1
10 Gravitation
Vorbereitungsseminar zur Klausur Dienstag 3.2.2009
Klausur zur Vorlesung Dienstag 10.2.2009
jeweils 9 Uhr Seminarraum 1
Alte Bibliothek
Dreht sich die Erde?
Foucaultsches Pendel
Pendel am Nordpol
Pendel dreht sich unter dem Pendel weg 1 komplette Drehung am Tag, d.h. 15o pro Stunde
54.05
oRostock
= Θ
Rostock in
Stunde pro
12.2
Drehung pro
h 29.5
0.814 Θ
sin
HRO d
Breitengra :
sin
gkeit geschwindi
der Winkel
Komponente Azimutale
o
HRO
⇓
⇓
= Θ
Θ
=
HRO
HRO NP
HRO
ω ω
Nachtrag Rotation
ohne Drehmoment ändert sich die Bahnebene des Pendels nicht
3
Dreht sich die Erde? Ja!
Foucaulsches Pendel im Institut für Physik
12.2
oStunde pro
Drehung
12:34 Uhr 13:08 Uhr 14:54 Uhr
Grob twa 24 Grad Drehung beobachtet Berechneter Wert 22.3 Grad
Annäherung an das Thema Gravitation
5
Gravitationsgesetz
Apfel
Baum
Vorstellung vor Newton:
Die Bewegung von Körper auf der Erde (Apfel) und die Bewegung von
Himmelskörpern haben nichts miteinander zu tun und werden durch unterschiedliche
Naturgesetze beschrieben
Gedenktafel in Cambridge
Beschleunigung des Mondes
Zentripedalbeschleunigung
²
24
M EM
M
T
a = π r
( )
Umlaufperiode des Mondes: 27.3 Tage (2.36x106 s) Radius der Mondbahn: 3.86x108 m (60xRE)
s² 0027 m .
s² 0 10 m 69 . 0 48 . s 39
10 36 . 2
m 10 86 .
² 3
4
2 46
8
= ⋅ ⋅ =
⋅
= π ⋅
−a
M( )
2 2
2 4
60 1 3600
10 1 75 . 2 s²
9.81 m s² 0.0027 m
EM E M
M
r R g
a g
a
≈
⇓
=
=
⋅
=
=
−Beschleunigungswerte verhalten sich wie das inverse Quadrat der Radien Vergleich mit der der
Beschleunigung an der Erdoberfläche
T r m r
ma 2
v
2⇐ v = π
=
allgemein
aha hier ergibt sich möglicherweise ein Zusammenhang
7
Gravitationsgesetz
Newtons Vorschlag für ein Gravitationsgesetz
2 2 1
r m G m
F r r
² =
~
1 2r
m
F r m r
Proportionalitätsfaktor???Apfel
R=6.37x106 m ρ=5000 kg/m³
2 2
² R
m R g
m m
g G m
R m G m
g m
E E
A A E
A
A
= ⇒ = =
s² kg 10 m³ 39 . 7 m 10 m³ 6.37
5000 kg
s² 9.81 m 24
. 0
4 3 3 ³
4
11 6
2
⋅
−=
⋅
⋅
=
=
=
G
R g R
G gR
ρ ρ π
π
Newtons Abschätzung für die Gravitationskonstante
Akzeptierter Wert G 6.67x10-11 m-3kg-1s-2 damaliger Wert im Vergleich zum heutigen genau innerhalb von 10%
Gravitationskonstante
kg² N m² kg²
m² s²
m kg kg
s² ] m³
m² [ ] kg² s² [
m kg
analyse Dimensions
⎟ =
⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛ ⋅
⋅ =
=
⇒
⋅ =
G G
kg² N m² 10
67 . 6
e nskonstant Gravitatio
−11
⋅
= G
F r r r ˆ
r
F r
r
Gravitationkraft auf Masse m1durch Masse m2. Vektor F zeigt in Richtung von m2. Länge ist Maß für
die Stärke der Wechselwirkung
Vektor F zeigt in Richtung der Achse die durch die Verbindungslinie
zwischen den beiden Massen bestimmt ist
m
1m
2Die Richtung wird angegeben durch einen dimensionslosen
Einheitsvektor
e
rr m G m
F r r
²
2
=
