Lichtgeschwindigkeit Versuchsvorbereitung

Lichtgeschwindigkeit Versuchsvorbereitung

Thomas Keck, Gruppe: Mo-3

Karlsruhe Institut f¨ur Technologie, Bachelor Physik

Versuchstag: 29.11.2010

Inhaltsverzeichnis

1 Drehspiegelmethode 3

1.1 Allgemeines . . . 3

1.2 Strahlengang . . . 3

1.3 Aufbau . . . 4

1.4 Durchf¨uhrung . . . 5

1.5 Berechnung der Lichtgeschwindigkeit . . . 5

2 Phasenvergleichsmethode 6 2.1 Allgemeines . . . 6

2.2 Vorbereitende Rechnungen . . . 6

2.3 Aufbau und Durchf¨uhrung . . . 6

2.4 Modulation des Signals . . . 6

2.5 Durchf¨uhrung . . . 7

Literatur 8

1 Drehspiegelmethode

1.1 Allgemeines

Bei diesem Versuch wird die Gruppengeschwindigkeit des Lichts in Luft bestimmt.

1.2 Strahlengang

Abbildung 1: Schematischer Aufbau der Drehspiegelmethode

Als Lichtquelle dient ein He-Ne-Laser (Strahlleistung 1mW, Strahldurchmesser etwa 0.8mm, Strahlivergenz etwa 1mrad; unpolarisiert [Aufgabenstellung]), der Kondensor K wird nicht ben¨otigt, der Spalt A ist die Laseraustritts¨offnung.

Der Laserstrahl durchl¨auft einen Strahlenteiler G, der transmitierte Strahl f¨allt das erste Mal auf den Drehspiegel D, dabei wird je nach Stellung von D der Strahl ¨uber den Strahlenteiler auf den Beobachtungsschirm M inM1abgebildet pder er wird von hier aus Richtung Umlenkspiegel U gelenkt und durchl¨auft dabei eine Sammellinse B (mitf = 5m[Aufgabenstellung]), welche den Strahl, der von U wiederum umgelenkt wird, auf den Endspiegel E fokussiert.

Der Endspiegel E reflektiert den Strahl senkrecht zur¨uck zum Umlenkspiegel U, wieder durch die Sammellinse B und zum zweiten Mal auf den Drehspiegel D, dieser ist w¨ahrend das Licht

den Wegs= 2·(d_EU+d_{U D})in der ZeitTdurchlaufen hat, um den Winkelweiterrotiert. Der Laserstrahl wird daher unter dem Winkelϕ= 2·, zum urspr¨unglichen Strahlengang beim ersten Auftreffen auf den Drehspiegel, reflektiert. ¨Uber den Strahlenteiler G wird der ankommende Strahl auf den Beobachtungsschirm M in PunktM₂abgebildet.

Die beiden Laserpunkte bei M₁ und M₂ ruhen. F¨ur M₁ passiert dies, da nur f¨ur einen be- stimmten Ablenkwinkel der Strahl wieder direkt zum Strahlenteiler zur¨uckgeworfen wird. F¨ur M2muss in Betracht gezogen werden, dass die Projektion auf den Beobachtungsschirm nur bei einem bestimmten Winkel, der den Strahl gerade ¨uber de Umlenk-, auf den Endspiegel ablenkt, stattfindet. Die Linse dient offensichtlicherweise zur Fokussierung des Strahles der sonst ¨uber die Gesamtlaufstrecke von ¨uber 20 Metern stark divergieren w¨urde.

Die Strecker=M₂−M₁kann nun gemessen werden.

1.3 Aufbau

d_EU (Endspiegel - Umlenkspiegel) (6.57±0.005)m dU D(Umlenkspiegel - Drehspiegel) (7.23±0.005)m max(dDL)(Drehspiegel - Laseraustritts¨offnung) (6.80±0.005)m

Tabelle 1: Fest vorgegebene Versuchsbedingungen

Linsenposition f = 5m In der Literatur findet man verschiedene Angaben zur Linsenpo- sition, ich halte es f¨ur sinnvoll die Linse so zu positionieren, dass sie die Laseraustritts¨offnung, gerade auf den Endspiegel abbildet. Eine andere M¨oglichkeit ist es die Linse im Abstand ih- rer Brennweite vom Drehspiegel aufzustellen, M.A. Harrendorf, hat diese M¨oglichkeit in seiner Vorbereitung durchgerechnet, ich werde mich an dieser Stelle dem ersten Fall zuwenden.

