Topologie und Differentialrechnung mehrerer Variablen Präsenzaufgaben 11

Prof. Dr. Lars Diening Robert Graf

Maximilian Wank 01.07.2014

Topologie und Differentialrechnung mehrerer Variablen Präsenzaufgaben 11

Aufgabe 1:

Sei n ≥2 eine natürliche Zahl und sei Ω⊂Rⁿ eine offene Menge. Beweisen oder widerlegen Sie:

(a) Sindv, w: Ω→Rⁿ Gradientenfelder, so ist auchv+wein Gradientenfeld.

(b) Ist f : Ω → R eine stetig differenzierbare Funktion und v : Ω → Rⁿ ein Gradientenfeld, so ist auchf vein Gradientenfeld.

Aufgabe 2:

Fürα≥1sei

γ: [0,1]→R², γ(t) := (t^α, t), und

v:R²→R², v(x, y) := (y³, x²).

Berechnen Sie das Wegintegral´

γv·ds.

Aufgabe 3:

SeiX :={a, b, c}undT :={∅,{a},{b},{a, c}, X}.

(a) IstT eine Topologie aufX?

(b) Was ist die kleinste Topologie aufX, die T enthält?

Aufgabe 4:

Es seiT :={A⊆R : A^{ ist abzählbar} ∪ {∅,R}. IstT eine Topologie aufR?

Aufgabe 5:

Sei (X,T)ein kompakter topologischer Raum und K ⊆ X abgeschlossen. Zeigen Sie, dassK kompakt ist.