Ideales und Reales Gas Versuchsvorbereitung

Ideales und Reales Gas Versuchsvorbereitung

Marco A. Harrendorf und Thomas Keck, Gruppe: Mo-3 Karlsruhe Institut f¨ur Technologie, Bachelor Physik

Versuchstag: 02.05.2011

1 Theoretischer Hintergrund

1.1 Ideales Gas

F¨ur viele Bereiche der Thermodynamik ist es eine idealisierte Modellvorstellung eines realen Gases, das sogenannte ideale Gas, n¨utzlich und zur erkl¨arenden Beschreibung vieler Vorg¨ange bereits ausreichend.

Ausgehend von der Annahme, dass die Bestandteile eines idealen Gases nur eine verschwindend kleine Ausdehnung besitzen, jedoch untereinander elastische St¨oße eingehen k¨onnen, l¨asst sich die ideale Gasgleichung formulieren:

p · V = n · R · T

⇔p · V = N · kB · T

Der Zustand eines idealen Gases kann also unter anderem durch die drei Erhaltungsgr¨oßen

• Temperatur T

• Druck p

• Volumen V sowie durch die Gr¨oßen

• Molzahl n

• Anzahl Gasteilchen N

• Gaskonstante R

• Boltzmann-Konstantek_B charakterisiert werden.

1.2 Reales Gas

Das Modell des idealen Gases kann nicht alle thermodynamischen Prozesse beschreiben, so lassen sich beispielsweise aus diesem nicht die Phasen¨uberg¨ange ableiten. Weiterhin ziehen sich reale Gasatome gegenseitig, was zwar f¨ur Prozesse im Inneren des Gases ohne Bedeutung ist, aber f¨ur Prozesse an der Grenzfl¨ache des Gases nicht unbeachtet bleiben kann.

Aus diesem Grund wurde das ideale Gasgesetz um zwei Korrekturterme zur Van-der-Waals- Gleichung erweitert:

p + a V²

· (V − b) = n · R · T

Mit der Einf¨uhrung des Binnendrucksawird hierbei die Erh¨ohung des Drucks im Inneren des Gases in Folge der gegenseitigen Anziehung der Gasmolek¨ule ber¨ucksichtigt. Zudem wird die Ausdehnung der Gasmolek¨ule mit dem Kovolumenbmiteinbezogen.

2 Versuch 1: Jollysches Gasthermometer

2.1 Ziel des Versuchs

In diesem Versuch soll mit Hilfe des Jollyschen Gasthermometers der Spannungskoeffizient α f¨ur Luft bestimmt werden und daraus die Temperatur θ0 des absoluten Nullpunkts in Grad Celsius berechnet werden.

2.2 Versuchsaufbau

F¨ur den Versuch wird das Jollysche Gasthermometer verwendet, welches in Abbildung 1 sche- matisch dargestellt ist.

Das Gasthermometer besteht aus einem Glasgef¨aß (A), dem sogenannten Rezipienten, welches Luft enth¨alt und sich in einem Wasserbad befindet. ¨Uber eine Kapillare (B), einen beweglichen Luftschlauch (C) und eine weitere Kapillare, die allesamt mit Quecksilber gef¨ullt sind, ist das Gef¨aß mit der Umgebung verbunden.

Abbildung 1: Schematische Darstellung des Jollyschen Gasthermometers: Entnommen aus [Gasthermometer]

2.3 Versuchsdurchf ¨uhrung

F¨ur drei verschiedene Temperaturenθ= 0^◦C, T_Z,100^◦C, wobeiT_Zder Zimmertemperatur ent- spricht, wird die H¨ohendifferenz∆hder Quecksilbers¨aule in den Kapillaren ermittelt. Hierzu wird die H¨ohe der rechten, beweglichen Kapillare jeweils so angepasst, dass der Fl¨ussigkeitsstand in der linken Kapillare gerade unterhalb des Dorns (D) liegt.

Uber den Zusammenhang¨

∆p = ρQuecksilber · g · ∆h mitρQuecksilber ≈ 13.55 g cm

kann die ¨Anderung des Druck gegen¨uber dem Umgebungsdruckpbbestimmt werden und hieraus dann der jeweilige Druckp, indem der Umgebungsdruckp_bhinzuaddiert wird

p = ∆p + p_b ,

weswegen noch der ¨außere Luftdruckp_b an einem Barometer abgelesen wird.

