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Dreht sich die Erde?

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Academic year: 2022

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(1)

1

10 Gravitation

Vorbereitungsseminar zur Klausur Dienstag 3.2.2009

Klausur zur Vorlesung Dienstag 10.2.2009

jeweils 9 Uhr Seminarraum 1

Alte Bibliothek

(2)

Dreht sich die Erde?

Foucaultsches Pendel

Pendel am Nordpol

Pendel dreht sich unter dem Pendel weg 1 komplette Drehung am Tag, d.h. 15o pro Stunde

54.05

o

Rostock

= Θ

Rostock in

Stunde pro

12.2

Drehung pro

h 29.5

0.814 Θ

sin

HRO d

Breitengra :

sin

gkeit geschwindi

der Winkel

Komponente Azimutale

o

HRO

= Θ

Θ

=

HRO

HRO NP

HRO

ω ω

Nachtrag Rotation

ohne Drehmoment ändert sich die Bahnebene des Pendels nicht

(3)

3

Dreht sich die Erde? Ja!

Foucaulsches Pendel im Institut für Physik

12.2

o

Stunde pro

Drehung

12:34 Uhr 13:08 Uhr 14:54 Uhr

Grob twa 24 Grad Drehung beobachtet Berechneter Wert 22.3 Grad

(4)

Annäherung an das Thema Gravitation

(5)

5

Gravitationsgesetz

Apfel

Baum

Vorstellung vor Newton:

Die Bewegung von Körper auf der Erde (Apfel) und die Bewegung von

Himmelskörpern haben nichts miteinander zu tun und werden durch unterschiedliche

Naturgesetze beschrieben

Gedenktafel in Cambridge

(6)

Beschleunigung des Mondes

Zentripedalbeschleunigung

²

2

4

M EM

M

T

a = π r

( )

Umlaufperiode des Mondes: 27.3 Tage (2.36x106 s) Radius der Mondbahn: 3.86x108 m (60xRE)

s² 0027 m .

s² 0 10 m 69 . 0 48 . s 39

10 36 . 2

m 10 86 .

² 3

4

2 4

6

8

= ⋅ ⋅ =

= π ⋅

a

M

( )

2 2

2 4

60 1 3600

10 1 75 . 2 s²

9.81 m s² 0.0027 m

EM E M

M

r R g

a g

a

=

=

=

=

Beschleunigungswerte verhalten sich wie das inverse Quadrat der Radien Vergleich mit der der

Beschleunigung an der Erdoberfläche

T r m r

ma 2

v

2

v = π

=

allgemein

aha hier ergibt sich möglicherweise ein Zusammenhang

(7)

7

Gravitationsgesetz

Newtons Vorschlag für ein Gravitationsgesetz

2 2 1

r m G m

F r r

² =

~

1 2

r

m

F r m r

Proportionalitätsfaktor???

Apfel

R=6.37x106 m ρ=5000 kg/m³

2 2

² R

m R g

m m

g G m

R m G m

g m

E E

A A E

A

A

= ⇒ = =

s² kg 10 m³ 39 . 7 m 10 m³ 6.37

5000 kg

s² 9.81 m 24

. 0

4 3 3 ³

4

11 6

2

=

=

=

=

G

R g R

G gR

ρ ρ π

π

Newtons Abschätzung für die Gravitationskonstante

Akzeptierter Wert G 6.67x10-11 m-3kg-1s-2 damaliger Wert im Vergleich zum heutigen genau innerhalb von 10%

(8)

Gravitationskonstante

kg² N m² kg²

m² s²

m kg kg

s² ] m³

m² [ ] kg² s² [

m kg

analyse Dimensions

⎟ =

⎜ ⎞

⎛ ⋅

⋅ =

=

⋅ =

G G

kg² N m² 10

67 . 6

e nskonstant Gravitatio

11

= G

F r r r ˆ

r

F r

r

Gravitationkraft auf Masse m1durch Masse m2. Vektor F zeigt in Richtung von m2. Länge ist Maß für

die Stärke der Wechselwirkung

Vektor F zeigt in Richtung der Achse die durch die Verbindungslinie

zwischen den beiden Massen bestimmt ist

m

1

m

2

Die Richtung wird angegeben durch einen dimensionslosen

Einheitsvektor

e

r

r m G m

F r r

²

2

=

1 2

2 1

r m G m

F r r

=

2 2 1

r m G m

F =

~

1

²

2

r

m F r m r

Drei unterschiedliche Arten, das Gravitationsgesetz zu schreiben

(9)

