Ideales Gas

Kinetische Theorie der Gase

Unterscheidung

Kinetische Energie eines Objektes ist eine organisierte Form von Energie.

Alle Moleküle des betrachteten Systems bewegen sich in die gleiche Richtung oder drehen um die gleiche

Achse (Arbeit) Kinetische Energie der

Bestandteile eines Objektes sind nicht organisiert und willkürlich

verteilt (Temperatur)

Makroskopische Energie eines Körpers als ganzes Mikroskopische Energie der

Bestandteile eines Objektes

Ideales Gas

Gase haben im Gegensatz zu Festkörpern und Flüssigkeiten keinen festen Gleichgewichtsabstand zwischen den Atomen.

Das Volumen eines Gases V

deshalb nicht wohl definiert

Gesucht Zustandsgleichung für ein Gas, das einen Zusammenhang liefert zwischen Druck, Volumen und Temperatur des Systems.

Ein Gas bei geringem Druck und geringer Wechselwirkung der Atome untereinander nennt man ideales Gas

Cool Hot

Je länger die Pfeile, desto größer ist die Geschwindigkeit der Moleküle

nRT PV =

Ideales Gasgesetz

Zusammenhang zwischen Druck, Volumen und Temperatur

Zustandsgleichung idealer Gase

doppelt

Zusammenhang zwischen Temperatur, Druck und Volumen

nRT PV =

Masse des Gases bleibt konstant beweglicher

Stempel

Experimentelle Befunde

- Bei konstanter Temperatur ist das Volumen umgekehrt proportional zum Volumen (Gesetz von Boyle)

- Bei konstantem Druck ist das Volumen proportional zur Temperatur des Gaes (gesetz von Charles und Gay-Lussanc)

Ideales Gasgesetz

te Gaskonstan e

unversiell :

0

R

R const nT

PV

K T

=

=

↓

→

[ ] _⎢⎣ ^⎡ _⎥⎦ ^⎤

= ⋅

⎥⎦ ⎤

⎢⎣ ⎡

= ⋅

⎥⎦ ⎤

⎢⎣ ⎡

⋅

= ⋅

⎥⎦ ⎤

⎢⎣ ⎡

= mol K

J K

mol Nm K

m² mol

Nm³ nT

R PV

Dimensionsbetrachtung

gleiches Verhalten für alle Gase

K mol 314 J .

8 ⋅

= R

Einsetzen in die Gleichung liefert, dass ein Mol Gas bei 0 °C ein Volumen von 22.4 g einnimmt

Avogadrozahl

Definition

Ein Mol ist die Anzahl von Atomen, die sich in 12 g Kohlenstoff befinden

Einheit SI

eine ist Mol Das

mol 10 1

6.02

hl Avogadroza

⋅

=

N

Wieviele Atome sind in einem Mol

eines Stoffes enthalten? Anzahl mol in einem Probenvolumen

M A

pr M

pr

pr M A M

M M

A pr

m N

M M

n M

M m N M

M m

N n N

=

=

=

⇒

=

=

: Probe der

Masse

: Molekülen von

Mol eines

Masse

: Moleküls eines

Masse

nstante Avogadroko

Probe in

Atome Anzahl

Wasserstoffatom H Masse 1 amu

1g/ mol Heliumatom He

Masse 4 amu 4g/ mol

Sauerstoffmolekül O₂ Masse 32 amu

32 g/ mol

Ein Mol Fussbälle

Wie hoch türmt sich ein Mol Fussbälle auf der Erdoberfläche

Ideales Gas

nRT pV =

Gases idealen

des Gesetz

K 10 J

38 . 1

mol 10

6.02

K mol 31 J . 8

onstante Boltzmannk

Definition

23

1 - 23

⋅

=

⋅ ⋅

=

=

B A B

B

k N k R

k

K mol 31 J . 8

te Gaskonstan

Definition

= ⋅ R

R

( )

T Nk pV

Nk nR

N N k

nR N

N n N

B B

A B A

A

=

⇓

=

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛

⇓

= da

definiert über die Anzahl der Moleküle definiert über n die Anzahl mol

Avogadrokonstnte

[ ]

Reale Gase verhalten sich bei niedrigem Druck annähernd wie ein ideales Gas

[ ]