Weiterhin wird das GasvolumenV und das sch¨adliche Volumenvabgesch¨atzt.

Zu beachten bei diesem Versuch ist, dass die Kapillare wieder gesenkt werden sollte, bevor das Gef¨aß abk¨uhlen gelassen wird, da ansonsten auf Grund der Druckdifferenz Quecksilber in das Glasgef¨aß gelangen k¨onnte.

2.4 Bestimmung des Spannungskoeffizienten

Die Bestimmmung des Spannungskoeffizientenαbasiert auf dem Gesetz von Amontonos, auch als zweites Gesetz von Gay-Lussac bezeichnet. Nach diesem Gesetz gilt, dass bei einer isocho- ren Zustands¨anderung die Ver¨anderung des Drucks∆peines Gases proportional zur ¨Anderung seiner Temperatur∆θist.

Nach [Walcher] gilt weiterhin folgender Zusammenhang f¨ur den Druck

p(T) = p₀ · (1 + α · θ) , (1) wobei der Druck des Gases bei einer Temperaturθ = 0^◦Cdurchp₀gegeben ist.

Diesen Zusammenhang macht man sich zunutze, indem man mit dem Jollyschen Gasthermome- ter einmal den DruckpEisf¨ur eine TemperaturθEis = 0^◦Cbestimmt, indem man den Glaskol- ben in Eiswasser taucht, und anschließend den Druckp_Siedf¨ur eine Temperaturθ_Sied = 100^◦C misst, indem man den Glaskolben ¨uber siedendes Wasser h¨alt.

Durch Umstellen der oben genannten Formel kann dann der Spannungskoeffizientαbestimmt werden:

pSied = pEis · (1 + α · θSied)

⇔ α= p_Sied − p_Eis pEis

· 1

θSied

Allerdings enth¨alt diese Gleichung die Voraussetzung, dass die Temperatur des gesamten Gas- volumens gleich ist. Dies kann aber in diesem Versuch nicht sichergestellt werden, da Teile der luftgef¨ullten Kapillare sich immer außerhalb des Wasserbads befinden werden. Dieses Volumen vwird als sch¨adliches Volumen bezeichnet, da es die Messung verf¨alscht.

Nach [Walcher] kann deswegen folgende Formel angewandt werden, um die Fehler in Folge des sch¨adlichen Volumensvzu korrigieren und um den Spannungskoeffizientenαzu bestimmen:

α= pSied − pEis

p_Eis · 1

θ_Sied + pSied

p_Eis ·

γ + 1 T_Z · v

V

Folgende Gr¨oßen wurden hierzu zus¨atzlich eingef¨uhrt:

• W¨armeausdehnungskoeffizient von Glasγ

• Zimmertemperatur in KelvinT_Z

• Volumen des Gases im Wasserbad V

• Sch¨adliches Volumen v

Die ZimmertemperaturT_Zl¨asst sich hierbei aus dem gemessenen Druck bei Zimmertemperatur p_Zsowie dem Druckp_Eisberechnen:

TZ = pZ

p_Eis · 273.15K 2.5 Bestimmung des absoluten Nullpunkts

Aus dem idealen Gasgesetz folgt unter der Annahme, dass es eine minimale TemperaturT0 gibt und dass f¨ur die gemessene TemperaturT = T₀+θgilt:

p = k_B · N · T V

⇒ p = kB · N · T0

V + kB · N · θ

V (2)

Klammert man den ersten Termp₀ = ^kB·_V^N·T0 in Gleichung 2 aus, so erh¨alt man:

p = p0 ·

1 + θ T0

(3) Ein Vergleich von Gleichung 1 und 3 zeigt folgenden Zusammenhang zwischen dem absoluten NullpunktT0und dem Spannungskoeffizientenα

α = − 1 T0

Hieraus l¨asst sich dann auch der absolute Nullpunkt in Grad Celsius bestimmen.