1 22 1
r m G m
F r r
=
2 2 1
r m G m
F =
~
1²
2r
m F r m r
Drei unterschiedliche Arten, das Gravitationsgesetz zu schreiben
9
Cavendish Experiment
Weighting the earth (1797)
Henry Cavendish 1731-1810
Notwendig: Messung der Gravitationskonstanten G
kg² 10 Nm²
67 . 6
ert Heutiger W
−11
⋅
= G
Exakt beschreibt das Gravitationsgesetz nur die Wechselwirkung zwischen zwei Massen im Abstand r. Bei ausgedehnten Objekten muss man unter Umständen über alle Zweikörperkräfte summieren bzw. integrieren
²
2 1
r m G m
F =
Gravitationsgesetz
Gravitationswechselwirkung zwischen zwei Personen
( ) 1 m 80 kg 3 . 2 10 N
kg 60 kg² 10 Nm² 67
. 6
²
7 2
11
2 1
−
−
⋅ = ⋅
⋅
=
= F
r m G m F
Geniale Idee: Die Kraft, die notwendig ist, einen dünnen Quarzfaden zu verdrehen, ist in derselben Größenordnung wie die Gravitationskraft zwischen
zwei Bleikugeln in geringen Abstand
Cavendish Experiment
Weighting the earth (1797)
kg 10 99 . 5 s²kg
10 m³ 6.67
m 10 s² 6.38
9,81 m
²
24 11
6 2
⋅
=
⋅
⋅
= ⋅
=
=
E −
E
E A A
M
G M gR
R M G m
g m
Wie schwer ist die Erde?
Die Bestimmung dieses Wertes hängt davon ab, wie genau man den Wert von G bestimmt hat. Tatsächlich wiegt man in dem Cavendish Experiment nicht nur die Erde, sondern auch
gleichzeitig die Sonne sowie alle Planeten und Monde.
11
Hubble Crash
Gewicht des Teleskops verringert sich mit dem Abstand zur Erde
Masse des Hubble Teleskops 11 600 kg
Gewicht des Teleskops auf der Erde und im
Orbit RErde+600 km
( )
N 10 1.14
m 10 6.38
kg 11600 kg
10 5.98 m²kg 10 N
67 . 6
5
6 2 11 24
2
⋅
=
⋅
⋅
⋅ ⋅
=
=
−
Erde Erde
E H E Erde
W W
r m G M
W
( )
( )
N 10 0.95
m 10 .60 0 m 10 6.38
kg 11600 kg
10 5.98 m²kg
10 N 67 . 6
5
6 2 6
24 11
2
⋅
=
⋅ +
⋅
⋅
⋅ ⋅
=
= +
−
Erde Erde
orbit E
H Erde E
W W
h r
m G M
W
auf der Erde im All
Newtons Schalentheorem
Masse des Apfels: 100g
Masse der Erde 5,9736x1024 kg Radius der Erde 6380 km
( 6.380 10 10 kg m 0.1kg ) 0 . 98 N
5.98 s²kg
10 m³
6.67
26 24 11
-
2
⎟ ⎟ =
⎠
⎞
⎜ ⎜
⎝
⎛
⋅
⋅
⎟⎟ ⋅
⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛ ⋅
=
=
E A E
r m G m
F
Beschleunigung des Apfels
s² 8 m . 0.1kg 9
0.98N
N 98 . 0
=
=
=
= a
ma F
Beschleunigung der Erde
s² 10 m
64 . kg 1 10 5.98
0.98N N 98 . 0
25 24
⋅
−⋅ =
=
=
= a
ma F
Gravitationswechselwirkung kann nicht dividiert werden
oft, so auch in diesem Fall ist die Auswirkung auf einen der Objekte vernachlässigbar gering
Gravitationskraft
Eine sphärische Schale aus Materie wirkt auf ein äußeres Teilchen so als wäre seine Masse im Zentrum konzentriert
Newtons Schalentheorem
Erde kann als Abfolge von Massenschalen angesehen werden, bei der jede Schale auf ein äußeres Teilchen wirkt und zwar so, als ob die Masse einer jeden Schale im Zentrum konzentriert ist
13
Mond ade!
