Physik I - Formelsammlung

Physik I - Formelsammlung

von Julian Merkert, Wintersemester 2004/05, Prof. Drexlin

Fehlerrechnung

Mittelwert (Arithmetisches Mittel)xund wahrer Wertxw:

x= 1 n

n

X

i=1

xi xw= lim

n→∞

1 n

n

X

i=1

xi

Standardabweichungσeiner Einzelmessung und σmdes Mittelwertes:

σ= 1

√n−1 v u u t

n

X

i=1

(x−xi)² σm= 1 pn(n−1)

v u u t

n

X

i=1

(x−xi)²= 1

√n σ

Mittelwert vonnMeÿwerten, die inkIntervallenxi gemessen wurden:

x= 1 n

k

X

i=1

n_ix_i

Normierte Gauÿfunktion:

• σ: Breite der Kurve

• Maximum:xw!

• Vertrauensbereich:x_w=x±n·σ

f(x) = 1

√

2πσ² e^{−(x−xw)22σ2} Poisson-Verteilung:

x x!e^−x Fehlerfortpanzung - Standartabweichung der Funktionf(x, y):

σ_f = s

σ²_x ∂f

∂x ²

+σ²_y ∂f

∂y ²

Mittlere quadratische Abweichung (nMesswertex1, ..., xn mit Messwerteny1, ..., yn: χ²=X

(yi−f(xi))²...minimieren!

Formeln zur Bestimmung der Ausgleichsgerade (Regressionsgerade)y=a∗xaus den Messwerten:

a= xy−x y

x²−x² b=y−ax

Translation eines Massenpunktes

Kinematik Ortsvektor:

~r(t) =



 x(t) y(t) z(t)



 [Einheit:m]

Geschwindigkeit:~v(t) =^d~_dt^r= ˙~r m s

Beschleunigung:~a(t) = ^d~_dt^v = ˙~v= ¨~r _m

s²

Dynamik

Impuls (bzw. Bewegungszustand):~p=m~v kg^m_s

Hangabtriebskraft:F~_||=m~gsinα

Federkraft (Hook'sches Gesetz):F~F =−k~x k:F ederkonstante⇒ω= qk

m, T = 2πpm k

Gravitationskraft:F~(~r) =−^GmM_R2 ~r

(NormalkraftN~, Haftreibungskoezientµ_H, Gleitreibungskoezientµ_G) Haftreibungskraft:fH=µHN~

Gleitreibungskraft:f_G=µ_GN~

Arbeit, Energie und Kraftfelder

Arbeit = Kraft x Weg, die Arbeit ist skalar!

W = Z P2

P1

F d~~ r [N m=J oule]

Leistung:P= ^dW_{dt J}

s =W att

Im konservativen Kraftfeld gilt (v(~r): Potential):

W = I

F d~~ r= 0 F~(~r) =−∇v~ (~r) =−grad v(~r) rot ~F =∇ ×~ F~ = 0

Kinetische Energie:E_kin=¹₂mv², W = ∆E_kin Potentielle Energie:Epot=mgh, W = ∆Epot

Systeme von Massenpunkten, Stöÿe

Massenschwerpunkt (CM = centre of mass) (VolumenV, Dichte%= ^m_V):

~rCM = 1 M

X

i

mi~ri= 1 m

Z

~rdm= % m

Z

~ r(~r)dV

Schwertpunktgeschwindigkeit:~v_CM =_dt^d~r_CM= _M¹ P

im_i~v_i Schwerpunktbeschleunigung:~aCM = _dt^d~vCM = _M¹ P

imiai

Gesamtimpuls:P~CM =P

i~pi =M~vCM, im abgeschlossenen System erhalten!