3 Versuch 2: Bestimmung des Verh ¨altnisses der spezifischen W ¨armen

Theoretischer Hintergrund: Adiabatische Zustands ¨anderung

In dieser Versuchsreihe soll das Verh¨altnis der spezifischen W¨armen, auch unter dem moderne- ren Namen Adiabatenkoeffizient,κ = _c^cp

V bestimmt werden.

Der Adiabatenkoeffizient κ ist hierbei genauer gesagt durch das Verh¨altnis der spezifischen W¨armekapazit¨at bei konstantem Druck c_p und der spezifischen W¨armekapazit¨at bei konstan- tem VolumencV gegeben. Er findet Verwendung in den Poissonschen Gleichungen

p · V^κ = const.

T · V^κ−1 = const.

T^κ · p^1−κ = const. , die f¨ur adiabatische Zustands¨anderungen gelten.

Eine adiabatische Zust¨anderungs¨anderung liegt jeweils dann vor, wenn sich innerhalb eines Sys- tems die W¨armemengeQnicht ¨andert.

4 Versuch 2.1: Bestimmung des Verh ¨altnisses der spezifischen W ¨armen f ¨ ur Luft nach der Methode von Clement-Desormes

4.1 Ziel des Versuchs

In diesem Versuch soll das Verh¨altnis der spezifischen W¨armenκ = _c^cp

v mit der Methode von Clement-Desormes bestimmt werden.

4.2 Versuchsaufbau

F¨ur diesen Versuch wird ein Gef¨aß mit einem angeschlossenen Manometer und einem Dreiweg- hahn verwendet. Je nach Hahnstellung kann durch einen Blasebalg der Druck im Gef¨aß erh¨oht werden, der Druck durch Verbindung mit der Aussenluft erniedrigt werden oder das Gef¨aß ver- schlossen werden.

Der Aufbau der Messapparat ist in Abbildung 2 schematisch dargestellt.

4.3 Versuchsdurchf ¨uhrung

Zur Bestimmung des Adiabatenkoeffizientenκwird in diesem Versuch ein Kreisprozess nahezu vollst¨andig einmal durchlaufen, der die nachfolgend genannten Schritt umfasst und in Abbildung 3 dargestellt ist.

Zu bemerken bleibt, dass sich das Gef¨aß vor Beginn des Kreisprozesses im Gleichgewicht mit der Umgebung befindet. Die Temperatur im Gef¨aß entspricht hierbei der Umgebungstemperatur T₀, der Druck dem Umgebungsdruckp₀ und das Volumen dem Gef¨aßvolumenV₀.

Abbildung 2: Schematischer Aufbau der Apparat zur Bestimmung des Verh¨altnisses der spezifi- schen W¨armen nach Clement-Desormes: Entnommen aus [Walcher]

1. Der Druck im Gef¨aß wird durch Einpumpen von Luft mittels eines Blasebalgs langsam um∆p₁ (Empfehlung nach [Walcher]: 100 mm Hg) erh¨oht, wobei die Temperatur und das Volumen konstant gehalten werden.

Es handelt sich also um eine isochore Zustands¨anderung.

V = V0

T = T0

p = p0 + ∆p1

2. Das Gef¨aß wird mit der Außenluft verbunden, wodurch ein Druckausgleich stattfindet und wieder der Druckp0vorliegt. Das Volumen des Gases nimmt um∆V zu, wobei das Gas Arbeit verrichtet, weswegen die Temperatur des Gases um∆T abnimmt.

Es handelt sich hierbei um eine adiabatische Zustands¨anderung.

V = V0 + ∆V T = T₀ − ∆T

p = p₀

3. Das Gef¨aß wird nach erfolgtem Druckausgleich unter Zuhilfenahme des Dreiwegehahns verschlossen. Das Gasvolumen des Systems entspricht daher nun wieder dem Gef¨aßvolumen.

Es liegt eine isobare Zustands¨anderung vor.

V = V₀

T = T0 − ∆T p = p0

4. Das Gef¨aß erw¨armt sich wieder auf Raumtemperatur, d.h. die Temperatur nimmt um∆T, wodurch der Druck im Gef¨aß um∆p2 steigt. Laut [Walcher] liegt die Halbwertszeit f¨ur diese Erw¨armung bei ca. 10 Sekunden.

