1Einleitung PrasanyaBalasingham08.Dezember2017 Kettenbr¨uche

Kettenbr¨ uche

Prasanya Balasingham 08. Dezember 2017

1 Einleitung

In der Mathematik und insbesondere der Zahlentheorie ist ein Kettenbruch ein fortge- setzter Bruch der Form:

a

b =x₀+ 1

x₁+ 1

x₂+ 1

x₃+ 1 x₄...

mitx₀, x₁, x₂, x₃,··· ∈N.

Dies nennt man Kettenbruchdarstellung von ^a_b und schreibt ^a_b = [x0;x1;x2;x3;···].

Ein Kettenbruch ist also ein gemischter Bruch der Form a+ b

x,

bei dem der Nenner x wieder die Form eines gemischten Bruch besitzt und wobei sich dieser Aufbau weiter so fortsetzt. In erster Linie dienen sie nicht zum Rechnen, sondern werden verwendet um Approximationsaufgaben zu l¨osen. Sie liefern in der Zahlentheo- rie N¨aherungen f¨ur reelle Zahlen, indem diese durch einen Bruch aus ganzen Zahlen ausgedr¨uckt werden.

Beispiel 1. Es gilt 75

11 = 6 + 9

11 = 6 + 1

11 9

= 6 + 1 1 +2

9

= 6 + 1 1 +1

9 2

= 6 + 1

1 + 1 4 +1

2

= [6; 1; 4; 2].

Euklidischer Algorithmus:

Um die Kettenbruchdarstellung zu berechnen, verwendet man den Euklidischen Algo- rithmus, wie hier am Beispiel ⁷⁵₁₁ dargestellt.

75 = 11·6 + 9 11 = 9·1 + 2

9 = 2·4 + 1 2 = 1·2 + 0.

Beispiel 2. Wir betrachten den Kettenbruch [3; 6] = 3 + 1

6 + 1

6 + 1 6 + 1

6...

=x.

Bei endlichen Kettenbr¨uche kann man es berechnen, bei unendlichen wird es schwierig, daher schaut man sich erstmals die ersten paar Zahlen an.

[3; 6; 6; 6] =

3+ 1

6 + 1 6 +1

6

= 3+ 1 6 + 1

37 6

= 3+ 1 6 + 6

37

= 3+ 1

228 37

= 3+ 37

228 = 684 + 37

228 = 721

228 ≈3,162280702

Die Situation ist wie bei den Fibonacci-Zahlen. Beim Goldenen Schnitt steht ¨uberall eine 1, hier steht zuerst eine Drei und dann Sechsen. Also ¨andert man den Kettenbruch so, dass vorne auch eine 6 steht. Wir bezeichnen unser Kettenbruch als x und addieren 3 darauf:

y=x+ 3 =6 + ¹ 6 + 1

6...

= [6; 6]

⇒y = 6 +1

y | ·y

⇒y² = 6y+ 1

Beispiel 3. Wir wandeln √

2 in einen Kettenbruch um. Wir setzen x =√

2≈ 1,4142 und x0 = [x] = 1.

Allgemein:

x=x0+x−x0

=x0+ 1

1 x−x0

(mit0< x−x0 <1)

=x0+ 1

y₁ (mity1= 1

x−x₀ >1)

⇒x₁:= [y₁]usw.

Mit √

2 Einsetzen:

x= 1 +x−1 y1 = 1

√2−1 x= 1 + 1

1 x−1

= 1 + 1

√1 2−1

= 1 + 1

(√ 2+1) (√

2−1)(√ 2+1)

= 1 + 1

√ 2+1 2−1

= 1 + 1

√2+1 1

= 1 + 1

√ 2 + 1

= 1 + 1

2 + (√

2 + 1)−2

= 1 + 1 2 + 1

√1 2−1

= 1 + 1

2 + 1

2 + 1 2 +...

= [1; 2].

Beispiel 4. Der Goldener Schnitt ist definiert alsφ≈1,618033und ist eine irrationale Zahl.

Die Fibonacci-Folge ist eine unendliche Folge von Zahlen, bei der sich die jeweils folgende Zahl durch Addition ihrer beiden vorherigen Zahlen ergibt: 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55, ...

(F1= 1, F2= 1, Fn+2 =Fn+Fn+1).

