Beispiel 7.9 (Reaktionskinetik) Reaktionen n-ter Ordnung sind definiert als dy

Beispiel 7.9 (Reaktionskinetik) Reaktionen n-ter Ordnung sind definiert als dy

dx = − ky ⁿ (x) n = 0, 1, 2, . . . n = 0

dy

dx = − k

x

!

x

dy

ds ds = − k

x

!

x

ds

y(x) − y(x 0 ) = − k(x − x 0 ) ⇒ y(x) = y(x 0 ) − k(x − x 0 ) n = 1 siehe Beispiel 7.8

n ≥ 2

dy

dx = − ky ⁿ dy

y ⁿ = − k dx

y(x)

!

y(x

)

dy

y ⁿ = − k

x

!

x

ds 1

y ^{n − 1} (x) − 1

y ^{n − 1} (x 0 ) = (n − 1)k(x − x 0 )

y ^{n − 1} (x) = 1

y ^{1 − n} (x 0 ) + (n − 1)k(x − x 0 )

y(x) = 1

n−

"

y ^{1 − n} (x 0 ) + (n − 1)k(x − x 0 ) Speziell f¨ur n = 2 ergibt dies

y(x) = 1

y ^{− 1} (x 0 ) + k(x − x 0 )

7.2.2 Variation der Konstanten

Wir haben bisher haupts¨achlich homogene DGLs betrachtet, z. B. die Reaktionsgleichung erster Ordnung

˙

y + ky = 0 . (7.2)

126

Nun wollen wir sehen, wie sich eine Inhomogenit¨at f(t) auf die L¨osung auswirkt. Gegeben sei also z. B. die DGL

˙

y(t) + ky(t) = f (t) . (7.3)

Betrachten wir zun¨achst den Spezialfall f = const. Da die Einheit von f Konzentration pro Zeit ist, heißt f = const, dass man eine konstante Menge der Substanz pro Zeiteinheit hinzugibt.

Die L¨osung der homogenen DGL (7.2) kennen wir bereits. Sie ist y(t) = Ce ^{− kt} .

Um die inhomogene DGL (7.3) zu l¨osen, verwenden wir die

” Variation der Konstanten“, d. h. wir nehmen an, dass C eine Funktion von t ist, also

C = C(t) . Wir erhalten dann

y(t) = C(t)e ^{− kt} =: C(t)g(t)

˙

y(t) = C(t)g(t) + ˙ C(t) ˙ g(t) Einsetzen in die DGL (7.3) liefert

Cg ˙ + C g ˙ + kCg = ˙ Cg + C( ˙ g + kg) = f

Da g = e ^{− kt} die homogene DGL erf¨ullt, ist die Klammer ( ˙ g + kg) identisch Null, und man erh¨alt

C(t) = ˙ f (t)

g(t) , (7.4)

d. h. wir erhalten eine DGL f¨ur C(t), die wir direkt durch Integration l¨osen k¨onnen.

Betrachten wir den Spezialfall f (t) = const = f . Dann ist

t

!

t

C(t ˙ ^′ )dt ^′ = C(t) − C(t 0 ) = f

t

!

t

dt ^′ g(t ^′ ) Mit g(t) = e ^{− kt} ergibt dies

C(t) − C(t 0 ) = f

t

!

t

e ^kt

dt ^′ = f k

# e ^kt − e ^kt

$

127

und daraus folgt

C(t) = C(t 0 ) + f k

# e ^kt − e ^kt

$ y(t) = C(t)g(t) = C(t 0 )e ^{− kt} + f

k

# 1 − e ^k(t

^{− t)} $

Dies ist die allgemeine L¨osung der inhomogenen DGL (7.3). F¨ur die Anfangsbedingungen t 0 = 0 und y(t 0 = 0) = y 0 erhalten wir dann

y(0) = C(0) + f

k (1 − 1) = C(0) = y 0

y(t) = y 0 e ^{− kt} + f k

# 1 − e ^{− kt} $

=

% y 0 − f

k

&

e ^{− kt} + f k

Betrachtet wir den Fall großer Zeiten (also t → ∞ ), so gilt y(t → ∞ ) = f /k, d. h. f¨ur große Zeiten ist die Konzentration konstant.

Die Variation der Konstanten f¨uhrt also auf eine DGL (Gl. (7.4)) f¨ur die Konstante der L¨osung der homogenen Gleichung. Diese DGL kann durch direkte Integration gel¨ost werden. Dies gilt auch f¨ur allgemeine Inhomogenit¨aten f(t). Vorausgesetzt nat¨urlich, man kennt die Stammfunktion von f (t)/g(t).

Beispiel 7.10 Gesucht ist die L¨osung der DGL xy ^′ (x) = y(x) − 1 mit der Anfangsbedingung y(1) = 0.

Schritt 1: L¨osung der homogenen DGL Die homogene Gleichung ist

xy ^′ (x) = y(x) ⇒ y ^′ (x) = y(x) x Trennung der Variablen und Integration liefert

y(x)

!

y(x

)

dy y =

x

!

x

dx x

⇒ ln | y(x)

y(x 0 ) | = ln | x x 0 | y(x) = Cx

128

Schritt 2: L¨osung der inhomogenen Gleichung durch Variation der Konstanten.

y(x) = C(x)x , y ^′ (x) = C ^′ (x)x + C(x) Woraus folgt

x (C ^′ (x)x + C(x)) = C(x)x − 1

⇒ C ^′ (x) = − 1 x ²

⇒

x

!

x

C ^′ (s) ds = C(x) − C(x 0 ) = −

x

!

x

dx x ² = 1

x − 1 x 0

⇒ C(x) = 1 x + K

⇒ y(x) =

% 1 x + K

&

x = 1 + Kx Dies ist die allgemeine L¨osung der inhomogenen DGL.

Schritt 3: Bestimmung der Konstanten durch Einsetzen der Anfangsbedingungen.

y(1) = 0 = 1 + K ⇒ K = − 1 Damit ergibt sich f¨ur die spezielle L¨osung der inhomogenen DGL

y(x) = 1 − x

7.3 Lineare DGL zweiter Ordnung

Hier sollen DGL vom Typ

y ^′′ (x) + a(x)y ^′ (x) + b(x)y(x) = f (x) untersucht werden.

Beispiel 7.11 Die Newton Gleichung lautet

F = ma = m y . ¨

F¨ur einen harmonischen Oszillator gilt das Hooke’sche Gesetz, welches besagt, dass die Kraft proportional zur Auslenkung ist F = − cy. Setzen wir dies in die Newton Gleichung ein, erhalten wir die

” Schwingungs“-DGL

¨ y + c

m y = 0

129