Es handelt sich um eine isochore Zustands¨anderung.

V = V0

T = T0

p = p0 + ∆p1

Abbildung 3: Darstellung der Prozessschritte im p-V-Diagramm

4.4 Herleitung der Berechnungsformel f ¨ur den Adiabatenkoeffizienten Der Adiabatenkoeffizientκl¨asst sich (frei nach [Walcher]) wie folgt herleiten:

Die Zust¨ande zwischen dem ersten und zweiten Prozessschritt lassen sich durch die Poisson- schen Zustandsgleichungen beschreiben, wenn der adiabatische Prozess schnell genug verl¨auft,

sodass f¨ur die Expansion des Gases nur dem Gas selbst Energie entzogen wird und sodass keine W¨armezufuhr von außen stattfindet:

(p₀ + ∆p₁) · V₀^κ = p₀ ·(V₀ + ∆V)^κ (4) (T₀ − ∆T) · (V₀ + ∆V)^κ−1 = T₀ · V₀^κ−1 (5) Die Volumenver¨anderung∆V ist klein gegen¨uber dem GasvolumenV0, weswegen man schrei- ben kann:

(V₀ + ∆V)^κ = V₀^κ ·

1 + ∆V V₀

κ

(6)

≈ V₀^κ + κ · V₀^κ−1 · ∆V (7)

Aus den Gleichungen 4 und 7 erh¨alt man:

∆p₁

p₀ = κ · ∆V

V₀ (8)

bzw. ∆T

T₀ = (κ − 1) · ∆V

V₀ (9)

Aus den Gleichungen 8 und 9 erh¨alt man dann die Gleichung:

∆T T0

= κ − 1

κ · ∆p1

p0

(10) Weiterhin gilt, dass die Prozessschritte 3 und 4 durch die Zustandsgleichung idealer Gase

p · V

T = const.

miteinander verkn¨upft sind, sodass gilt:

p0

p0 + ∆p2

= T0 − ∆T T0

(11)

= 1 − ∆T T0

(12) Setzt man Gleichung 10 in Gleichung 12 ein und nutzt dabei aus, dass die Druck¨anderung∆p1

deutlich kleiner alsp₀ist, so erh¨alt man folgende Formel f¨ur den Adiabatenkoeffizientenκ:

κ = ∆p1

∆p1 − ∆p2

5 Versuch 2.2: Verifikation der adiabatischen Entspannung

5.1 Ziel des Versuchs

In diesem Versuch soll nachgewiesen werden, dass bei der Entspannung des Gases im zwei- ten Prozessschritt des Versuches 2.1 eine adiabatische Zustands¨anderung angenommen werden kann.

5.2 Versuchsdurchf ¨uhrung

Der Versuch 2.1 wird zur Verifikation der adiabatischen Entspannung mehrmals durchgef¨uhrt, wobei die Zeitdauer f¨ur die Entspannung des Gases im zweiten Prozessschritt variiert wird.

6 Versuch 2.3: Bestimmung des Verh ¨altnisses der spezifischen W ¨armen f ¨ ur Luft nach der Methode von R ¨ uchard

6.1 Ziel des Versuchs

In diesem Versuch soll der Adiabatenkoeffizientκvon Luft mittels der Messmethode von R¨uchard bestimmt werden.

6.2 Versuchsaufbau

Ein langes, schmales Glasrohr wird senkrecht in die Oberseite eines Gef¨aßes gesteckt. Anschlie- ßend wird eine kleine Stahlkugel in das Glasrohr fallen gelassen.

Beim Versuchsaufbau muss besondere Sorgfalt auf folgende Punkte gelegt werden:

• Das Glasrohr muss innen sauber sein.

• Das Glasrohr muss absolut senkrecht stehen.

• Das Gef¨aß muss bis auf das Glasrohr mit Stopfen vollst¨andig verschlossen sein.

• Die Kugel muss sauber sein.

Der Versuchsaufbau wird in Abbildung 4 schematisch dargestellt.

