Variablensubstitution Aus der Kettenregel

(1)

Variablensubstitution Aus der Kettenregel

d

dx F (g (x)) = f (g (x))g

⁰

(x), f = F

⁰

,

folgt f¨ ur eine Substitution y = g (x) durch Bilden von Stammfunktionen Z

f (g (x))g

⁰

(x) dx = F (y ) + c = Z

f (y ) dy . Entsprechend gilt f¨ ur bestimmte Integrale

Z

b a

f (g (x))g

⁰

(x) dx = F (g (b)) − F (g (a)) = Z

g(b)

g(a)

f (y) dy Mit Hilfe von Differentialen l¨ asst sich diese Identit¨ at in der suggestiven

Form Z

_b

a

f (g (x)

| {z }

y

) dy dx dx =

Z

_g_(b)

g(a)

f (y) dy

schreiben.

(2)

Beispiel

Variablensubstitution bei erkennbarer innerer Ableitung (i) Unbestimmtes Integral:

z.B. Z

(ln x)

²

(1/x) dx = Z

f (g (x)) g

⁰

(x) dx mit f (y) = y

²

, y = g (x) = ln x, g

⁰

(x) = 1/x

Substitutionsregel R

f (g (x))g

⁰

(x) dx = R

f (y) dy Z

y

²

dy = 1 3 y

³

+ c R¨ ucksubstitution y = g (x) = ln x

Z ln x

²

x dx = 1

3 (ln x )

³

+ c

(3)

(ii) Bestimmtes Integral:

z.B.

Z

π/2

0

√

sin x cos x dx = Z

b

a

f (g (x )) g

⁰

(x ) dx mit f (y) = √

y, y = g (x ) = sin x, g

⁰

(x) = cos x Bilder von a = 0, b = π/2 unter der Abbildung x 7→ y:

g (a) = sin(0) = 0, g (b) = sin(π/2) = 1 transformiertes Integral

Z

g(b) g(a)

f (y ) dy = Z

1

0

√ y dy = 2

3 y

^3/2

1

0

= 1 − 0 = 1

(4)

Beispiel

Stammfunktion F (y) von (e

^y

− 1)

⁻¹

f¨ ur y > 0 (Pol bei y = 0) Substituiere y = g (x) = ln x ⇐⇒ x = e

^y

im unbestimmten Integral

Z

f (y ) dy = Z 1

e

^y

− 1 dy Transformationsregel, dy =

_x¹

dx = ⇒

Z

f (y) dy = Z

f (g (x)) g

⁰

(x)

| {z }

dy/dx

dx = Z 1

x − 1 1 x dx =

Z 1 (x − 1)x dx Partialbruchzerlegung

_(x−1)x¹

= −

¹_x

+

_x−1¹

− ln |x| + ln |x − 1| + c = ln

x − 1 x

+ c = ln |1 − 1/x| + c R¨ ucksubstitution von x = e

^y

Stammfunktion

F (y) = ln |1 − 1/e

^y

| = ln |1 − e

^−y

|

(5)

Beispiel

Lineare Variablensubstitution

y = px + q

(i) Unbestimmtes Integral R

(2x − 3)

⁴

| {z }

f(x)

dx:

y = 2x − 3, dy = 2 dx Z

(2x − 3)

⁴

(dx/dy) dy = Z

y

⁴

(1/2) dy = 1

5 · 2 y

⁵

+ c R¨ ucksubstitution Stammfunktion

F (x) = 1 10 y

⁵

_y=2x−3

= (2x − 3)

⁵

10

(6)

(ii) Bestimmtes Integral Z

₀

−1

1 (3 − 4x)

²

dx:

Umrechung der Differentiale

y = 3 − 4x, dy = −4 dx und Transformation der Grenzen

x = −1 7→ y = 3 − 4 · (−1) = 7, x = 0 7→ y = 3 − 4 · 0 = 3

Z

0

−1

1 (3 − 4x)

²

(dx/dy ) dy = Z

3

7

(1/y

²

) (−1/4) dy

= [(−1/y) (−1/4)]

