Dreht sich die Erde?

10 Gravitation

2

Dreht sich die Erde?

Foucaultsches Pendel

Pendel am Nordpol

Pendel dreht sich unter dem Pendel weg 1 komplette Drehung am Tag, d.h. 15^o pro Stunde

54.05

o

Rostock

= Θ

Rostock in

Stunde pro

12.2

Drehung pro

h 29.5

0.814 Θ

sin

HRO d

Breitengra :

sin

gkeit geschwindi

der Winkel

Komponente Azimutale

o

HRO

⇓

⇓

= Θ

Θ

=

HRO

HRO NP

HRO

ω ω

Nachtrag Rotation

Dreht sich die Erde? Ja!

12.2

o

Stunde pro

Drehung

12:34 Uhr 13:08 Uhr 14:54 Uhr

Grob twa 24 Grad Drehung beobachtet Berechneter Wert 22.3 Grad

4

Gravitationsgesetz

Apfel

Baum

Vorstellung vor Newton:

Die Bewegung von Körper auf der Erde (Apfel) und die Bewegung von

Himmelskörpern haben nichts miteinander zu tun und werden durch unterschiedliche

Naturgesetzte beschrieben

Beschleunigung des Mondes

Zentripedalbeschleunigung

²

2

4 T

a

_M

= π r

^EM Radius der Mondbahn: 3.86x10⁸ m (60xR_E)

Umlaufperiode des Mondes: 27.3 Tage (2.36x10⁶ s)

( ^{3 2 . . 86 36 10 10 s m} ) ^{39 . 48 0 . 69 10 s² m 0 . 0027 s² m}

²

4

₂ ⁴

6

8

= ⋅ ⋅ =

⋅

= π ⋅

⁻

a

M

( )

2 2

2 4

s² m 60

1 s²

m 3600

1 s²

10 m 75 . 2 s²

9.81 m s² 0.0027 m

EM E M

M

r R g

a g

a

≈

⇓

=

=

⋅

=

=

⁻

Vergleich mit der der Beschleunigung an der Erdoberfläche

Beschleunigungswerte verhalten sich wie das inverse Quadrat der Radien

6

Gravitationsgesetz

Newtons Vorschlag für ein Gravitationsgesetz

2 2 1

r m G m

F r r

² =

~

^{1 2}

r

m

F r m r

Proportionalitätsfaktor?

Apfel

R=6.37x10^{6 m} ρ=5000 kg/m³

2 2

² R

m R g

m m

g G m

R m G m

g m

E E

A A E

A

A

= ⇒ = =

s² kg 10 m³ 39 . 7 m 10 m³ 6.37

5000 kg

s² 9.81 m 24

. 0

4 3 3 ³

4

11 6

2

⋅

−

=

⋅

⋅

=

=

=

G

R g R

G gR

ρ ρ π

π

Newtons Abschätzung für die Gravitationskonstante

Akzeptierter Wert G 6.67x10^-11 m^-3kg^-1s^-2 Damaliger Wert im Vergleich zum heutigen genau

innerhalb von 10%

Gravitationskonstante

kg² N m² kg²

m² s²

m kg kg

s² ] m³

m² [ ] kg² s² [

m kg

analyse Dimensions

⎟ =

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ ⋅

⋅ =

=

⇒

⋅ =

G G

kg² N m² 10

67 . 6

e nskonstant Gravitatio

−11

⋅

= G

F r r r ˆ

r

F r

r

Gravitationkraft auf Masse m₁durch Masse m₂. Vektor F zeigt in Richtung von m₂. Länge ist Maß für

die Stärke der Wechselwirkung

Vektor F zeigt in Richtung der Achse die durch die Verbindungslinie

zwischen den beiden Massen bestimmt ist

m

1

m

2

Die Richtung wird angegeben durch einen dimensionslosen

Einheitsvektor

r r m G m

F ˆ

²

2

=

1

r

2 2 1

r m G m

F r r

=

2 2 1

r m G m

F =

~

¹

²

²

r

m F r m r

Drei unterschiedliche Arten, das Gravitationsgesetz zu schreiben

8

Cavendish Experiment

Weighting the earth (1797)

