F¨ ur ein harmonischen Oszillator im Kontakt mit einem W¨ armebad sind unmittelbar nur die ¨ Uberg¨ ange zwischen Zust¨ anden n und n ± 1 m¨ oglich. Die Raten der ¨ Uberg¨ ange sind:

(1)

Physikalische Kinetik SS 2019

Blatt 10.

1. Die Master-Gleichung

F¨ ur ein harmonischen Oszillator im Kontakt mit einem W¨ armebad sind unmittelbar nur die ¨ Uberg¨ ange zwischen Zust¨ anden n und n ± 1 m¨ oglich. Die Raten der ¨ Uberg¨ ange sind:

w n→n+1 = ke ^−θ (n + 1) und w n→n−1 = kn

mit k = k B T ζ/2MΩ und θ = ¯ hΩ/k B T (Ω als Frequenz und M als Masse des Oszillators; die Konstante ζ charakterisiert die Wechselwirkungsst¨ arke mit dem Bad; der Grundzustand des Oszillators entspricht n = 0).

• Geben Sie die Master-Gleichung f¨ ur die Wahrscheinlichkeiten P _n an, den Oszillator im Zustand n zu finden.

• Leiten Sie die Gleichung f¨ ur die Zeitentwicklung der mittleren Energie E = ^X

n

E _n P _n

des Oszillators her, wobei E n die Energie des Eigenzustandes n ist.

Zeigen Sie, dass gilt:

dE dt = k

"

1 + e ^−θ ¯ hΩ

2 − 1 + e ^−θ E

#

.

Hinweis: Multiplizieren Sie die beiden Seiten der Master-Gleichung mit dem bekannten Ausdruck f¨ ur E _n und sortieren Sie die Glieder auf der rechten Seite! Vergessen Sie nicht, dass ^P ^∞ _n=0 P _n = 1.

• Bestimmen Sie die Zeitabh¨ angigkeit der mittleren Energie, d.h. ihre Relaxation zu dem Gleichgewichtswert f¨ ur den Fall, wenn bei t = 0 das Oszillator in dem Eigenzustand n pr¨ apariert ist.

1

(2)

2. Kac-Zwanzig-Bad im Quantenfall I

Unsere Betrachtung des Kac-Zwanzig-Bades gilt gleichermassen f¨ ur klas- sische und f¨ ur quantenmechanische Systeme. Diese Betrachtung f¨ uhrt zur verallgemeinerten Langevin-Gleichung

M X ¨ = −U ⁰ (X) −

Z t 0

dt ⁰ X(t ˙ ⁰ )K(t − t ⁰ ) + F (t) (1) mit

K(t) = ^X

j

m _j ω ² _j cos ω _j t und

F (t) = ^X

j

m _j ω ² _j

"

(q _j (0) − X(0)) cos ω _j t + p _j (0) m

sin ω _j t ω _j

#

,

wobei ω j die Frequenzen und m j die Massen der Badoszillatoren sind. Wie im Abschnitt 7 von der VL beschrieben, wird das Bad bei fixierten Teilchen- position (sagen wir, bei X(0) = 0) thermalisiert.

• Betrachten Sie einen quantenmechanischen harmonischen Oszillator mit Masse m und Frequenz ω im thermodynamischen Gleichgewicht bei Temperatur T , und berechnen Sie die Mittelwerte hq ² i _eq , hp ² i _eq , hpqi _eq und hqpi _eq . Zeigen Sie, dass

hq ² i _eq = ¯ h

2mω coth ¯ hω 2k B T , hp ² i _eq = mω¯ h

2 coth ¯ hω 2k _B T , hpqi _eq = hqpi ^∗ _eq = i¯ h

2 .

Hinweis: Berechnen Sie die entsprechende Quantenmittelwerte f¨ ur einen gegebenen Zustand n, und mitteln Sie dann diese ¨ uber die Boltzmann- Verteilung p _n ∝ exp − _k ^E

ⁿ

B

T

. Benutzen Sie die Tatsache, dass

q =

s ¯ h

2mω (a + a ⁺ ) p = −i

s mω¯ h

2 (a − a ⁺ ),

2

(3)

mit [a, a ⁺ ] = 1, und berechnen Sie hn|q ² |ni, hn|p ² |ni und hn|pq|ni. Die Mittelung ¨ uber die Boltzmannverteilung ist dann einfach.

