Mathematik f¨ur Informatiker II Integrierbare Funktionenf:R→R
Das unbestimmte Integral und die Stammfunktion
Definition C.159 (Unbestimmtes Integral)
Eine StammfunktionFvonfwird auch als dasunbestimmte Integralvon f bezeichnet und man schreibt
F= Z
f oder F(x) =
Z f(x)dx.
Es ist jedoch nur bis auf eine additive Konstante bestimmt! (Vergleiche Satz C.156.)
Bemerkung:
Nicht jede integrierbare Funktion besitzt eine Stammfunktion und die Existenz einer StammfunktionFvonf sichert nicht die Integrierbarkeit vonf.
Mathematik f¨ur Informatiker II Integrierbare Funktionenf:R→R
Das unbestimmte Integral und die Stammfunktion
Unbekannte Integrale berechnet man durch (z.T. trickreiche)
Umformungen in bekannte Integrale. Hierzu gibt es zwei Grundtechniken:
Satz C.160 (Substitutionsregel)
Sei D⊂R, f:D→Rstetig, g: [a,b]→D stetig differenzierbar. Dann gilt
Zb a
f g(t) g0(t)dt=
Zg(b) g(a)
f(x)dx.
Satz C.161 (Partielle Integration)
Es seien f,g: [a,b]→Rstetig differenzierbar. Dann gilt Zb
a
f(x)g0(x)dx=f(x)g(x)
b a−
Zb a
f0(x)g(x)dx.
Mathematik f¨ur Informatiker II Integrierbare Funktionenf:R→R
Das unbestimmte Integral und die Stammfunktion
Bemerkung zur Substitutionsregel:
Es gibt prinzipiell zwei M¨oglichkeiten, diesen Satz anzuwenden:
1.)Der Integrand ist von der Formf g(t)
g0(t) oder l¨aßt sich auf diese Form bringen. Zum Beispiel ist
tant=sint
cost=−f g(t) g0(t) mitf(x) =1x,g(t) = cost,g0(t) =−sint.
2.)Zur Berechnung vonR
f(x)dxsubstituieren wirx=g(t) mit einer geeigneten, umkehrbaren Funktiong(t); dann istdxdt=g0(t), dx=g0(t)dtund es entsteht das Integral
Z f g(t)
·g0(t)dt=H(t) +c, wobeiHeine Stammfunktion vonh:=f◦gist.
Mathematik f¨ur Informatiker II Integrierbare Funktionenf:R→R
Das unbestimmte Integral und die Stammfunktion
Bemerkung zur Substitutionsregel (Forts.):
R¨ucksubstitutiont=g−1(x) liefert Z
f(x)dx=H g−1(x) +c.
Beispielsweise zur Berechnung vonRa 0
√1
1−x2dxf¨ur 0<a<1 substituieren wirx:=g(t) = sint(dann istt= arcsinx=g−1(x)), dx= cost dtund erhalten
Za 0
√ 1
1−x2dx= Za
0
f(x)dx= Zg−1(a)
g−1(0)
f g(t)
·g0(t)dt
= Zarcsina
0
1
|cost|cost dt (wegen 0≤x<a<1 ist 0≤t= arcsinx<π
2, also cost≥0 und somit)
= Zarcsina
0
1dt= arcsina.
Mathematik f¨ur Informatiker II Integrierbare Funktionenf:R→R
Uneigentliche Integrale
Uneigentliche Integrale
Motivation:
Es treten h¨aufig Integrale auf, bei denen
Ider Integrand nicht beschr¨ankt ist.
Beispiel:
1
R
0
√1 xdx
Idas Integrationsintervall kein abgeschlossenes, beschr¨anktes Intervall ist.
Beispiel:∞R
a
f(x)dx,
a
R
−∞
f(x)dx, ∞R
−∞
f(x)dx Solche Integrale werdenuneigentlichgenannt.
Mathematik f¨ur Informatiker II Integrierbare Funktionenf:R→R
Uneigentliche Integrale
Definition C.162 (Uneigentliche Integrationsgrenzen)
Es seif: [a,∞)→R¨uber jedem Intervall [a,R] mita<R<∞ integrierbar. Man setztZ∞ a
f(x)dx= lim
R→∞
ZR a
f(x)dx, falls der Grenzwert existiert.
Man nennt dann das Integralkonvergentundfauf [a,∞)uneigentlich integrierbar.
Analog erkl¨art man IntegraleRa
−∞f(x)dxf¨urf: (−∞,a]→R.
Schließlich setzt man Z∞
−∞
f(x)dx:=
Za
−∞
f(x)dx+ Z∞
a
f(x)dxf¨urf:R→R.
Mathematik f¨ur Informatiker II Integrierbare Funktionenf:R→R
Uneigentliche Integrale
Definition C.163 (Konvergenz)
Seif: (a,b]→R¨uber jedem Teilintervall [a+,b] mit 0< <b−a integrierbar und inanicht definiert.
Falls lim
→0
Rb
a+f(x)dxexistiert, heißtRb
af(x)dxkonvergent und man setzt
Zb a
f(x)dx:= lim
→0
Zb a+
f(x)dx.
Eine analoge Definition gilt, fallsf: [a,b)→Rinbnicht definiert, aber auf inneren Approximationen integrierbar ist:
Zb a
f(x)dx:= lim
→0
Zb− a
f(x)dx.
Schließlich setzt man Zb
a
f(x)dx:=
Zc a
f(x)dx+ Za
c
f(x)dxf¨urf: (a,b)→R.
Mathematik f¨ur Informatiker II Integrierbare Funktionenf:R→R
Uneigentliche Integrale
Interpolation von n!
Definition C.164
Die Gammafunktion Γ :R+→Rist erkl¨art durch Γ(x) =
Z∞
0
e−ttx−1dt.
Satz C.165
1.Es gilt die Funktionalgleichung der Gamma-Funktion Γ(x+ 1) =xΓ(x) (x∈R+).
2.Γ(1) = 1.
3.Γ(n+ 1) =n!f¨ur n∈N0.
