Dreht sich die Erde?

10b Gravitation

2

Dreht sich die Erde?

Foucaultsches Pendel

Pendel am Nordpol

Pendel dreht sich unter dem Pendel weg 1 komplette Drehung am Tag, d.h. 15

pro Stunde

54.05 o

Rostock

= Θ

Rostock in

Stunde pro

12.2

Drehung pro

h 29.5

0.814 Θ

sin

HRO d

Breitengra :

sin

gkeit geschwindi

der Winkel

Komponente Azimutale

o

HRO

⇓

⇓

= Θ

Θ

=

HRO

HRO NP

HRO ω

ω

Nachtrag Rotation

ohne Drehmoment ändert sich die Bahnebene des Pendels nicht

Zusammenfassung

2 2 1

r m G m

F r r

=

Eine sphärische Schale aus Materie wirkt auf ein äußeres Teilchen so als wäre seine Masse im Zentrum konzentriert.

Newtons Schalentheorem

Cavendish Experiment zur Bestimmung der Gravitationskonstante

Die Beschleunigungswerte in unterschiedlichem Abstand von der Erde verhalten sich wie das

inverse Quadrat der Radien

( )

2

) (

) (

h R

R R

g

h R

g

Erde Erde Erde

Erde

≈ + +

Newtons Gravitationsgesetz

4

Superposition

∑

=

+ + +

+

=

N

i i res

N res

F F

F F

F F

F

1 1 ,

1

1 14

13 12

,

1

...

r r

r r

r r

r

Gravitationswechselwirkung zwischen Teilchen ist die Summe von Einzelwechselwirkungen

F d F r

v

∫

,

=

1

In realen Objekten ist es sinnvoll, den Körper in kleine Stücke der Masse dm zu teilen und die Wirkung auf das betrachtete Teilchen auszurechnen und zu summieren.

Die Gravitationswechselwirkung kann nicht abgeschirmt werden!

hen im Universum mit Newtons Apfel

Letztendlich wechselwirkt jedes Teilc

Kräfte auf den Mond

Erde und Sonne wirken über die Gravitation auf die Bewegung des Mondes

( )

( ^{1.50 kg 10 1.99 m} ) ^{1 0 kg 4 . 34 10 N}

10 7.35 kg²

10 Nm² 67

. 6

N 10 99 . m 1

10 3.84

kg 0 1 5.98 kg

10 7.35 kg²

10 Nm² 67

. 6

20 11 2

30 22

11

20 8 2

24 22

11

⋅

⋅ =

⋅

⋅

⋅ ⋅

=

⋅

⋅ =

⋅

⋅

⋅ ⋅

=

−

−

MS ME

F F

18 . N 2 10 99 . 1

N 10 34 . 4

20

20

=

⋅

= ⋅

ME MS

F F Θ

( ) ( )

( ) ( )

N 10 77 . 4

N 10 34 . 4 N

10 99 . 1

20

20 2 20 2

2 2

⋅

=

⋅ +

⋅

=

+

=

res res

MS ME

res

F F

F F

F

°

= Θ

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

⋅

= ⋅

Θ

6 . 24

N 10 34 . 4

N 10 99 .

tan 1

20 1

F

F

F

Gravitationswechselwirkung zwischen Sonne und Mond größer als zwischen Erde und Mond

Erde-Mond

Sonne-Mond

In diese Richtung zeigt die resultierende Gravitationsbeschleunigung

Richtung

Betrag

Vergleich der beiden Kräfte

r 2

M G m

F r ^Mond r ^x

=

6

Geosynchroner Satellit

Radius des Orbits

( ) ( )

km 250 9.87 42

s 10 8.64 kg

10 s²kg 5.98

10 m

3

6.67

5 2 24

3 11

=

⋅

⋅

⋅

⎟⎟ ⋅

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ ⋅

=

−

r

86400s 2 v 2

Bahn ne

geosynchro

Sat Sat

r

T

π r ₌ π

=

² 4

2 1

v

2 3

2 2

2 2

π T r GM

T π r m r

r M G m

m r r

M G m

E Sat

Sat Sat

Sat sat

E Sat

Sat Sat Sat sat

E Sat

=

⇓

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛

⇓

=

( )

s 3072 m m

10 42.25

kg 10 s²kg 5.98

10 m 6.67

v

3 24 11

⋅ =

⎟⎟ ⋅

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ ⋅

=

=

−

Sat E

sat

r

GM

Umlaufbahn eines geosynchronen Satelliten circa 36000 km

r

– Erdradius (6800 km)