Reduzierte Masse:µ= _m^m1m2

1+m2

Elastischer Stoÿ: Impuls und Energie erhalten,v1,i+v1,f =v2,i+v2,f

Inelastischer Stoÿ: nur Impulserhaltung. Innere EnergieQ=−¹₂µv²_rel

Rotation

RadiusR, Bahngeschwindigkeitv, UmlaufzeitT, Frequenzν, Länge des Kreisbogenss Rotationskinematik

Winkel im Bogenmaÿ:ϕ= _R^s h

1 rad=³⁶⁰_2π^◦i

Winkelgeschwindigkeit:ω= ^dϕ_dt =_R^v = ^2π_T = 2πν _rad

s

Winkelbeschleunigung:α= ^dω_dt = ˙ϕ= ¨ϕ= ^a_R^T (a_T: Tangentialbeschleunigung) Zentripetalbeschleunigung:az=ω²R=^v_R² ZentripetalkraftFz=maz

Rotationsdynamik

Drehimpuls:L~ =~r×~p=m(~r×~v) =J ~ω h kg^m_s²i

Drehmoment:D~ =^dL_dt =~r₀×F~ =J α h

kg^m_s2² =N mi

(~r₀: Kraftarm ⊥F~) Trägheitsmoment:J=PN

i mia²_i,⊥=RR

0 a²dm=%RR

0 a²dV =εM R² (ε= 0. . .1, a: Abstand zur Drehachse) Rotationsenergie:Erot=Rϕ2

ϕ₁ D(ϕ)d~~ ϕ=¹₂J ω²

Steiner'scher Satz:JB=JCM+ma² (a: Abstand der Drehachse in B zu CM) Hebelgesetz: ^F_F¹₂ = ^r_r²

1

Kreisel

Nutation: gemeinsame Bewegung der Figurenachse~cund der momentanen Drehachse~ω um die raumfeste Drehimpul- sachseL~ (z.B. rotationssymm. Kreisel erhält kurzen Stoÿ)

Präzission: Es wirkt ein äuÿeres DrehmomentD~,~List nicht mehr raumfest. Präzissionsfrequenz:ω_P = _Lsin^D_α= ^m~_{J ~}^g~_ω^r Bezugssysteme

Intertialsysteme bewegen sich mit konstanter Geschwindigkeit und sind zur Beschreibung physikalischer Gesetze äqui- valent.

Rotierende Bezugssysteme (Geschw. im ruhenden System~v, Geschw. im beschl. System~v⁰)

~v=~v⁰+~u=~v⁰+~ω×~r (~u: Relativgeschwindigkeit⊥~ω,⊥~r) Corioliskraft:F~C= 2m(~v⁰×~ω)

Zentrifugalkraft:F~_Zf =m~ω×(~r×~ω)

Gravitation

Kepler'sche Gesetze

1. Die Planeten bewegen sich auf Ellipsen, in deren einem Brennpunkt die Sonne steht

2. Der Radiusvektor (Fahrstrahl) von der Sonne zum Planeten überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen 3. Die Quadrate der Umlaufzeiten der Planeten verhalten sich wie die dritten Potenzen ihrer gröÿten Halbachsen:

T₁² T₂² = a³₁

a³₂ =const

Newton'sches Gravitationsgesetz:F(~~ r) =−G^mM_r2 ~rˆ

Gravitationspotenzial:E_pot=−G^mM_r , ausgedehnte Körper:dE_pot=−G^{m dM}_r

Relativistische Mechanik

Transformationen

InertialsystemS⁰ bewegt sich mit v =vx relativ zum InertialsystemS. Ortsvektor~r= (x, y, z) mit Geschwindigkeit

~u, Beschleunigung~aund Zeitt(' gemessen inS⁰).

Galilei Lorentz

x⁰=x−vt x=x⁰+vt x⁰ =γ(x−vt) x=γ(x⁰+vt⁰) y⁰ =y y=y⁰ y⁰=y y=y⁰

z⁰ =z z=z⁰ z⁰ =z z=z⁰ t⁰=t t=t⁰ t⁰=γ t−^vx_c2

t=γ

t⁰+^vx_c2⁰ u⁰=u−v u=u⁰+v u⁰_x= ₁₋^uxv^−v

c2u_x u_x=₁₊^u0xv^+v c2u⁰_x

a⁰ =a a=a⁰ u⁰_y,z= ^uy,z

γ(¹⁻_c^v2ux) u_y,z= ^u

0 y,z

γ(¹⁺_c^v2u⁰_x)

Zeitdilatation:∆t=γ∆t⁰

(∆t⁰ gemessen im Ruhesystem des Objekts,∆tgemessen im System S, in dem sich die Uhr bewegt.) Längenkontraktion (Lorentz-Fitzgerald-Kontraktion):l=γ l⁰

(l: Eigenlänge im ruhenden Bezugssystem,l⁰ gemessen im bewegten System) Relativistische Dynamik

