Theoretische Physik A - Formelsammlung

Theoretische Physik A - Formelsammlung

von Julian Merkert, Wintersemester 2004/05, Prof. Schön Komplexe Zahlen

Komplexe Zahlenebene:r=|z|=√

z∗z^∗ e^iϕ= cosϕ+isinϕ z=|z|e^iϕ Komlexe Darstellung von Cosinus und Sinus:cosϕ= ^eiϕ+e₂^−iϕ sinϕ= ^eiϕ−e_2i^−iϕ Reihenentwicklungen und spezielle Funktionen

Reihenentwicklungf(x) =a0+a1x+a2x²+a3x³+...=P∞

n=0anxⁿ in geg. Gleichungen ein- bzw. mit geg. Gleichung gleichsetzen, Rekursionsrelation (an+1 abhängig vonan) bestimmen und aus Wertetabelle Reihe ablesen.

cosh(x) =1

2(e^x+e^−x) sinh(x) = 1

2(e^x−e^−x) tanh(x) = sinh(x)

cosh(x) cosh²(x)−sinh²(x) = 1

sinx=

∞

X

n=0

(−1)ⁿ x²ⁿ⁺¹

(2n+ 1)! cosx=

∞

X

n=0

(−1)ⁿ x²ⁿ (2n)!

Taylor-Entwicklung:f⁽ⁿ⁾(0) =n!a_n ⇒ f(x) =f(0) +f⁰(0)x+^f00_2!⁽⁰⁾x²+^f000_3!⁽⁰⁾x³+...=P∞ n=0

f⁽ⁿ⁾(0) n! xⁿ Dirac'scheδ-Funktion:

Z x2

x₁

dxf(x)δ(x−x₀) =

f(x0) x1< x0< x2

0 x0< x1oderx2< x0

Eigenschaften:δ(0) =∞, δ(x6= 0) = 0,Rx₂

x₁ dxf(x)δ⁰(x) =−f⁰(0)

Lorentzfunktion-Darstellung:δL(x) = lim_α→0fL(x) fL(x) =_π(x2^α+α²)

Gaussfunktion-Darstellung:δ_G(x) =lim_α→0f_G(x) f_G(x) =_α^√1_πe^−x

2 α2

Eigenschaften von Gauss- und Lorentzfunktion: δ(0) =∞, δ(x6= 0) = 0,Rx2

x₁ dxδ(x) = 1 Heaviside'scheΘ-Funktion:Θ(x−a) =







0 x < a

1

2 x=a 1 x > a

dΘ(x) dx =δ(x)

Trigonometrische Funktionen

0(0^◦) ^π₆(30^◦) ^π₄(45^◦) ^π₃(60^◦) ^π₂(90^◦) sin 0 ¹₂ ¹₂√

2 ¹₂√

3 1

cos 1 ¹₂√

3 ¹₂√

2 ¹₂ 0

tan 0 ¹₃√

3 1 √

3 −

cot − √

3 1 ¹₃√

3 0

Additionstheoreme:sin(α±β) = sinαcosβ±cosαsinβ cos(α±β) = cosαcosβ∓sinαsinβ Summen und Dierenzen:

sinα±sinβ = 2 sinα±β

2 cosα∓β

2 ; cosα+ cosβ= 2 cosα+β

2 cosα−β

2 ; cosα−cosβ=−2 sinα+β

2 sinα−β 2 Lösung einer Dierentialgleichung durch Separation der Variablen:

dv

dt =−g−γv ⇒ dv

g+γv =−dt ⇒ Z v

0

dv⁰ 1

g+γv⁰ =− Z t

0

dt⁰

⇒ 1

γln(g+γv⁰)|^v₀=−t⁰|^t₀ ⇒ 1

γlng+γv

g =−t ⇒ 1 + γ

gv=e^−γt ⇒ v= g

γ(e^−γt−1)

1

Lösung einer inhomogenen Dierentialgleichung:x¨+ 2γx˙+ω₀²x=fcos(ωct): 1. Lösung der homogenen DGLx¨+ 2γx˙ +ω²₀x= 0

Ansatz:x(t) =ce^λt x(t) =˙ cλe^λt x(t) =¨ cλ²e^{λt einsetzen}→ (λ²+ 2γλ+ω²₀)c e^λt= 0

⇒λ1,2= ^−2γ±

√

4γ²−4ω₀²

2 =−γ±q

γ²−ω₀²

| {z }

=:iΩ

⇒xh(t) =e^−γt(c1e^iΩt+c2e^−iΩt) =A e^−γtcos(Ωt+α)