Geschwindigkeit des Satelliten

Rotation Gravitation

auflösen nach r_Sat

Geschwindigkeit berechnet aus Umlaufzeit und Radius

Bahnradius eines

geostationären Satelliten

auflösen nach v_Sat

⇒

=

Sat Sat Sat

E Sat

m r r

M G m

2

v

²

Keplerschen Gesetze

vor Newton!

Erstes Keplersches Gesetz

Die Bahn eines Planeten um die Sonne ist eine Ellipse mit der Sonne in einem der Brennpunkte der Ellipse.

Zweites Keplersches Gesetz

Jeder Planet bewegt sich so, dass wenn man eine Linie zieht zwischen dem Planeten und Sonne gleiche Flächen zu

gleichen Zeiten überstrichen werden (Flächensatz).

Drittes Keplersches Gesetz

Das Verhältnis der Quadrate der Perioden (T

T

) von zwei Planeten ist gleich dem Verhältnis der der Kuben der großen Halbachsen ihrer Bahnellipsen (R

R

).

2 2

3 2 2

1 3 1 3

2 3 1 2

2 2

1 oder

T R T

R R

R T

T = =

Kepler 1

Kepler 2

es folgt der Beweis

8

Beweis des Dritten Keplerschen Gesetzes

Annahme:

Bahn des Planeten x ist nahezu kreisförmig (das stimmt nahezu)

S x

x

x x x x

S x

x x x

x x

S x

GM r

T

T r m r

M G m

T r m r

r M G m

2 3

2

2 2

x 2

x 2

4 4

²

v 2 v und

π π

π

=

⇓

=

⇓

=

=

Wo findet man Saturn?

1 AE = Abstand Sonne-Erde

AE 58 . 9 er Wert

Akzeptiert

AE 54 . 1 9

a 457 .

29

3 2

=

⎟ =

⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛

S E

E S S

r r a

T r T

Wo schwer ist die Sonne?

Auflösen der Gleichung nach M_S

( )

( )

kg 10

989 . 1 er Wert

Akzeptiert

kg 10 2

s 10 kg² 3.16

10 Nm² 6.67

m 10

² 1.5 4

² 4

30 30

7 2 11

11 3 2 3

⋅

=

⋅

=

⎟⎟ ⋅

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ ⋅

= ⋅

=

S S

S

E ES S

M M

M

GT M r

π

π

qed

Konstanten auf eine Seite bringen

Kepler 3 nur Konstanten

auf dieser Seite

der Gleichung

Sonne und Planeten

Kepler 3

Erde Venus Merkur

Mars

Jupiter

Uranus

Pluto

Neptun

Die Daten aller Planeten und Pluto bestätigen die Vorhersagen des Dritten Keplerschen Gesetzes

10

R³/T²

Planeten vs Monde um Jupiter

Extrasolare Planeten

5. Februar 1996

12

A planet orbiting the neutron star PSR B1829−10

Nature 352, 311 (1991) CONVENTIONAL optical techniques for detecting companions to stars have been unable to confirm the existence of other planetary systems. This is because of the small angular separation (less than an arcsecond) and relative luminosity (~10–10 of any planet with respect to its parent star. As the velocity of the star due to the motion of a planet is likely to be only about one metre per second, detection

through the Doppler shift of spectral lines in the stellar atmosphere is also impractical.

Here we report observations which imply the existence of a planet-sized companion orbiting a neutron star, the pulsar PSR 1829–10, whose motion can be

seen by Doppler effects on the observed arrival times of the pulses from the rotating neutron star. The planet is about 10 times the mass of the Earth, and is in an almost circular six-month orbit.

aftermath of the supernova that created the neutron star, or was pre-existing and somehow survived through the late phases of stellar evolution and neutron-star formation. In either case, the existence of the planet challenges conventional theories of the formation of

neutron stars from supernovae and has important implications for the existence of planetary systems around other stars.