9

Cavendish Experiment

Weighting the earth (1797)

Henry Cavendish 1731-1810

Notwendig: Messung der Gravitationskonstanten G

kg² 10 Nm²

67 . 6

ert Heutiger W

11

= G

Exakt beschreibt das Gravitationsgesetz nur die Wechselwirkung zwischen zwei Massen im Abstand r. Bei ausgedehnten Objekten muss man unter Umständen über alle Zweikörperkräfte summieren bzw. integrieren

²

2 1

r m G m

F =

Gravitationsgesetz

Gravitationswechselwirkung zwischen zwei Personen

( ) 1 m 80 kg 3 . 2 10 N

kg 60 kg² 10 Nm² 67

. 6

²

7 2

11

2 1

⋅ = ⋅

=

= F

r m G m F

Geniale Idee: Die Kraft, die notwendig ist, einen dünnen Quarzfaden zu verdrehen, ist in derselben Größenordnung wie die Gravitationskraft zwischen

zwei Bleikugeln in geringen Abstand

(10)

Cavendish Experiment

Weighting the earth (1797)

kg 10 99 . 5 s²kg

10 m³ 6.67

m 10 s² 6.38

9,81 m

²

24 11

6 2

=

= ⋅

=

=

E

E

E A A

M

G M gR

R M G m

g m

Wie schwer ist die Erde?

Die Bestimmung dieses Wertes hängt davon ab, wie genau man den Wert von G bestimmt hat. Tatsächlich wiegt man in dem Cavendish Experiment nicht nur die Erde, sondern auch

gleichzeitig die Sonne sowie alle Planeten und Monde.

(11)

11

Hubble Crash

Gewicht des Teleskops verringert sich mit dem Abstand zur Erde

Masse des Hubble Teleskops 11 600 kg

Gewicht des Teleskops auf der Erde und im

Orbit RErde+600 km

( )

N 10 1.14

m 10 6.38

kg 11600 kg

10 5.98 m²kg 10 N

67 . 6

5

6 2 11 24

2

=

⋅ ⋅

=

=

Erde Erde

E H E Erde

W W

r m G M

W

( )

( )

N 10 0.95

m 10 .60 0 m 10 6.38

kg 11600 kg

10 5.98 m²kg

10 N 67 . 6

5

6 2 6

24 11

2

=

⋅ +

⋅ ⋅

=

= +

Erde Erde

orbit E

H Erde E

W W

h r

m G M

W

auf der Erde im All

(12)

Newtons Schalentheorem

Masse des Apfels: 100g

Masse der Erde 5,9736x1024 kg Radius der Erde 6380 km

( 6.380 10 10 kg m 0.1kg ) 0 . 98 N

5.98 s²kg

10 m³

6.67

2

6 24 11

-

2

⎟ ⎟ =

⎜ ⎜

⎟⎟ ⋅

⎜⎜ ⎞

⎛ ⋅

=

=

E A E

r m G m

F

Beschleunigung des Apfels

s² 8 m . 0.1kg 9

0.98N

N 98 . 0

=

=

=

= a

ma F

Beschleunigung der Erde

s² 10 m

64 . kg 1 10 5.98

0.98N N 98 . 0

25 24

⋅ =

=

=

= a

ma F

Gravitationswechselwirkung kann nicht dividiert werden

oft, so auch in diesem Fall ist die Auswirkung auf einen der Objekte vernachlässigbar gering

Gravitationskraft

Eine sphärische Schale aus Materie wirkt auf ein äußeres Teilchen so als wäre seine Masse im Zentrum konzentriert

Newtons Schalentheorem

Erde kann als Abfolge von Massenschalen angesehen werden, bei der jede Schale auf ein äußeres Teilchen wirkt und zwar so, als ob die Masse einer jeden Schale im Zentrum konzentriert ist

(13)

13

Mond ade!

