∞∞
∞∞ x
f x( ) lim
→
∞∞
∞∞
→
∞∞
∞∞ x −
f x( ) lim
→
∞∞
∞∞ Verhalten für x →∞∞∞∞ : →
Symmetrie→"achsensymmetrisch"
Monotonie→"smofa für x<0 und smost für x>0"
gemeinsamePunkte
"Punkt"
"P"
"O"
"Q"
"x-Wert"
−1 0 1
"y-Wert"
1 0 1
→ Eigenschaften:
3 2 1 0 1 2 3
3 2 1 1 2 3 Parabeln n≡2
a≡1
f2 x( ) →x4 f x( ) →x2
Funktionsterme:
n = 2 oder n = 3 a = 1 oder a = -1
Wähle:
2. Graphische Darstellung:
Da bei den ganzrationalen Funktionen vor der höchsten Potenz xn auch ein negativer Koeffizient a stehen kann, werden Funktionen mit der Zuordnungsvorschrift f x( ) =a x⋅ n betrachtet.
Definition: Eine Funktion f x( ) =xn mit x ∈∈∈∈ IR und n ∈∈∈∈ IN heißt Potenzfunktion vom Grade n.
1. Zuordnungsvorschrift:
Potenzfunktionen
- Parabeln n-ter Ordnung -
GS - 24.10.05 - potenz_01_Parabeln.mcd
1 / 4
Verhalten im Unendlichen
Entfernt man sich auf der x-Achse beliebig weit vom Koordinatenursprung, so hat man dafür die symbolische Schreibweise:
x --> ∞∞∞∞ bedeutet: x geht beliebig weit nach rechts, d.h. x wird beliebig groß in positiver Richtung.
x --> −∞∞∞∞ bedeutet: x geht beliebig weit nach links, d.h. x wird beliebig groß in negativer Richtung.
Entsprechendes gilt für die Funktionswerte:
f(x) --> ∞∞∞∞ bedeutet: f(x) geht beliebig weit nach oben, d.h. f(x) wird beliebig groß in positiver Richtung.
f(x) --> −∞∞∞∞ bedeutet: x geht beliebig weit nach unten, d.h. f(x) wird beliebig groß in negativer Richtung.
Um diese Werte charakterisieren zu können, benutzt man das "Limes-Symbol" : für wachsendes x:
∞∞
∞∞ x
f x( ) lim
→
bzw. für kleiner werdendes x:
∞∞
∞∞ x −
f x( ) lim
→
Bemerkung: Der "Limes" ist eine Grenzbefestigung aus der Römerzeit. Die Mathematiker haben das Wort Limes für den Begriff Genzwert übernommen.
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∞∞
∞∞ x
fu( )x lim
→
∞∞
∞∞
→
∞∞
∞∞ x −
fu( )x lim
→
∞∞
∞∞
−
→
∞∞
∞∞ x
fg( )x lim
→
∞∞
∞∞
→
∞∞
∞∞ x −
fg( )x lim
→
∞∞
∞∞
→
Verhalten der Funktionswerte für wachsende Werte von IxI
Gf ist streng monoton steigend für x ∈∈∈∈ IR . Gf ist streng monoton fallend für x≤0 und
Gf ist streng monoton steigend für x≥0 .
Monotonie
Punktsymmetrie zum Koordinatenursprung.
Achsensymmetrie zur y-Achse.
Symmetrie
ungerader Exponent (Index "u"):
gerader Exponent (Index "g"):
2 1 0 1 2
3 2 1 1 2 3
n = 3 n = 5
gemeinsame Punkte a > 0 und n ist ungerade
2 1 0 1 2
3 2 1 1 2 3
n = 2 n = 4
gemeinsame Punkte a > 0 und n ist gerade 3.1 Koeffizient a > 0:
3. Eigenschaften der Funktionsgraphen:
3 / 4
∞∞
∞∞ x
fu( )x lim
→
∞∞∞
∞
−
→
∞∞
∞∞ x −
fu( )x lim
→
∞∞
∞∞
→
∞∞
∞∞ x
fg( )x lim
→
∞∞∞
∞
−
→
∞∞
∞∞ x −
fg( )x lim
→
∞∞
∞∞
−
→
Verhalten der Funktionswerte für wachsende Werte von IxI
Gf ist streng monoton fallend für x ∈∈∈∈ IR . Gf ist streng monoton steigend für x≤0 und
Gf ist streng monoton fallend für x≥0 .
Monotonie
Punktsymmetrie zum Koordinatenursprung.
Achsensymmetrie zur y-Achse.
Symmetrie
ungerader Exponent (Index "u"):
gerader Exponent (Index "g"):
2 1 0 1 2
3 2 1 1 2 3
n = 3 n = 5
gemeinsame Punkte a < 0 und n ist ungerade
2 1 0 1 2
3 2 1 1 2 3
n = 2 n = 4
gemeinsame Punkte a < 0 und n ist gerade 3.2 Koeffizient a < 0:
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