Kettenregel, Jacobi-Matrix,Inverse Abbildungen und Banachscher Fixpunktsatz a) Formulieren Sie die Kettenregel f¨ur Funktionen mehrerer Ver¨anderlicher genau! b) Berechnen Sie jeweilsDf(x, y), Dg(u)bzw

Aufgabe 1. Kettenregel, Jacobi-Matrix,Inverse Abbildungen und Banachscher Fixpunktsatz a) Formulieren Sie die Kettenregel f¨ur Funktionen mehrerer Ver¨anderlicher genau!

b) Berechnen Sie jeweilsDf(x, y), Dg(u)bzw. Dg(u, v) undD(g◦f)(x, y)f¨ur alleu, v, x, y∈R, wobei 1. f(x, y) =e^xycos(y) und g(u) = _sin(u)^u+1

f¨ur u, x, y∈R. 2. f(x, y) = ^x2_2xy^−y2

und g(u, v) = ^u_3u^3−3uv_2v−v3²

f¨ur u, v, x, y∈R. c) Gegeben sei die folgenden Funktionen:

f :R²−→R², f(x, y) :=

x³−3xy²

−y²+ 3yx²

.

g:R²−→R², g(x, y) :=

e^xyx²

−3ye^−xy

.

h: (0,∞)×R−→R²\{0}, h(x, y) :=

x²cos(y) x²sin(y)

.

1. Bestimmen Sie die Jacobi-Matrix vonf, g und h.

2. Begr¨unden Sie, dassf lokal invertierbar und konform aufR²\{0} ist.

3. Sei A:={(x, y)∈R² mit0< xy <2}. Ist g in jedem (x, y)∈Alokal invertierbar?

4. Untersuchen Sie, ob hinjektiv, surjektiv bzw. ¨uberall lokal invertierbar ist.

5. Bestimmen Sie die Jacobi-Matrix von f⁻¹im Punkt f(0,1) = ₋₁⁰

und von g⁻¹im Punkt g(1,1) =

e

−³_e

.

d) i) Formulieren Sie den Banachschen Fixpunktsatz genau!

ii) Untersuchen Sie, ob das nichtlineare Gleichungssystem x1 = e^{0,5 sin(x2)}

√e , x2 = ¹₂p

x²₁+ 4 eine eindeutige L¨osung (x^∗₁, x^∗₂)∈R² besitzt. Formulieren Sie eine Behauptung, und beweisen Sie diese.

Aufgabe 2. Taylor-Formel und lokale Extrema

a) Betrachten Sie die Funktionen

f :R³−→R (x, y, z)7→f(x, y, z) =−1

2x²+ 2xy−5

2y²−3z²−zx.

g:R³−→R (x, y, z)7→g(x, y, z) =xyz+y²+x³.

1. Bestimmen Sie jeweils den Gradienten und die Hessematrix der Funktionen f,g . 2. Bestimmen Sie alle lokalen Extremastellen der Funktion f.

3. Entscheiden Sie, ob die Funktion g lokale Maxima oder lokale Minima besitzt.

4. Berechnen Sie das Taylorpolynom zweiten Grades am Punkt ¹0 1

furf undamP unkt¨ ¹1 1

f¨ur g.

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