Mathematik f¨ur Informatiker II Integrierbare Funktionenf:R→R
Das unbestimmte Integral und die Stammfunktion
Definition C.159 (Unbestimmtes Integral)
Eine StammfunktionF vonf wird auch als dasunbestimmte Integralvon f bezeichnet und man schreibt
F= Z
f oder F(x) =
Z
f(x)dx.
Es ist jedoch nur bis auf eine additive Konstante bestimmt! (Vergleiche Satz C.156.)
Bemerkung:
Nicht jede integrierbare Funktion besitzt eine Stammfunktion und die Existenz einer StammfunktionF vonf sichert nicht die Integrierbarkeit vonf.
Mathematik f¨ur Informatiker II Integrierbare Funktionenf:R→R
Das unbestimmte Integral und die Stammfunktion
Unbekannte Integrale berechnet man durch (z.T. trickreiche)
Umformungen in bekannte Integrale. Hierzu gibt es zwei Grundtechniken:
Satz C.160 (Substitutionsregel)
Sei D⊂R, f :D→Rstetig, g: [a,b]→D stetig differenzierbar. Dann gilt
Z b a
f g(t)
g0(t)dt= Z g(b)
g(a)
f(x)dx.
Satz C.161 (Partielle Integration)
Es seien f,g: [a,b]→Rstetig differenzierbar. Dann gilt Z b
a
f(x)g0(x)dx=f(x)g(x)
b a−
Z b a
f0(x)g(x)dx.
Mathematik f¨ur Informatiker II Integrierbare Funktionenf:R→R
Das unbestimmte Integral und die Stammfunktion
Bemerkung zur Substitutionsregel:
Es gibt prinzipiell zwei M¨oglichkeiten, diesen Satz anzuwenden:
1.) Der Integrand ist von der Formf g(t)
g0(t) oder l¨aßt sich auf diese Form bringen. Zum Beispiel ist
tant= sint
cost =−f g(t) g0(t) mitf(x) =x1,g(t) = cost,g0(t) =−sint.
2.) Zur Berechnung vonR
f(x)dx substituieren wirx=g(t) mit einer geeigneten, umkehrbaren Funktiong(t); dann ist dxdt =g0(t), dx=g0(t)dt und es entsteht das Integral
Z
f g(t)
·g0(t)dt=H(t) +c, wobeiHeine Stammfunktion vonh:=f ◦gist.
Mathematik f¨ur Informatiker II Integrierbare Funktionenf:R→R
Das unbestimmte Integral und die Stammfunktion
Bemerkung zur Substitutionsregel (Forts.):
R¨ucksubstitutiont=g−1(x) liefert Z
f(x)dx =H g−1(x) +c.
Beispielsweise zur Berechnung vonRa 0
√1
1−x2dx f¨ur 0<a<1 substituieren wirx :=g(t) = sint (dann istt= arcsinx =g−1(x)), dx= cost dt und erhalten
Z a 0
√ 1
1−x2dx= Z a
0
f(x)dx= Z g−1(a)
g−1(0)
f g(t)
·g0(t)dt
= Z arcsina
0
1
|cost| cost dt
(wegen 0≤x<a<1 ist 0≤t= arcsinx<π
2, also cost≥0 und somit)
= Z arcsina
0
1dt= arcsina.
Mathematik f¨ur Informatiker II Integrierbare Funktionenf:R→R
Uneigentliche Integrale
Uneigentliche Integrale
Motivation:
Es treten h¨aufig Integrale auf, bei denen
I der Integrand nicht beschr¨ankt ist.
Beispiel:
1
R
0
√1xdx
I das Integrationsintervall kein abgeschlossenes, beschr¨anktes Intervall ist.
Beispiel: ∞R
a
f(x)dx,
a
R
−∞
f(x)dx, R∞
−∞
f(x)dx Solche Integrale werdenuneigentlichgenannt.
Mathematik f¨ur Informatiker II Integrierbare Funktionenf:R→R
Uneigentliche Integrale
Definition C.162 (Uneigentliche Integrationsgrenzen)
Es seif : [a,∞)→R¨uber jedem Intervall [a,R] mita<R<∞ integrierbar. Man setzt
Z ∞ a
f(x)dx= lim
R→∞
Z R a
f(x)dx, falls der Grenzwert existiert.
Man nennt dann das Integralkonvergentundf auf [a,∞)uneigentlich integrierbar.
Analog erkl¨art man IntegraleRa
−∞f(x)dx f¨urf : (−∞,a]→R.
Schließlich setzt man Z ∞
−∞
f(x)dx :=
Z a
−∞
f(x)dx+ Z ∞
a
f(x)dx f¨urf :R→R.
Mathematik f¨ur Informatiker II Integrierbare Funktionenf:R→R
Uneigentliche Integrale
Definition C.163 (Konvergenz)
Seif : (a,b]→R¨uber jedem Teilintervall [a+,b] mit 0< <b−a integrierbar und inanicht definiert.
Falls lim
→0
Rb
a+f(x)dxexistiert, heißtRb
a f(x)dx konvergent und man setzt
Z b a
f(x)dx:= lim
→0
Z b a+
f(x)dx.
Eine analoge Definition gilt, fallsf : [a,b)→Rinbnicht definiert, aber auf inneren Approximationen integrierbar ist:
Z b a
f(x)dx:= lim
→0
Z b− a
f(x)dx.
Schließlich setzt man Z b
a
f(x)dx:=
Z c a
f(x)dx+ Z a
c
f(x)dx f¨urf : (a,b)→R.
Mathematik f¨ur Informatiker II Integrierbare Funktionenf:R→R
Uneigentliche Integrale
Interpolation von n!
Definition C.164
Die Gammafunktion Γ :R+→Rist erkl¨art durch Γ(x) =
Z ∞
0
e−ttx−1dt.
Satz C.165
1. Es gilt die Funktionalgleichung der Gamma-Funktion Γ(x+ 1) =xΓ(x) (x∈R+).
2. Γ(1) = 1.
3. Γ(n+ 1) =n!f¨ur n∈N0.