Henry Cavendish 1731-1810

Notwendig: Messung der Gravitationskonstanten G

kg² 10 Nm²

67 . 6

ert Heutiger W

−11

⋅

= G

Exakt beschreibt das Gravitationsgesetz nur die Wechselwirkung zwischen zwei Massen im Abstand r. Bei ausgedehnten Objekten muss man unter Umständen über alle Zweikörperkräfte summieren bzw. integrieren

²

2 1

r m G m

F =

Gravitationsgesetz

Gravitationswechselwirkung zwischen zwei Personen

( ) ^{1 m 80 kg 3 . 2 10 N}

kg 60 kg² 10 Nm² 67

. 6

²

7 2

11

2 1

−

−

⋅ = ⋅

⋅

=

= F

r m G m F

Gravitationswechselwirkung zwischen Erde und Hubble Space Telescope

( ^{600 . 6 10 10 kg m 5 6380 . 98 10 10 kg} ) ^{9 . 5 10 N}

11 kg² 10 Nm² 67

. 6

kg 10 98 . 5

kg 10 6 . 11

7 3 2

3

24 11 6

24 6

⋅

⋅ = +

⋅

⋅

⋅

⋅ ⋅

=

⋅

=

⋅

= F

−

m m

Erde Hubble

Geniale Idee: Die Kraft, die notwendig ist, einen dünnen Quarzfaden zu verdrehen ist in derselben Größenordnung wie die Kraft zwischen zwei Bleikugeln

in geringen Abstand

Cavendish Experiment

Weighting the earth (1797)

kg 10 99 . 5 s²kg

10 m³ 6.67

m 10 s² 6.38

9,81 m

²

24 11

6 2

⋅

=

⋅

⋅

= ⋅

=

=

E −

E

E A A

M

G M gR

R M G m

g m

Wie schwer ist die Erde?

Die Bestimmung dieses Wertes hängt davon ab, wie genau man den Wert von G bestimmt hat. Tatsächlich wiegt man in dem Cavendish Experiment nicht nur die Erde, sondern auch

gleichzeitig die Sonne sowie alle Planeten und Monde.

10

Newtons Schalentheorem

Masse des Apfels: 100g

Masse der Erde 5,9736x10²⁴ kg Radius der Erde 6380 km

( ^{6.380 10 10 kg m 0.1kg} ) ^{0 . 98 N}

5.98 s²kg

10 m³

6.67

₂

6 24 11

-

2

⎟ ⎟ =

⎠

⎞

⎜ ⎜

⎝

⎛

⋅

⋅

⎟⎟ ⋅

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ ⋅

=

=

E A E

r m G m

F

Beschleunigung des Apfels

s² 8 m . 0.1kg 9

0.98N

N 98 . 0

=

=

=

= a

ma F

Beschleunigung der Erde

s² 10 m

64 . kg 1 10 5.98

0.98N N 98 . 0

25 24

⋅

−

⋅ =

=

=

= a

ma F

Gravitationswechselwirkung kann nicht dividiert werden

oft, so auch in diesem Fall ist die Auswirkung auf einen der Objekte vernachlässigbar gering

Gravitationskraft

Eine sphärische Schale aus Materie wirkt auf ein äußeres Teilchen so als wäre seine Masse im Zentrum konzentriert

Newtons Schalentheorem

Erde kann als Abfolge von Massenschalen angesehen werden, bei der jede Schale auf ein äußeres Teilchen wirkt und zwar so, als ob die Masse einer jeden Schale im Zentrum konzentriert ist

Mond ade!

