weber

mag. Flußdichte B T =_m^{V s}2 =_s^kg2A Tesler

mag. Feldst¨arke H _m^A

Induktivit¨at L H= ^{V s}_A = ^m_s²2^kgA Henry

Leistung P W =V A=^m_s²3^kg Watt

Energie W J =W s=N m=^m_s²2^kg Joule

el. Kapazit¨at C F = ^C_V = ^As_V =_m^A22^skg⁴ Farrad

Geschwindigkeit v ^m_s

Beschleunigung a ^m_s2

Kraft F N =^mkg_s2 Newton

1.2 Vorsatzzeichen

Siehe Tabelle2.

Tabelle 2: Vorsatzzeichen und Abk¨urzungen da Deka 10¹ d Dezi 10⁻¹

h Hekto 10² c Zenti 10⁻² k Kilo 10³ m Milli 10⁻³ M Mega 10⁶ µ Mikro 10⁻⁶

G Giga 10⁹ n Nano 10⁻⁹

T Tera 10¹² p Piko 10⁻¹² P Peta 10¹⁵ f Femto 10⁻¹⁵ E Exa 10¹⁸ a Atto 10⁻¹⁸ Z Zetta 10²¹ z Zepto 10⁻²¹ Y Yotta 10²⁴ y Yocto 10⁻²⁴

2 Atomare Eigenschaften

Atomare Masse m_A=A·u= (N+Z)·u

• A= Atomare Massenzahl

• N = Neutronen Zahl

• Z = Protonen Zahl

• u= 1,6735·10⁻²⁷kg

Elektronen Masse m_e= 9,109·10⁻³¹kg≈ 2000¹ u elektrische Elementarladung e= 1,6022·10⁻¹⁹As Elektronen Volt 1eV = 1,6022·10⁻¹⁹J

• atomare Energieeinheit

• Energie die ein Elektron bei der Beschleunigung um 1V aufnimmt.

3 Eindimensionale Bewegung

3.1 Weg und Geschwindigkeit

Weg s(t) = ¹₂at²+v0t+s0

Geschwindigkeit v(t) = ^ds_dt = ˙s=at+v0

Beschleunigung a(t) =^dv_dt = _dt^{d ds}_dt

=^d_dt^2s2 = ˙v= ¨s=a

3.2 Kraft und Beschleunigung

Kr¨aftegleichgewicht PF~ = 0

• bei einer nicht beschleunigten Masse (v = konstant) Kraft F =m·a(t) =^d~_dt^p

• ~p=m~v Puls Gewichtskraft F_g=−g·m

• g= 9,8066^m_s2 Erdbeschleunigung

3.3 Harmonische Schwingungen

Federkraft F=−Dy

• y Auslenkung aus Ruhelage

• D=mω² Federkonstante; [D] = ^N_m =^kg_s2

Auslenkung y(t) =y0cos (ω(t−ϕ))

• y0Amplitude (Maximale Auslenkung aus Ruhelage)

• T Schwingungsdauer (Periodendauer); [T] =s

• f = _T¹ Frequenz (Anzahl Schwingungen pro Sekunde; [f] = ¹_s =Hz

• ω= 2πf =^2π_T =q

D

m Kreisfrequenz; [ω] = ¹_s

• ϕPhasenlage im Bogenmaß

Geschwindigkeit v(t) = ˙y(t) =−y0ω sin (ω(t−ϕ)) Beschleunigung a(t)= ˙v(t) = ¨y(t) =−y0ω² cos (ω(t−ϕ))

• F =−Dy=m¨y ⇒ D=mω²

6 3 EINDIMENSIONALE BEWEGUNG

3.4 Vektorielle Bewegung

Bewegungsgleichung

~a(t) = ˙~v(t) = ¨~x(t) =



 a_x(t) a_y(t) a_z(t)



=





˙ v_x(t)

˙ v_y(t)

˙ v_z(t)



=





¨ s_x(t)

¨ s_y(t)

¨ s_z(t)





• ~xOrtsvektor,~v Geschwindigkeitsvektor,~aBeschleunigungsvektor

• Alle Bewegungsgleichungen gelten auch vektoriell

• Bahnkurve ohne Parametert durch Eliminierung vont Kreisbewegung

Ortsvektor ~x= x(t)

y(t)

=

rsinα rcosα

Geschwindigkeit ~v=ω

−y(t) x(t)

=ω

−rcosα rsinα

• Richtung ist Tangente am Kreis Beschleunigung ~a=−ω²

x(t) y(t)

=−ω²~x

• ~a×~s= 0 Beschleunigung auf Mittelpunkt gerichtet, bzw. antiparallel zum Ortsvektor

• ~a⊥~v= 0 Beschleunigung ist senkrecht zur Geschwindigkeit

3.5 Bahnkurven

Bahnkurve y=f(x)

• Erh¨alt man aus vektorieller Form durch Elimination vont Kreisbahn x²+y²=r

• rRadius des Kreises Elipsenbahn ^x_a2

+ ^y_b2

= 1

• ax-Achsendurchstoßpunkt (Halbachse der Ellipse)

• b y-Achsendurchstoßpunkt (Halbachse der Ellipse)

• a, bminimaler, und maximaler Radius

• a=b=rSonderfall Kreis

Phasenelipse x=acos (ωt) y=acos (ωt−φ)

• φ= 0 Diagonale (−,−)↔(+,+)

• 0< φ < ^π₂ Ellipse ¨ahnlich Diagonale (−,−)↔(+,+)

• φ= ^π₂ Ellipse (bzw. Kreis) / nicht gedreht

• ^π₂ < φ < π Ellipse ¨ahnlich Diagonale (−,+)↔(+,−)

• φ=πDiagonale (−,+)↔(+,−)

4 Energie

4.1 Mechanische Arbeit

Arbeit W =F·s·cosα=F~·~s;W1,2=Rs2

s1 F cosα ds;W1,2=Rv2 v1 mv dv

• [W] =N m=J = Joule

• F Kraft;sWeg; αWinkel zwischenF unds 1. FederarbeitW(x) = ¹₂Dx²

• D Federkonstante

• xAuslenkung aus der Ruhelage Leistung P= ^dW_dt = ˙W

• [P] = ^J_s =W = Watt

• P =F v(Sonderfall Konst. Kraft)

4.2 Energie

Allgemein W1,2=E2−E1

• ArbeitW1,2 die n¨otig ist um die Energie vonE1 zuE2zu ¨andern.

• [E] = [W] =N m=J= Joule = ^m_s²2^kg

Kinetische E. E_k= ¹₂mv²= _2m^p2

• v Geschwindigkeit

• pImpuls

Potentielle E. E_pot=m g h

• Gleicher Nullpunkt der Energie wie bei5.4, wennh=RErde+y. (yH¨ohe ¨uber normal Null)

• Allgemein ist die die Energie der Lage, in der Sich ein Objekt befindet.

