S. Bittihn, C. von Kr¨ uchten Sommersemester 2017

(1)

PD. Dr. R. Klesse

S. Bittihn, C. von Kr¨ uchten Sommersemester 2017

Theoretische Physik in 2 Semestern II

Nachklausur

www.thp.uni-koeln.de/∼rk/tpII 17.html/

Informationen zur Klausur:

• Die Klausur dauert 120 Minuten.

• Die Klausur besteht aus acht Aufgaben mit insgesamt 61 Punkten. Bitte bearbeiten Sie jede Aufgabe auf einem eigenen Blatt.

• F¨ ur die Bearbeitung der Aufgaben sind keine Hilfsmittel (z.B. Taschenrechner) erlaubt.

• Geben Sie bitte auf jedem Blatt ihren Namen an.

• Denken Sie bitte daran, das Deckblatt auszuf¨ ullen, dort zu unterschreiben und die Auf- gaben anzukreuzen, die von Ihnen bearbeitet wurden.

• Bitte unterschreiben Sie auch am Ende Ihrer abzugebenen L¨ osungszettel!

1. Kurzfragen 2+2+2+2+2+2 = 12 Punkte

Beantworten Sie folgende Fragen jeweils in einem kurzen Satz und/oder maximal zwei Formeln:

a) Welche Bedeutung hat der Hamilton-Operator in der Quantenmechanik?

b) Wann ist ein Operator hermitesch?

c) |ϕi sei ein normierter Eigenvektor des Operators ˆ A zum Eigenwert a. Bestimmen Sie hϕ| A|ϕi. ˆ

d) Wie ist die freie Energie eines Systems definiert?

e) Was besagt das Prinzip der minimalen freien Energie?

f ) Wie bestimmt man Druck und Temperatur anhand der mikrokanonischen Entropie S(E, V, N )?

2. Erhaltungsgr¨ oßen 2+3 = 5 Punkte

Ein quantenmechanisches System werde durch den Hamilton-Operator H ˆ = iE (|ψihϕ| − |ϕihψ|)

beschrieben, wobei |ψi und |ϕi zwei orthonormale Zust¨ ande des Systems seien. E sei eine reelle Gr¨ oße der Dimension Energie.

a) Zeigen Sie, dass ˆ H hermitesch ist.

(2)

b) Welche der folgenden Observablen sind Erhaltungsgr¨ oßen des Systems?

A ˆ ₁ = a|ϕihϕ|, A ˆ ₂ = ia (|ϕihψ| − |ψihϕ|) , A ˆ ₃ = a (|ψihϕ| + |ϕihψ|) a sei eine reelle Konstante.

3. Stern-Gerlach-Experiment 2+4 = 6 Punkte Im Rahmen eines Stern-Gerlach Experimentes sei der Anfangszustand der Silberatome durch

|θi = 1

√

3 |ψ ₊ i + r 2

3 |ψ − i

gegeben. Hierbei bezeichnet |ψ ₊ i bzw. |ψ ₋ i den Zustand z+ bzw. z- polarisierter Atome.

a) Die Silberatome werden nun durch einen in z-Richtung ausgerichteten Stern-Gerlach- Magneten geschickt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Atom des Strahls danach z+ bzw. z- polarisiert ist?

b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit f¨ ur eine x+ bzw. x- Polarisation eines Atoms, wenn der Strahl stattdessen durch einen in x-Richtung ausgerichteten Stern-Gerlach- Magneten gef¨ uhrt wird?

4. Harmonischer Oszillator 8 Punkte

Betrachten Sie einen quantenmechanischen harmonischen Oszillator der Frequenz ω. Der Zu- stand χ sei die Superposition des Grundzustands |ϕ ₀ i und des zweiten angeregten Zustands

|ϕ ₂ i,

|χi = 1

√

2 (|ϕ ₀ i + |ϕ ₂ i) . Zur Zeit t = 0 befindet sich der Oszillator im Zustand χ.

Mit welcher Wahrscheinlichkeit P(t) befindet sich der Oszillator zur Zeit t > 0 wieder im An- fangszustand?

Bestimmen Sie explizit diese Wahrscheinlichkeit f¨ ur die Zeiten t ₁ = _2ω ^π , t ₂ = ^π _ω , t ₃ = _2ω ^3π .

5. Teilchen im Potentialtopf 7 Punkte

Betrachten Sie ein Teilchen, das sich in einem eindimensionalen, unendlich hohen Kastenpoten- tial der L¨ ange l befindet. Berechnen Sie f¨ ur dieses Teilchen die Eigenenergien des Grundzustands, sowie des ersten und zweiten angeregten Zustands.

6. Ideales Gas 8 Punkte

Wir betrachten ein ideales Gas bestehend aus N Teilchen in einem Beh¨ alter mit variablem Volumen V . Zeigen Sie, dass das Gas den Zustandsgleichungen

E = 3

2 k B T , pV = N k B T

gen¨ ugt.

