1. Grundlagen 2. Analysis
2.1 Folgen, Reihen, Zinsen 2.2 Funktionen
2.3 Differentialrechnung 2.4 Extremwertbestimmung 2.5 Nichtlineare Gleichungen 2.6 Funktionen mehrerer Variabler 2.7 Integralrechnung
2.8 Differentialgleichungen 3. Lineare Algebra
4. Literatur
Integralrechnung:
- Umkehrung der Differentialrechnung,
- aus dem Änderungsverhalten wird auf die Funktion geschlossen (unbestimmtes Integral, Stammfunktion),
- mittels StammfunktionF(x)können Flächen zwischenf(x),x-Achse sowie Grenzenx=aundx=bberechnet werden (bestimmtes Integral), - formale Herleitung mittels Grenzwerten→führt auf Integrationsregeln.
Definition 2.31 (Unbestimmtes Integral)
Zu der Funktionf :I→RmitI⊂Rheißt eine FunktionFStammfunktion, wenn F′(x) =f(x) für allex∈I.
Die Menge aller Stammfunktionen vonfheißt unbestimmtes Integral, Z
f(x)dx, vonf.
Bemerkung:
- istFeine Stammfunktion vonf, so ist auchF+Ceine SF für alleC∈R, - daher allgemeine Schreibweise
Z
f(x)dx=F(x) +C.
Stammfunktionen einiger Standardfunktionen:
Z
xndx=1
nxn+1+C Z
exp(ax)dx=1
aexp(ax) +C Z
ln(x)dx=xln(x)−x+C Z
sin(x)dx=−cos(x) +C Z
cos(x)dx= sin(x) +C
Definition 2.32
DerFlächeninhaltzwischen dem Graphen vonf, derx-Achse und den Senkrechten bei x=aundx=bheißt bestimmtes Integral,
Z b a
f(x)dx.
Flächeninhalte unterhalb derx-Achse zählen dabei negativ.
-2 0 2
-0.5 0 0.5 1 1.5 2
Berechnung eines bestimmten Integrals:
- mittels des unbestimmtes Integral bzw. einer beliebigen Stammfunktion.
Satz 2.33 (Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung) SeiFeine beliebige Stammfunktion vonf. Es gilt
Zb
a
f(x)dx=F(b)−F(a).
Allgemein übliche Schreibweise:
Z b a
f(x)dx=F(x) b
a=F(b)−F(a).
Beispiele für die VL:
Z 4 1
x2dx,
Zb a
xkdx,
Z 3 1
x−3dx, Z b
a
sin(x)dx,
Zπ 0
sin(x)dx,
Z 0
−∞
exdx.
Berechnung von Integralen:
- Bestimmung von Stammfunktionen oft nicht trivial, - Integrale sind linear bezüglich des Integranden
Z
αf(x) dx=α Z
f(x) dx, Z
f(x) +g(x) dx= Z
f(x) dx+ Z
g(x) dx
und additiv bezüglich des Integrationsbereiches Z b
a
f(x) dx
| {z }
F(b)−F(a)
+ Z c
b
f(x) dx
| {z }
F(c)−F(b)
= Z c
a
f(x) dx
| {z }
F(c)−F(a)
,
- Bestimmung von Integralen mittels Stammfunktionen elementarer Funktionen und weiterer Regeln (Substitutionsregel, partielle Integration).
Substitutionsregel mit Intervallgrenzen (Umkehrung der Kettenregel):
- Berechnung von Z b a
f(g(t))g′(t)dt, (∗)
- Variablensubstitutionx=g(t)ergibt dx
dt =g′(t) → dx=g′(t)dt, - Einsetzen in(∗)führt auf
Zb
a
f(g(t))g′(t) dt= Zg(b)
g(a)
f(x) dx.
Substitution ohne Intervallgrenzen:
- Berechnung von
Z
f(g(t))g′(t)dt
mittels Variablensubstitutionx=g(t)führt auf Z
f(g(t))g′(t)dt= Z
f(x) dx
- anschließende Rücksubstitution der Variablen ergibt Z
f(g(t))g′(t)dt=F(g(t)) +C.