Drehimpulserhaltung

EM E

EM M EM

M E

r Gm

r m r

m G m

=

= v

v²

2

Kräftegleichgewicht

EM M

EM E M EM

E M

EM M

M EM M

r L

r m r Gm

m Gm r

m r L

≈

=

=

= v

²

Durch die Gezeitenkräfte verlangsamt sich die die Erdrotation

Folge:

Der Drehimpuls der Erde verringert sich. Wegen Drehimpulserhaltung erhöht sich der Drehimpuls des Mondes

Bei einer Erhöhung des Drehimpulses vergrößert sich der Abstand zwischen

Erde und Mond Einsetzen in die Formel für den Drehimpuls

12

Superposition von Kräften

∑

=

=

+ + +

+

=

N

i i res

N res

F F

F F

F F

F

1 1 ,

1

1 14

13 12

,

1

...

r r

r r

r r

r

Gravitationswechselwirkung zwischen Teilchen ist die Summe von Einzelwechselwirkungen

Die Gravitationswechselwirkung kann nicht abgeschirmt werden.

Letztendlich wechselwirkt jedes Teilchen im Universum mit Newtons Apfel

F d F r

_res

v

∫

,

=

1

In realen Objekten ist es sinnvoll den Körper in kleine Stücke der Masse dm zu teilen und die Wirkung auf das betrachtete Teilchen auszurechnen und zu summieren.

System aus drei Teilchen

m

2

m

3

m

1

r 3

r 2

( )

^{1 22}

2 ,

1

3r

m G m

F r =

( )

^{1 23}

3 ,

1

2r

m G m

F r =

( )

13 12

2 13 2

12 ,

1

tan F

F F F

F

_res

= − Θ

− +

=

m 1

2 2

kg 1 Beispiel

3 2

1

=

=

=

=

= r

m m

m

m m

( )

( ) 2 m ^{3 . 34 10 N} kg

2 kg 1 kg 10 m³s² 67 . 6

N 10 48 . m 1

3

kg 2 kg 1 kg 10 m³s² 67 . 6

11 2

11 3

, 1

11 2

11 2

, 1

−

−

−

−

⋅

⋅ =

⋅

=

⋅

⋅ =

⋅

= F F r r

( ) ( )

°

−

⎟⎟ =

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

⋅

−

= ⋅ Θ

⋅

=

⋅

− +

⋅

=

−

− −

−

−

−

N 24 10 3.34

N 10 tan 1.48

N 10 3.65 N

10 3.34 N

10 1.48

11 11 1

2 11 2 11

11 ,

1res

F r

Kräfte wirken senkrecht aufeinander!

Resultierende Kraft ist also nicht einfach die Summe der Einzelkräfte, d.h. Vektorsumme

muss gebildet werden

Einzelkräfte

°

−

=

Θ 24

Richtige Lösung -23°+180°=

Richtige Lösung Θ=156°

da tan α = tan(180+α)

y

− x

nur y-Komponente positiv nur x-Komponente

negativ

14

Kräfte auf den Mond

( )

( ^{1.50 kg 10 1.99 m} ) ^{1 0 kg 4 . 34 10 N}

10 7.35 kg²

10 Nm² 67

. 6

N 10 99 . m 1

10 3.84

kg 0 1 5.98 kg

10 7.35 kg²

10 Nm² 67

. 6

20 11 2

30 22

11

20 8 2

24 22

11

⋅

⋅ =

⋅

⋅

⋅ ⋅

=

⋅

⋅ =

⋅

⋅

⋅ ⋅

=

−

−

MS ME

F F

18 . N 2 10 99 . 1

N 10 34 . 4

20

20

=

⋅

= ⋅

ME MS

F F Θ

( ) ( )

( ) ( )

N 10 77 . 4

N 10 34 . 4 N

10 99 . 1

20

20 2 20 2

2 2

⋅

=

⋅ +

⋅

=

+

=

_{ME MS}

res

F F

F

°

⎟⎟ =

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

⋅

= ⋅

Θ

⁻

24 . 6

N 10 34 . 4

N 10 99 .