E. Erhaltung E_G=P

nE_n= konstant Verluste Q=EV orher−Enachher

• Wenn bei einem Vorgang Energie “verschwindet” wird diese meistens in W¨arme umgewandelt. Diese

“Verluste” werden meistens mitQabgek¨urzt.

5 Planeten und Sattelitenbewegung

5.1 Gravitation

Massenanziehung F =−G^{M m}_r2

• M, mdie beiden Massen die sich anziehen

• G= 6,673·10^{−11N m}_kg2² Gravitationskonstante; [G] = ^Jm_kg2 = _s^m2kg³

• rAbstand der Massenmittelpunkte (Kugelf¨ormige Massen)

5.2 Planetensystem

Siehe Tabelle3 auf der n¨achsten Seite

8 5 PLANETEN UND SATTELITENBEWEGUNG

Tabelle 3: ¨Ubersicht Planetensystem Masse

(mErde)

Bahn (AE)

Sonne 333’000

Merkur 0,05 0,4 Mein

Venus nah 0,8 0,7 Vater

Erde klein 1 1 Erkl¨art

Mars 0,1 1,5 mir

Jupiter groß 320 5 jeden

Saturn 95 10 Sonntag

Uranus 15 20 unsere

Neptun weit weg 17 30 Neun

Pluto 0,003 40 Planeten

5.3 Erde

Masse m_Erde= 5,9763·10²⁴kg

Bahnradius rErde= 1,5·10¹¹m= 1AE=AstronomischeEinheit (Entfernung der Erde zur Sonne) Erdradius RErde≈6371·10³m

5.4 Planeten- und Sattelitenbahnen

Zentripetalkraft Fz=−^mv_r²

• Zum Kreismittelpunkt gerichtet (dann Positiv) Kreisbahn Geschwindigkeit vkreisbahn=q

GM r

• z.B. Erdnahe Bahnv≈7,9^km_s Umlaufdauer T = ^2πr_v

k = 2πq

r³ GM

Potentielle Bahnenergie E_p=−G^{M m}_r

• nur potentielle, ohne Bewegung in der Bahn (kinetisch)!!!

Gesamt Bahnenergie E=EP +Ekin =^E₂^P =−G^{M m}_2r Maximale Reichweite r_max= _2GM^{2GM R}_−v2

maxR

• R Startradius

• wennvmax< vF lucht!!!

Fluchtgeschwindigkeit vF =q

2GM R

• R Startradius

• M Masse des Planeten

• vF =√

2vK0Zusammenhang zur Oberfl¨achen nahen Bahn

• Bei Erdev_F = 11,2^km_s

• unabh¨angig von Abschussrichtung

• v0< vF Kreis oder Elipsenbahn

• v0=vF Grenzfall Hyperbelbahn (limr→∞v= 0)

• v0> v_F Hyperbelbahn (Energie ¨Uberschuss) Kreisbahn EKreis= ¹₂|Epot|

6 Elektrostatisches Feld

Beim elektrostatischen Feld ¨andert sich die Position der Ladung ¨uber die Zeit nicht. Es kommen also nur Isolatoren als Dielektrikum in Frage.

6.1 Grundlagen

Alle verkoriellen Gleichungen lassen sich skalar l¨osen, wenn man sie l¨angs einer Feldline betrachtet!

E-Feld E~ =−gradφ=−

~ex∂φ

∂x+~ey∂φ

∂y +~ez∂φ

∂z

• Resultierendes Feld (vektorielle ¨Uberlagerung der Einzelfelder) E~ =Pn

k=1E~k

• entlang Feldlinie E= ^dφ_dx

Kr¨afte im E-Feld F~ =q ~E

• Kraft die auf die Probeladunggim E-Feld wirkt

• Lassen sich (vektoriell) ¨Ubelagern F~ =Pn

k=1F~k

Verschiebungsdichte D~ =ε ~E

• Elektrisches Feld unabh¨angig vom Dielektrikum Dieelektrizit¨atskonstante ε=ε_mε0

• materialabh¨angige Konstante

• ε0= 8,8542·10⁻¹²_{V m}^As Dieelektrizit¨atskonstante (im Vakuum / ¨ahnlich Luft) Feldlinien +→ −

• Richtung: von positiven Ladungen zu negativen (theoretische Bewegungsrichtung von Positiven La- dungstr¨agern / technische Stromrichtung)

• Abstand: je dichter, je st¨arker das Feld

• Richtung: Kraftrichtung auf eine Positive Ladung

• Parallel: Homogenes Feld

• E-Feld ist Wirbelfrei / Quellenfeld

H Ed~s~ = 0 (Potential auf Umlauf 0, 1. Kirchhoff)

• Treten Senkrecht aus Leiteroberfl¨achen aus Potentialfunktion φ(A) =−RA

0 E d~s~ =−U0A

• Bei der Potentialfunktion muss ein passender Bezugspunkt gew¨ahlt werden, hier 0. Allgemein irgend- ein markanter Punkt in der Aufgabenstellung. K¨urzt sich bei der Differenz zweier Potentiale ohnehin heraus.

• H

LEd~s~ = 0

Potentialfunktion ist Wegunabh¨angig - Konservatives Feld (1. Kirchhoff)

• Gesamtpotential ist ¨Uberlagerung der Einezelpotentiale φ=Pn

k=1φ_k

• Aufteilung der Spannungen U =U0y

d

– dL¨anger der Feldlinie

– U0 Spannung ¨uber der gesamten Feldlinie

10 6 ELEKTROSTATISCHES FELD^I.153 – y Entfernung auf Feldlinie vom Ausgangspunkt

Aqui-Potential-Fl¨¨ ache U =konstant;Ep=konstant

• ¨ahnlich wie H¨ohenlinien bei Bergen

• Aqui-Potential-Fl¨ache⊥¨ E-Feld (Feldlinien)~

• Feldlinien Treten senkrecht aus jeder Leiteroberfl¨ache aus, da Leiteroberfl¨achen ¨Aqui-Potential- Fl¨achen bilden

Elektrischer Fluss ψe=R

AD d ~~ A

• A~ Vektor der Senkrecht auf der H¨ullfl¨ache steht

• gilt nur bei nicht geschlossener H¨ullfl¨ache Gauß’scher Satz der Elektrostatik Q=H

AD d ~~ A

• AuchQ=ADwenn A zu allen Feldlinien Rechtwinklig

• Ladungungsmenge die in der umschlossenen H¨ullfl¨ache liegt

• Wenn eine H¨ullfl¨ache bekannt ist, die senkrecht von den Feldlinien durchdrungen wird, l¨asst sich so die Verschiebungsdichte, bzw. die Ladung bestimmen