3

2 = 1 +1 2

8

5 = 1,6 13

8 = 1,625 55

34 = 1,61765 8

5 = 1 + 1

5 3

= 1 + 1 1 + 1

3 2

= 1 + 1

1 + 1 1 +1

2

φ= 1 + 1

1 + 1 1 + 1

1...

⇒φ= 1 + 1

φ | −1− 1 φ

⇒φ−1− 1

φ = 0 | ·φ

⇒(φ)²−φ−1 = 0

⇒φ₁,₂= 1 2±

r1 4 + 1

= 1 2±

r5 4

= 1 2±

√ 5 2

= 1 2+

√ 5 2

= 1 +√ 5

2 ≈1,618.

2 Endliche Kettenbr¨ uche

Im Folgenden wird die Folge der N¨aherungsbr¨uche eines Kettenbruchs betrachtet. F¨ur ein Kettenbruch mit N + 1 Variablen x₀, x₁, x₂, ..., x_N sei [x₀, x₁, x₂, ..., x_k] der k-te N¨aherungsbruch (k≤N).

Satz 1. Man definiert f¨ur(x_k) die folgenden Folgen im R⁺:

P0 =x0 P1=x1x0+ 1 P_k=x_kPk−1+Pk−2 P_k+1 =x_k+1P_k+Pk−1

Q₀ = 1 Q₁ =x₁ Q_k =x_kQ_k−1+Q_k−2 Q_k+1=x_k+1Q_k+Q_k−1 (k= 2,3, ...).

In Matrixschreibweise:

P₀ Q0

:=

x₀ 1

,

P₁ Q1

:=

x₀ 1 1 0

x₁ 1

,

P_k Qk

:=

Pk−1 Pk−2

Qk−1 Qk−2

x_k 1

,

Pk+1

Q_k+1

:=

Pk Pk−1

Q_k Qk−1

xk+1

1

(k= 2,3, ...).

Somit gilt [x0, x1, x2, ..., xk] = _Q^Pk

k (k= 0,1,2, .., N).

Beweis. Wir zeigen die Behauptung mittels vollst¨andiger Induktion.

I.Anf.: [x₀] = ^x₁⁰, [x₀, x₁] =x₀+_x¹

1 = ^x₁⁰ +_x¹

1 = ^x1x_x⁰⁺¹

1

√ I.Vor: Wir nehmen an die Behauptung gelte f¨urn.

I.Schluss: F¨ur den (n+ 1)-ten N¨aherungsbruch gilt: [x₀, ..., x_n, x_n+1]

= [x0, ..., xn−1, xn+ 1 x_n+1]

= (xn+_x¹

n+1)Pn−1+Pn−2

Qn−1(x_n+_x¹

n+1) +Qn−2

nach Induktionsvoraussetzung

=

=Pn

z }| { Pn−1xn+Pn−2+^P_xⁿ⁻¹

n+1

Qn−1x_n+Qn−2

| {z }

=Qn

+^Q_xⁿ⁻¹

n+1

= Pnxn+1+Pn−1

Q_nx_n+1+Qn−1

= Pn+1

Q_n+1.

Die Berechnung der Folge der N¨aherungsz¨ahler und -nenner kann man auch nach dem folgendem Schema durchf¨uhren:

k 0 1 2 3 . . .

xk x0 x1 x2 x3 . . .

P_k x₀ x₁P₀+ 1 x₂P₁+P₀ x₃P₂+P₁ . . . Q_k 1 x₁ x₂Q₁+Q₀ x₃Q₂+Q₁ . . .

Die Definition der Folgen in Satz 1 kann man auch in Matrizen schreiben:

P1 P0

Q1 Q0

:=

x0 1 1 0

x1 1 1 0

,

P_k Pk−1

Q_k Qk−1

:=

x0 1 1 0

x1 1 1 0

...

xk−1 1

1 0

x_k 1 1 0

.

Satz 2. Es gilt:

(1)_Q^Pk

k −_Q^Pk−1

k−1 = _Q^(−1)k+1

kQk−1 f¨ur k = 1,2,3,... ; (2)_Q^Pk

k −_Q^Pk−2

k−2 = _Q^(−1)kxk

k−2Qk f¨ur k = 2,3,4,...

