Topologie und Differentialrechnung mehrerer Variablen Präsenzaufgaben 3

Prof. Dr. Lars Diening Robert Graf

Maximilian Wank 06.05.2014

Topologie und Differentialrechnung mehrerer Variablen Präsenzaufgaben 3

Aufgabe 1:

Seien (E,k · kE)und (F,k · kF) normierte Räume mit E 6={0} und A∈ L(E, F).

Zeigen Sie

kAk= sup

06=x∈E

kAxkF

kxk_E = sup

kxkE≤1 x6=0

kAxkF = sup

kxkE=1

kAxkF.

Aufgabe 2:

SeiM = a b

c d

∈R^2×2. Berechnen Sie die Operatornorm der vonM induzierten linearen Abbildung bezüglich der Norm kxk∞:= max{|x1|,|x2|}auf R².

Hinweis: Verwenden Sie die vorige Aufgabe und machen Sie sich klar, wie der Rand des Einheitsballs imR² bezüglich der Normk · k∞aussieht.

Aufgabe 3:

Fürs∈(1,∞)seiζ(s) :=P∞

n=11/n^sdie Zeta-Funktion. Zeigen Sie

ζ(s) =s ˆ ∞

1

bxc x^s+1dx,

wobei bxc:= max{k∈Z:k≤x} die Abrundungsfunktion bezeichne.

Aufgabe 4:

Bestimmen Sie, für welche s∈(0,∞)die Reihe

∞

X

n=3

1

nlogn(log logn)^s konvergiert.