Teil 6 Differentialrechnung mehrerer Ver¨anderlicher

Teil 6

Differentialrechnung mehrerer

Ver¨ anderlicher

6.1 Topologie von Mengen

Umgebung

ε-Umgebung eines Punktes x ∈ R ⁿ :

B ε (x) = { y : | y − x | < ε } Umgebung U von x: Menge, die eine ε-Umgebung von x enth¨alt Offene Menge

D offen

⇔ jeder Punkt in D besitzt eine Umgebung in D

⇔ Komplement von D abgeschlossen

Inneres D ^◦ einer (beliebigen) Menge D: alle Punkte in D mit einer Umgebung in D Abgeschlossene Menge

D abgeschlossen

⇔ jede konvergente Folge von Punkten in D besitzt einen Grenzwert in D

⇔ Komplement von D offen

Abschluss D einer (beliebigen) Menge D: Menge aller Grenzwerte von Folgen in D Rand einer Menge

∂D = D \ D ^◦

Punkte, die keine Umgebung besitzen, die ganz in D oder im Komplement von D liegt Kompakte Menge

kompakt ⇔ beschr¨ankt und abgeschlossen

¨aquivalente Charakterisierungen

• Jede Folge in D besitzt eine konvergente Teilfolge mit Grenzwert in D.

• Jede ¨ Uberdeckung von D mit offenen Mengen besitzt eine endliche Teil¨uberdeckung.

6.2 Funktionen

Multivariate Funktionen

f : R ⁿ ⊇ D → R ^m , x 7→ f (x) skalar- (m = 1) oder vektorwertig (m > 1)

Graph: { (x, f(x)) : x ∈ D }

Niveaufl¨achen: { x ∈ D : f(x) = c } Multivariate Polynome

p(x) = X

α

a α x ^α , x ^α = x ^α ₁

· · · x ^α _n

, α i ∈ N 0

totaler Grad ≤ m: P

α ≤ m, Dimension ^m+n _n

maximaler Grad ≤ m: max k α k ≤ m, Dimension (m + 1) ⁿ homogen vom Grad m: P

α = m, Dimension ^m+n−1 _n−1 Stetigkeit multivariater Funktionen

D 3 x k → x = ⇒ lim

k→∞ f (x k ) = f(x) Extremwerte stetiger Funktionen

Existenz von Minimum und Maximum auf einer kompakten Menge Aquivalenz von Vektornormen ¨

c 1 k x k ≤ | x | ≤ c 2 k x k ∀ x ∈ R ⁿ

Lipschitz-Stetigkeit

|| f(x) − f (y) || ≤ c || x − y || ∀ x, y ∈ D f¨ur konvexe Mengen

c ≤ sup

x ∈ D | f ⁰ (x) |

6.3 Konvergenz

Konvergenz einer Vektor-Folge

k lim →∞ x k = x bzw. x k → x f¨ur k → ∞ ⇔

∀ ε > 0 ∃ k _ε : | x _k − x | < ε f¨ur k > k _ε

⇔ Konvergenz aller Komponenten

Cauchy-Kriterium f¨ ur Vektor-Folgen

∀ ε > 0 ∃ k ε : | x ` − x k | < ε f¨ur `, k > k ε

⇔ Cauchy-Konvergenz aller Komponenten Kontrahierende Abbildung

g : D → D, k g(x) − g(y) k ≤ c k x − y k ∀ x, y ∈ D mit Kontraktionskonstante c < 1

f¨ur konvexe Mengen

c ≤ sup

x ∈ D || g ⁰ (x) ||

mit g ⁰ der Jacobi-Matrix Banachscher Fixpunktsatz

g: kontrahierende Selbstabbildung einer nichtleeren abgeschlossenen Menge D ⊂ R ⁿ , d.h.