tan 1

₂₀

1 20

F

ME

F

MS

F

_res

Geosynchroner Satellit

( ) ( )

km 42250 9.87

s 10 8.64 kg

10 s²kg 5.98

10 m

3

6.67

5 2 24

3 11

=

⋅

⋅

⋅

⎟⎟ ⋅

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ ⋅

=

−

r

sat

86400s 2 v 2

Bahn ne

Geosynchro

_Sat ^Sat

r

^Sat

T

π r ₌ π

=

→ 4 ²

T r 2 1

²

v

²

2 3

2 Sat 2 Sat

π

π γ

T r GM

m r r

M G m

m r r

M m

E Sat

Sat Sat Sat

E Sat

Sat Sat Sat

E Sat G

=

⇓

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛

⇓

⇓

=

( )

s 3072 m m

10 42.25

kg 10 s²kg 5.98

10 m 6.67 r

v M

₆

3 24 11

Sat

E

=

⋅

⎟⎟ ⋅

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ ⋅

=

=

−

G

sat

Umlaufbahn eines geosynchronen Satelliten circa 36000 km

r_Sat4– Erdradius (6800 km)

Geschwindigkeit des Satelliten

16

Keplerschen Gesetze

vor Newton!

Erstes Keplersches Gesetz

Die Bahn eines Planeten um die Sonne ist eine Ellipse mit der Sonne in einem der Brennpunkte der Ellipse.

Zweites Keplersches Gesetz

Jeder Planet bewegt sich so, dass wenn man eine Linie zieht zwischen dem Planeten und Sonne gleiche Flächen zu

gleichen Zeiten überstrichen werden (Flächensatz).

Drittes Keplersches Gesetz

Das Verhältnis der Quadrate der Perioden (T_1, T₂) von zwei Planeten ist gleich dem Verhältnis der der Kuben der großen Halbachsen ihrer Bahnellipsen (R_1, R₂).

2 2

3 2 2

1 3 1 3

2 3 1 2

2 2

1

oder

T R T

R R

R T

T = =

Beweis des Dritten Keplerschen Gesetzes

Annahme:

Die Planetenbahn ist nahezu kreisförmig (das stimmt fast)

4 .

4

²

v 2 v und

2 3

1 2 1

2 1

1 1 2

1 1

1 1 1

1 2 1 2 1

1 1

const GM

r T

T r m r

M G m

T r m r

r M G m

S S S

=

=

⇓

=

⇓

=

=

π

π

π

Wo findet man Saturn?

AE 58 . 9 er Wert

Akzeptiert

AE 54 . 1 9

a 457 .

29

³²

3 2

=

⎟ =

⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛

S E

E S S

r r a

T r T

Wo schwer ist die Sonne?

( )

( )