Kapazit¨at Q=C·U

• C= _φ+^Q_−φ

− C^′ =_φ+−φ^λ

−

– φ+ Potential an positiver Elektrode (mitQals Ladung) – φ₋ Potential an negativer Elektrode (mit−Qals Ladung)

• C^′ Kapazit¨at pro L¨ange (z.B. bei Leitungskapazit¨aten)

6.2 Spezielle Felder

6.2.1 Sternf¨ormige / Homogene Felder Coulombfeld E~ = _4πε¹ _|r|^Q2 ·_|r|^~r

• f¨ur Kugelf¨ormige bzw. Punkt-f¨ormige Ladungen Kugel E=^U_|r⁰_|^R2

• Bequemere Schreibweise ¨uber Spannung U0gegen¨uber Potential im Unendlichen

• R Durchmesser der Kugel

• Kapazit¨at

C= 4πεRmitR2 im unendlichen C= 1^4πε

R−R¹2

mit R2 als umh¨ullende Kugel im endlichen Umh¨ullte Kugel E= _4πε^Q

1 r1 −_r¹₂

• r1 Radius Innenkugel

• r2 Radius Umh¨ullung Platten Kondensator E= ^U_d⁰ = _εA^Q

• A Fl¨ache der Kondensator-platten (Parallel!/plan)

• dAbstand der Platten

• C= ^Aε_d = _U^Q₀ Kapazit¨at

• Aufteilung SpannungenU =U0y

d (y H¨ohe ¨uber einer Platte)

• Reihenschaltung – _C¹_g =Pn

k=1 1 Ck

– (in etwa) Plattenabstand addiert sich

• Parallelschaltung – Cg=Pn

k=1Ck

– (in etwa) Plattenfl¨ache addiert sich

6.2.2 Dipol^I.166 Charakteristika

• Ladungen vom Betrag gleich

• Unterschiedliche Vorzeichen Dipolmoment P=aQ

• aAbstand der beiden Ladungsmittelpunkte Nahfeld

• r≈a→Nahfeld

• Zwischen Ladungen in etwa homogen

• Um die Ladungen etwa Sternf¨ormig Fernfeld Er=_2πε^P cosα_r¹3 E_⊥ =_4πε^P sinα_r¹3

• r≫a→Fernfeld

• P Dipolmoment

• αWinkel relativ zur Dipolachse (Gerade durch beide Ladungen / mit Ber¨uhren)

• rRadius relativ zum Dipolmittelpunkt

• Er Fernfeld Radialanteil

• E_⊥ Fernfeld Anteil sekrecht zum Radius (von - nach +)

6.2.3 Linienladungen^I.167 Ladungsdichte λ= ^dQ_ds

Potentialfunktion φ(r) = _4πε^λ Arsh ^s−_r^{y l2}

l1

• Die Linienladung liegt im 2-Dim Koordinatensystem auf der Y-Achse im Bereich vonl1bis l2.

• r ist sozusagen der senkrechte Abstand von der Linienladung, l¨asst sich also auch auf 3-Dim ¨uber- tragen (r=Radius in x,z Ebene)

Potentialfunktion ∞-lange Ladung φ(r) = _2πε^λ ln ^const_r

• const imln, da sich so die Einheit vonrherausk¨urzt.

E-Feld∞-lange Ladung E(r) = _2πrε^λ

• Radial (und senkrecht) von der Linienladung nach außen (nach innen) gerichtet

• gilt f¨ur eine unendlich lange Linienladung Koaxialkabel C^′= ^2πε

ln“_ra

ri

”

• C^′ Kapazit¨at pro L¨ange

• ri Radius Innenleiter

• r_a Radius Umh¨ullung Doppelleitung C^′= ^πε

ln(^dr)

• gilt nur wennr≪d

• rRadius der Leiter

• dAbstand der Leitermittelpunkte

12 6 ELEKTROSTATISCHES FELD^I.153

6.3 Im Kondensator gespeicherte Energie

Gesamtenergie We=R∞

0 u(t)i(t)dt=¹₂CU²=¹₂QU =^Q_2C²

• u(t), i(t) Ladespannung und Strom am Kondensator (Gesamtenergie = Unendliche Ladedauer)

• C Kapazit¨at

• U Spannung am Kondensator

• QLadung auf den Kondensatorplatten Gesamtenergie Plattenkondensator W_e=AdR_∞

0 E dt=VRDe

0 E dD

• A Palttenfl¨ache

• dPlattenabstand

• V Volumen (zwischen Platten)

• DeEndwert der Verschiebungsdichte

• Energie pro Volumenw_e=RDe

0 E dD (gilt auch f¨ur inhomogenesε)

Energiedichte we=¹₂εE²= ¹₂DE= ^D_2ε²

• weist Energie pro Volumen im E-Feld

Energieverlust beim Parallelschalten W_v= ^(Q_2C^1C2−Q2C2)2

1C2(C1+C2)

• Wenn Kondensatoren parallelgeschaltet werden, tritt beim Umladevorgang ein Energieverlust auf.

Dieser wird entweder in W¨arme und abgestrahlt.

• WG =W1+W2−Wv

6.4 Energie im Elektrischen Feld (Mechanisch)

Arbeit im E-Feld W_mech=qRB

A E d~s~ =qU_AB

• Da es sich um eine konservative Kraft handelt ist es egal welcher Weg gew¨ahlt wird, nur der Start- und Endpunkt sind entscheidenH

LE d~s~ = 0

• l¨asst sich in normales Produkt ¨uberf¨uhren, wenn man den Weg l¨angs einer Feldlinie w¨ahlt Potentielle Energie EP =qU

• qProbeladung

• U Spannung / Potential am Ort

Potentielle Energie Kugel-Kondensator E_P = _4πε^{1 Qq}_r =U_o^R_rq

• rAbstand Zentrum Kugel-Kondensator zu Zentrum Probeladung

• R Durchmesser Kugel-Kondensator

• U0Spannung an Kugel-Kondensator

Kr¨afte an Kondensatorplatten F_x= ^U_2d^2εA2 = ^E2₂^εA =^D_2ε^2A

• Auf jeweils andere Platte gerichtet

6.5 Weitere Details

Hier verweise ich auf die von mir verfasste Formelsammlung “Formelsammlung Grundlagen der Elektrotechnik I/II”. Hier sind wesentlich mehr Details zum E-Feld incl. diversen Berechnungsmethoden enthalten. Zudem sind diese Formeln dort per Drag & Drop dort herauskopiert, was allerdings nicht unbedingt deren aktuellen Stand garantiert.