Drehimpulserhaltung

EM E

EM M EM

M E

r Gm

r m r

m G m

=

= v

2

Kräftegleichgewicht

EM M

EM E M EM

E M

EM M

M EM M

r L

r m r Gm

m Gm r

m r L

=

=

= v

2

Durch die Gezeitenkräfte verlangsamt sich die Erdrotation

Folge:

Der Drehimpuls der Erde verringert sich. Wegen

Drehimpulserhaltung erhöht sich der Drehimpuls des Mondes

Bei einer Erhöhung des

Drehimpulses vergrößert sich der Abstand zwischen Erde und Mond Einsetzen in die Formel für den Drehimpuls

(14)

Superposition von Kräften

=

=

+ + +

+

=

N

i i res

N res

F F

F F

F F

F

1 1 ,

1

1 14

13 12

,

1

...

r r

r r

r r

r

Gravitationswechselwirkung zwischen Teilchen ist die Summe von Einzelwechselwirkungen

Die Gravitationswechselwirkung kann nicht abgeschirmt werden.

Letztendlich wechselwirkt jedes Teilchen im Universum mit Newtons Apfel

F d F r

res

v

,

=

1

In realen Objekten ist es sinnvoll den Körper in kleine Stücke der Masse dm zu teilen und die Wirkung auf das betrachtete Teilchen auszurechnen und zu summieren.

(15)

15

System aus drei Teilchen

m

2

m

3

m

1

r 3

r 2

( )

1 22

2 ,

1

3r

m G m

F r =

( )

1 23

3 ,

1

2r

m G m

F r =

( )

13 12

2 13 2

12 ,

1

tan F

F F F

F

res

= − Θ

− +

=

m 1

2 2

kg 1 Beispiel

3 2

1

=

=

=

=

= r

m m

m

m m

( )

( ) 2 m 3 . 34 10 N kg

2 kg 1 kg 10 m³s² 67 . 6

N 10 48 . m 1

3

kg 2 kg 1 kg 10 m³s² 67 . 6

11 2

11 3

, 1

11 2

11 2

, 1

⋅ =

=

⋅ =

= F F r r

( ) ( )

°

⎟⎟ =

⎜⎜ ⎞

= ⋅ Θ

=

− +

=

N 24 10 3.34

N 10 tan 1.48

N 10 3.65 N

10 3.34 N

10 1.48

11 11 1

2 11 2 11

11 ,

1res

F r

Kräfte wirken senkrecht aufeinander!

Resultierende Kraft ist also nicht einfach die Summe der Einzelkräfte, d.h. Vektorsumme

muss gebildet werden

Einzelkräfte

°

=

Θ 24

Richtige Lösung -23°+180°=

Richtige Lösung Θ=156°

da tan α= tan(180+α)

y

x

nur y-Komponente positiv nur x-Komponente

negativ

(16)

Kräfte auf den Mond

( )

( 1.50 kg 10 1.99 m ) 1 0 kg 4 . 34 10 N

10 7.35 kg²

10 Nm² 67

. 6

N 10 99 . m 1

10 3.84

kg 0 1 5.98 kg

10 7.35 kg²

10 Nm² 67

. 6

20 11 2

30 22

11

20 8 2

24 22

11

⋅ =

⋅ ⋅

=

⋅ =

⋅ ⋅

=

MS ME

F F

18 . N 2 10 99 . 1

N 10 34 . 4

20

20

=

= ⋅

ME MS

F F Θ

( ) ( )

( ) ( )

N 10 77 . 4

N 10 34 . 4 N

10 99 . 1

20

20 2 20 2

2 2

=

⋅ +

=

+

=

ME MS

res

F F

F

°

⎟⎟ =

⎜⎜ ⎞

= ⋅

Θ

24 . 6

N 10 34 . 4

N 10 99 .

tan 1

20

1 20

F

ME

F

MS

F

res

Gravitationswechselwirkung zwischen Sonne und Mond größer als zwischen Erde und Mond

(17)