Abbildung 4: Schematische Darstellung der Bestimmung des Adiabatenexponenten mit der Messmethode von R¨uchard: Entnommen aus [Ruchard]

6.3 Versuchsdurchf ¨uhrung

Die Kugel wird unter Zuhilfenahme eines Lederlappens (zur Schonung der Kugel) zun¨achst ge- wogen und deren Nettomassembestimmt. Anschließend wird sie, nachdem die Dichtheit aller Stopfen am Gef¨aß ¨uberpr¨uft wurde, in das Glasrohr fallen gelassen und die Schwingungszeit- dauerT bestimmt. Laut [Walcher] ist es hierbei empfehlenswert, der Bestimmung der Schwin- gungsdauerT mindestens 5 volle Schwingungen zugrunde zu legen.

Nach Beendigung der Schwingung wird das Glasrohr oben mit einem Stopfen verschlossen und aus dem Gef¨aß entfernt, damit auf Grund des fehlenden Drucksausgleichs die Kugel beim Raus- ziehen des Glasrohres nicht in das Gef¨aß f¨allt. Danach l¨asst man die Kugel durch Entfernen des Stopfens in einen Lederlappen gleiten, um die SchwingungsdauerT erneut messen zu k¨onnen.

Weiterhin liest man an einem Barometer den Druckp0 ab, um ihn anschließend korrigieren zu k¨onnen.

6.4 Herleitung der Berechnungsformel f ¨ur den Adiabatenkoeffizienten Der Adiabatenkoeffizientκl¨asst sich (frei nach [Walcher]) wie folgt herleiten:

Wenn die Kugel in das Glasrohr gleitet, nimmt das Gasvolumen um∆V ab und der Druck nimmt um∆p. Die Kompression setzt sich hierbei solange fort, bis die Gegenkraft durch die Erh¨ohung des Drucks im Gef¨aß die Fallbewegung der Kugel umkehrt. Es stellt sich folglich ein Schwin- gungsvorgang ein, der so schnell verl¨auft, dass man von einer adiabatischen Zustands¨anderung ausgehen kann und die folgende Poissonsche Gleichung f¨ur den Druckpund das VolumenV₀ aufstellen kann:

p · V₀^κ = (p + ∆p) · (V₀ + ∆V)^κ (13) Unter Zuhilfenahme der Gleichung 7 l¨asst sich aus der Gleichung 13 die Druck¨anderung∆p bestimmen:

∆p = −κ · p · ∆V V0

(14) Verwendet man f¨ur die Volumen¨anderung∆V die Querschnittsfl¨ache des GlasrohresAund den Fallweg∆xder Kugel, so ergibt sich aus Gleichung 14:

∆F = −κ · p V0

· A² · ∆x (15)

Mit Hilfe der Gleichung 15 l¨asst sich dann die Bewegungsgleichung f¨ur den Schwingungsvor- gang der Kugel aufstellen:

∆¨x + κ · p

V₀ · A² · ∆x = 0 (16)

Aus der Bewegungsgleichung 16 l¨asst sich die SchwingungsdauerT ableiten und nach Umfor- men der Adiabatenkoeffizientκbestimmen:

T = 2π · s

m · V0

κ · p · A²

⇒κ = 2π

T 2

· m · V0

A² · p

Zu beachten ist, dass der Druckpdem Druck entspricht, wenn sich die Kugel in Ruhestellung innerhalb des Glasrohres befindet.

Dieser Druck setzt sich zusammen aus dem Luftdruckp₀ und einem Korrekturdruckp_kf¨ur die Gewichtskraft der Kugel, der sich aus dem Radiusrund der Dichte der Kugelρ_Stahlberechnet.

p = p₀ + p_k

mit p_k = m · g A

= 4

3 · r · ρ_Stahl · g pk

Nm⁻²

= 1020 · r [cm]

Eventuell ist f¨ur die Umrechnung des Luftdrucksp₀noch folgende Umrechnungsformel n¨utzlich:

p₀ Nm⁻²

= 1.333·10²p₀ [Torr]

7 Versuch 3: Messen der Dampfdruckkurve von n-Hexan

7.1 Ziel des Versuchs

In diesem Versuch soll die Dampfdruckkurve von n-Hexan gemessen werden und daraus die Verdampfungsw¨arme von n-Hexan bestimmt werden.