7 Magnetische Felder

7.1 Grundlagen

Magnetfeld H~

• durch StromI erzeugt

• Magnetfeld, Feldst¨arke (Erregung)h H~i

=_m^A =H enry

Flussdichte B~ =µ0H~

• Flussdichte (Induktion)h B~i

= ^{V s}_m2 =T esla

• µ0= 4π10⁻⁷_Am^{V s} Permeabilit¨atskonstante im Vakuum (Luft ¨ahnlich) Gerader Leiter

H~ = _2πr^I

• Richtung mit Rechte-Hand-Regel. Daumen in StromrichtungI~→geschlossene Finger in Magnetfeld- richtungH~.

• I Strom durch Leiter

• rAbstand vom Leitermittelpunkt (senkrecht zum Leiter)

7.2 Spule

magnetisches Dipolmoment µ=nIπR²

• nWindungszahl

• I Strom

• R Radius der Spule Innen HZ =_2π^µ _z¹3

• innen in etwa homogenes Feld

• z Abstand entlang der Dipolachse (von Spule umschlossene Achse) von Dipolmittelpunkt aus Fernfeld Hr= _2π^µ cosα_r¹3 H_⊥=_4π^µ sinα_r¹3

• Dipolfeld

• r≫2R→Fernfeld

• µmagnetisches Dipolmoment

• αWinkel relativ zur Dipolachse (Gerade die durch Spule umschlossen wird)

• rRadius relativ zum Dipolmittelpunkt

• Er Fernfeld Radialanteil

• E_⊥ Fernfeld Anteil sekrecht zum Rasius (von - nach +)

7.3 Permantentmagneten

Pole N=(+)ˆ S=(ˆ −)

Flussdichte B~ =µ(H~ +M~)

• M~ Magnetisierung;h M~i

= ^A_m=Henry

magnetische Materialien Eisen, Nickel, Kobald, Ferritte (Eisen Oxid), NdFeB (NeodynEisenBohr / SEHR stark)

atomares magnetisches Moment µ=¹₂evR

14 7 MAGNETISCHE FELDER

• e= 1,6022·10⁻¹⁹As=elektrische Elementarladung (siehe2 auf Seite5)

• v Elektronen H¨ullengeschwindigkeit

• R Atomh¨ullenradius

Bohrsches Magneton µB = 9,2742·10⁻²⁴_T^J [µB] = _T^J =Am²

• Wasserstoff:µ= 1µB

• z.B. Eisen:µ= 2,2µB

Magnetisierung M~ =N ~µ

• N = _m^ρ_A =_A^ρ_·u Anzahl Atome im betrachteten K¨orper (siehe2auf Seite4)

• z.B. Eisen:N_{F e}= 8,4·10²⁸m⁻³ M_{F e}= 1,72·10⁶_m^A Permiabilit¨at µ_r= ^M_H

• ist nicht Konstant im Material, sondern eine Kurve.

7.4 Kenngr¨ oßen von Magnetischen Materialien

Magnetische Dom¨anen (auch Weisschen Bezirke) Dieses sind Bereiche innerhalb von Permantentmagneten, die durch atomare Felder im Bereich von 500 Tesla gleich ausgerichtet sind. Durch Einwirkung von Außen lassen sich mehrere dieser Bereiche in ihrer Ausrichtung drehen, bzw. sich die W¨ande zwischen ihnen bewegen. So erh¨alt das Material eine nach außen wirksames Magnetfeld.

Hysteresekurve H ⇒M

Dies ist ein Diagramm, in dem die MagnetisierungM~ ¨uberH aufgetragen ist. In diesem Diagramm sind 2 bzw. 3 Linien ¨ubereinander vorhanden, da es bei den Materialien einen Unterschied macht, wie ihre Magnetisierung vorher war, wenn ein neuer H Wert auf sie wirkt. Aufgenommen werden sie so: H bei 0 starten und bis zum +Maximum erh¨ohen, bei einem noch nicht magnetisierten Material. Dies ist die Neukurve. NunH bis -Maximum absenken, und wieder bis +Maximum erh¨ohen. Dies beiden Kurven sind nicht deckungsgleich, und ergeben eine Hysterese.

S¨attigung M_S

Bei der S¨attigung erh¨oht sich der Wert vonM~ nicht weiter, da alle magnetischen Dom¨anen bereits gleich- gerichtet sind.

Remanenz M_R

Die Remanenz ist der M~ Wert, der sich bei einemH von 0 einstellt (nicht Neukurve).

Koerzitiv Feldst¨arke HC

ist die Feldst¨arkeH die ben¨otigt wird, um die MagnetisierungM~ den Wert 0 annehmen zu lassen (nicht Neukurve).

Ummagnetisierungs Verluste entstehen durch die Hysterese. Sie entsprechen der Fl¨ache zwischen den bei- den Kurven.

Weichmagnetisch nennen sich die Stoffe die eine schwach ausgepr¨agte Hysterese besitzen (HCundMRklein).

• Materialien: PermalloyFeNi, amorphe Legierungen

• Anwendungen: Transformatorblech (geringe Verluste)

Hartmagnetisch nennen sich die Stoffe die eine stark ausgepr¨agte Hysterese besitzen (HC und MR groß, MR≈MS).

• Materialien: PermalloyFeNi, amorphe Legierungen

• Anwendungen: Transformatorblech (geringe Verluste)

8 Elektronen und Ionenstrahlen

8.1 Kr¨ afte aus dem E-Feld

Beschleunigung im E-Feld a= ^qE_m Energieaufnahme ∆E=q(U2−U1)

• Wenn sich eine Ladung vom Potential 1 zum Potential 2 im E-Feld frei bewegt, nimmt sie diese Energie auf

• Ein Elektron, das im einen Feld eine Potentialdifferenz von z.B. 5V durchl¨auft, nimmt 5eV (Elektro- nenvolt) kinetische Energie auf.

Beschleunigung v=

q2q(U2−U1) m

• Wenn v0= 0

• im Allgemeinen ist die Bewegungsrichtung6= der Feldrichtung

• Nur f¨urv≪c0

8.1.1 Anwendung: Elektronenspektrometer

Hier wird ein Elektronenstrahl mit der Geschwindigkeitv0genau in die Mitte eines Plattenkondensator senkrecht zu den Feldlinien geleitet. Durch das anliegende Feld bewegen sich die Elektronen in einer Bahn auf ein der Platten zu. Wenn nun in einer der Platten ein Detektor f¨ur Elektronen angebracht ist, l¨asst sich durch Variation der Spannung die Geschwindigkeit des Elektronenstrahls bestimmen.

