UNIVERSITAT LEIPZIG

Prof.Dr.R.Verh,M.Teuhler,A.Knospe

. .

Inst. f. Theoretische Physik

UNIVERSITAT LEIPZIG

Wintersemester 2008/09

Musterlösungen zuÜbungen zurAllgemeinen Relativitätstheorie

Aufgabenblatt 8

Aufgabe22

Gegeben istdieMetrikin derlinearenNährung,auf derRaumzeitM =R⁴ gµν(x) =ηµν+ ˜Hµν(x)

WobeiH˜µν(x)ⁱⁿ transversal-spurfreiEihunggegebenist,d.h.esist

H˜µν(x) =Aµνe^ikσxσ

(!!Indexbewegungen werden mit η durhgeführt!!; wenn die gesamte Metrik zu verwendet wird, so wird sie expliziet geshrieben).

UndfolgendeGleihungensinderfüllt:

H˜_µ^µ(x) = 0 ⁽¹⁾

H˜µν(x)k^ν = 0 ⁽²⁾

H˜µν(x)u^ν= 0 (^{Für einenfestgewählten}zeitartigenVektoru^{a ist}) ⁽³⁾

k_σk^σ= 0 ⁽⁴⁾

FürdieChristoelsymbolegilt:

Γ^γ_αβ= 1

2η^γδ(∂αH˜βδ+∂βH˜δα−∂δH˜αβ) ⁽⁵⁾ Γ^γ_αβ= i

2η^γδ(kαH˜βδ+kβH˜δα−kδH˜αβ) ⁽⁶⁾

a)DieGeodätengleihunglautet:

¨

x^γ+ Γ^γ_αβx˙^αx˙^β= 0 ⁽⁷⁾

Inunserem speziellenBeispielmit(6)ergibtsih:

¨ x^γ +i

2η^γδ(kαH˜βδ+kβH˜δα−kδH˜αβ) ˙x^αx˙^β = ¨x^γ+ikαx˙^αη^γδH˜δβx˙^β− i

2k^γH˜αβx˙^αx˙^β= 0 ⁽⁸⁾

Wirmultiplizieren(8)mitkγ^{,summierenunderhaltendamit:}

kγx¨^γ+ikαx˙^α

(2)= 0

z }| { k^δH˜δβx˙^β− i

2k^γkγ

| {z }

(4)= 0

H˜αβx˙^αx˙^β=kγx¨^γ = 0 ⁽⁹⁾

⇒ d

dτ(kγx˙^γ) = 0 ⇒kγx˙^γ =const=C

Alsnähstesmultiplizieren wir(6) mitx˙γ ^{und summierenwieder:}

¨

x^γx˙_γ+ i

2k^γx˙_γH˜_αβx˙^αx˙^β= 0 ⁽¹⁰⁾

ZumvereinfahendeszweitenTerms nutzenwiraus,dasdieGeodätenahBogenlängeparametrisiertist.

1 =gµνx˙^µx˙^ν =ηµνx˙^µx˙^ν+ ˜Hµνx˙^µx˙^ν ⇒ H˜µνx˙^µx˙^ν= 1−x˙µx˙^µ

Wirführen eineneueVariablev:= ˙xµx˙^{µ ein.Damitformen wir(10)um} 1

2v˙+iC

2 (1−v) = 0

v=De^i(Cτ+φ0)+ 1 D, φ0∈R, D≥0 ⁽¹¹⁾

BeideKurven inder Aufgabenstellung habenalsAnfangswertv(0) = 1 ^{gegeben.Darausfolgt}D= 0^,v =const= 1^.Für

denEihparameter u^{a wählenwir}u^a= (1,0,0,0)^T.Wirmultiplizieren(6)mituγ ^{undsummierenerneut:}

¨

x⁰+iC u^δH˜δβ

| {z }

(3)= 0

˙ x^β−i

2k⁰(1−v) = ¨x⁰− i

2k⁰(1−v) = 0 ⁽¹²⁾

FürunserAWPmitv= 1 ^undx˙⁰(0) = 1^folgt:

¨

x⁰= 0 ⇒ x˙⁰=const= 1

Ausv= 1^undx˙⁰= 1^{folgtdann bereits.}

˙

x(τ) = (1,0,0,0)

(Diegleihe Rehnunggiltfüry)

b)DieJaobigleihunglautet:

D²

Dτ²V^µ=R_νκλ^µ T^νT^κV^λ

DabeiistT^a = (1,0,0,0) =∂0^und V^a= (0, δ,0,0) =δ·∂1^{.InderLinearenNährungist}

R^µνκλ=∂κΓ^µ_νλ−∂λΓ^µ_νκ

Inunserem Beispielalso:

D²

Dτ²V^µ=δR^µ001=δ(∂0Γ^µ₀₁−∂1Γ^µ₀₀)

Γ^µ₀₁=1

2η^µσ(∂0H˜1σ+∂1H˜σ0−∂σH˜01)⁽³⁾= 1

2η^µδ∂0H˜1δ ⁽¹³⁾

Γ^µ₀₀=1

2η^µσ(∂0H˜0σ+∂0H˜σ0−∂σH˜00)⁽³⁾= 0 ⁽¹⁴⁾

Damitlesen wirab:

D²

Dτ²V^µ =δ1

2η^µδ∂₀²H˜1δ =







−¹₂δ∂₀²H˜11 ^,fürµ⁼¹

−¹₂δ∂₀²H˜12 ^,fürµ⁼²

0 ^,sonst

(15)

Aufgabe23

a)

u=x⁰−x³ v=x⁰+x³

η_uv=η00

∂x⁰

∂u

∂x⁰

∂v +η33

∂x³

∂u

∂x³

∂v =1 4 +1

4 = 1 2 ηuu=η00

∂x⁰

∂u

∂x⁰

∂u +η33

∂x³

∂u

∂x³

∂u = 1 4−1

4 = 0 ηvv =η00

∂x⁰

∂v

∂x⁰

∂v +η33

∂x³

∂v

∂x³

∂v = 1 4−1

4 = 0

(AlleanderenKomponentenbleibenunverändert)

b)(Wir nehmenanguv= ¹₂^{)Wirführen denLagrangianeinumdie}Christoelsymbolezu berehnen:

L= 1

2( ˙uv˙−f²(u)( ˙x¹)²−φ²(u)( ˙x²)²) ⁽¹⁶⁾

DarausbestimmenwirdieEuler-Lagrange-Gleihungen:

1

2v¨=−f^′(u)f(u)( ˙x¹)²−φ^′(u)φ(u)( ˙x²)² 1

2u¨= 0

−2f^′(u)f(u) ˙ux˙¹−f²(u)¨x¹= 0

−2φ^′(u)φ(u) ˙ux˙²−φ²(u)¨x²= 0

HierauslesenwirdieChristoelsymboleab.

Γ^v₁₁= 2f(u)f^′(u) Γ^v₂₂= 2φ(u)φ^′(u) Γ¹_u1=f^′(u)

f(u) Γ²_u2=φ^′(u) φ(u)

R_αβ=∂_γΓ^γ_βα−∂_βΓ^γ_γα+ Γ^ǫ_βαΓ^γ_γǫ−Γ^ǫ_γαΓ^γ_βǫ

Damithaben wir:

R_uu=−∂_u f^′(u)

f(u) +φ^′(u) φ(u)

−f^′(u)²

f(u)² −φ^′(u)²

φ(u)² =−f^′′

f −φ^′′

φ

Alleanderensind0.DieInverseMetrikhatdieEinträge:

g^uv= 2 g¹¹= −1

f(u)² g²²= −1

φ(u)^{2 0sonst}

⇒ R=g^αβRαβ= 0

AusderEinsteinsheFeldgleihung:

Gαβ=Rαβ−1

2gαβR= 0

folgtdann:

f^′′

f +φ^′′

φ = 0

)DasgegebeneferfülltdieBedingung,denn:

f^′′

f +φ^′′

φ = −γ^′′(u)

1−γ(u)+ γ^′′(u)

1 +γ(u)=− 2γ^′′(u)γ

1−γ²(u) = −2O(ǫ²)

1− O(ǫ²) ≈ O(ǫ²)

Fürφ= 1 +ǫsin(u)^und f = 1−ǫsin(u)^ergibtsih:

g=







1 0 0 0

0 −1 + 2ǫsin(x⁰−x³) 0 0

0 0 −1−2ǫsin(x⁰−x³) 0

0 0 0 −1





+O(ǫ²)

Beahtetmannoh:

2ǫsin(x⁰−x³) =Re 2ǫ

i e^i(x0−x3)

istdieÄquivalenzzurgefordertenFormoensihtlih.