= ⋅

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

= ⋅

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

⋅

= ⋅

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

=

K mol

J K

mol Nm

K m² mol

Nm³

R

nT R PV

Anzahl der Moleküle

Dimensionsbetrachtung

Isotherme Zustandsänderung

Ideales Gas

unter der Randbedingung

Temperatur wird konstant gehalten

f

i

V

V →

Betrachteter Prozess

1 Isotherme

1 ltnisse Druckverhä

p V nRT V p

≈

⇓

=

[ ]

f isotherm

b b a a

V isotherm V

V isotherm V

V isotherm V

V isotherm V

V nRT V

W

V nRT W

V nRT dV

W

V dV W nRT

pdV W

i f

i f

i f

i

ln ln

Arbeit che

erforderli die

Berechne

ln ln ln

2

=

⇓

=

=

=

=

=

−

∫

∫

∫

Arbeit beim isothermer Expansion/ Kompression

Abhängigkeit von der Zustandsvariablen

Druck oder Volumen bleibt konstant

0 ln

Arbeit che

erforderli die

Berechne

0 1 ln

=

⇓

=

=

=

=

=

=

∫

const V

i f const

V

V const V

V

W

V nRT V

W

V dV W

nRT

i

Volumen wird konstant gehalten

( )

V p W

V V

p W

pdV W

const V

i f const

V

V const V

V

f

i

Δ

=

⇓

−

=

⇓

=

=

=

=

∫

Arbeit che

erforderli die

Berechne

Druck wird konstant gehalten

isobare Zustandsänderung isochore Zustandsänderung

Zustandsänderungen

verschiedene Möglichkeiten, eine Zustandsänderung herbeizuführen

1 adiabatischer Prozess (ΔQ=0) 2 isochorer Prozess (ΔV=0)

3 isobarer Prozess (Δp=0) 4 isothermer Prozess (ΔT=0)

Expansion von eines Gases

Ausgangsparameter

12 Liter Behälter mit Sauerstoff bei 20 °C und 15 atm

Endparameter 8.5 Liter Behälter Sauerstoff bei 35 °C

Annahme ideales Gas

i i

i

V nRT

p = p

V

= nRT

f i

i f i f

i f

i f i

f

V T

V p T

p

T V

V T p

p

const n

=

⇓

=

⇓

=

( )

( )

( )( )

( )( )

atm 22.3

l 8.5 K 293

l 12.0 K

atm 308 15

K 35 273

K 20 273

=

=

⇓ +

=

+

=

f f

f i

p p

T T

anders sieht es mit der Temperatur aus. Hier ist der Unterschied zum absoluten Temperaturnullpunkt entscheidend

Die Angaben in Liter brauchen nicht unbedingt in m³ umgerechnet werden, da nur Quotient betrachtet wird

Anzahl der Moleküle ändert sich nicht

Kompression eines Gases

isotherm

Endparameter

1 mol Sauerstoff im 12 Liter Behälter bei 35 °C

Anfangsparameter 1 mol Sauerstoff im 8.5 Liter Behälter bei 35 °C

Berechne die Arbeit, die das Gas leisten muss

Temperatur konstant, dh. isotherme Expansion

( ) ( )

J 874

l 8.5

l ln 12 K K 305

mol 8.31 J mol

1

ln

=

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

= ⋅

=

W W

V nRT V

W

i f

Für eine anschliessende Kompression ist Arbeit am System zu leisten W=-874 J

Moleküle im Kasten

Versuchsbedingung

Gasmenge von n mol in einem Behälter Behälterwände haben eine Temperatur T

Fragestellung

Wie hängen der in dem Behälter vorherrschen Druck und die Geschwindigkeit der

Gasmoleküle zusammen

Moleküle stoßen elastisch und nur mir Wand aber nicht untereinander. Durch die Stöße wird ein Druck aufgebaut.

( ) ( )

x

x x

x

v 2

v 2 v

v

m p

m m

m p

Wand x Molekül

x

= Δ

−

=

−

−

= Δ

keine Änderung in Richtung der y- Komponente der

Bewegung

Impulsübertrag auf die Wand Impulsübertrag auf das Molekül

Newtonsche Dynamik bei elastischem Stoß

Bemerkung

in diesem Fall ist p der Impuls und nicht der Druck

v

− m

v

m

Moleküle im Kasten

Fragestellung

Wie hängen der in dem Behälter vorherrschen Druck und die Geschwindigkeit der

Gasmoleküle zusammen

Zeitabstand zwischen zwei Stößen mit derselbenWand

Druck ist Kraft auf Fläche (dxd) Mittlere Rate mit dem

Impuls übertragen wird

Newton

alle Impulse auf die Wand (Fläche d²) addieren

v

t = 2d Δ

dt p F d

d m d

m t

x x

r r

=

⇓

= Δ =

Δ

x

x

v

v 2

v 2 p

(

)