• Die Zufallskraft im Quantenfall ist charakterisiert durch die symmetri- sierte Korrelationsfunktion

C _{F F} (t − t ⁰ ) = 1

2 hF (t)F (t ⁰ ) + F (t ⁰ )F (t)i _eq und den Kommutator

∆(t − t ⁰ ) = h[F (t), F (t ⁰ )]i _eq . Finden Sie diese. Zeigen Sie dass

C _{F F} (t) ' ^X

j

m _j ω _j ² hω ¯ _j coth ¯ hω _j

2k _B T cos ω _j (t − t ⁰ ). (2) Zeigen Sie, dass bei h¨ oheren Temperaturen typischerweise gilt C _{F F} (t)

|∆(t)|, solange die beide nicht divergieren.

Uberzeugen Sie sich, dass bei sehr hohen Temperaturen unsere Fluktu- ¨ ations-Dissipations-Beziehing 2. Art gilt:

C _{F F} (t) = k _B T K(t).

Hinweis: Geben Sie den formalen Ausdruck f¨ ur hF (t)F (t ⁰ )i _eq an. Ver- einfachen Sie diesen Ausdruck in Hinsicht der Tatsache, dass die Pha- senvariablen p _i und q _i f¨ ur die verschiedene Oszillatoren unabh¨ angig sind.

• Betrachten Sie die Spektraldarstellung der Fluktuations-Dissipation- Beziehung im Quantenfall. Zeigen Sie, dass

C e _{F F} (Ω) = ¯ hΩcoth hΩ ¯

2k _B T Re K(Ω). ^f

Hinweis: Gehen Sie von Summen zu Integralen ¨ uber ω ¨ uber:

K(t) =

Z ∞ 0

g(ω) cos(ωt)dω, C _{F F} (t) =

Z ∞ 0

g(ω)¯ hωcoth ¯ hω

2k _B T cos ω(t − t ⁰ )dω

3

(4)

mit g(ω) = m(ω)ω ² D(ω) wobei D(ω) die Dichte in Frequenzraum ist.

Man kann annehmen, dass der Integrationsbereich sich auf die ganze reelle ω-Achse erstreckt, die Funktion g(ω) verschwindet aber f¨ ur ω < 0.

Die Funktion C _{F F} (t) ist auf der ganzen reellen Zeitachse definiert und ist gerade. Die Funktion K(t) ist kausal, und verschwindet f¨ ur t < 0. Bei Berechnung der Fouriertransformierten von K(t) und C(t) vertauschen Sie die Sequenz der Integrale ¨ uber t und ¨ uber ω, und bestimmen Sie zu- erst die Fouriertransformierte von f ₁ (t) = θ(t) cos ωt und f ₂ (t) = cos ωt.

F¨ ur ein harmonischen Oszillator im Kontakt mit einem W¨ armebad sind unmittelbar nur die ¨ Uberg¨ ange zwischen Zust¨ anden n und n ± 1 m¨ oglich. Die Raten der ¨ Uberg¨ ange sind:

Physikalische Kinetik SS 2019

Blatt 10.

1. Die Master-Gleichung

F¨ ur ein harmonischen Oszillator im Kontakt mit einem W¨ armebad sind unmittelbar nur die ¨ Uberg¨ ange zwischen Zust¨ anden n und n ± 1 m¨ oglich. Die Raten der ¨ Uberg¨ ange sind:

w n→n+1 = ke −θ (n + 1) und w n→n−1 = kn

mit k = k B T ζ/2MΩ und θ = ¯ hΩ/k B T (Ω als Frequenz und M als Masse des Oszillators; die Konstante ζ charakterisiert die Wechselwirkungsst¨ arke mit dem Bad; der Grundzustand des Oszillators entspricht n = 0).

• Geben Sie die Master-Gleichung f¨ ur die Wahrscheinlichkeiten P n an, den Oszillator im Zustand n zu finden.

• Leiten Sie die Gleichung f¨ ur die Zeitentwicklung der mittleren Energie E = X

n

E n P n

des Oszillators her, wobei E n die Energie des Eigenzustandes n ist.

Zeigen Sie, dass gilt:

dE dt = k

"

1 + e −θ ¯ hΩ

2 − 1 + e −θ E

#

.