• D = D

• x ∈ D = ⇒ g(x) ∈ D

• k g(x) − g(y) k ≤ c k x − y k ∀ x, y ∈ D mit c < 1

= ⇒ Existenz eines eindeutigen Fixpunktes x _∗ = g(x _∗ ) ∈ D lineare Konvergenz einer Iterationsfolge (x ` )

k x _∗ − x ` k ≤ c <sup>`</sup>

1 − c k x 1 − x 0 k

6.4 Partielle Ableitungen

Partielle Ableitungen

∂ i f = f x

= ∂f

∂x i

, ∂ i f(x) = lim

h → 0

f(. . . , x _i + h, . . .) − f(. . . , x _i , . . .) h

Ableitung der univariaten Funktion x i 7→ f (x 1 , . . . , x i , . . . , x n ), bei der die Variablen x j , j 6 = i, als Kon- stanten betrachtet werden

Mehrfache partielle Ableitungen

∂ i ∂ j f = f x

x

= ∂ ² f

∂x i ∂x j

Multiindex-Notation

∂ ^α f = ∂ ₁ ^α

· · · ∂ _n ^α

f, α = (α 1 , . . . , α n ), α i ∈ N 0

∂ i ∂ j f = ∂ j ∂ i f¨ur glatte Funktionen f

Vertauschbarkeit partieller Ableitungen

Sind die ersten und zweiten partiellen Ableitungen einer Funktion f stetig, so gilt

∂ i ∂ j f = ∂ j ∂ i f .

F¨ur hinreichend glatte Funktionen ist also die Reihenfolge partieller Ableitungen vertauschbar. Insbeson- dere rechtfertigt dies die Multiindex-Schreibweise.

Totale Ableitung und Jacobi-Matrix

f (x + h) = f(x) + f ⁰ (x)h + o( | h | ), | h | → 0 Jacobi-Matrix

f ⁰ = J f = ∂(f 1 , . . . , f n )

∂(x 1 , . . . , x n ) = (∂ 1 f, . . . , ∂ n f ) =



 

 

 



∂ 1 f 1 . . . ∂ n f 1

... ...

∂ 1 f m . . . ∂ n f m



 

 

 



Differential

df = ∂f

∂x 1

dx 1 + · · · + ∂f

∂x n

dx n

6.5 Ableitungsregeln

Multivariate Kettenregel

h = g ◦ f : x 7→ y = f(x) 7→ z = g (y) Hintereinanderschaltung Multiplikation der Jacobi-Matrizen

h ⁰ (x) = g ⁰ (y)f ⁰ (x), ∂z i

∂x k

= X

j

∂z i

∂y j

∂y j

∂x k

Richtungsableitung

∂ v f (x) = lim

h → 0

f(x + hv) − f(x)

h =

d

dt f(x + tv)

t=0

= f ⁰ (x)v

bei skalarer Funktion: Anstieg von f in Richtung v, maximal f¨ur v k grad f

6.6 Lineare Approximation und Taylor-Entwicklung

Tangente

Kurve C : t 7→ f(t)

f ⁰ (t 0 ) 6 = 0 ber¨uhrende Gerade

g : f (t 0 ) + f ⁰ (t 0 )(t − t 0 ), t ∈ R f ⁰ (t 0 ) = 0 abrupte ¨ Anderung der Tangentenrichtung m¨oglich Tangentialebene

implizit definierte Fl¨ache

S : f (x 1 , . . . , x n ) = c grad f (p) 6 = 0 Tangentialebene

E : (grad f(p)) ^t (x − p) = 0 Tangentialebene f¨ur den Graph einer Funktion x 7→ y = g (x 1 , . . . , x n − 1 )

E : y − g(q) = X n−1

i=1

∂ i g(q) (x i − q i )

Multivariate Taylor-Approximation

f(x) = X

|α|≤n

1

α! ∂ ^α f (a)(x − a) ^α + R, | x − a | < r , mit α! = α 1 ! · · · α m !