2 2 , 2

1 3 ,

2

2 , 2

2 , 2

1 ,

2

v ...

v v

... v v

v

N x x

x

N x x

x

x

d p m

d

d m d

m d

m p

d p F

+ + +

=

+ +

= +

=

der Moleküle in der Box

Moleküle im Kasten

Fragestellung

Wie hängen der in dem Behälter vorherrschen Druck und die Geschwindigkeit der

Gasmoleküle zusammen

( )

2 M Masse molare

2 3

2 , 2

2 , 2

1 3 ,

v v

v ...

v v

avg mN M

avg A

nN N

N x x

x

V p nM

d m p nN

d p m

A A

=

⇓

=

⇓

+ + +

=

=

=

Anstatt zu summieren. Ersetzen des Impulses der einzelnen Teilchen durch den mittleren Impuls aller Teilchen Anzahl der Moleküle ist

Anzahl mol x Avogadrozahl

V d

=

2

2 , 2

2 , 2

1 , 2

v v

Definition

v ...

v v

v

avg rms

N x x

x avg

=

+ + +

=

Moleküle bewegen sich in beliebige Richtungen

2 avg

2 2

x

2 z 2 y 2

x 2

3 v 3 v v 1

v v

v v

V p = nM

⇓

=

⇒

+ +

=

root-mean-square Geschwindigkeit

mittleres Quadrat der Geschwindigkeit

Moleküle im Kasten

Fragestellung

Wie hängen der in dem Behälter vorherrschen Druck und die Geschwindigkeit der

Gasmoleküle zusammen

M RT nM

pV V

p nM

rms rms

nRT pV

rms

v 3 v 3

3 v

2

=

=

⇓

=

=

mittlere Geschwindigkeit von Moleküle bei einer bestimmten Temperatur

Temperatur im Kern der Sonne 15 Millionen Kelvin

h ) 10 km 1.5 (

v 224 v

300K K 10 15 v

v v

v

6 atur

Raumtemper Sonne der Kern

6 atur

Raumtemper Sonne der Kern

atur Raumtemper

Sonne der Kern atur

Raumtemper Sonne der Kern

⋅

⇒

=

= ⋅

=

rms rms

rms rms rms

rms

T T

Stoßgeschwindigkeit zu gering um Kernreaktionen zu ermöglichen

Schallgeschwindigkeit

Bemerkenswert

Mittlere Geschwindigkeit der Atome der Luft höher als die Schallgeschwindigkeit von 330 m/s

Noch zu klären

Warum breitet sich ein Duft dann nicht schneller aus?

Kinetische Energie

Translation

Translationsenergie

T k KE

N KE RT

M m RT KE

m KE

B avg

N k R

A avg

m N M avg

M RT

rms avg

A B

A rms

2 3

3 2 1

3 2 1 2 v 1

v 3

2

2

=

⇓

=

⇓

=

⇓

=

=

=

=

Mittlere kinetische Energie eines idealen Gases

unabhängig von Art des Gases Durch Temperaturmessung an einem idealen Gas bestimmt man mittlere kinetische Energie des Moleküle

schwerer Gase bewegen sich gleicher Temperatur langsamer

Mittlere freie Weglänge

Verschiedene Arten, die mittlere freie Weglänge zu ermitteln

Moleküle mit einem bestimmten Durchmesser d stoßen

Moleküle hat den doppelten Durchmesser 2d und stößt mit

Punktteilchen

Moleküle mit Durchmesser d fliegt für eine bestimmte Zeit t mit Geschwindigkeit v durch ein Volumen ohne einen Stoß zu machen

Mittlere freie Weglänge λ _mfp

Alle Moleküle bewegen sich entlang gerader Bahnen mit einer mittleren Geschwindigkeit , bis sie elastisch mit anderen Molekülen stoßen

mfp: mean free path

λ

ist die mittlere Entfernung die ein Molekül zurücklegt, bevor es mit einem anderen Molekül stößt

Vermutung 1

λ_mfpskaliert invers mit Anzahl Moleküle im Volumen

N V V

N

mfp

⎟ =

⎠

⎜ ⎞

⎝

≈ ⎛

−1

λ

Vermutung 2

λ_mfpskaliert invers mit Durchmesser der Moleküle

² 1

mfp

≈ d λ

² 1 2

1

d N V

mfp

π

λ =

mittlere freie Weglänge eines

Moleküls in einem idealen Gas Typische Werte

Meereshöhe 0.1 μm Höhe 100 km: 16 cm Höhe 300 km: 20 km exaktes Ergebnis