Drehimpulserhaltung
EM E
EM M EM
M E
r Gm
r m r
m G m
=
= v
v²
2
Kräftegleichgewicht
EM M
EM E M EM
E M
EM M
M EM M
r L
r m r Gm
m Gm r
m r L
≈
=
=
= v
2Durch die Gezeitenkräfte verlangsamt sich die Erdrotation
Folge:
Der Drehimpuls der Erde verringert sich. Wegen
Drehimpulserhaltung erhöht sich der Drehimpuls des Mondes
Bei einer Erhöhung des
Drehimpulses vergrößert sich der Abstand zwischen Erde und Mond Einsetzen in die Formel für den Drehimpuls
Superposition von Kräften
∑
==
+ + +
+
=
N
i i res
N res
F F
F F
F F
F
1 1 ,
1
1 14
13 12
,
1
...
r r
r r
r r
r
Gravitationswechselwirkung zwischen Teilchen ist die Summe von Einzelwechselwirkungen
Die Gravitationswechselwirkung kann nicht abgeschirmt werden.
Letztendlich wechselwirkt jedes Teilchen im Universum mit Newtons Apfel
F d F r
resv
∫
,
=
1
In realen Objekten ist es sinnvoll den Körper in kleine Stücke der Masse dm zu teilen und die Wirkung auf das betrachtete Teilchen auszurechnen und zu summieren.
15
System aus drei Teilchen
m
2m
3m
1r 3
r 2
( )
1 222 ,
1
3r
m G m
F r =
( )
1 233 ,
1
2r
m G m
F r =
( )
13 12
2 13 2
12 ,
1
tan F
F F F
F
res= − Θ
− +
=
m 1
2 2
kg 1 Beispiel
3 2
1
=
=
=
=
= r
m m
m
m m
( )
( ) 2 m 3 . 34 10 N kg
2 kg 1 kg 10 m³s² 67 . 6
N 10 48 . m 1
3
kg 2 kg 1 kg 10 m³s² 67 . 6
11 2
11 3
, 1
11 2
11 2
, 1
−
−
−
−
⋅
⋅ =
⋅
=
⋅
⋅ =
⋅
= F F r r
( ) ( )
°
−
⎟⎟ =
⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛
⋅
−
= ⋅ Θ
⋅
=
⋅
− +
⋅
=
−
− −
−
−
−
N 24 10 3.34
N 10 tan 1.48
N 10 3.65 N
10 3.34 N
10 1.48
11 11 1
2 11 2 11
11 ,
1res
F r
Kräfte wirken senkrecht aufeinander!
Resultierende Kraft ist also nicht einfach die Summe der Einzelkräfte, d.h. Vektorsumme
muss gebildet werden
Einzelkräfte
°
−
=
Θ 24
Richtige Lösung -23°+180°=
Richtige Lösung Θ=156°
da tan α= tan(180+α)
y
− x
nur y-Komponente positiv nur x-Komponente
negativ
Kräfte auf den Mond
( )
( 1.50 kg 10 1.99 m ) 1 0 kg 4 . 34 10 N
10 7.35 kg²
10 Nm² 67
. 6
N 10 99 . m 1
10 3.84
kg 0 1 5.98 kg
10 7.35 kg²
10 Nm² 67
. 6
20 11 2
30 22
11
20 8 2
24 22
11
⋅
⋅ =
⋅
⋅
⋅ ⋅
=
⋅
⋅ =
⋅
⋅
⋅ ⋅
=
−
−
MS ME
F F
18 . N 2 10 99 . 1
N 10 34 . 4
20
20
=
⋅
= ⋅
ME MS
F F Θ
( ) ( )
( ) ( )
N 10 77 . 4
N 10 34 . 4 N
10 99 . 1
20
20 2 20 2
2 2
⋅
=
⋅ +
⋅
=
+
=
ME MSres
F F
F
°
⎟⎟ =
⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛
⋅
= ⋅
Θ
−24 . 6
N 10 34 . 4
N 10 99 .