2. Partikuläre Lösung vonx¨+ 2γx˙+ω₀²x=fcos(ωct) =Re f e^iωct:

Ansatz:x(t) =χe^iωct x(t) =˙ iωcχe^iωct x(t) =¨ −ω_c²χe^{iωct einsetzen}→ χe^iωct(−ω_c²+ 2iγωc+ω₀²)−f e^iωct= 0

⇒χ=_ω2 ^f

0−ω²_c+2iγωc = ^{f(ω20−ωc2)−2iγωcf} (^ω0²−ω_c²)^2+4γ2ωc²

⇒ |χ|= q ^f

(^ω20−ω²_c)^2+4γ2ωc²

tanϕ=^Imχ_Reχ = _ω^2γω2 ^c 0−ω²_c

⇒x_p(t) =|χ|e^i(ωct+ϕ)

3. Allgemeine Lösung:x(t) =x_h(t) +x_p(t) =A e^−γtcos(Ωt+α) +|χ|e^i(ωct+ϕ)

Fourier-Reihe (immer über ganze Periode integrieren!) [ω=^2π_T]:

f(t) = a0

2 +

∞

X

n=1

[a_ncos(ωnt) +b_nsin(ωnt)] a_n= 2 T

Z T 0

dtf(t) cos(ωnt) b_n= 2 T

Z T 0

dtf(t) sin(ωnt)

Fourier-Integrale:

f(t) =

∞

X

n=−∞

cne^iωnt cn= 1 T

Z ^T₂

−^T₂

f(t)e^−iωnt k:=nω

Fourier-Transformation:

f(t) = Z ∞

−∞

dk 2π

f˜(k)e^ikt f(k) =˜ Z ∞

−∞

dt f(t)e^−ikt

DGL transformieren: _dt^d →iω _dt^d22 → −ω² d²

dt² + 2γd dt+ω₀²

x(t) =f(t) → (−ω²+ 2γiω+ω₀²)˜x(ω) = ˜f(ω)

Beispiele von Fourier-Transformierten:

• f(x) =e^iqx ⇔ f˜(k) = 2πδ(q−k)

• f(x) = cos(qx) ⇔ f(k) =˜ π[δ(q−k) +δ(q+k)]

• f(t) =δ(t) ⇔ f˜(ω) = 1

• f(t) = Θ(t)e^−γtsin(Ωt) ⇔ f˜(ω) = _{(Ω2+γ2−ω}^Ω_2)+2iγω

• Parsevalsche Formel:R∞

−∞dx|f(x)|²=R∞

−∞

dk 2π|f˜(k)|² Faltung

Faltung:f₁(x)∗f₂(x) =R∞

−∞dx⁰f₁(x⁰)f₂(x−x⁰) Faltungstheorem:R∞

−∞

dk

2π f˜1(k) ˜f2(k)e^ikt=R∞

−∞dt⁰ f1(t⁰)f2(t−t⁰)

Fouriertransformierte eines Produkts:g(x) :=f1(x)f2(x) ⇒ g(k) =˜ _2π¹ f˜1(k)∗f˜2(k) Fouriertransformierte einer Faltung:g(x) :=f1(x)∗f2(x) ⇒ g(k) = ˜˜ f1(k) ˜f2(k) Lösung einer Dierentialgleichung mit der Green'schen Funktion

(DierentialoperatorD_t=P∞

n=0a_ndt^dn_n =_dt^d2₂ + 2γ_dt^d +ω²₀ beim harmonischen Oszillator).

1. Finde die Green'sche FunktionG(t), für die gilt:D_tG(t−t⁰) =δ(t−t⁰)

2. Die partikuläre Lösung vonDt x(t) =f(t)errechnet sich dann durchxp(t) =R∞

−∞dt⁰ G(t−t⁰)f(t⁰)

2

Zylinderkoordinaten

Transformation:(x, y, z) = (ρcosφ, ρsinφ, z)

Einheitsvektoren:eˆ_ρ= ˆe_xcosφ+ ˆe_ysinφ eˆ_φ=−ˆe_xsinφ+ ˆe_ycosφ eˆ_z= ˆe_z ˆ

eρˆeρ= ˆeφeˆφ= ˆezeˆz= 1 eˆρeˆφ= ˆeφˆez= ˆezeˆρ= 0 _dt^dˆeρ= ˙ˆeρ= ˆeφφ˙ _dt^dˆeφ = ˙ˆeφ=−ˆeρφ˙ _dt^dˆez= 0 Integration über einen kreisförmigen Weg:d~r= ˆe_φρdφ

Volumenelement:dV =ρ·dρ dφ dz Polarkoordinaten

Transformation:(x, y, z) = (rcosφsinθ, rsinφsinθ, rcosθ)

Einheitsvektoren:



 ˆ e_r ˆ e_φ ˆ e_θ



=



 ˆ

e_xcosφsinθ+ ˆe_ysinφsinθ+ ˆe_zcosθ

−ˆe_xsinφ+ ˆe_ycosφ ˆ

e_xcosφcosθ+ ˆe_ysinφcosθ−ˆe_zsinθ





˙ˆ

er= ˙φˆeφsinθ+ ˙θˆeθ e˙ˆφ=−φˆ˙ersinθ−cosθφˆ˙eθ e˙ˆθ= ˙φˆeφcosθ−θˆ˙er

Volumenelement:dV =r²sinθ dr dφ dθ Energie

Kinetische Energie:T =Ekin =¹₂m~v² Potentielle Energie:U(~r)−U(~r₀) =−R~r

~

r0d~r⁰F(~~ r⁰) (r~₀: Referenzpunkt) Kraft:F~(~r) =−grad U(~r) =−∇U~ (~r) F~ =F~konservativ+F~dissipativ

Stokes'scher Satz:R R

d~s rot F =H

d~r ~F(~r) (d~s: innitesimale Flächenelemente) Stokes'sches Theorem:R

d~r ~F =R

dAˆez(∇ ×~ F~)

Integration der Bewegungsgleichung mittels Energiesatz:

m¨x=F(x) F(x) =−d

dxU(x) ⇒ E= 1

2mx˙²+U(x) =const(Energieerhaltung)

⇒ x˙ = r2

m(E−U(x)) = dx

dt ⇒

r2

mdt= dx

pE−U(x) ⇒

r2 m

Z t t0

dt⁰= Z x

x0

dx⁰ 1 pE−U(x⁰) Potentielle Energie:U(~r1...~rN) =U^(ext)(~r1...~rN) +U^{(W W)}(~r1...~rN)

• Äuÿere Kräfte:U^(ext)(~r₁...~r_N) =PN

i=1U_i^(ext)(~r_i)

• Wechselwirkungen:U^{(W W)}(~r1...~rN) =PN

i=1,j>iU_ij^{(W W)}(~ri, ~rj) Galilei-Transformationen

Bezugssysteme bewegen sich relativ zueinander mitd(t) =~ d~0+~v0t

• ~r=~r⁰+d(t)~

• x_i=x⁰_i+d_0i+v_0it

• x⁰_i=xi−d0i−v0it Allgemein:x⁰_i=P3

j=1αijxj x⁰_i(t⁰) =P3

j=1αijxj−d0j−v0it

• t⁰ =t−t0

• ~v=~v⁰+v0

• ~r¨⁰ = ¨~r Schwerpunkt

Gesamtmasse:M =PN i=1mi

Schwerpunkt:R~ = _M¹ PN i=1mi~ri

Gesamtimpuls:P~ =PN

i=1~p_i=PN

i=1m_i~r˙_i=MR~˙

3

Kraft:F~i=P~˙i=F~_i^(ext)+PN

i=1,j>iF~_ij^(ww)(~ri, ~rj) F~_ij^(ww)=−F~_ji^(ww)⇒P~˙ =PN

i=1F~i=PN

i=1F~_i^(ext) Reduzierte Masse: _µ¹ = _m¹

1 +_m¹

2 ⇔ µ=_m^m1m2

1+m₂

µ~¨r=−f(r)^~r_r (~r: Abstandsvektor der Relativbewegung,~r=~r1−~r2, r=|~r|, z.B.f(r) =γ^m1_r^m2 ²)

→2-Körper-Problem ohne äuÿere Kräfte läÿt sich reduzieren auf ein 1-Körper-Problem im Abstandr mit der redu- zierten Masseµund trivialer Schwerpunktsbewegung.

Eektives Potential:Uef f(r) =_2µr^L22 +U(r) Drehimpuls

Drehimpuls:L~ =~r×~p Lz=mρ²φ˙ L~ =PN

i=1r~i×p~i

Drehmoment:N~ =~r×F~ =_dt^d~L N~ =PN

i=1r~i×F~i

Für Zentralkräfte (Richtungˆeρ) gilt:L~ =const Zentrifugalkraft:F_Zf = _mρ^L2Z₃ =mρφ˙²

Kepler'sche Gesetze

1. Planeten bewegen sich auf Ellipsenbahnen

2. Der Fahrstrahl Sonne-Planet überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen 3. UmlaufzeitT und groÿe Halbachse aerfüllen:T²∝a³

Ellipsengleichung: ^x_a²2 +^y_b2² = 1 (a, b: Halbachsen) Integrale

• R

dx_a2−x^{1 2} =_2a¹ ln^a+x_a−x (|x|< a)

• R∞

−∞

dω 2πi

e^iωt ω−z =

0 Im z·t <0 e^izt Im z·t >0

• R∞

−∞dx e^ikx= 2πδ(k)

• Rx

0 dx^0√_x02¹₊₁ =arcsinh(x)

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