Relative Massenzunahme:m(v) =γm0= q^m0 1−^v2

c2

Relativistischer Impuls:~p=m~v=γm₀~v Relativistische Kraft:F~ =m0aγ³_c^v2~v+m~a Verbindung von Energie und Trägheit:E=mc² Relativistische kinetische Energie:E_kin=m₀c²(γ−1) Gesamtenergie:Etot=Ekin+m0c²=γm0c²

Relativistische Energie-Impuls-Beziehung:E_tot² =p²c²+ m0c²²

Schwingungen

AmplitudeA, Phaseϕ, Kreisfrequenz ω²₀= _m^k Freier harmonischer Oszillator

Hook'sches Gesetz:F~ =−k~x=m^d_dt²2^x ⇒ Dierentialgleichung: ^d_dt^2x2 +ω²₀x= 0 Exponential-Ansatz (c, λ∈C):x(t) =ce^λt ⇒ λ1,2=±p

−ω²₀=±i ω0

Darstellungsformen der Bewegungsgleichung:

1. x(t) =ce^iω0t+c^∗e^−iω0t (c=a+ib;a, b∈Raus Anfangsbedingungen) 2. x(t) =|c|[e^i(ω0t+ϕ)+e^{−i(ω0t+ϕ)}] (Euler-Darstellung ausc=|c|e^iϕ)

3. x(t) =c1cos(ω0t) +c2sin(ω0t) (ause^iϕ= cosϕ+isinϕ, c1=c+c^∗=|c|2 cosϕ, c2=i(c−c^∗) =|c|(−2) sinϕ) 4. x(t) =Acos(ω0t+ϕ)

Schwingungsdauer (Periode):T = ¹_f =^2π_ω

0

Freier gedämpfter Oszillator

Dierentialgleichung: ^md_dt²2^x=−kx−b^dx_dt ⇒ ^d_dt^2x2 + 2γ^dx_dt +ω²₀x= 0 (γ= _2m^b : Dämpfungskonstante) Exponential-Ansatz liefert:λ1,2=−γ±p

γ²−ω²₀

1. Schwache Dämpfung (Schwingfall):ω0> γ ⇒ λ1,2=−γ±iω ω=p ω²₀−γ² x(t) =e^−γt(ce^iωt+c^∗e^−iωt) =Ae^−γtcos(ωt+ϕ) (e^−γt: exponentieller Dämpfungsterm)

• Relaxationszeitτ der Energie (beim gedämpften Oszillator nicht erhalten!).

τ= ^m_b = _2γ¹ , E_tot=E₀e^−2γt=E₀e^−τt

• Logarithmisches Dekrement:δ=ln _x(t)

x(t+T)

=γT = _2τ^T

• Gütefaktor Q: _2π^Q = _T^τ, Q=ωτ (hohe Güte→geringe Dämpfung) 2. Starke Dämpfung (Kriechfall):γ > ω0 (Überdämpfung) ⇒ λ1,2=−γ±p

γ²−ω²₀=−γ±α (αreell!) x(t) =e^−γt[c1e^αt+c2e^−αt] (Keine Schwingung!)

3. Aperiodischer Grenzfall:γ=ω0 (Entartung) ⇒ λ1=λ2=−γ=−ω0

Modizierter Ansatz:x(t) =c(t)e^λt ⇒ x(t) = (c1t+c2)

| {z }

=c(t)

e^−γt

Erzwungene Schwingungen

Inhomogene DGL:m^d_dt²₂^x=−kx−b^dx_dt +F₀cosωt ⇒ x¨+ 2γx˙+ω²₀x=^F_m⁰cosωt

• Homogene DGL: allgemeine LösungA₁e^−γtcos(ω₁t+ϕ₁)

• Inhomogene DGL: spezielle LösungA₂cos(ωt+ϕ₂) (ω: Erregerfrequenz, ω₁ Frequenz der freien gedämpften Schwingung)

⇒x(t) =A₁e^−γtcos(ω₁t+ϕ₁) +A₂cos(ωt+ϕ₂) Phasenverschiebungϕ2:tanϕ2=_ω^−2γω2

0−ω²

AmplitudeA₂:A₂= ^F0

m√

(ω²₀−ω²)²+(2γω)²

Resonanzfrequenz:ωR=p

ω²₀−2γ² Schwebung

x(t) = 2acos

ω₁−ω₂ 2 t

| {z }

AmplitudeA(t)

cos

ω₁+ω₂ 2 t

| {z }

harm. Schwingung

(Die harmonische Schwingung hat die 'Mittenfrequenz')