Hinweis: Multiplizieren Sie die beiden Seiten der Master-Gleichung mit dem bekannten Ausdruck f¨ ur E n und sortieren Sie die Glieder auf der rechten Seite! Vergessen Sie nicht, dass P ∞ n=0 P n = 1.

• Bestimmen Sie die Zeitabh¨ angigkeit der mittleren Energie, d.h. ihre Relaxation zu dem Gleichgewichtswert f¨ ur den Fall, wenn bei t = 0 das Oszillator in dem Eigenzustand n pr¨ apariert ist.

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2. Kac-Zwanzig-Bad im Quantenfall I

Unsere Betrachtung des Kac-Zwanzig-Bades gilt gleichermassen f¨ ur klas- sische und f¨ ur quantenmechanische Systeme. Diese Betrachtung f¨ uhrt zur verallgemeinerten Langevin-Gleichung

M X ¨ = −U 0 (X) −

Z t 0

dt 0 X(t ˙ 0 )K(t − t 0 ) + F (t) (1) mit

K(t) = X

j

m j ω 2 j cos ω j t und

F (t) = X

j

m j ω 2 j

"

(q j (0) − X(0)) cos ω j t + p j (0) m

sin ω j t ω j

#

,

wobei ω j die Frequenzen und m j die Massen der Badoszillatoren sind. Wie im Abschnitt 7 von der VL beschrieben, wird das Bad bei fixierten Teilchen- position (sagen wir, bei X(0) = 0) thermalisiert.

• Betrachten Sie einen quantenmechanischen harmonischen Oszillator mit Masse m und Frequenz ω im thermodynamischen Gleichgewicht bei Temperatur T , und berechnen Sie die Mittelwerte hq 2 i eq , hp 2 i eq , hpqi eq und hqpi eq . Zeigen Sie, dass

hq 2 i eq = ¯ h

2mω coth ¯ hω 2k B T , hp 2 i eq = mω¯ h

2 coth ¯ hω 2k B T , hpqi eq = hqpi ∗ eq = i¯ h

2 .

Hinweis: Berechnen Sie die entsprechende Quantenmittelwerte f¨ ur einen gegebenen Zustand n, und mitteln Sie dann diese ¨ uber die Boltzmann- Verteilung p n ∝ exp − k E

T

. Benutzen Sie die Tatsache, dass

q =

s ¯ h

2mω (a + a + ) p = −i

s mω¯ h

2 (a − a + ),

2

mit [a, a + ] = 1, und berechnen Sie hn|q 2 |ni, hn|p 2 |ni und hn|pq|ni. Die Mittelung ¨ uber die Boltzmannverteilung ist dann einfach.

• Die Zufallskraft im Quantenfall ist charakterisiert durch die symmetri- sierte Korrelationsfunktion

C F F (t − t 0 ) = 1

2 hF (t)F (t 0 ) + F (t 0 )F (t)i eq und den Kommutator

∆(t − t 0 ) = h[F (t), F (t 0 )]i eq . Finden Sie diese. Zeigen Sie dass

C F F (t) ' X

j

m j ω j 2 hω ¯ j coth ¯ hω j

2k B T cos ω j (t − t 0 ). (2) Zeigen Sie, dass bei h¨ oheren Temperaturen typischerweise gilt C F F (t)

|∆(t)|, solange die beide nicht divergieren.

Uberzeugen Sie sich, dass bei sehr hohen Temperaturen unsere Fluktu- ¨ ations-Dissipations-Beziehing 2. Art gilt:

C F F (t) = k B T K(t).

Hinweis: Geben Sie den formalen Ausdruck f¨ ur hF (t)F (t 0 )i eq an. Ver- einfachen Sie diesen Ausdruck in Hinsicht der Tatsache, dass die Pha- senvariablen p i und q i f¨ ur die verschiedene Oszillatoren unabh¨ angig sind.

• Betrachten Sie die Spektraldarstellung der Fluktuations-Dissipation- Beziehung im Quantenfall. Zeigen Sie, dass

C e F F (Ω) = ¯ hΩcoth hΩ ¯

2k B T Re K(Ω). f

Hinweis: Gehen Sie von Summen zu Integralen ¨ uber ω ¨ uber:

K(t) =

Z ∞ 0

g(ω) cos(ωt)dω, C F F (t) =

Z ∞ 0

g(ω)¯ hωcoth ¯ hω

2k B T cos ω(t − t 0 )dω

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mit g(ω) = m(ω)ω 2 D(ω) wobei D(ω) die Dichte in Frequenzraum ist.