Bahnkurve y= _2md^qU

x v0

2

• U Spannung am Kondensator

• dPlattenabstand

• q, mLadung und Masse des Elektrons Aufschlagspunkt L=

qmd²v²₀ qU

• L Entfernung auf der x-Achse die das Elektron nach Eintritt in den Kondensator zur¨ucklegt, bevor es eine Platte ber¨uhrt

Anfangsgeschwindigkeit v0= qqU L²

md²

8.2 Kr¨ afte aus dem Magnetfeld (Lorentz-Kraft)

Kraft F~ =L I~×B~

• LL¨ange des Leiters im Magnetfeld

• F~

=I·B·L·cosαundB~ ⊥F~ ⊥I~

– αist Winkel zischenB~ und~I(bzw. der Leitung)

– L·cosαist effektive L¨ange der Leitung im B-Feld (Rechtwinklig dazu)

• Rechte-Hand-Regel

Daumen x Zeigefinger = Mittelfinger (Angewinkelt) Kraft pro Teilchen F~q=q·~v×B~

• Richtung von F: bei negativen Ladungen: Rechte-Hand-Regel (Daumen x Zeigefinger = Mittelfinger (Angewinkelt));

bei negativen Ladungen: Linke-Hand-Regel

16 9 IMPULS Bahnradius r=^mv_qB^⊥

• v_⊥ Geschwindigkeitskomponente rechtwinklig zu B

• v_||Geschwindigkeitskomponente parallel zu B

• Kreisbahn, wennv= const =v_⊥ bzw.v_||= 0

• Schraubenbewegung, wennv= const undv_||6= 0.v_|| wird nicht durchB~ beeinflusst.

• Radius wird immer kleiner, wennv z.B. durch Reibung verringert wird (Spirale) Ablenkung in Kurzen Feldbereich sinα= _r^l = ^qBl_mv

• αWinkel, um den das Teilchen abgelenkt das Feld wieder verl¨asst.

8.2.1 Anwendung

• Fernseher

• Massenspektrometer (Materialanalyse - Radius H¨angt von Teilchenmasse ab)

• Magnetischer Einschluss (Fusionsreaktoren als H¨ullwand)

• Teilchenbeschleuniger (Wie ein Vieleck aufgebaut, in den Ecken wird Teilchen durch Magnetfeld umge- lenkt)

9 Impuls

9.1 Impulsgesetz

Impuls ~p=m~v=√ 2mEkin

Kraft F~ = ^d~_dt^p

Energie W =^p_m² = ¹₂mv² Gesamtimpuls ~pges=P

~ pk

Impulserhaltung ~pges = konstant

• Im geschlossenen System. Es d¨urfen keine Kr¨afte von/nach Außen wirken (F~ges = 0).

• z.B. bei beschleunigenden Fahrzeugen geh¨ort die Erde mit ins System!!

• Energie darf im System umgewandelt werden.

9.1.1 Raketenantrieb Schubkraft F =m^dv_dt =v0dmg

dt

• mMasse der Rakete

• mg Masse des Ausgestoßenen Gases (Treibstoff)

• v0Austrittsgeschwindigkeit des Gases (relativ zur Rakete) Geschwindigkeits¨anderung ∆v=v₂−v₁=−Rm2

m1 v₀ dt=v₀ln

m1

m2

• m1 Anfangsmasse der Rakete

• m2 Endmasse der Rakete

• v0Austrittsgeschwindigkeit des Gases (relativ zur Rakete)

9.1.2 Strahltriebwerk (Flugzeug) Schubkraft F =mFdv

dt = (v0−v)^dm_dt^L −αv

• mF Masse des Flugzeuges

• mL Masse der beschleunigten Luft

• v0Austrittsgeschwindigkeit der Luft im Triebwerk (relativ zum Flugzeug)

• v Geschwindigkeit des Flugzeuges

• αLuftwiderstand Geschwindigkeit v(t) =v_e

1−e^−τt

• v_e=v0 m˙L

m˙L+α Endgeschwindigkeit des Flugzeugs

• τ =^v_v^e₀^m_m˙^F_L

• m˙L= ^dm_dt^L ≈Luft pro Sekunde durch die Triebwerke

• αLuftwiderstand

9.2 Stoßvorg¨ ange

Es gilt die Energie und Impulserhaltung. Potentielle Energie kann meistens vernachl¨assigt werden, da sich der Stoß meistens innerhalb einer sehr kleinen R¨aumlichen Ausdehnung abspielt.

Impulsdifferenz p2−p1=Rt2

t1

F dt~

Maximalkraft Fmax≈ ^m(v_∆t^2−v1)

• Ann¨aherung durch Zeitlich unver¨anderliche Kraft

• ∆tZeitfenster, in dem sich die Geschwindigkeit (Impuls) ¨andert

Inelastischer Stoß Ein inelastischer Stoß liegt vor, wenn beim Stoßvorgang ein Teil der Impulsenergie in (Verlust-) W¨arme umgewandelt wird. Das heißt, das ein Teil der Energie beim Vorgang verloren geht.

Elastischer Stoß P1= ^m_m^1−m2

1+m2p1 P2=_m^2m1

1+m2p1

• Diese Formel gilt f¨ur einen ideal elastischen Stoß, der vorliegt, wenn beim Stoßvorgang keine Im- pulsenergie in W¨arme umgewandelt wird, sondern die komplette Energie den Vorgang als Impuls (Kinetische Energie) wieder verl¨asst.

• p1Impuls der mit dem die Massem1auf die ruhende Massem2 trifft

• m1=m2⇒P1= 0 P2=p1

(m1bleibt liegen)

• m1> m2⇒P2> P1>0

(beide bewegen sich in die gleiche Richtung weiter)

• m1< m2⇒P1<0 P2>0

(m1 prallt ab, und st¨oßtm2ein wenig an)

• m1≪m2⇒P1<−p1 P2= 0

(m1 prallt wird reflektiert undm2 verharrt in Ruhe) Elastischer Stoß 2-dim cos (α) = cos

P~1, ~P2

= _2P^P22

1P2

m1−m2

m2

• Sagt nur etwas ¨uber den Winkel zwischen den Impulsen nach dem Stoß (P~1P~2) aus. Allerdings nicht in Bezug auf den Impuls Vorher.

• gilt nur f¨ur Massenpunkte

• m1=m2⇒α= 90^◦

• m1> m2⇒α <90^◦(αist spitzwinklig)

• m1< m2⇒α >90^◦(αist stumpfwinklig) Explosion E_k1^(nachher)= _m^m2

1+m2Q E_k2^(nachher)= _m^m1

1+m2Q

• Qbei der Explosion freigesetzte Energie

• E_k1^(nachher)Energie die das Bruchfragment 1 mit der Massem1 nach der Explosion besitzt.