Restglied

R = X

| α | =n+1

1

α! ∂ ^α f(u)(x − a) ^α , u = a + θ(x − a) , f¨ur ein θ ∈ [0, 1]

Hesse-Matrix

quadratische Taylor-Approximation einer skalaren Funktion f f (x 1 , . . . , x n ) = f (a) + (grad f (a)) ^t (x − a) + 1

2 (x − a) ^t H f (a)(x − a) + · · ·

mit 

 



∂ 1 ∂ 1 f (a) · · · ∂ 1 ∂ n f(a)



 



6.7 Anwendungen

Umkehrfunktion

f : R ⁿ → R ⁿ , f ⁰ (x _∗ ) invertierbar = ⇒

f in Umgebung U von x _∗ bijektiv, y = f(x) ⇔ x = g(y), und g ⁰ (y) = f ⁰ (x) ^{− 1} , x ∈ U Implizite Funktionen

f : R ⁿ × R ^m → R ⁿ , f(x _∗ , y _∗ ) = 0 mit det f x (x _∗ , y _∗ ) 6 = 0 = ⇒ Gleichungen

f k (x 1 , . . . , x n , y 1 , . . . , y m ) = 0, k = 1, . . . , n, lokal nach x aufl¨osbar: x = ϕ(y), y ≈ y _∗

Jacobi-Matrix

ϕ ⁰ = − (f x ) ^{− 1} f y

Fehlerfortpflanzung bei multivariaten Funktionen absoluter Fehler

∆y = f (x + ∆x) − f (x) ≈ f x

(x)∆x 1 + · · · + f x

(x)∆x n

relativer Fehler

∆y

| y | ≈ c 1

∆x 1

| x 1 | + · · · + c n

∆x n

| x n | mit den Konditionszahlen

c _i = ∂y

∂x i

| x i |

| y | Steilster Abstieg

iterative Minimierung multivariater Funktionen x → y : f (y) = min

t≥0 f (x + td), d = − grad f (x) Konvergenz gegen kritische Punkte: grad f(x _∗ ) = 0

Multivariates Newton-Verfahren nichtlineares Gleichungssystem

f 1 (x _∗ ) = · · · = f n (x _∗ ) = 0, x _∗ ∈ R ⁿ iterative Approximation der L¨osung x _∗

x neu = x alt − ∆x, f ⁰ (x alt )∆x = f (x alt )

det f ⁰ (x _∗ ) 6 = 0 = ⇒ lokal quadratische Konvergenz

6.8 Extremwerte

Kritischer Punkt

grad f (x _∗ ) = 0, Typbestimmung mit Eigenwerten λ k der Hesse-Matrix Hf(x _∗ )

• Flachpunkt: λ _k = 0

• elliptischer Punkt: λ k 6 = 0, gleiches Vorzeichen

• hyperbolischer Punkt: ∃ λ k mit verschiedenem Vorzeichen

• parabolischer Punkt: λ _k gleiches Vorzeichen, mindestens ein λ _k null

Extrema multivariater Funktionen innerer Punkt:

x _∗ lokales Extremum = ⇒

grad f (x _∗ ) = 0

Minimum (Maximum), falls Eigenwerte der Hesse-Matrix H positiv (negativ) bei zwei Variablen: det H > 0 und Spur H > 0 (< 0)

Randpunkt:

Richtungsableitung ∂ v f (x _∗ ) > 0 (< 0) f¨ur jede ins Innere zeigende Richtung v Lagrange-Multiplikatoren

x _∗ lokale Extremstelle von f unter den Nebenbedingungen g k (x) = 0, Rang g ⁰ (x _∗ ) maximal = ⇒

∃ Lagrange-Multiplikatoren λ k mit

f ⁰ (x _∗ ) = λ ^t g ⁰ (x _∗ )

Kuhn-Tucker-Bedingung

x _∗ lokales Minimum von f unter den Nebenbedingungen g _i (x) ≥ 0, Gradienten der aktiven Gleichungen linear unabh¨angig = ⇒

∃ Lagrange-Multiplikatoren λ k ≥ 0 mit grad f(x _∗ ) = X

k

λ _k grad g _k (x _∗ ) ∧ X

k

λ _k g _k (x _∗ ) = 0

(λ k ≤ 0 bei lokalem Maximum)