17

Geosynchroner Satellit

Radius des Orbits

( ) ( )

km 250 9.87 42

s 10 8.64 kg

10 s²kg 5.98

10 m

3

6.67

5 2 24

3 11

=

⎟⎟ ⋅

⎜⎜ ⎞

⎛ ⋅

=

r

sat

86400s 2 v 2

Bahn ne

geosynchro

Sat Sat

r

Sat

T

π r = π

=

² 4

T r 2 1

²

v

²

2 3

2 Sat 2 Sat

π

π

T r GM

m r r

M G m

m r r

M G m

E Sat

Sat Sat Sat

E Sat

Sat Sat Sat

E Sat

=

⎟ ⎠

⎜ ⎞

= ⎛

=

( )

s 3072 m m

10 42.25

kg 10 s²kg 5.98

10 m 6.67

v

6

24 3

11

⋅ =

⎟⎟ ⋅

⎜⎜ ⎞

⎛ ⋅

=

=

Sat E

sat

r

GM

Umlaufbahn eines geosynchronen Satelliten circa 36000 km

rSat4– Erdradius (6800 km)

Geschwindigkeit des Satelliten

Rotation Gravitation

auflösen nach rSat

Geschwindigkeit berechnet aus Umlaufzeit und Radius

Bahnradius eines

geostationären Satelliten

auflösen nach vSat

=

Sat Sat Sat

E Sat

m r r

M G m

2

v

Sat

²

(18)

Keplerschen Gesetze

vor Newton!

Erstes Keplersches Gesetz

Die Bahn eines Planeten um die Sonne ist eine Ellipse mit der Sonne in einem der Brennpunkte der Ellipse.

Zweites Keplersches Gesetz

Jeder Planet bewegt sich so, dass wenn man eine Linie zieht zwischen dem Planeten und Sonne gleiche Flächen zu

gleichen Zeiten überstrichen werden (Flächensatz).

Drittes Keplersches Gesetz

Das Verhältnis der Quadrate der Perioden (T1, T2) von zwei Planeten ist gleich dem Verhältnis der der Kuben der großen Halbachsen ihrer Bahnellipsen (R1, R2).

2 2

3 2 2

1 3 1 3

2 3 1 2

2 2

1

oder

T R T

R R

R T

T = =

Kepler 1

Kepler 2

(19)

19

Beweis des Dritten Keplerschen Gesetzes

Annahme:

Die Planetenbahn ist nahezu kreisförmig (das stimmt fast)

S S

S

GM r

T

T r m r

M G m

T r m r

r M G m

2 3

1 2 1

2 1

1 1 2

1 1

1 1 1

1 2 1 2 1

1 1

4 4

²

v 2 v und

π π

π

=

=

=

=

Wo findet man Saturn?

1 AE = Abstand Sonne-Erde

AE 58 . 9 er Wert

Akzeptiert

AE 54 . 1 9

a 457 .

29

32

3 2

=

⎟ =

⎜ ⎞

= ⎛

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

= ⎛

S E

E S S

r r a

T r T

Wo schwer ist die Sonne?

Auflösen der Gleichung nach MS

( )

( )

kg 10

989 . 1 er Wert

Akzeptiert

kg 10 2

s 10 kg² 3.16

10 Nm² 6.67

m 10

² 1.5 4

² 4

30 30

7 2 11

11 3 2 3

=

=

⎟⎟ ⋅

⎜⎜ ⎞

⎛ ⋅

= ⋅

=

S S

S

E ES S

M M

M

GT M r

π

π

qed

Konstanten auf eine Seite bringen

Kepler 3 nur Konstanten

(20)

Sonne und Planeten

3. Keplersches Gesetz

(21)

21

R³/T²

Planeten vs Monde um Jupiter

(22)

Extrasolare Planeten

5. Februar 1996

(23)

23

Extrasolare Planeten

Abschwächung des Lichts der entfernten Sonne nur um wenige Prozent

Notwendige Bedingungen um extrasolare Planeten zu beobachten

kurze Umlaufzeit geringer Orbit

großer Planet, große Masse Bewegungsrichtung in Richtung Erde

geringer Abstand zur Erde

(24)

Entdeckung extrasolarer Planeten

½ Masse Jupiter Umlaufzeit 4.2 Tage Bahnradius 0.05 AE

Entfernung zur Erde 40 LJ 5 Oktober 1995

M. Mayor and D. Queloz

Stand Feb. 2005

97 Planetensysteme mit 144 Planeten

(25)

25

Erster direkt beobachteter Extrasolarer Planet

1-2 Jupitermassen 1000 Jahre Umlaufzeit

Abstand 100 AE Alter 2 Millionen Jahre

Atmosphäre Kohlenmonoxid, Wasserdampf Entfernung zur Erde 460 LJ

(26)

Wie wird die Gravitationskraft übertragen?