tan 1
201 20
F
MEF
MSF
resGravitationswechselwirkung zwischen Sonne und Mond größer als zwischen Erde und Mond
17
Geosynchroner Satellit
Radius des Orbits
( ) ( )
km 250 9.87 42
s 10 8.64 kg
10 s²kg 5.98
10 m
3
6.67
5 2 24
3 11
=
⋅
⋅
⋅
⎟⎟ ⋅
⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛ ⋅
=
−
r
sat86400s 2 v 2
Bahn ne
geosynchro
Sat Sat
r
SatT
π r = π
=
² 4
T r 2 1
²
v
²
2 3
2 Sat 2 Sat
π
π
T r GM
m r r
M G m
m r r
M G m
E Sat
Sat Sat Sat
E Sat
Sat Sat Sat
E Sat
=
⇓
⎟ ⎠
⎜ ⎞
⎝
= ⎛
⇓
=
( )
s 3072 m m
10 42.25
kg 10 s²kg 5.98
10 m 6.67
v
624 3
11
⋅ =
⎟⎟ ⋅
⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛ ⋅
=
=
−
Sat E
sat
r
GM
Umlaufbahn eines geosynchronen Satelliten circa 36000 km
rSat4– Erdradius (6800 km)
Geschwindigkeit des Satelliten
Rotation Gravitation
auflösen nach rSat
Geschwindigkeit berechnet aus Umlaufzeit und Radius
Bahnradius eines
geostationären Satelliten
auflösen nach vSat
⇒
=
Sat Sat Sat
E Sat
m r r
M G m
2
v
Sat²
Keplerschen Gesetze
vor Newton!
Erstes Keplersches Gesetz
Die Bahn eines Planeten um die Sonne ist eine Ellipse mit der Sonne in einem der Brennpunkte der Ellipse.
Zweites Keplersches Gesetz
Jeder Planet bewegt sich so, dass wenn man eine Linie zieht zwischen dem Planeten und Sonne gleiche Flächen zu
gleichen Zeiten überstrichen werden (Flächensatz).
Drittes Keplersches Gesetz
Das Verhältnis der Quadrate der Perioden (T1, T2) von zwei Planeten ist gleich dem Verhältnis der der Kuben der großen Halbachsen ihrer Bahnellipsen (R1, R2).
2 2
3 2 2
1 3 1 3
2 3 1 2
2 2
1
oder
T R T
R R
R T
T = =
Kepler 1
Kepler 2
19
Beweis des Dritten Keplerschen Gesetzes
Annahme:
Die Planetenbahn ist nahezu kreisförmig (das stimmt fast)
S S
S
GM r
T
T r m r
M G m
T r m r
r M G m
2 3
1 2 1
2 1
1 1 2
1 1
1 1 1
1 2 1 2 1
1 1
4 4
²
v 2 v und
π π
π
=
⇓
=
⇓
=
=
Wo findet man Saturn?
1 AE = Abstand Sonne-Erde
AE 58 . 9 er Wert
Akzeptiert
AE 54 . 1 9
a 457 .
29
323 2
=
⎟ =
⎠
⎜ ⎞
⎝
= ⎛
⎟⎟ ⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
= ⎛
S E
E S S
r r a
T r T
Wo schwer ist die Sonne?
Auflösen der Gleichung nach MS
( )
( )
kg 10
989 . 1 er Wert
Akzeptiert
kg 10 2
s 10 kg² 3.16
10 Nm² 6.67
m 10
² 1.5 4
² 4
30 30
7 2 11
11 3 2 3
⋅
=
⋅
=
⎟⎟ ⋅
⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛ ⋅
= ⋅
=
S S
S
E ES S
M M
M
GT M r
π
π
qed
Konstanten auf eine Seite bringen
Kepler 3 nur Konstanten
Sonne und Planeten
3. Keplersches Gesetz
21
R³/T²
Planeten vs Monde um Jupiter
Extrasolare Planeten
5. Februar 1996
23
Extrasolare Planeten
Abschwächung des Lichts der entfernten Sonne nur um wenige Prozent
Notwendige Bedingungen um extrasolare Planeten zu beobachten
kurze Umlaufzeit geringer Orbit
großer Planet, große Masse Bewegungsrichtung in Richtung Erde
geringer Abstand zur Erde
Entdeckung extrasolarer Planeten
½ Masse Jupiter Umlaufzeit 4.2 Tage Bahnradius 0.05 AE
Entfernung zur Erde 40 LJ 5 Oktober 1995
M. Mayor and D. Queloz
Stand Feb. 2005
97 Planetensysteme mit 144 Planeten
25
Erster direkt beobachteter Extrasolarer Planet
1-2 Jupitermassen 1000 Jahre Umlaufzeit
Abstand 100 AE Alter 2 Millionen Jahre
Atmosphäre Kohlenmonoxid, Wasserdampf Entfernung zur Erde 460 LJ
Wie wird die Gravitationskraft übertragen?
