3.4.1 Bestimmtes und unbestimmtes Integral

3.4 Integration

3.4.1 Bestimmtes und unbestimmtes Integral

Riemann-Integral

Z

b a

f(x) dx = lim

|∆|→0

Z

b a

f

∆

= lim

|∆|→0

X

k

f(ξ

k

) ∆x

k

mit ∆ : a = x

0

< x

1

< · · · < x

n

= b einer Zerlegung von [a, b], ∆x

k

= x

k

− x

_k−1

, | ∆ | der maximalen L¨ange der Teilintervalle und ξ

k

einem beliebigem Punkt im k-ten Intervall

Eigenschaften des Integrals

• Linearit¨at:

Z

rf = r Z

f , Z

f + g = Z

f + Z

g

• Monotonie: f ≤ g = ⇒ Z

f ≤ Z

g

• Additivit¨at:

Z

b a

f + Z

c

b

f = Z

c

a

f , insbesondere R

a

b

f = − R

b a

f

Mittelwertsatz der Integralrechnung

g ohne Vorzeichenwechsel = ⇒

Z

b a

f g = f (c) Z

b

a

g f¨ur ein c ∈ [a, b]

insbesondere: R

b

a

f = (b − a)f(c) Stammfunktion

Z

f(x) dx = F (x) + c, F

⁰

= f

beliebige Integrationskonstante c

Stammfunktionen einiger Grundfunktionen

f (x) F (x) f (x) F (x)

x

^s

, s 6 = − 1 x

^s+1

/(s + 1) 1/x ln | x |

exp(x) exp(x) ln(x) x ln(x) − x

sin x − cos x cos x sin x

tan x − ln(cos x) sin x cos x sin

²

(x)/2 1/(1 + x

²

) arctan x 1/ √

1 − x

²

arcsin x

64

Hauptsatz der Integralrechnung

Z

b a

f(x) dx = [F ]

^b_a

= F (b) − F (a), F

⁰

= f

65