Man kann annehmen, dass der Integrationsbereich sich auf die ganze reelle ω-Achse erstreckt, die Funktion g(ω) verschwindet aber f¨ ur ω < 0.

Fangen Sie mit f e 1 (Ω) an und benutzen Sie den Regularisierungstrick:

w n→n+1 = ke ^−θ (n + 1) und w n→n−1 = kn

• Geben Sie die Master-Gleichung f¨ ur die Wahrscheinlichkeiten P _n an, den Oszillator im Zustand n zu finden.

• Leiten Sie die Gleichung f¨ ur die Zeitentwicklung der mittleren Energie E = ^X

E _n P _n

1 + e ^−θ ¯ hΩ

2 − 1 + e ^−θ E

Hinweis: Multiplizieren Sie die beiden Seiten der Master-Gleichung mit dem bekannten Ausdruck f¨ ur E _n und sortieren Sie die Glieder auf der rechten Seite! Vergessen Sie nicht, dass ^P ^∞ _n=0 P _n = 1.

M X ¨ = −U ⁰ (X) −

dt ⁰ X(t ˙ ⁰ )K(t − t ⁰ ) + F (t) (1) mit

K(t) = ^X

m _j ω ² _j cos ω _j t und

F (t) = ^X

m _j ω ² _j

(q _j (0) − X(0)) cos ω _j t + p _j (0) m

sin ω _j t ω _j

• Betrachten Sie einen quantenmechanischen harmonischen Oszillator mit Masse m und Frequenz ω im thermodynamischen Gleichgewicht bei Temperatur T , und berechnen Sie die Mittelwerte hq ² i _eq , hp ² i _eq , hpqi _eq und hqpi _eq . Zeigen Sie, dass

hq ² i _eq = ¯ h

2mω coth ¯ hω 2k B T , hp ² i _eq = mω¯ h

2 coth ¯ hω 2k _B T , hpqi _eq = hqpi ^∗ _eq = i¯ h

Hinweis: Berechnen Sie die entsprechende Quantenmittelwerte f¨ ur einen gegebenen Zustand n, und mitteln Sie dann diese ¨ uber die Boltzmann- Verteilung p _n ∝ exp − _k ^E

2mω (a + a ⁺ ) p = −i

2 (a − a ⁺ ),

mit [a, a ⁺ ] = 1, und berechnen Sie hn|q ² |ni, hn|p ² |ni und hn|pq|ni. Die Mittelung ¨ uber die Boltzmannverteilung ist dann einfach.

C _{F F} (t − t ⁰ ) = 1

2 hF (t)F (t ⁰ ) + F (t ⁰ )F (t)i _eq und den Kommutator

∆(t − t ⁰ ) = h[F (t), F (t ⁰ )]i _eq . Finden Sie diese. Zeigen Sie dass

C _{F F} (t) ' ^X

m _j ω _j ² hω ¯ _j coth ¯ hω _j

2k _B T cos ω _j (t − t ⁰ ). (2) Zeigen Sie, dass bei h¨ oheren Temperaturen typischerweise gilt C _{F F} (t)

C _{F F} (t) = k _B T K(t).

Hinweis: Geben Sie den formalen Ausdruck f¨ ur hF (t)F (t ⁰ )i _eq an. Ver- einfachen Sie diesen Ausdruck in Hinsicht der Tatsache, dass die Pha- senvariablen p _i und q _i f¨ ur die verschiedene Oszillatoren unabh¨ angig sind.

C e _{F F} (Ω) = ¯ hΩcoth hΩ ¯

2k _B T Re K(Ω). ^f

g(ω) cos(ωt)dω, C _{F F} (t) =

2k _B T cos ω(t − t ⁰ )dω

mit g(ω) = m(ω)ω ² D(ω) wobei D(ω) die Dichte in Frequenzraum ist.

Fangen Sie mit f ^e ₁ (Ω) an und benutzen Sie den Regularisierungstrick:

cos ωte ^iΩt e ^−εt dt.