Relativistische Effekte werden in der klassischen Mechanik nicht berücksichtigt. Die Wechselwirkung ist instantan, d.h. ein Objekt am anderen Ende des Universums wechselwirkt unmittelbar mit Newtons Apfel
27
Kosmische Geschwindigkeiten
Gleichgewichtsbedingung:
Zentrifugalbeschleunigung identisch mit Schwerkraft
( )
( R R² h ) g
g(h)
h R G M g(h) R²
G M
2
und
2g
= +
⇓
= +
=
( )
R h gR h
R gR
h R
M mg R
h h mg
R
² m
+ + =
=
⇓
= + + =
1 v
) ² v (
2
2
1. Fallstudie
geringer Höhe, d.h. h<<R
s 91 m . 7 m 10 s² 6.38
81 m . 9
v
1= gR = ⋅
6=
Erste kosmische Geschwindigkeit
2. Fall: Energieerhaltung, d.h. EP = EK
s 11.2 m m
10 s² 6.38
9.81 m 2
2 v
2 mv² 1
6
2
= = ⋅ ⋅ ⋅ =
⇓
=
gR
mgR
Zweite kosmische Geschwindigkeit Flugbahn ist eine Parabelbahn
v<v1: Körper kehren auf die Erde zurück Bahnen sind Teil der Kepler Ellipse
Erde befindet sich im näherem Brennpunkt der Ellipse Flugbahnen sind keine Wurfparabeln.
Frühere Annahme: g(h) ist konstant.
Dies gilt allerdings nur für geringe Werte von h
Kosmische Geschwindigkeiten
Gleichgewichtsbedingung:
Zentrifugalbeschleunigung identisch mit Schwerkraft
( )
( R R² h ) g
g(h)
h R G M g(h) R²
G M
2
und
2g
= +
⇓
= +
=
( )
R h gR h
R gR
h R
M mg R
h h mg
R
² m
+ + =
=
⇓
= + + =
1 v
) ² v (
2
2
1. Fall geringe Höhe h<<R
s 91 m . 7 m 10 s² 6.38
81 m . 9
v
1= gR = ⋅
6=
Erste kosmische Geschwindigkeit v<v1: Körper kehren auf die Erde zurück
Bahnen sind Teil der Kepler Ellipse
Erde befindet sich im näherem Brennpunkt der Ellipse Flugbahnen sind keine Wurfparabeln.
Damalige Annahme: g(h) ist konstant. Dies gilt nur für kleine Werte von h
2. Fallstudie:
Energieerhaltung
potentielle Energie gleich kinetischer Energie
s 11.2 m m
10 s² 6.38
9.81 m 2
2 v
2 mv² 1
6
2
= = ⋅ ⋅ ⋅ =
⇓
=
gR
mgR
Zweite kosmische Geschwindigkeit Flugbahn ist eine Parabelbahn
29
Schwarzes Loch
Wenn keine anderen Kräfte wirken stürzen alle Teilchen aufeinander zu!
Ein Objekt, dass ein Schwarzes Loch verlassen will benötigt eine
Geschwindigkeit die der Lichtgeschwindigkeit entspricht
R GM
R R m GM mgR
SL SL
v 2 2 mv
1
2
2 2
=
=
=
SL
c
Fluchtgeschwindigkeit aus einem Schwarzen Loch
= v
2
2 c R
SL= GM
Schwarzschildradius
Newtons Apfel 1.5x10-28 m Erde 9 mm
Sonne 1500 m
Notwendig Masse zur Bildung eines Schwarzen Loches (1.5 Sonnenmassen)
Schwarzschildradius
Das Schicksal der Sonne
⎟⎟ ⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
= ⎛
⎟⎟ ⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛
=
NS NS Sun
Sun
NS NS Sun
Sun
I T I T
I I
π π
ω ω
2 2
Fusionsprozesse in der Sonne und die Massenanziehung halten sich die Waage und verhindern einen
Gravitationskollaps der SystemsIrgendwann ist der Brennstoff aufgebracht. Dann stützt die gesamte Masse der Sonne ins Zentrum. Die Masse reicht aber nicht aus um ein Schwarzes Loch zu bilden. Statt dessen
wird sich ein Neutronenstern bilden mit einem Durchmesser von wenige Kilometern.
