T.Sprenger Ubungen zur Vorlesung Ubungsblatt 06 GESCHICHTE DER ANALYSIS Aufgabe 1 (Kegelschnitte) Mit Hilfe der Koordinatentransformation ~x = cos()x + sin()y ~y = sin()x + cos()y kann man das xy-Koordinatensystem um den Winkel drehen

Prof.Dr. W.Koepf

Dipl.-Math. T.Sprenger Ubungen zur Vorlesung

Ubungsblatt 06 GESCHICHTE DER ANALYSIS 22.11.2007

Aufgabe 1 (Kegelschnitte) Mit Hilfe der Koordinatentransformation

~x = cos()x + sin()y

~y = sin()x + cos()y

kann man das xy-Koordinatensystem um den Winkel drehen. Die Transformation x = cos()~x sin()~y

y = sin()~x + cos()~y macht diese Drehung ruckgangig.

Gegeben sei nun der Kegelschnitt ax²+ bxy + cy²+ dx + ey + f = 0 mit b 6= 0.

1. Um welchen Winkel muss man das xy-Koordinatensystem drehen, so dass der gemischte Term ~x~y im neuen ~x~y-Koordinatensystem des Kegelschnittes

~a~x²+ ~b~x~y + ~c~y²+ ~d ~x + ~e~y + ~f = 0 verschwindet, d.h. ~b = 0 gilt.

2. Bestimmen Sie fur a = 2, b = 1, c = 1, d = 1, e = 1 und f = 0 den Winkel und zeichnen Sie den Original- und den transformierten Kegelschnitt.

(5 Punkte)

Aufgabe 2 (Stammfunktion von x^m) Bestimmen Sie das Integral Z _b

a f (x) dx mit f (x) = x^m;

wobei a; b 2 R⁺ mit a < b und m 2 N. Verwenden Sie dazu die Rechtssumme Xn

j=1

(x_j x_{j 1})f (x_j)

mit geeigneten Stutzstellen x_j und berechnen Sie danach den Grenzwert.

Hinweis: Wahlt man eine aquidistante Einteilung des Intervalls [a; b] in n Teilintervalle, also x_j = a+j ^{b a}_n

, so kann man das gesuchte Integral nicht uber die Rechtssumme bestimmen! Verwenden Sie stattdessen eine Einteilung gema x_j = q^j_na mit q_n = qⁿ

ba. Die Lange der Intervalle ist dann nicht mehr unabhangig von j, aber dafur der Quotient ^xj+1_xj = q_n. (5 Punkte)

Abgabetermin: Donnerstag, 29.11.2007, 14.15 Uhr in der Ubung (Raum 1403).