UNIVERSITAT LEIPZIG

Prof. Dr. K. Sibold Wintersemester 2008/09 Dr. P. Marecki

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Inst. f. Theoretische Physik

UNIVERSITAT LEIPZIG

Ubungen zur Quantenmechanik ¨ Aufgabenblatt 10 v.2

Aufgabe 30

Normieren Sie die Vektoren

ψ _jm = N (J + ) ^k ψ _{j −j} , (1)

wobei

J ² ψ _jm = j (j + 1)ψ _jm , J 3 ψ _jm = mψ _jm . (2) (s. Aufgabe 26).

Aufgabe 31

Bestimmen Sie die Matrixelemente der Operatoren J 1 , J 3 bzgl. ψ jm , d.h. berechnen Sie die Skalarprodukte

(ψ _jm , J _k ψ _jm

) (3)

f¨ur k = 1, 3, j = 2, m, m ^′ = 2, 1, 0.

Aufgabe 32

Berechnen Sie die Matrixelemente des Ortsoperators, d.h. die Skalarprodukte

R ~ = (ψ, ~x χ) (4)

wobei ψ und χ Wellenfunktionen des H-Atoms bezeichnen

ψ = R 10 (r)Y 00 (θ, ϕ), χ = R 21 (r)Y 1 m (θ, ϕ) (5) f¨ur m = 1, 0. Lassen sich die (vielleicht Teil-) Ergebnisse auch zur Bestimmung der Matrix- elemente des Impulsoperators anwenden?

1

Radiale Funktionen des H-Atoms zu n = 1, 2, 3 :

R ˆ 10 = 2e ^−x , (6)

R ˆ 20 = 2 − x 2 √

2 e ^{−x/ 2} , R ˆ 21 = x

2 √

6 e ^{−x/ 2} , (7) R ˆ 30 = 2(1 −

2 x

3 + ² ₂₇ ^x

) 3 √

3 e ^{−x/ 3} , (8)

R ˆ 31 = 8x(1 − ^x 6 ) 27 √

6 e ^{− x/ 3} , R ˆ 32 = 4x ² 81 √

30 e ^{− x/ 3} , (9) wobei x = r/a, R nl = ˆ R nl · a ^{− 3 / 2} .

Abgabe: Am Donnerstag, den 15.1.2009 in der Vorlesung.

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