Pendel

Mathematisches Pendel:a_⊥=αl= ¨ϕl ⇒ ϕ¨+^g_l sinϕ= 0 ⇒ ϕ+¨ ^g_lϕ= 0 (harmonische Näherung:sinϕ=ϕ) Physikalisches Pendel:ϕ¨+^{RM g}_J ϕ= 0,ω0=

qRM g J

Wellen

Frequenz ν, Wellenlänge λ, Schwingungsperiode T, Kreisfrequenz ω = ^2π_T , Wellenzahl k = ^2π_λ, Dichte % = ^dm_V , AmplitudeA, lineare Massendichteµ

• transversale Wellen: Auslenkung⊥Ausbreitung

• longitudinale Wellen: Auslenkung||Ausbreitung

Phasengeschwindigkeit:vP h=λν= ^ω_k bzw.λ=vP hT (Dispersionsrelation) Wellenfunktion:Ψ(z, t) =Asin(ωt−kz) =ce^i(ωt−kz)=Asinn

ω(t−_v^z

P h)o Wellengleichung für ebene Wellen: ^∂_∂z^2Ψ2 =_v2¹

P h

∂²Ψ

∂t²

Wellengleichung einer entspannten Saite: ^∂_∂z^2x2 =_|F^µ

S|

∂²x

∂t² (vP h= q|FS|

µ ) Wellengleichung in 3D:∆Ψ =~ _v2¹

P h

∂²~Ψ

∂t² (Laplace-Operator:∆ = _∂x^∂22 +_∂y^∂22 +_∂z^∂22) Intensität:I=¹₂% vP hA²ω²

Leistung:P= ¹₂µ v_{P h}A²ω²

Gruppengeschwindigkeit:v_G= ^dω_dk =v_{P h}+k^dv_dk^{P h} =v_{P h}−λ^dv_dλ^{P h} Schallwellen

Boltzmann-Konstantek= 1,38·10⁻²³_K^J, absolute TemperaturT, Molekülmassem, HörschwelleI0= 10⁻¹²_m^W2

Schallgeschwindigkeit:vS = qkT

m

Lautstärke:LS= 10 log_I^I

0 [dB]

Doppler-Eekt

hin weg

Quelle bewegt sich mitu_Z λ=λ₀−u_ZT λ=λ₀+u_ZT f =f₀ ¹_uZ f =f₀ ¹_uZ

Doppler-Verschiebung:∆f =f−f0

Önungswinkel des Mach'schen Kegels:sinβ= ^vP_u^h

Feste Körper

Elastische Verformung

Dehnung ^∆L_L , Spannung ^F_A, ElastizitätsmodulE [_m^N2], relative Volumenabnahme ^∆V_V , FlächeA, KraftF Zugkräfte im linearen Bereich: ^∆L_L = _E^{1 F}_A

Schermodul:G= _∆L/L^{F /A} =_tan^{F /A}_θ [_m^N2] Kompressionsmodul:K= _{∆V /V}^−∆p Thermische Eigenschaften

Längenänderung: ^∆L_L =α∆T (α: Längenänderungskoezient) Volumenänderung: ^∆V_V = 3α∆T

Wärmetransport:

• Wärmeleitung: Energietransport durch Stöÿe, ortsfeste Atome

• Konvektion: Energietransport durch Stotransport

• Strahlung: Energietransport durch elektromagnetische Strahlung Wärmestrom: ^dQ_dt = ^WärmemengeZeiteinheitdt^dQ

Temperaturgradient: ^dT_dx = TemperaturänderungdT Längeneinheitdx

Wärmestrom: ^dQ_dt =−λA^dT_dx (λ: thermische Leitfähigkeit[_mK^W ]

Flüssigkeiten

Pascal'sches Gesetz:p(h) =p0+%F lg h (h: Höhe)

Auftriebskraft = Gewichtskraft der durch den Körper verdrängten Flüssigkeit Hydraulische Presse:F2=F1A₂

A₁, h2= ^A_A¹

2h1