Gilt für

(1)

6. Vorlesung

Steffen Reith

9.6.17

(2)

Leung

^:

Gilt für

^ein ^NP^. vollständiges ^Problem TEP

, dann

ist P ⁼ ^NP ^.

Beweise

^Da ^IT ^NP^.

vollständig

^ist

gilt ^für

^alle ^ITENP

auch IT ^'

Ei

^Ü ^. ^Mit

obigo Beobachtung ergibt

sich dann ITEP

, da ITEP

⇒ NPEP ^. Sowieso PENP

, d. h. P ^- NP. #

Benin

^Auch CLIQUE ist NP ^-

vollständig

^.

1.5 ^.

Approximations algorithmen

(3)

2 So wie es aussieht

, sind NP ^-

vollständige

^Probleme ⁱⁿ ^der

Praxis

^nicht

zugänglich

^.

01143

Im wesentlichen

gibt

^es ^drei Möglichkeiten^:

•

iy ^Problem

einschränken _, ^sodass es

für

^die

praktische

Anwendung

^reicht , aber _so dass das ^zu

lösende

^Problem

0¥71 _einfach

wird .

iig Heuristik^en ^: ^Suche "

irgendwie

"

nach einer _" besseren ^"

Lösung^. ^Ob ^diese ^nahe ^am

globalen ^Optimum liegt

îst ûnklar ^, î. ^Better ^- ^than ^-

nothing

^" ^-

Ansatz ,

(4)

iii ,

Approximations

algorithmen^: ^Man berechnet ^eine "

gute

^"

Lösung

ⁱⁿ

polynomial

^er ^Zeit ^die ^vom

Optimum

^eine

beweisbare

/ bekannten

Entfernung

^hat ^.

Def

^: ^Sei ^c) ¹ ^. ^Ein ^C-

Approximations algorithms

für

^ein

Minimisivuugs ^problem

^ist ^ein

Algorithms ^ALG

mit

Laufzeit ^Olud )

_, ^d ^konstant , der

für ^jede

^Instanz

I

des Problems

^eine

Lösung

^mit ^Ziel

funktions

^wert

ALGLI

) liefert

_, ^so ^dass

Optimum

ALGLI ₎

^tc

OPTLI ts )

_,

wobei _OPTLI

)

das

Optimum für

^I ^ist ^.

(5)

Für ^ein

Maximisioungs

^problem

gilt

^mit ^cct ⁴

ALGLI

)

⁷^, ^c. ^OPTLI ⁾

Bspn^: PROBLEM ^: MAX

CLIQUE

EINGABE ^:

Graph

^G

AUSGABE ^: Anzahl ^der Knoten einer maximalen

Clique

von G

Der

Algorithms

^der ^" ¹ ^" ⁽ ^! ^einer ^{bel Ecke}

⁾ ausgibt

^ist

ein 1h ^-

Approximations algorithms

^, ^da ^ein

^Graph

^mit ⁿ ^Knoten

keine Clique

^mit ^{mehr als} ⁿ ^Knoten ^{haben kann}^,

(6)

1Izzfnlxsvxc.IN

-7

Bspn

PROBLEM

^: ^MAX ^- ^SAT

9 1-

Klausel EINGABE ^: Formel Hlxe _, ^... _, xn ) ⁱⁿ

konjunktiv

507 ^Normalform

AUSGABE ^: Eine Belegung ^die ^max ^. ^viele ^klauseln

erfüllt

Sei X die Menge ^der

aussagen

^logischen ^Variablen ^, ^dann

Ist

^eine

Belegung

Î êine ^Fht ^der ^Form Î ^:X ^→

^20,13 Die regierte Belegung I

:X ^→

20,13

^ist ^durch

ITXI ₎

⁼ 1-

Icxi

)

definiert

^.

(7)

6

Falls eine Klausel k ⁼ ^L Lev Lzv ^... ^v ^Lm

)

von der

9 ^T

-

Literate lxr _, 7×3 _, ^... )

Belegung

^I ^nicht

erfüllt

^wird ^, ^dann ^wird ^k ^von

I erfüllt

^.

Gebe

entweder I ^oder

I

aus

,

je

^nach ^dem ^welche

Belegung

mehr klauseln

erfüllt

^.

klar ^: Mind ^. eine der

Belegung

^eu

erfüllt

^mind ^. ^die

^Hälfte

^der

Klauseln ^⇒ die ist _ein

%

^-

Gilt für

6. Vorlesung

Steffen Reith

9.6.17

Leung

Gilt für

Beweise

vollständig

gilt für

Ei

obigo Beobachtung ergibt

Benin

vollständig

Approximations algorithmen

vollständige

Praxis

zugänglich

01143

gibt

iy Problem

für

praktische

Anwendung

lösende

0¥71 einfach

irgendwie

globalen Optimum liegt

nothing

Approximations

gute

Lösung

polynomial

Optimum

beweisbare

Entfernung

Def

Approximations algorithms

für

Minimisivuugs problem

Algorithms ALG

Laufzeit Olud )

für jede

des Problems

Lösung

funktions

) liefert

Optimum

ALGLI )

OPTLI ts )

)

Optimum für

Maximisioungs

gilt

)

CLIQUE

Graph

Clique

Algorithms

) ausgibt

Approximations algorithms

Graph

keine Clique

1Izzfnlxsvxc.IN

-7

PROBLEM

9 1-

konjunktiv

5*0*7 Normalform

erfüllt

aussagen

Ist

Belegung

20,13 Die regierte Belegung I

20,13

ITXI )

Icxi

definiert

)

-

Belegung

gilt ^für

iy ^Problem

0¥71 _einfach

globalen ^Optimum liegt

Minimisivuugs ^problem

Algorithms ^ALG

Laufzeit ^Olud )

für ^jede

ALGLI ₎

⁾ ausgibt

^Graph

507 ^Normalform

^20,13 Die regierte Belegung I

ITXI ₎

^Hälfte