• m1≫m2⇒Ek1≈0 Ek2≈Q

18 10 RELATIVIT¨ATSTHEORIE

10 Relativit¨ atstheorie

Ab wann relativistisch?10% Fehler→v≤ ¹₄c0 E≤ ₁₀¹m0c²₀ Lichtgeschwindigkeit c0= 2,99793·10^8m_s ≈3·10^8m_s

• gilt im Vakuum (sonst kleiner)

• ist in jedem Inertialsystem konstant

– Ein Inertialsystem ist ein gleichf¨ormig bewegtes also nicht beschleunigtes System.

Geschwindigkeits Additionstheorem w= ₁₊^u+vu·v c2 0

• u, vzu Addierende Geschwindigkeiten

• f¨uru≪c0 undv≪c0 giltw=u+v

10.1 Transformation zwischen Inertialsystemen

• Ein Inertialsystem ist ein gleichf¨ormig bewegtes also nicht beschleunigtes System.

Ein Ereignis habe die KoordinatenA: (x, t) in einem ruhenden System undB: (x^′, t^′) im bewegten System.

Galilei-Transformation x^′=x−vt t^′ =t

• klassische Transformation (nicht relativistisch) Lorentz-Transformation

x^′ = x−vt q1−^v_c²²

0

t^′ = t−_c^v2

0x q1−^v_c²²

0

• relativistisch Zeitdilatation t^′=tq

1−^v_c²²

0

Lorentzkontraktion x^′ =xq 1−^v_c²²

0

10.2 Masse und Energie

(gesamt) Energie E=mc²₀

kinetische Energie E_kin= (m−m0)c²₀ Masse m=r^m0

1−^v_c²2 0

Geschwindigkeit v=c0

q 1−^m_m²⁰² Impuls p=^E_c0^g

• Wenn Eg=Ekin bzw.m0= 0 (reine Energie)

11 Schwingungen

11.1 Darstellung von Schwingungen

harmonische Schwingung y=y0cos (ωt−φ) =Acos (ωt) +Bsin (ωt)

• A=y0cosφ B=y0sinφ Kreisfrequenz ω= 2πf

• f = _T¹ Frequenz

• T Periodendauer

• α=ωt+φakt. Winkel

11.2 Schwingungstypen

freie Schwingung Schwingkreis schwingt mit Eigenfrequenz (ω=ω0)

ged¨ampfte Schwingung Schwingungsamplitude wird kontinuierlich kleiner (ωd/ω0)

erzwungene Schwingung Es wird dem Schwingkreis eine Frequenz Ω vorgegeben (eingepr¨agt)

• Sonderfall: Ω≪ω0 Ω≫ω0

• Resonanz: Ω≈ω0

11.3 Allgemeine Schwingung

Differenzialform x¨+ 2δx˙+ω₀²x= 0

• δD¨ampfungskonstante mechanisch δ0= _2m^R

– RReibungskoeffizient – mMasse

elektrisch δo=_2L^R

– ROhmscher Widerstand

• ω0Eigenfrequenz mechanisch ωo=

qD m

elektrisch ωo=q

1 LC

Bewegungsgleichung x(t) =x0e^−δtcos (ωdt)

• ω_d=p

ω²₀+δ²≈ω0 ged¨ampfte Schwingungsfrequenz

11.4 Anharmonische Schwingung

Allgemein y(t) =y1cos (ωt) +y2cos (2ωt) + +y3cos (3ωt) +. . .

Alle periodischen Funktionen lassen sich Mathematisch durch eine ¨Uberlagerung von Cosinusschwingungen darstellen.

• Grundschwingungω

• Oberschwingungen 2ω,3ω,4ω,5ω, . . .

– sind Charakteristisch f¨ur verschiedene Instrumente

• evtl. zuz¨uglich Grundrauschen

Rechteckschwingung y1= +⁴_π y2= 0 y3=−3¹y1 y4= 0 y5= +¹₅y1 . . .

20 12 WELLEN Amplitudenmodulation y(t) = cos (ωt) [1 +αcos (ωt)] = cos (ωt) +^α₂[cos ((ω+ ∆ω)t) + cos ((ω−∆ω)t)]

• ω Tr¨agerfrequenz

• ω±∆ω Seitenb¨ander

Schwebung y(t) = cos ((ω+ ∆ω)t) + cos ((ω−∆ω)t) = 2 cos (∆ωt) cos (ωt)

• Wie Amplitudenmodulation bloß ohne Tr¨ager

11.5 Resonanz (erzwungene Schwingung)

Allgemein y¨+ 2δy˙+ω₀²y =y0ω²₀cos (Ωt)

• Ω eingepr¨agte Frequenz

• y0Amplitude ohne Anregung und D¨ampfung ohne D¨ampfung y(t) =y_r(Ω) cos (Ωt)

• yr(Ω) =y0 ω₀² ω₀²−Ω²

• y(t) hat bei Resonanzω0eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel (Phasenwechsel) mit D¨ampfung y(t) =yr(Ω, δ) cos (ωt−φ)

• yr(Ω, δ) =y0 ω²₀ q(^ω20−Ω²)^2+aδ2Ω2

• ω²_r=ω₀²−2δ²≈ω₀²Resonanzfrequenz

• ymax≈y0ω0

2δ Amplitude bei Resonanz

• ∆ω≈2δ√

3 Halbwertsbreite

12 Wellen

12.1 Grundlagen

Phasengeschwindigkeit c=λf

• bzw. Ausbreitungsgeschwindigkeit Wellenl¨ange λ

• Beschreibt die r¨aumliche L¨ange der Welle (von einem Maximum zum n¨achsten) Wellenzahl k= ^2π_λ

• auch Wellenvektor genannt Wellenformel y=y0cos ^2π_λ (x−ct)

=y0cos (kx−ωt)

• xOrtskoordinate deren akt. Auslenkung gefragt ist

• t Zeitpunkt bei dem die akt. Auslenkung gefragt ist Wellentypen

Transversalwelle ~y⊥~x

• Auslenkung ist Senkrecht zur Ausbreitungsrichtung

• z.B. E-Feld, Seilwellen Longitudinalwelle ~y||~x

• Auslenkung ist in die gleiche Richtung wie die Ausbreitung

• z.B. Druckwellen (Schallwellen)

Konstanten

Lichtgeschwindigkeit c0≈2,9979 10^8m_s

• im Vakuum

Schallgeschwindigkeit cs≈331^m_s

• in Luft bei 0^◦C...