Rotationsperiode 1 Millisekunde 1000x pro Sekunde
Zusätzliche Auswirkung
Wegen Drehimpulserhaltung dreht sich dieser Stern mit einer enormen Geschwindigkeit
Drehimpulserhaltung
Trägheitsmoment der Sonne
( )
m² kg 10 9 . 3
m 10 7 kg 10 5 1.99 2
5 2
46
8 2 29
2
⋅
=
⋅
⋅
=
=
Sun Sun
Sun Sun Sun
I I
R M I
( )
m² kg 10 2 . 7
m 10 3 kg 10 5 1.99 2
5 2
35
3 2 29
2
⋅
=
⋅
⋅
=
=
NS NS
NS Sun NS
I I
R M I
( )
( )
2 -102
10 4 . 5 ⋅
=
=
NS Sun NS
Sun
R R I
I
Rotationsperiode 29 Tage
Trägheitsmoment der Neutronensterns
ms 4 . 1
tg 10 56 . 1
tg 29 10
4 . 5
8 10
=
⋅
=
⋅
⋅
=
=
−
−
NS NS NS
Sun NS Sun NS
T T T
I T
T I
31
Gibt es im Zentrum der Milchstrasse ein Schwarzes Loch?
Gibt es im Zentrum der Milchstrasse ein Schwarzes Loch?
Umlaufperiode 15.2 Jahre Frage
Wie groß ist die Masse des Objektes?
Größte Annäherung 17 Lichtstunden
33
Wie groß ist ist die Masse des Objekts?
Umlaufperiode 15.2 Jahre Radius der großen Halbachse
( = R 1.43
S2= ⋅ 5 10 . 5
14LT m )
( )
Sonne SL
SL SL
S S SL
SL S
S
M M
M M
a M GT
GM a
T
6 36
7 2 11
14 3 3
2 2
2 3
2 2
2
10 88 . 1
kg 10 88 . 1
a s 10 a 3.15
5 . kg² 15
10 Nm² 67
. 6
m 10 1.43
² 4
² 4
² 4
⋅
=
⋅
=
⎟⎟ ⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛ ⋅
⋅
= ⋅
=
=
−
π
π π
Drittes Keplersches Gesetz
Sonne SgrA
SgrA
D D
c R GM
⋅ ⋅
= ⋅
⋅
=
=
8 10 ~
7
10 57 . 5
m 10 79 . 2 2
8 9
9 2
Wie groß könnte das Objekt vorher gewesen sein?
Zusammenfassung
2 2 1
r m G m
F
nsgesetz Gravitatio
r r
=
Eine sphärische Schale aus Materie wirkt auf ein äußeres Teilchen so als wäre seine Masse im
Zentrum konzentriert
Newtons Schalentheorem
∑
==
+ + + +
=
N
i i res
N res
F F
F F
F F F
ion Superposit
1 1 ,
1
1 14
13 12 ,
1
...
r r
r r
r r r
F d F r
resv
∫
,
=
1
Erstes Keplersches Gesetz
Die Bahn eines Planeten um die Sonne ist eine Ellipse mit der Sonne in einem der Brennpunkte der Ellipse.
Zweites Keplersches Gesetz
Jeder Planet bewegt sich so, dass wenn man eine Linie zieht zwischen dem Planeten und Sonne gleiche Flächen zu gleichen Zeiten überstrichen werden (Flächensatz).
Drittes Keplersches Gesetz
Das Verhältnis der Quadrate der Perioden (T1, T2) von zwei Planeten ist gleich dem Verhältnis der der Kuben der großen Halbachsen ihrer Bahnellipsen (R1, R2).
2 2
3 2 2
1 3 1 3
2 3 1 2 2
2
1
oder
T R T
R R
R T
T = =
r r V
l nspotentia Gravitatio
g