Relativistische Effekte werden in der klassischen Mechanik nicht berücksichtigt. Die Wechselwirkung ist instantan, d.h. ein Objekt am anderen Ende des Universums wechselwirkt unmittelbar mit Newtons Apfel

(27)

27

Kosmische Geschwindigkeiten

Gleichgewichtsbedingung:

Zentrifugalbeschleunigung identisch mit Schwerkraft

( )

( R h ) g

g(h)

h R G M g(h)

G M

2

und

2

g

= +

= +

=

( )

R h gR h

R gR

h R

M mg R

h h mg

R

² m

+ + =

=

= + + =

1 v

) ² v (

2

2

1. Fallstudie

geringer Höhe, d.h. h<<R

s 91 m . 7 m 10 s² 6.38

81 m . 9

v

1

= gR = ⋅

6

=

Erste kosmische Geschwindigkeit

2. Fall: Energieerhaltung, d.h. EP = EK

s 11.2 m m

10 s² 6.38

9.81 m 2

2 v

2 mv² 1

6

2

= = ⋅ ⋅ ⋅ =

=

gR

mgR

Zweite kosmische Geschwindigkeit Flugbahn ist eine Parabelbahn

v<v1: Körper kehren auf die Erde zurück Bahnen sind Teil der Kepler Ellipse

Erde befindet sich im näherem Brennpunkt der Ellipse Flugbahnen sind keine Wurfparabeln.

Frühere Annahme: g(h) ist konstant.

Dies gilt allerdings nur für geringe Werte von h

(28)

Kosmische Geschwindigkeiten

Gleichgewichtsbedingung:

Zentrifugalbeschleunigung identisch mit Schwerkraft

( )

( R h ) g

g(h)

h R G M g(h)

G M

2

und

2

g

= +

= +

=

( )

R h gR h

R gR

h R

M mg R

h h mg

R

² m

+ + =

=

= + + =

1 v

) ² v (

2

2

1. Fall geringe Höhe h<<R

s 91 m . 7 m 10 s² 6.38

81 m . 9

v

1

= gR = ⋅

6

=

Erste kosmische Geschwindigkeit v<v1: Körper kehren auf die Erde zurück

Bahnen sind Teil der Kepler Ellipse

Erde befindet sich im näherem Brennpunkt der Ellipse Flugbahnen sind keine Wurfparabeln.

Damalige Annahme: g(h) ist konstant. Dies gilt nur für kleine Werte von h

2. Fallstudie:

Energieerhaltung

potentielle Energie gleich kinetischer Energie

s 11.2 m m

10 s² 6.38

9.81 m 2

2 v

2 mv² 1

6

2

= = ⋅ ⋅ ⋅ =

=

gR

mgR

Zweite kosmische Geschwindigkeit Flugbahn ist eine Parabelbahn

(29)

29

Schwarzes Loch

Wenn keine anderen Kräfte wirken stürzen alle Teilchen aufeinander zu!

Ein Objekt, dass ein Schwarzes Loch verlassen will benötigt eine

Geschwindigkeit die der Lichtgeschwindigkeit entspricht

R GM

R R m GM mgR

SL SL

v 2 2 mv

1

2

2 2

=

=

=

SL

c

Fluchtgeschwindigkeit aus einem Schwarzen Loch

= v

2

2 c R

SL

= GM

Schwarzschildradius

Newtons Apfel 1.5x10-28 m Erde 9 mm

Sonne 1500 m

Notwendig Masse zur Bildung eines Schwarzen Loches (1.5 Sonnenmassen)

Schwarzschildradius

(30)

Das Schicksal der Sonne

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

= ⎛

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

=

NS NS Sun

Sun

NS NS Sun

Sun

I T I T

I I

π π

ω ω

2 2

Fusionsprozesse in der Sonne und die Massenanziehung halten sich die Waage und verhindern einen

Gravitationskollaps der Systems

Irgendwann ist der Brennstoff aufgebracht. Dann stützt die gesamte Masse der Sonne ins Zentrum. Die Masse reicht aber nicht aus um ein Schwarzes Loch zu bilden. Statt dessen

wird sich ein Neutronenstern bilden mit einem Durchmesser von wenige Kilometern.