(3)

7. Kanonisches Ensemble 4+3+2 = 9 Punkte Ein quantenmechanisches System mit Eigenzust¨ anden |ϕ ₀ i, |ϕ ₁ i, |ϕ ₂ i, |ϕ ₃ i, . . . bei Energien E 0 = 0, E ₁ = , E ₂ = 2, E ₃ = 3, . . . befindet sich im thermodynamischen Gleichgewicht mit einem Bad der Temperatur T .

a) Zeigen Sie, dass die kanonische Zustandssumme des Systems durch Z(β ) = 1

1 − e ^−β

gegeben ist. Hierbei ist β = 1/k B T die inverse Temperatur.

b) Bestimmen Sie die mittlere Energie des Systems bei Temperatur T .

c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit befindet sich das System bei Temperatur T im Zustand

|ϕ _n i?

8. Entropie 3+3 = 6 Punkte

Ein ca. 3 g schwerer Holzw¨ urfel wird aus 1 m H¨ ohe auf eine Glasplatte fallen gelassen. Nach sehr kurzer Zeit kommt der W¨ urfel dort zum Liegen. Die mechanische Energie des W¨ urfels wurde also vollst¨ andig in W¨ arme umgewandelt und der W¨ urfel weist jetzt eine gegen¨ uber Raumtemperatur geringf¨ ugig erh¨ ohte Temperatur auf.

a) Um welchen Betrag hat sich durch diese Erw¨ armung die Entropie des W¨ urfels erh¨ oht?

b) Sch¨ atzen Sie grob die Wahrscheinlichkeit daf¨ ur ab, dass der auf der Glasplatte ruhende W¨ urfel spontan seine Temperatur geringf¨ ugig erniedrigt und auf 1m H¨ ohe springt. [k _B ≈ 1.4 × 10 ⁻²³ J/K].

S. Bittihn, C. von Kr¨ uchten Sommersemester 2017

PD. Dr. R. Klesse

S. Bittihn, C. von Kr¨ uchten Sommersemester 2017

Theoretische Physik in 2 Semestern II

Nachklausur

www.thp.uni-koeln.de/∼rk/tpII 17.html/

Informationen zur Klausur:

• Die Klausur dauert 120 Minuten.

• Die Klausur besteht aus acht Aufgaben mit insgesamt 61 Punkten. Bitte bearbeiten Sie jede Aufgabe auf einem eigenen Blatt.

• F¨ ur die Bearbeitung der Aufgaben sind keine Hilfsmittel (z.B. Taschenrechner) erlaubt.

• Geben Sie bitte auf jedem Blatt ihren Namen an.

• Denken Sie bitte daran, das Deckblatt auszuf¨ ullen, dort zu unterschreiben und die Auf- gaben anzukreuzen, die von Ihnen bearbeitet wurden.

• Bitte unterschreiben Sie auch am Ende Ihrer abzugebenen L¨ osungszettel!

1. Kurzfragen 2+2+2+2+2+2 = 12 Punkte

Beantworten Sie folgende Fragen jeweils in einem kurzen Satz und/oder maximal zwei Formeln:

a) Welche Bedeutung hat der Hamilton-Operator in der Quantenmechanik?

b) Wann ist ein Operator hermitesch?

c) |ϕi sei ein normierter Eigenvektor des Operators ˆ A zum Eigenwert a. Bestimmen Sie hϕ| A|ϕi. ˆ

d) Wie ist die freie Energie eines Systems definiert?

e) Was besagt das Prinzip der minimalen freien Energie?

f ) Wie bestimmt man Druck und Temperatur anhand der mikrokanonischen Entropie S(E, V, N )?

2. Erhaltungsgr¨ oßen 2+3 = 5 Punkte

Ein quantenmechanisches System werde durch den Hamilton-Operator H ˆ = iE (|ψihϕ| − |ϕihψ|)

beschrieben, wobei |ψi und |ϕi zwei orthonormale Zust¨ ande des Systems seien. E sei eine reelle Gr¨ oße der Dimension Energie.

a) Zeigen Sie, dass ˆ H hermitesch ist.

b) Welche der folgenden Observablen sind Erhaltungsgr¨ oßen des Systems?

A ˆ 1 = a|ϕihϕ|, A ˆ 2 = ia (|ϕihψ| − |ψihϕ|) , A ˆ 3 = a (|ψihϕ| + |ϕihψ|) a sei eine reelle Konstante.

3. Stern-Gerlach-Experiment 2+4 = 6 Punkte Im Rahmen eines Stern-Gerlach Experimentes sei der Anfangszustand der Silberatome durch

|θi = 1

√

3 |ψ + i + r 2

3 |ψ − i

gegeben. Hierbei bezeichnet |ψ + i bzw. |ψ − i den Zustand z+ bzw. z- polarisierter Atome.

a) Die Silberatome werden nun durch einen in z-Richtung ausgerichteten Stern-Gerlach- Magneten geschickt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Atom des Strahls danach z+ bzw. z- polarisiert ist?

b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit f¨ ur eine x+ bzw. x- Polarisation eines Atoms, wenn der Strahl stattdessen durch einen in x-Richtung ausgerichteten Stern-Gerlach- Magneten gef¨ uhrt wird?