Beweis. (1) Aus Satz 1 folgt f¨urk≥1 PkQk−1−Pk−1Qk= det

Pk Pk−1

Q_k Qk−1

= det(

x0 1 1 0

x1 1 1 0

·_····

xk 1 1 0

)

= det

x₀ 1 1 0

det

x₁ 1 1 0

... det

x_k 1 1 0

=

k

Y

i=0

det

xi 1 1 0

= (−1)^k+1.

Somit folgtPkQk−1−Pk−1Qk = (−1)^k+1 |:QkQk−1

⇔ _Q^PkQk−1

kQk−1− ^{Pk−1Qk QkQk−1}

= _Q^(−1)k+1

kQk−1

⇔ _Q^Pk

k −_Q^Pk−1

k−1 = _Q^(−1)k+1

kQk−1.

(2) Es gilt

Pk−1 Pk−2

Q_k−1 Q_k−2

x_k 0 1 1

=

x_kPk−1+Pk−2 Pk−2

x_kQ_k−1+Q_k−2 Q_k−2

=

P_k Pk−2

Q_k Q_k−2

und somit det

P_k Pk−2

Qk Qk−2

= det

Pk−1 Pk−2

Qk−1 Qk−2

det

x_k 0 1 1

.

Daraus folgt nach (1)PkQk−2−Pk−2Qk = (−1)^kxk |:Qk−2Qk

⇒ P_k

Q_kk−2 Qk−2Qk

− Pk−2

Q_k Qk−2

Q_k = (−1)^kx_k Qk−2Q_k

⇒ P_k

Q_k − Pk−2

Qk−2

= (−1)^kx_k Qk−2Q_k.

Satz 3. F¨ur 0≤k≤N sei β_k= _Q^Pk

k derk-te N¨aherungsbruch des Kettenbruchs α= [a₀, a₁, a₂, ..., a_N]mit a₀, a₁,···, a_n∈N. Dann gilt:

β0< β2< β4 < ... < β_N =α < βN−1 < ... < β5 < β3 < β1 f¨ur2|N β₀< β₂< β₄ < ... < βN−1< α=β_N < ... < β₅ < β₃ < β1 f¨ur2

|N. Beweis. Es giltβ_k−βk−2 Satz 1

= _Q^Pk

k −_Q^Pk−2

k−2

Satz 2 (2)

= (−1)^k_Q ^xk

k−2Qk

F¨urkgerade gilt β_k> βk−2 und somit β₀ < β₂ < β₄ < ...

F¨urkungerade giltβk < βk−2 und somitβ1 > β3 > β5> ...

Des Weiteren gilt βk−βk−1= _Q^Pk

k −_Q^Pk−1

k−1

Satz 2 (1)

= (−1)^k+1_Q ¹

kQk−1. Wir machen eine Fallunterscheidung.

1.Fall:N gerade

β_N −βN−1<0, also folgtβ_N < βN−1 und somit

β0 < β2 < β4< ... < βN =α < βN−1 < ... < β5< β3< β1. 2.Fall:N ungerade

βN −βN−1>0, also folgtβN > βN−1 und somit

β₀ < β₂ < β₄< ... < β_N−1 < α=β_N < ... < β₅< β₃< β₁.

Satz 4. Sei α = [a₀, a₁, a₂, ..., a_N] mit a₀ ∈ N0 und a₁, a₂, ..., a_N ∈ N und P_k, Q_k die Z¨ahler und Nenner der N¨aherungsbr¨uche βk von α (0≤k≤N). Dann gilt

1. Qk> Qk−1 f¨ur 2 ≤k≤N;

2. Q₁≥1, Q₂ ≥2, Q₃ ≥3 und Q_k ≥k f¨ur 4≤k≤N.

Beweis. (1) F¨ur 2≤k≤N gilt: Q_k=Qk−1a_k+Qk−2 und somitQ_k =Qk−1+Qk−2>

Qk−1.

(2) F¨ur 4≤k≤N

I.Anf.: F¨urk= 1 giltQ₁ =a₁ ≥1

I.Vor: Wir nehmen an, die Behauptung gelte f¨urQk−1 ≥k−1.

I.Schluss: Es gilt

Qk=akQk−1+Qk−2

Q_k=

≥1

z}|{a_k Qk−1

| {z }

≥k−1

+Qk−2

| {z }

≥1

Q_k=a_kQk−1+Qk−2≥k−1 + 1 =k Qk≥k.