Rotationsperiode 1 Millisekunde 1000x pro Sekunde

Zusätzliche Auswirkung

Wegen Drehimpulserhaltung dreht sich dieser Stern mit einer enormen Geschwindigkeit

Drehimpulserhaltung

Trägheitsmoment der Sonne

( )

m² kg 10 9 . 3

m 10 7 kg 10 5 1.99 2

5 2

46

8 2 29

2

=

=

=

Sun Sun

Sun Sun Sun

I I

R M I

( )

m² kg 10 2 . 7

m 10 3 kg 10 5 1.99 2

5 2

35

3 2 29

2

=

=

=

NS NS

NS Sun NS

I I

R M I

( )

( )

2 -10

2

10 4 . 5 ⋅

=

=

NS Sun NS

Sun

R R I

I

Rotationsperiode 29 Tage

Trägheitsmoment der Neutronensterns

ms 4 . 1

tg 10 56 . 1

tg 29 10

4 . 5

8 10

=

=

=

=

NS NS NS

Sun NS Sun NS

T T T

I T

T I

(31)

31

Gibt es im Zentrum der Milchstrasse ein Schwarzes Loch?

(32)

Gibt es im Zentrum der Milchstrasse ein Schwarzes Loch?

Umlaufperiode 15.2 Jahre Frage

Wie groß ist die Masse des Objektes?

Größte Annäherung 17 Lichtstunden

(33)

33

Wie groß ist ist die Masse des Objekts?

Umlaufperiode 15.2 Jahre Radius der großen Halbachse

( = R 1.43

S2

= 5 10 . 5

14

LT m )

( )

Sonne SL

SL SL

S S SL

SL S

S

M M

M M

a M GT

GM a

T

6 36

7 2 11

14 3 3

2 2

2 3

2 2

2

10 88 . 1

kg 10 88 . 1

a s 10 a 3.15

5 . kg² 15

10 Nm² 67

. 6

m 10 1.43

² 4

² 4

² 4

=

=

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎛ ⋅

= ⋅

=

=

π

π π

Drittes Keplersches Gesetz

Sonne SgrA

SgrA

D D

c R GM

⋅ ⋅

= ⋅

=

=

8 10 ~

7

10 57 . 5

m 10 79 . 2 2

8 9

9 2

Wie groß könnte das Objekt vorher gewesen sein?

(34)

Zusammenfassung

2 2 1

r m G m

F

nsgesetz Gravitatio

r r

=

Eine sphärische Schale aus Materie wirkt auf ein äußeres Teilchen so als wäre seine Masse im

Zentrum konzentriert

Newtons Schalentheorem

=

=

+ + + +

=

N

i i res

N res

F F

F F

F F F

ion Superposit

1 1 ,

1

1 14

13 12 ,

1

...

r r

r r

r r r

F d F r

res

v

,

=

1

Erstes Keplersches Gesetz

Die Bahn eines Planeten um die Sonne ist eine Ellipse mit der Sonne in einem der Brennpunkte der Ellipse.

Zweites Keplersches Gesetz

Jeder Planet bewegt sich so, dass wenn man eine Linie zieht zwischen dem Planeten und Sonne gleiche Flächen zu gleichen Zeiten überstrichen werden (Flächensatz).

Drittes Keplersches Gesetz

Das Verhältnis der Quadrate der Perioden (T1, T2) von zwei Planeten ist gleich dem Verhältnis der der Kuben der großen Halbachsen ihrer Bahnellipsen (R1, R2).

2 2

3 2 2

1 3 1 3

2 3 1 2 2

2

1

oder

T R T

R R

R T

T = =

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l nspotentia Gravitatio

g

~ 1

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