Die Gegenstandsweite ist gegeben durchg=d_DL+xdie Bildweite durchb=d_{U D}−x+d_EU. Dabei istxder Abstand der Linse vom Drehspiegel D. Es gilt:

1 f = 1

b +1

g = g+b

b·g = dDL+dU D+dEU

(d_DL+x)·(d_{U D}−x+d_EU) (1) Hieraus ergibt sich eine Bestimmungsgleichung f¨ur x:

x²+x·(d_DL−d_{U D}−d_EU) +f·(d_DL+d_{U D}+d_EU)−d_DLd_{U D}−d_DLd_EU = 0 (2) Dies ist eine quadratische Gleichung mit der L¨osung:

x= 1 2·

±p

dU D+dDL+dEU ·p

dU D−4·f +dDL+dEU+dU D−dDL+dEU

(3) Der Abstandd_DLwird nun so bestimmt, dass die Wurzel gerade 0 ergibt, es folgt dann f¨ur x:

d_DL= 4·f−d_{U D}−d_EU = 6.2m (4) x= 1

2 ·(d_{U D}−d_DL+d_EU) = 3.8m (5)

Der Abstand vom Strahlenteiler zum Beobachtungsschirm sollte gerade dem Abstand vom Strahlenteiler zur Laseraustritts¨offnung entsprechen, damit das Bild hier scharf abgebildet wird.

Ansonsten muss mit der Beobachtungslupe nachgeholfen werden, um das Bild scharf zu stellen.

1.4 Durchf ¨uhrung

Wie in der Aufgabenstellung angegeben wird die Apperatur justiert. In Abh¨angigkeit von der Rotationsfrequenz wird der Lichtmarkenort M2 gemessen. Die elektronische Frequenzanzei- ge die ¨uber eine Photodiode in der N¨ahe des Drehspiegels getriggert wird, wird mithilfe einer Stimmgabel und deren Schwebung mit dem Motorger¨ausch ¨uberpr¨uft. Der Motor l¨auft hierbei mit der Frequenz der Stimmgabel, sobald keine Schwebung mehr zu h¨oren ist.

1.5 Berechnung der Lichtgeschwindigkeit

Bekannt ist die Strecke r = M2 −M1, die Drehfrequenz des Spiegels f, und der Lichtweg s= 2·(d_EU +d_{U D}).

1. Zuerst wird ¨uber die Strecke r der Drehwinkeldes Drehspiegels zwischen erstem und zweitem Auftreffen des Strahl berechnet, hierzu ben¨otigt man die Streckeh vom Dreh- spiegel ¨uber den Strahlenteiler zum PunktM₁. Idealerweise ist dies gerade, der Abstand zwischen Laseraustritts¨offnung und Drehspiegel, wie oben beschrieben wird f¨ur diese Strecke der Laser scharf auf dem Beobachtungschirm abgebildet. Es gilt:

= 1

2 ·arctan (r

h) (6)

2. Zur Drehung um den Winkelben¨otigt der Spiegel die ZeitT bei einer Umdrehungsfre- quenz vonf:

T = 1

f ·^{2·P i} (7)

3. In der Zeit T legt das Licht die Strecke s = 2·(d_EU +d_{U D}) zur¨uck. Es folgt f¨ur die Lichgeschwindigkeitc:

c= s

T (8)

4. F¨ur die oben festgelegten Abst¨ande und eine Drehfrequenz von 500 Hz, sowie f¨ur die Absch¨atzung von c = 300000000^m_s ergibt sich eine erwartete Ablenkung von: r = 3.58mm.

2 Phasenvergleichsmethode

2.1 Allgemeines

Bei diesem Versuch wird die Phasengeschwindigkeit des Lichtes in Luft, Plexiglas und Wasser bestimmt. Hieraus kann man die Brechzahl f¨ur rotes Licht in den einzelnen Medien bestimmen unter der Annahme vonn_{Luf t} ≈1.

2.2 Vorbereitende Rechnungen

Um bei einem Lichtweg von d = 1Meter eine Verschiebung von ₁₀¹ der PeriodendauerT zu erreichen, muss das Licht mit folgender Frequenz moduliert werden.

f = 1

T = 1

10·∆t = 1

10·^d_c ≈30M Hz (9)

Um auf dem Oszilloskop eine sichtbare Ablenkung vond= 0.5cmzu erreichen. Ben¨otigt das Oszilloskop eine Ablenkgeschwindigkeit von:

v_ag= d

∆t = 150cm

µs (10)

2.3 Aufbau und Durchf ¨uhrung

Ein Lichtsender sendet eine mit einer Frequenz vonf₁ = 60MHzmodulierte Lichtwelle zu ei- nem Empf¨anger, ¨uber einen beweglichen Kondensor am Sendegeh¨ause wird das Licht zu einem Parallelstrahl fokussiert, ¨uber eine Linse vor dem Empf¨anger wird dieser Strahl wiederrum auf die Photodiode des Empf¨angers fokussiert. Die Strecke szwischen Sender und Empf¨anger ist dabei variabel einstellbar. Mithilfe eines Oszilloskops kann die Phasenverschiebungϕzwischen Sender und Empf¨anger, und damit die Laufzeittdes Lichts f¨ur die Streckes, bestimmt werden.