^y=3_y=7

= 1

4 · 3 − 1 4 · 7 = 1

21

(7)

Beispiel

Unbestimmtes und bestimmtes Integral von f (x) = 1/ p

x

²

− 6x + 5 Umformung durch quadratische Erg¨ anzung

x

²

− 6x + 5 = (x − 3)

²

− 4 = 4 ((x − 3)/2)

²

− 1 f (x ) = 1

2

1 p ((x − 3)/2)

²

− 1 (i) Unbestimmtes Integral R

f (x) dx:

Substitution y = (x − 3)/2, dx = 2dy Z

f (x) dx =

Z dx

√

x

²

− 6x + 5 =

Z dy

p y

²

− 1

(8)

Substitution y = cosh t, dy = sinh t dt Z dy

p y

²

− 1 =

Z sinh t dt sinh t =

Z

dt = t + c

= arcosh y + c = arcosh((x − 3)/2) + c

= ln

x − 3 2 + 1

2 p x

²

− 6x + 5

+ c

(benutzt: cosh

²

t − 1 = sinh

²

t, Formel f¨ ur die Umkehrfunktion von cosh) (ii) Beispiel eines bestimmten Integrals:

Z

7 5

√ dx

x

²

− 6x + 5 =

ln

x − 3 2 + 1

2 p x

²

− 6x + 5

7

5

= ln(4/2 +

√

12/2) − ln(2/2 +

√ 0/2)

= ln(2 + √

3) − ln 1 = ln(2 + √

3)

(9)

Beispiel

Verschiedene Berechnungsmethoden f¨ ur R

1 0

√

1 − x

²

dx (i) Geometrisches Argument:

f (x) = √

1 − x

²

≥ 0 f¨ ur 0 ≤ x ≤ 1

= ⇒ R

f (x) dx: Inhalt der Fl¨ ache A (Viertelkreis) unter dem Funktionsgraph

= ⇒ R

1

0

f (x) dx = π/4 (ii) Substitution x = sin u:

dx = cos u du und x = 0 7→ u = 0, x = 1 7→ u =

^π₂

= ⇒ Z

1

0

f (x) dx = Z

π/2

0

p

1 − sin

²

u

| {z }

cosu

cos u du = 1 2

π

2

(10)

(iii) Substitution x = cos u:

dx = − sin u du und x = 0 7→ u = −π/2, x = 1 7→ u = 2π

(ebenfalls m¨ oglich u = 0 bzw. u = 2kπ; Eindeutigkeit des Urbildes der Transformationsabbildung nicht erforderlich - gleiche Resultate)

= ⇒ Z

1 0

f (x) dx = Z

1

0

p 1 − cos

²

u (− sin u) du =

(∗)

Z

2π

−π/2

− sin

²

u du = − 5π 4 (*) falsche Berechnung der Wurzel

richtig: √

1 − cos

²

u = | sin u| korrektes Ergebnis Z

1

0

f (x ) dx = Z

2π

−π/2

| sin u|(− sin u) du

= Z

0

−π/2

− sin

²

u du + Z

π/2

0

sin

²

u du − · · ·

= π

4

(11)

Beispiel

Mercator-Projektion:

winkeltreue Abbildung der Erdoberfl¨ ache auf eine Ebene (x, sin ϑ) 7→

x cos ϑ ,

Z

ϑ

0

dt cos t

Streckung der Breitenkreise mit dem Faktor 1/ cos ϑ

(12)

Bestimmung einer Stammfunktion F f¨ ur f (t) = 1/ cos t Substitution

u = 1

cos t + tan t = 1 + sin t

cos t , du = sin t

cos

²

t + 1 cos

²

t

dt

= ⇒

Z 1

cos t dt = Z

(cos t)

⁻¹

sin t

cos

²

t + 1 cos

²

t

−1

du

| {z }

dt

= Z

sin t cos t + 1

cos t

−1

du

=

Z du

u = ln |u| + c

= ln

1 cos t + tan t

+ c