Satz 5. Sei α = [a₀, a₁, a₂, ..., a_N] mit a₀ ∈ N0, a₁, a₂, ..., a_N ∈ N und a_N 6= 1 und β = _Q^Pk

k der k-te N¨aherungsbruch von α (0≤k≤N). Dann gilt

|α−β_k| ≤ _Q ¹

kQk+1 ≤ ¹

Q²_k. Beweis. Es gilt

|α−β_k|=|β_N −β_k|^{Satz 3}≤ |β_k+1−β_k|

Satz 1

= |Pk+1

Q_k+1 − Pk

Q_k|=|(−1)^k+2 Q_k+1Q_k|

= 1

Qk+1Qk

< 1 Q²_k, wobei die letzte Ungleichung aus Q_k+1> Q_k folgt.

3 Unendliche Kettenbr¨ uche

F¨ur den goldenen Schnittφ giltφ= [0; 1; 1; 1;, ...,1 +φ].

F¨urk= 1,2,3, ...gilt

|φ−βk| ≤ _Q ¹

kQk+1 (setze f¨urxk+1 = 1 +φein)

= _Q ¹

k((1+φ)QkQk−1) = _Q¹2 k

(1 +φ+ Qk−1

Q_k

| {z }

→φ

)⁻¹

Also folgt lim

k→∞(1 +φ+Qk−1

Q_k

| {z }

=1+φ+φ=1+2φ

)⁻¹ = (1 + 2φ)⁻¹ = 1

1 + 2φ (Man setzt f¨urφ=

√ 5−1

2 ein)

= 1

√ 5 Daraus folgt|φ−_Q^Pk

k|=|φ−β_k| ≤ ^√1

5 ·_Q¹

k.

Bemerkung 1. Jede irrationale Zahl φ besitzt unendlich viele N¨aherungsbr¨uche

p

q mit|φ−^p_q|< ^√1

5q².

In dieser Aussage darf man √

5 nicht durch eine gr¨oßere Zahl ersetzen.

Definition 1. Man nennt eine reelle Zahlα approximierbar durch rationale Zahlen von der Ordnung n, wenn eine nur von α abh¨angige Konstante K existiert, so dass es un- endlich viele Bruchzahlen ^p_q gibt mit |α−^p_q|< _q^Kn.

Beispiel 5. Der goldene Schnitt φ ist approximierbar durch rationale Zahlen der Ord- nung 2 f¨urK = ^√1₅.

Satz 6. Eine reelle algebraische Zahl von Gradnist nicht von h¨oherer alsn-ter Ordnung durch rationale Zahlen approximierbar.

Beispiel 6. Zur Anwendung von Satz 6 wird die Transzendenz der Zahl α= ₁₀¹_1! +₁₀¹_2! +...= 0,11000100...bewiesen.

Beweis. Seiα_n= ₁₀¹1!+₁₀¹2!+· · ·+₁₀¹n! = ₁₀^pn! = ^p_q (mit p, q∈Z) die Summe der ersten nGlieder dieser Reihe. Dann ist

0< α−^p_q = _10(n+1)!¹ + _10(n+2)!¹ +... <2_10(n+1)!¹ .

Wenn N ∈ N und n > N, dann ist 10^(n+1)! = (10^n!)ⁿ⁺¹ = qⁿ⁺¹ > q^N+1 und damit

|α−^p_q|< _qN+1² .

DaN beliebig war, ist daher α eine transzendente Zahl.

Bewiesen sei α_n= ₁₀^p_n! = ^p_q die Summe der ersten n Glieder dieser Reihe. Dann ist 0< α−^p_q = _10(n+1)!¹ + _10(n+2)!¹ +... <2_10(n+1)!¹ .

Wenn N ∈ N und n > N, dann ist 10^(n+1)! = (10^n!)ⁿ⁺¹ = qⁿ⁺¹ > q^N+1 und damit

|α−^p_q|< _qN+1² .

Da N beliebig war, ist daher α eine transzendente Zahl.

4 Literaturverzeichnis

Scheid, Harald; Frommer Andreas:Zahlentheorie, 4. Auflage, Elsevier: M¨unchen, 2007, Kapitel 1.8.