Um weitere Verz¨ogerungen beim erzeugen des Signals, beim Verarbeiten im Oszilloskop etc, auszuschalten, wird die Laufzeitdifferenz f¨ur 2 verschiedene Strecken∆s=s1−s2bestimmt.

2.4 Modulation des Signals

Da dass im Versuch verwendete Oszilloskop hierf¨ur zu tr¨age ist, wird die Frequenz des Senders weitermoduliert mit einer Frequenz von f₂ = 59.9MHz,es entsteht eine Schwebung mit der Frequenzf_s = 100kHz. Die Phasenverschiebung der Schwebung entspricht nat¨urlich der Pha- senverschiebung des gesamten Signals. Aufgrund der um Faktor 600 kleineren Frequenz, kann das Oszilloskop diese Phasenverschiebung jedoch zeitlich aufl¨osen. Die hochfrequenten Anteile des Signals werden dabei durch einen Tiefpass herausgefiltert. Es gilt:

Urspr¨ungliches Signal a·cos (ω·t+ϕ) ω = 2·π60MHz (11) Modulations Signal A·cos (Ω·t) Ω = 2·π59.9MHz (12) Resultierendes Signal A·a·cos (ω·t+ϕ)·cos (Ω·t) (13)

Uber die Additionstheoreme ergibt sich durch Addition von 14 mit umgekehrten Vorzeichen.¨ cos (ω±Ω) = cosω·cos Ω∓sinω·sin Ω (14) A·a·cos (ω·t+ϕ)·cos (Ω·t) = A·a

2 ·(cos ((ω−Ω)·t+ϕ) + cos ((ω+ Ω)·t+ϕ)) (15) Die Zeitdifferenz t die zur Phasenverschiebung ϕ geh¨ort, ist beim niederfrequentigen Anteil um den Zeitdehnungskoeffizienten _ω−Ω^ω h¨oher, dies ergibt sich einfach als Verh¨altnis von ur- spr¨unglicher zur resultierenden Winkelgeschwindigkeit der Welle.

Dies entspricht in der obigen Beispielrechnung einem Faktorγ = 600. Die ben¨otigte Ablenk- geschwindigkeit reicht hierf¨ur bei normalen Osilloskopen aus:

v= v_ag

γ = 0.25cm

µs (16)

2.5 Durchf ¨uhrung

Die Apperatur wird wie in der Aufgabenstellung beschrieben justiert und die entsprechenden Eichmessungen durchgef¨uhrt. Anschließend wird die Zeitdifferenztin Abh¨angigkeit zum Sender- Empf¨anger Abstandsgemessen. Hieraus ergibt sich direkt die Lichtgeschwindigkeitc, als Stei- gung der Geraden:

s=c·t (17)

Es ist bekannt das die Phasengeschwindigkeit des Lichts vom Brechungsindexndes Medium abh¨angt, es gilt unter der Annahme das im Materialµ≈1gilt und mit der Definitionn=√

: cm = 1

√₀µ₀ = c0

√ = c0

n (18)

Aus der Laufzeitdifferenz ∆t zwischen einer Messung mit Luft (n ≈ 1) auf dem gesamten Lichtweg, und einer Messung mit einer Streckedinnerhalb eines weiteren Mediums, folgt der Brechungsindex ¨uber:

n= c0

cm

= c0

c0−∆c = c0

c₀−^∆t_d (19)

Diese Art der Messung wird f¨ur Plexiglas und Luft vorgenommen werden.

Eine weitere M¨oglichkeit zur Bestimmung des Brechungsindexes ist der Einsatz von Lissajous Figuren. Hierzu wird das Empf¨angersignal ¨uber dem Sendersignal im x-y-Betrieb des Oszillo- skops angezeigt. F¨ur Geraden als Lissajous-Figuren befinden sich die beiden Signale gerade in Phase. Der Abstand zwischen 2 dieser Geraden ist gerade ^λ₂.

Literatur

[Aufgabenstellung] Aufgabenstellung der Versuche P1-42,44 [Vorbereitungshilfe] Vorbereitungshilfe zu den Versuchen P1-42,44