Durch die elliptische Bahn der Erde um die Sonne zu einer Verschiebung der Ankunftszeit der Strahlung mit einer halbjährlichen Periode. Diese ist anderes als bei einer Kreisbahn der Erde um die Sonne. Das haben die Forscher nicht berücksichtigt.

Bahn der Planeten um die Sonne ist elliptisch

No planet orbiting PSR 1829-10

6 12

6 Monate ^weiteste Entfernung vom Pulsar

Strahlung des Pulsars

Monate 0

Ankunftszeit

Extrasolare Planeten

Abschwächung des Lichts der entfernten Sonne nur um wenige Prozent

Notwendige Bedingungen um extrasolare Planeten zu beobachten

kurze Umlaufzeit geringer Orbit

großer Planet mit große Masse Bewegungsrichtung in Richtung Erde

geringer Abstand zur Erde

% 100

%

98

14

Entdeckung extrasolarer Planeten

½ Masse Jupiter Umlaufzeit 4.2 Tage Bahnradius 0.05 AE

Entfernung zur Erde 40 LJ 5 Oktober 1995

M. Mayor and D. Queloz

Anzahl entdeckter

Exoplaneten pro Jahr aktueller Stand Januar 2010 424Exoplanten

Erster direkte optische Beobachtung

1-2 Jupitermassen 1000 Jahre Umlaufzeit Abstand zur Sonne 100 AE

Alter 2 Millionen Jahre

Atmosphäre CO

, H

0

Entfernung zur Erde 460 LJ

16

Wie wird die Gravitationskraft übertragen?

Relativistische Effekte werden in der klassischen Mechanik nicht berücksichtigt. Die Wechselwirkung ist instantan, d.h. ein Objekt am anderen Ende des Universums

wechselwirkt unmittelbar mit Newtons Apfel. Das kann nicht sein, da die größte Geschwindigkeit, mit der Information (auch die Graviattionswechselwirkung)

übertragen werden kann, die Lichtgeschwindigkeit ist

Kosmische Geschwindigkeiten

Gleichgewicht

Energie aus Zentripedalbeschleunigung identisch mit Schwerkraft

( )

(

)

2

2 0 h 0

h

1

R g GM g

h R

R² g(h) g

h GM R

g(h) R² G M

h

= +

⇓

= +

=

→

=

=

=

=

( )

R h gR h

R gR

h R mg R h

h mg R

² m

+ + =

=

⇓

= + + =

1 v

) ² v (

2

2

1. Fallstudie geringer Höhe h das heißt, dass h<<R

also kann man vereinfachen: (R+h)~R

s 91 m . 7 m 10 s² 6.38

81 m . 9 v

1 1

6

1

= = ⋅ =

→ +

gR

R h

Erste kosmische Geschwindigkeit

2. Fall: Energieerhaltung, d.h. E

= E

s 11.2 m m

10 s² 6.38

9.81 m 2

2 v

2 mv² 1

6

2

= = ⋅ ⋅ ⋅ =

⇓

=

gR

mgR

Zweite kosmische Geschwindigkeit Flugbahn ist eine Parabelbahn

v<v

: Körper kehren auf die Erde zurück Bahnen sind Teil der Kepler Ellipse

Erde befindet sich im näherem Brennpunkt der Ellipse Flugbahnen sind keine Wurfparabeln.

Frühere Annahme: g(h) ist konstant.