Brechungsindex c=_n(λ^c0

0)

• nist der vonλ0Abh¨angige Brechungsindex

12.1.1 elektromagnetischeWelle Ausrichtung E~ ⊥B~

Zusammenhang H=q

ε0

µ0E Lichtgeschwindigkeit c= √ε¹0µ0

12.2 Energietransport

Energiedichte W¯

Schall W¯ = ¹₂ ρω² u²₀

• ρMaterialkonstante

• u0Amplitude

elektromagnetische Welle W¯ = ¹₂ε0E₀² Intensit¨at I=cW¯

Schall I=c_schall¹₂ ρω² u²₀

elektromagnetische Welle I= ¹₂H0E0

Kugelwelle I(r) =I(R)^R_r2²

• Intensit¨at (Energie) f¨allt mit _r¹²

• Amplitude f¨allt mit ¹_r Pointingvektor S~ =¹₂E~0×H~0

• Hier f¨ur el. magn. Feld

• gibt Richtung und Betrag des Energietransportes an

• I= S~

12.3 Ebene Welle

Schwingungsrichtung U~ =U~0cos

~k~x−ωt

• ~k~xspannen eine Ebene auf, auf der die gleiche Schwingungsamplitude vorhanden ist

• feste Zeit: “Momentanaufnahme” / Ortsverteilung (λ) der Welle

• fester Ort: lokale Schwingung (ω bzwf) Wellenvektor ~k

• transversalwelleU , ~~ U0⊥~k

• longitudinalwelleU , ~~ U0||~k

22 12 WELLEN

12.4 Stehende Welle

Wellengleichung y =y0cos (kx)

| {z }

F orm

cos (ωt)

| {z }

Schwingung

• entsteht durch Reflexion der Welle und anschließender ¨Uberlagerung

• Reflexion am offenen Ende: Kein Phasensprung / gerade Anzahl + ¹₂ von B¨auchen passen in den Resonanzbereich

– λ= ^2L_n n= 1,2,3, . . .

• Reflexion am geschlossenen Ende: Mit Phasensprung / gerade Anzahl von B¨auchen passen in den Resonanzbereich

Abstrahlungswinkel Ist proportional zu ¨Offnungsdurchmesser dividiert durch die Wellenl¨ange

12.5 Interferenz

U1=U0cos ^2π_λx

U2=U0cos ^2π_λx−∆x Allgemein (U1+U2) = 2U0cos∆ϕ

| {z 2}

Amplitude(∆ϕ)

cos (kx−∆ϕ)

| {z }

verschobene W elle

• k=^2π_λ ∆ϕ=^2π_λ∆x

• Uberlagerung von 2 Wellen, Verst¨arkung und Ausl¨oschung bilden im allgemeinen kompliziertes Mu-¨ ster.

• Speziell: gleichesλ, gleichesf ⇒Verschiebung um ∆x – ∆x=nλ⇒Verst¨arkung

– ∆x= (2n+ 1)^λ₂ ⇒Ausl¨oschung Doppelquelle Verst¨arkung f¨ur:dsinγ=nλ

• dAbstand der Quellen

• γ Ausfallwinkelwinkel aus der Doppelquelle relativ zu ihrer Mittellinie (geht senkrecht durch die Mitte der Verbindungsline der Quellen)

• d > λ (aber nicht unbedingt viel)

12.6 Interferometer

Normales Licht statistische Emission, viele Atome geben gleichm¨aßiges Mittel Laser Emissionen aus Atomes synchronisiert: Licht blitze “koh¨arent”

Michelson Interferometer Ein Laserstrahl wird in zwei H¨alften durch einen halbdurchl¨assigen Spiegel auf- geteilt (rechtwinklig zueinander) diese durchlaufen zwei verschiedene Wege, und werden wieder vereinigt (zur Interferenz gebracht). Hier kann man nun ¨Anderungen / Unterschiede in den L¨angen in den beiden Wegen feststellen (sehr genau Messen).

12.7 Doppler Effekt

bewegter Empf¨anger f =f0 1∓^v_c

• wennv≪c

• Zunahme bei “aufeinander zu”

• Abnahme bei “voneinander weg”

bewegter Sender f ≈f0 1±^v_c

• wennv≪c

• Zunahme bei “aufeinander zu”

• Abnahme bei “voneinander weg”

12.7.1 Sternbewegung

Geschwindigkeit Parallel zur Erde kann gemessen werden, in dem die Verschiebung des Spektrums des Sternenlichts relativ zu einem Eichspektrum gemessen wird.

Blauverschiebung (zu k¨urzeren Wellenl¨angen hin)⇒Bewegung auf uns zu Rotverschiebung (zu l¨angeren Wellenl¨angen hin)⇒Bewegung von uns weg Hubble-Konstante v=H0r

• v Entfernungsgeschwindigkeit

• rEntfernung

• Hubble (f¨ur Galaxien): Alle Galaxien bewegen sich von uns weg

• daraus: Urknall vor ca. 15 Milliarden Jahren

12.8 Exkursion: Aufbau des Weltalls

12.8.1 Parallaxe

Es wird der unterschiedliche Betrachtungswinkel eines Sterns von verschiedenen Standorten aus gemessen (Erde im Sommer / Winter). Angegeben wird der Winkel der “Betrachtungsstrahlen” relativ zu deren Mittellinie.

Fallγ= 1^′′⇒d= 3,3 Licht-Jahre (LJ) = 1Parsec (Paralaxesekunde) (” = Bogen Sekunde) Messgenauigkeit liegt bei ca. 0,01^′′= 100 Parsec

12.8.2 Milchstraße Anzahl Sterne 10¹¹ Durchmesser 150.000LJ Dicke 15.000LJ

Anzahl Galaxien ca.≈10¹¹

12.9 Beugung

Beugung entspricht Interferenz an passiven “Quellen” (Kanten, ¨Offnungen)

Huygens-Prinzip jeder von einer Welle getroffene Punkt im Raum ist Ausgangspunkt einer Kugelwelle Aufl¨osungsgrenze ε≥ _n^0,6λsinα' ^λ₂

• εkleinste beobachtbare Abstand

• nBrechungsindex des Materials zwischen Objekt und Objektiv

• nsinαnumerische Aperatur (NA)

• αHalber ¨Offnungswinkel der ersten Linse relativ zu einem betrachteten Punkt.

• Dadurch: Mikroskope mit mehr als 2000x machen kaum Sinn (mit regul¨arer Optik)

12.9.1 Beugungsgitter

Gitter mit Streifen (undurchl¨assig) der Breitedund sehr schmalen Zwischenr¨aumen (durchl¨assig).

• Verst¨arkung beidsinϑ=nλ

– ϑWinkel der Strahlen relativ zur Gitter normalen – nGitter¨offnungen

• Hauptmaxima haben n−teOrdnung, wobei die Mitte die 0-te Ordnung hat.