7.2 Versuchsaufbau und Versuchsdurchf ¨uhrung

Ein mit n-Hexan gef¨ullter Beh¨alter wird in ein Wasserbad gebracht. Das Wasserbad wird an- schließend erhitzt und danach abk¨uhlen gelassen. Unter Verwendung eines Manometers wird der Dampfdruckpund unter Zuhilfenahme eines Thermometers die TemperaturT sowohl beim Erhitzen als auch beim Abk¨uhlen bestimmt.

7.3 Herleitung der Berechnungsformel f ¨ur die Verdampfungsenthalpie n-Heptan geh¨ort zur Klasse von Stoffen, die – im Gegensatz zu Wasser – keine Dichteanomalie aufweisen. Das Phasendiagramm von n-Heptan entspricht daher der in Abbildung 5 gezeigten schematischen Darstellung.

Der Kurvenabschnitt zwischen dem Tripelpunkt und dem kritischen Punkt entspricht hierbei der Dampfdruckkurve. Bei allen Zust¨anden, die auf dieser Kurve liegen, befindet sich die fl¨ussige und gasf¨ormige Phase des n-Heptans im Gleichgewicht. Dies bedeutet, dass in diesen Zust¨anden genauso viel Fl¨ussigkeit verdampft wie durch Kondensation des Dampfes entsteht. Dies ist da- durch bedingt, dass durch das Verdampfen von Fl¨ussigkeit der Dampfdruck ¨uber der Fl¨ussigkeit so lange zunimmt, bis er gerade dem Verdampfen entgegenwirkt.

Misst man den Dampfdruck ¨uber der Fl¨ussigkeit und die Temperatur f¨ur verschiedene Gleich- gewichtszust¨ande, so kann man die Dampfdruckkurve bestimmen.

Aus der Dampfdruckkurve kann unter Zuhilfenahme der Clausius-Clapeyron-Gleichung Λ = T ·(V_D − V_F) · dp

dT (17)

die Verdampfungsw¨armeΛberechnet werden, wenn das Volumen der dampff¨ormigen PhaseV_D und der fl¨ussigen PhaseVF bekannt ist.

Da das Volumen der fl¨ussigen PhaseVF gegen¨uber dem Volumen des DampfesVDvernachl¨assigt werden kann, kann das VolumenV_D durch das ideale Gasgesetz ausgedr¨uckt werden, wobei es sich bei um n-Hexan um ein einmolares Gas handelt:

VD = n · R · T

p (18)

= R · T

p mit n = 1 (19)

Setzt man Gleichung 19 in Gleichung 17 ein, so erh¨alt man:

Λ = R · T² p · dp

dT

Abbildung 5: Schematische Darstellung des Phasendiagramms von n-Heptan

Eine nachfolgende Separation der Variablen und unbestimmte Integration der Gleichung f¨uhrt zu:

Λ

T = −R · ln(p) + const. mitR = 8.314472 J mol · K

Durch Zuhilfenahme der linearen Regression l¨asst sich nun aus dieser Beziehung die Verd¨ampfungsw¨arme Λvon n-Heptan bestimmen.

Nach [n-Heptan] betr¨agt die Verdampfungsw¨arme von n-HeptanΛ = 28.85 _mol^kJ .

Literatur

[Aufgabenstellung] Aufgabenstellung zu den Versuchen P2-47,48,49 [Vorbereitungshilfe] Vorbereitungshilfe zu den Versuchen P2-47,48,49 [Walcher] W. Walcher, Praktikum der Physik, 9. Auflage

[Ruchard] Uni G¨ottingen, Prinzip der Adiabatenmessung nach R¨uchard,https://lp.uni- goettingen.de/get/text/3639 (Stand: 01.05.2011, 20:27 Uhr)

[n-Heptan] Wikipedia: n-Heptan, http://de.wikipedia.org/wiki/N-Hexan (Stand: 01.05.2011, 22:15 Uhr)

[Gasthermometer] Universit¨at Wien, Gasthermometer, https://www.univie.ac.at/physikwiki/index.php/LV005:LV- Uebersicht/Materialien/Gasthermometer (Stand: 01.05.2011, 23:10 Uhr)