Dies gilt allerdings nur für geringe Werte von h

auf der Erdoberfläche

oberhalb der Erdoberfläche

Rotation Gravitation

18

Kosmische Geschwindigkeiten

wenn man h nicht vernachlässigen kann

Erste kosmische Geschwindigkeit

s 91 m . 7 v

= gR =

Energieerhaltung

potentielle Energie wird vollständig in kinetische Energie umgesetzt

s 11.2 m v

2 v

m 10 s² 6.38

9.81 m 2

v

2 v

2 mv² 1

1 2

6 2

2

=

=

⋅

⋅

⋅

=

=

⇓

=

gR mgR

Zweite kosmische Geschwindigkeit

Flugbahn ist eine Parabelbahn

Schwarzes Loch

Ein Objekt, dass ein Schwarzes Loch verlassen will, benötigt eine Geschwindigkeit, die der

Lichtgeschwindigkeit entspricht

2 2

2 2

v 2 v 2

2 mv 1

SL SL

SL

R GM R

GM

R R m GM mgR

=

⇔

=

=

=

Fluchtgeschwindigkeit aus einem Schwarzen Loch

SL

= c v

2

2 c R

= GM

Schwarzschildradius

Newtons Apfel 1.5x10

m Erde 9 mm

Sonne 1500 m

Notwendig Masse zur Bildung eines Schwarzen Loches (1.5 Sonnenmassen)

Schwarzschildradius

20

Das Schicksal der Sonne

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

=

NS NS Sun

Sun

NS NS Sun

Sun

I T I T

I I

π π

ω ω

2 2

Fusionsprozesse in der Sonne und die Massenanziehung halten sich die Waage und verhindern einen Gravitationskollaps der Systems

Irgendwann ist der Brennstoff aufgebracht. Dann stützt die gesamte Masse der Sonne ins Zentrum. Die Masse reicht aber nicht aus um ein Schwarzes Loch zu bilden. Statt dessen

wird sich ein Neutronenstern bilden mit einem Durchmesser von wenige Kilometern.

Rotationsdauer der Sonne: 29 Tage Rotationsdauer des Neutronensterns: 1 ms

d.h. 1000x pro Sekunde

Zusätzliche Auswirkung

Wegen Drehimpulserhaltung dreht sich dieser Stern mit einer enormen Geschwindigkeit

Drehimpulserhaltung

Trägheitsmoment der Sonne

( )

m² kg 10 9 . 3

m 10 7 kg 10 5 1.99 2

5 2

46

8 2 29

2

⋅

=

⋅

⋅

=

=

Sun Sun

Sun Sun Sun

I I

R M I

( )

m² kg 10 2 . 7

m 10 3 kg 10 5 1.99 2

5 2

35

3 2 29

2

⋅

=

⋅

⋅

=

=

NS NS

NS Sun NS

I I

R M I

( )

( )

2

10 4 . 5 ⋅

=

=

NS Sun NS

Sun

R R I

I

Rotationsperiode 29 Tage

Trägheitsmoment der Neutronensterns

ms 4 . 1

tg 10 56 . 1

tg 29 10

4 . 5

8 10

=

⋅

=

⋅

⋅

=

=

−

−

NS NS NS

Sun NS NS Sun

T T T

I T

T I

Gibt es im Zentrum der Milchstrasse ein Schwarzes Loch?

22

Gibt es im Zentrum der Milchstrasse ein Schwarzes Loch?

Umlaufperiode 15.5 Jahre Frage

Wie groß ist die Masse des Objektes?

Größte Annäherung

17 Lichtstunden

Wie groß ist ist die Masse des Objekts?

Umlaufperiode 15.5 Jahre Radius der großen Halbachse

( ^{= R 1.43}

^{= ⋅ 5 10 . 5}

^{LT m} )

( )

Sonne SL

SL SL

S S SL

SL S

S

M M

M M

a M GT

GM a

T

6 36

7 2 11

14 3 3

2 2

2 3

2 2

2

10 88 . 1

kg 10 88 . 1

a s 10 a 3.15

5 . kg² 15

10 Nm² 67

. 6

m 10 1.43

² 4

² 4

² 4

⋅

=

⋅

=

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ ⋅

⋅

= ⋅

=

=

−

π

π π

Kepler 3

Sonne SgrA

SgrA

D D

c R GM

⋅ ⋅

= ⋅

⋅

=

=

8 10 ~

7

10 57 . 5

m 10 79 . 2 2

8 9

9 2

Wie groß könnte das Objekt

vorher gewesen sein?