• Intensit¨at ist≈N²

• Breite der Maxima≈N¹

24 13 WELLEN UND QUANTEN

13 Wellen und Quanten

13.1 Thermische Strahlung

Konstanten

Plank Konstante h= 6,63∗10⁻³⁴J s

Plank Konstante H-Quer ~= _2π^h = 1,054∗10⁻³⁴J s Bolzmann Konstante k_B = 1,38∗10⁻²³_K^J

Stefan-Bolzmann-Konstante σ= 5,67∗10⁻⁸_m^W2K⁴

Strahlungsleistung ∆S=I_λdλ=^2πc_λ5^2h

1 e

hc λkB T−1

• [∆S] = _m^W2

• Strahlungsleistung in kleinem Frequenzbereich

• Formel nur f¨ur den Hohlraumstrahlung (Schwarze Strahlung, Planksche Strahlung) korrekt, reale Strahlung liegt darunter.

Spektrale Strahlungsdichte ∆S=Iλ∆λ Intensit¨atsverteilung Iλ [Iλ] = _m^W3

Wiensches Verschiebungsgesetz λ_maxT = 2,9∗10⁻³mK

• Maximum der Strahlungsintensit¨at bei gegebener Temperatur Kirchhoff Emission(λ)∼Absorption(λ)

Energie-Quant E=^hc_λ =hf =~ω

• Energie eines Photons mit entsprechender Wellenl¨ange Strahlung S=ǫσT⁴ [S] =_m^W2

• pro strahlender Fl¨ache

• ǫEmissionsverm¨ogen – ǫ= 1 idealer Strahler – 0≤ǫ <1 realer Strahler Leistung P=AS=AǫσT⁴ [P] =W

• insgesamt Leistung

schwarze Temperatur idealer Strahler mit gleicher Ausstrahlung (gesamt) wie realer Strahler T_schw< T_real Farbtemperatur Vergleich der realen Lichtquelle (z.B. Leuchtstoffr¨ohre) bei speziellen Temperaturen mit

Idealem Strahler: FarbtemperaturTF

13.2 Welle und Teilchen

Photonen / Lichtquant E=h f

• f Frequenz des Lichts Quantenimpuls p=^h_λ

Welle / Teilchendualismus bei niedrigen Frequenzen (Radio) verhalten sich Photonen eher wie Wellen, bei hohen eher wie Teilchen (γ-Quant)

Materiewelle E_kin=_2m^p2 =_2m^{1 h}_λ2

• auch genanntde Brolie Welle Wellenfunktion Ψ (x, y, z, t)

• dies ist einfachster Fall: ebene Welle Ψ = Ψ0cos (kx−ωt)

• k=^~_p

Aufenthaltswarscheinlichkeit ∆W =|Ψ|² ∆x

• Aufenthaltswarscheinlichkeit im Bereich ∆x

14 Automaufbau

14.1 Bohr’sches Atom-Modell

Bohrscher Radius r0=

ε0h² πmee²

= 5,3∗10⁻¹¹m

• Entspricht Radius der Elektronenbahn im H-Atom (Wasserstoff) Rydberg-Energie Er=

me⁴ 8ε²₀h²

= 2,18∗10⁻¹⁸J = 13,6eV

14.1.1 Ein-Elektronen System

Hat genau ein Elektron, und beliebig viele Protonen.

Radius r_n= _Z¹

0r0n²

Bindungsenergie En=−Z²Er 1 n²

Hauptquantenzahlen n= 1,2,3, . . .

14.1.2 Energie-Niveau-Schema

Auf derY-Achse werden die verschiedenen Energien in Abh¨angigkeit vonn aufgetragen. Um ein Elektron zu befreien (das Atom zu Ionisieren) muss ihm gen¨ugend Energie zugef¨uhrt werden, um es ¨uber dieX-Achse zu bef¨ordern. Die ¨ubersch¨ussige Energie ist dann als Impuls vorhanden. Um ein Elektron von einer Orbitale zu einer Anderen zu bringen ( ¨Anderung desn’s), muss ihmgenau diese Energiemenge zugef¨uhrt werden, bzw. es gibt dies in Form eines Photonenquants (Licht) ab.

Energiezufuhr/abgabe δ_E=|E_m−E_n|

14.2 Energie- ¨ Uberg¨ ange

Energieaufnahme/Abgabe ∆E=|En−Em| Speziell Licht Absorption / Emission

• ∆E=hf

• Frequenzf = ^∆E_h

• Wellenl¨angeλ= ^hc_E

Ein Elektronen System H, He⁺, Li⁺⁺, . . .

• ∆E=Z²ER

_n¹2 −_m¹²

• f =Z²f_R ¹

n² −_m¹²

Rydbergfrequenz fr= ^E_h^R = 3,25∗10^{15 1}_s

26 15 PHYSIK DER GASE

14.3 R¨ ontgenstrahlung

Wellenl¨ange λ=_f^c =≥_eU^hc₀

• U0Beschleunigungsspannung Grenzwellenl¨ange λgr=_eU^hc

0

Bremsstrahlung λ≥λ_gr

• kontinuierlich, alle Wellenl¨angen gr¨oßer als λ_gr kommen vor K_LStrahlung f_KL = (z−1)²f_R³₄

15 Physik der Gase

15.1 W¨ arme-Energie / Temperatur

Energiezufuhr Q=CW m∆T

• CW spezifische W¨armekapazit¨at

– ist anh¨angig von akt. Temperatur (Phasenzustand: Fest, fl¨ussig, Gas)

• ∆T Temperatur¨anderung

absolute Temperatur T = (273 +t^◦C) [Kelvin]

15.2 Atome und Molek¨ ule

Molek¨ul besteht aus≥2 Atomen

• MassenzahlA_{ef f} =P

A_n (Summe der Einzelmassen) 1 mol Menge Material (Gas) mitA g Masse

Avogadro Konstante N0= 6,023∗10^{23 1}_mol

• Anzahl Molek¨uhle pro Mol (bei allen Gasen immer gleich) W¨armeenergie entspricht Bewegungsenergie

absoluter Nullpunkt Atome sind (fast) v¨ollig in Ruhe (T = 0 K) ideales Gas

• keine Bindung, frei herumfliegend

• nur elastische St¨oße (vor allen an W¨anden)

• punktf¨ormig

• reale Gase sind fast ideal f¨urT ≫Tsieden

15.3 Innere Energie

Kinetische Energie E_k= ¹₂K_BT

• pro Molek¨ul und Freiheitsgrad (Gleichverteilungssatz) Freiheitsgrade f

z.B. Translation Rotation Gesamt

einatomig 3 - 3

linear(N2, CO2) 3 2 5

dreidim. (H2O) 3 3 6