Partielle Integration (Umkehrung der Produktregel):
- fürs Ableiten gilt(fg)′=f′g+fg′, - Integration beider Seiten führt auf
fg= Z
f′g+ Z
fg′,
und damit Z
f′(x)g(x)dx=f(x)g(x)− Z
f(x)g′(x)dx.
Beispiele zur Substitution mit Intervallgrenzen:
1. Für
Z 12π 0
(sin(t))2cos(t)dt
eignet sich die Substitutionx= sin(t)mit dxdt = cos(t), dx= cos(t)dt
⇒ Z 12π
0
(sin(t))2cos(t)dt= Z1
0
x2dx=1 3x3
1
0
=1 3.
2. Für
Z3 0
2xsinx2dx
eignet sichz=x2mit dzdx =2x, dz=2xdx Z 3
0
2xsinx2dx= Z 9
0
sinzdz=1−cos(9).
Beispiele zur Substitution mit Intervallgrenzen:
1. Für
Z 12π 0
(sin(t))2cos(t)dt
eignet sich die Substitutionx= sin(t)mit dxdt = cos(t), dx= cos(t)dt
⇒ Z 12π
0
(sin(t))2cos(t)dt= Z1
0
x2dx=1 3x3
1
0
=1 3.
2. Für
Z3 0
2xsinx2dx
eignet sichz=x2mit dzdx =2x, dz=2xdx Z 3
0
2xsinx2dx= Z 9
0
sinzdz=1−cos(9).
Beispiel zur Substitution ohne Intervallgrenzen:
Für Z
3x2−2x+1 x3−x2+x dx eignet sichy=x3−x2+xmit dydx =3x2−2x+1
Z 3x2−2x+1 x3−x2+x dx=
Z 1
ydy= ln(x3−x2+x).
→Vorgehen allgemein zur Berechnung von Integralen der Form Z g′(t)
g(t) dt nutzen.
Beispiel zur Substitution ohne Intervallgrenzen:
Für Z
3x2−2x+1 x3−x2+x dx eignet sichy=x3−x2+xmit dydx =3x2−2x+1
Z 3x2−2x+1 x3−x2+x dx=
Z 1
ydy= ln(x3−x2+x).
→Vorgehen allgemein zur Berechnung von Integralen der Form Z g′(t)
g(t) dt nutzen.
Beispiel zur partiellen Integration:
1. Für die Berechnung des Integrals vonln(x)ergibt sich mittels Z
ln(x)dx= Z
|{z}1
f′(x)
·ln(x)
| {z }
g(x)
dx
und der Nebenrechnung
f =x, f′=1
g= ln(x), g′= 1
x somit
Z
ln(x)dx=x·ln|x| − Z
x·1 xdx
=xln|x| − Z
1 dx
=xln|x| −x+C=x(ln|x| −1) +C.
Beispiel zur partiellen Integration:
2. Fürxsin(x)ergibt sich mit Z
xsin(x)dx= Z
|{z}x
g(x)
sin(x)
| {z }
f′(x)
dx
und der Nebenrechnung
f=−cos(x) f′= sin(x)
g=x, g′=1
somit
Z 3 0
xsin(x)dx=−xcos(x) 3
0− Z 3
0
−cos(x)dx
=−3cos3+0−
−sin(x) 3
0
=−3cos(3) + sin(3)−0=−3cos(3) + sin(3).
Durchschnittlicher Wert einer Funktionf(x)über IntervallI= [a,b]
1 b−a
Z b a
f(x)dx.
Beispiel 26
Der Wert einer Aktie verhielt sich in den letzten beiden Jahren wie f(x) =2+0.1x2+0.2sin(2πx), x∈[0,2].
Durchschnittlicher Aktienwert D=1
2 Z 2
0
2+0.1x2+0.2sin(2πx)dx
=1
2 2x+0.1 3 x3−0.1
π cos(2πx)
2
0
=2.133
0 1 2 0
1 2 3
Zeit[y]
f(x) =2+0.1x2+0.2sin(2πx)