kg 989 . 1 er Wert

Akzeptiert

kg 10 2

s 10 kg² 3.16

10 Nm² 6.67

m 10

² 1.5 4

² 4

30

7 2 11

11 3 2 3

=

⋅

=

⎟⎟ ⋅

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ ⋅

= ⋅

=

S S

S

E ES S

M M

M

GT M r

π

π

qed

18

Sonne und Planeten

3. Keplersches Gesetz

R³/T²

Planeten vs Monde um Jupiter

20

Extrasolare Planeten

5. Februar 1996

Extrasolare Planeten

Abschwächung des Lichts der entfernten Sonne nur um wenige Prozent

Notwendige Bedingungen um extrasolare Planeten zu beobachten

kurze Umlaufzeit Geringer Orbit

Großer Planet

Bewegungsrichtung in Richtung Erde Geringer Abstand zur Erde

22

Entdeckung extrasolarer Planeten

½ Masse Jupiter Umlaufzeit 4.2 Tage Bahnradius 0.05 AE

Entfernung zur Erde 40 LJ 5 Oktober 1995

M. Mayor and D. Queloz

Stand Feb. 2005

97 Planetensysteme mit 144 Planeten

Erster visuell beobachteter Extrasolarer Planet

1-2 Jupitermassen 1000 Jahre Umlaufzeit

Abstand 100 AE Alter 2 Millionen Jahre

Atmosphäre Kohlenmonoxid, Wasserdampf Entfernung zur Erde 460 LJ

24

Gravitationsfeldstärke G _F

Kraft ist Summe der Eigenschaft des Objektes und des Raumes

M

²

² , r

G M G

r e G M m

G

_F

= F r = − r

_{r F}

= r

V

2

V

1

P

2

P

¹

Da Feldkraft F=mG_Fgleich der Gewichtskraft mg ist Gravitationsfeldstärke G identisch mit Vektor der

´Schwerebeschleunigung g Feldlinien radialsymmetrisch zum

Kraftzentrum M, d.h. Zentralfeld

Die bei der Verschiebung eines Körpers im Gravitationsfeld verrichtete Arbeit und damit die Änderung der potentiellen Energie ist Null, wenn der zurückgelegte Weg geschlossen ist.

Man sagt das Feld sei wirbelfrei.

Linien gleichen Potentials

) ( )

( r

₂

E r

₁

E

W =

_P

−

_P

W > 0 , wenn r

₂

> r

₁

Potentielle Energie nimmt mit dem Abstand zur Kraftzentrum ab

negativ stets

ist Energie

e Potentiell

0 ) (

: Konvention

P P

E r E

⇓

=

∞

Feldlinien stehen immer

=

senkrecht auf den Flächen

m G F r r

_F

=

Gravitationspotential

r G M r

V

r m G

r r E

V

r G mM r

F r

E

r E r

E E

W

r P g

g

r P

P P

P

−

=

−

=

=

⇓

−

=

−

=

⇓

−

=

−

∞

=

∫

∫

∞

∞

) (

) d ) (

(

d )

(

) ( )

( )

(

r v r v

Gravitationspotential

Zusammenhang zum Betrag der Gravitationsfeldstärke

) (r dr V G

_g

= d

Flächen gleichen Potentials (V=konst.)

nennt man Äquipotentialflächen

Bei der Verschiebung entlang einer

Äquipotentialfläche wird keine Arbeit verrichtet.

kg 10 Nm 26

. 6 )

(

s² 81 m .

² 9 )

(

⋅

7

−

=

=

⇓

=

=

R G M R

V

R G M R

G

g

Gravitationsfeldstärke g

Gravitationspotential

Verhältnisse an der Erdoberfläche

mgR R

E

R G mM R

mV R

E

P g P

−

=

−

=

= ) (

) ( )

(

Potentielle Energie Dies ist eine vom Körper

unabhängige Größe

26

Gravitationspotential einer Masse

r r

V

_g

1

~ ) (

Gravitationspotential

gílt aber auch für die elektrische Wechselwirkung

r r

V

_E

1

~ ) (

z.B. Elektron, Proton

Gravitationspotential von zwei Massen

Um einen Körper von A nach B zu bewegen, muss Arbeit

aufgebracht werden

Anschauliche Vorstellung

Kugel rollt zurück in den Potentialtopf

) ( )

( B V A V

W

Auf dem Weg zurück zum Start gewinnt man die potentielle Energie zurück.

Arbeit ist unabhängig vom Weg!

−

=

const r

V ( ) =

=

)

,

( x y

V

28

Gravitationspotential von zwei Massen

Energieerhaltung

Verbotene Bereiche

const PE

KE

r V PE

m KE

= +

=

=

) (

² 2 v 1

r

Systems des

gie Gesamtener )

( >

= V r PE r

) =

,

( x y

V

Wie wird die Gravitationskraft übertragen?

Relativistische Effekte werden in der klassischen Mechanik nicht berücksichtigt. Die Wechselwirkung ist instantan, d.h. ein Objekt am anderen Ende des Universums wechselwirkt unmittelbar mit Newtons Apfel