4. Harmonischer Oszillator 8 Punkte

Betrachten Sie einen quantenmechanischen harmonischen Oszillator der Frequenz ω. Der Zu- stand χ sei die Superposition des Grundzustands |ϕ 0 i und des zweiten angeregten Zustands

|ϕ 2 i,

|χi = 1

√

2 (|ϕ 0 i + |ϕ 2 i) . Zur Zeit t = 0 befindet sich der Oszillator im Zustand χ.

Mit welcher Wahrscheinlichkeit P(t) befindet sich der Oszillator zur Zeit t > 0 wieder im An- fangszustand?

Bestimmen Sie explizit diese Wahrscheinlichkeit f¨ ur die Zeiten t 1 = 2ω π , t 2 = π ω , t 3 = 2ω 3π .

5. Teilchen im Potentialtopf 7 Punkte

Betrachten Sie ein Teilchen, das sich in einem eindimensionalen, unendlich hohen Kastenpoten- tial der L¨ ange l befindet. Berechnen Sie f¨ ur dieses Teilchen die Eigenenergien des Grundzustands, sowie des ersten und zweiten angeregten Zustands.

6. Ideales Gas 8 Punkte

Wir betrachten ein ideales Gas bestehend aus N Teilchen in einem Beh¨ alter mit variablem Volumen V . Zeigen Sie, dass das Gas den Zustandsgleichungen

E = 3

2 k B T , pV = N k B T

gen¨ ugt.

7. Kanonisches Ensemble 4+3+2 = 9 Punkte Ein quantenmechanisches System mit Eigenzust¨ anden |ϕ 0 i, |ϕ 1 i, |ϕ 2 i, |ϕ 3 i, . . . bei Energien E 0 = 0, E 1 = , E 2 = 2, E 3 = 3, . . . befindet sich im thermodynamischen Gleichgewicht mit einem Bad der Temperatur T .

a) Zeigen Sie, dass die kanonische Zustandssumme des Systems durch Z(β ) = 1

1 − e −β

gegeben ist. Hierbei ist β = 1/k B T die inverse Temperatur.

b) Bestimmen Sie die mittlere Energie des Systems bei Temperatur T .

c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit befindet sich das System bei Temperatur T im Zustand

|ϕ n i?

8. Entropie 3+3 = 6 Punkte

a) Um welchen Betrag hat sich durch diese Erw¨ armung die Entropie des W¨ urfels erh¨ oht?

b) Sch¨ atzen Sie grob die Wahrscheinlichkeit daf¨ ur ab, dass der auf der Glasplatte ruhende W¨ urfel spontan seine Temperatur geringf¨ ugig erniedrigt und auf 1m H¨ ohe springt. [k B ≈ 1.4 × 10 −23 J/K].

Eventuell hilfreiche Formeln

• P ∞ k=0

x

k! = e x

• P ∞ k=1 1

k

= π 6

• P ∞ k=0

1 k → ∞

• P n

k=0 q k = 1−q 1−q

• P ∞

k=0 a 0 q k = 1−q a

f¨ ur |q| < 1

• P ∞ k=1

(−1)

k = ln(2)

A ˆ ₁ = a|ϕihϕ|, A ˆ ₂ = ia (|ϕihψ| − |ψihϕ|) , A ˆ ₃ = a (|ψihϕ| + |ϕihψ|) a sei eine reelle Konstante.

3 |ψ ₊ i + r 2

gegeben. Hierbei bezeichnet |ψ ₊ i bzw. |ψ ₋ i den Zustand z+ bzw. z- polarisierter Atome.

Betrachten Sie einen quantenmechanischen harmonischen Oszillator der Frequenz ω. Der Zu- stand χ sei die Superposition des Grundzustands |ϕ ₀ i und des zweiten angeregten Zustands

|ϕ ₂ i,

2 (|ϕ ₀ i + |ϕ ₂ i) . Zur Zeit t = 0 befindet sich der Oszillator im Zustand χ.

Bestimmen Sie explizit diese Wahrscheinlichkeit f¨ ur die Zeiten t ₁ = _2ω ^π , t ₂ = ^π _ω , t ₃ = _2ω ^3π .

7. Kanonisches Ensemble 4+3+2 = 9 Punkte Ein quantenmechanisches System mit Eigenzust¨ anden |ϕ ₀ i, |ϕ ₁ i, |ϕ ₂ i, |ϕ ₃ i, . . . bei Energien E 0 = 0, E ₁ = , E ₂ = 2, E ₃ = 3, . . . befindet sich im thermodynamischen Gleichgewicht mit einem Bad der Temperatur T .

1 − e ^−β

|ϕ _n i?

b) Sch¨ atzen Sie grob die Wahrscheinlichkeit daf¨ ur ab, dass der auf der Glasplatte ruhende W¨ urfel spontan seine Temperatur geringf¨ ugig erniedrigt und auf 1m H¨ ohe springt. [k _B ≈ 1.4 × 10 ⁻²³ J/K].

k! = e ^x

= ^π ₆

k=0 q ^k = ^1−q _1−q

k=0 a 0 q ^k = _1−q ^a