UNIVERSITAT LEIPZIG

Prof.Dr.R.Verh,M.Teuhler,A.Knospe

. .

Inst. f. Theoretische Physik

UNIVERSITAT LEIPZIG

Wintersemester 2008/09

Musterlösungen zuÜbungen zurAllgemeinen Relativitätstheorie

Aufgabenblatt 2

(a)RehnenwirauswasLösungder angegebeneDierentialgleihungist:

x⁰(t) =u⁰t+y⁰ xⁱ(t) = aⁱ

2t²+uⁱt+yⁱ wobei u^a,y^a∈R^{4 (1)}

EinesolheKurveistnihtimmer zeitartig,auhwennihrAnfangsgeshwindigkeitsvektorzeitartigwar:

η_µνx˙^µx˙^ν =u^µu_µ+ 2a^µu_µt+a^µa_µt² wobeia^µ= (0,^a) ⁽²⁾

(b)WirbenutzendieNotationausMusterlösung1,Aufgabe2.

Λ(θ,ⁿ) =

coshθ −^nTsinhθ

−ⁿsinhθ Id^(3×3)+ (coshθ−1)P(ⁿ)

(3)

⇒∂θθΛ(θ,ⁿ) =

coshθ −^nTsinhθ

−ⁿsinhθ coshθP(ⁿ)

= Λ(θ,ⁿ) ˜P(ⁿ) ⁽⁴⁾

WobeiP˜(ⁿ) =

1 ^0T

0 P(ⁿ)

AusderAllgemeinenFormelfürLorentztransformationenkönnenwirnunfürBoostsfolgern((') bezeihnetAbleitungnah

θ^):

Λ^TηΛ =η ⁽⁵⁾

⇒Λ^′TηΛ + Λ^TηΛ^′= 0 ⁽⁶⁾

⇒Λ^′′TηΛ + 2Λ^′TηΛ^′+ Λ^TηΛ^′′= 0 ⁽⁷⁾

(2)⇔Λ^′TηΛ^′=−1 2

P(˜ ⁿ)η+ηP˜(ⁿ)

=−P(˜ ⁿ)^TηP˜(ⁿ) ⁽⁸⁾

DamitkönnenwirleihtdieEigenzeitausrehnen:

τ(t) = 1 c Zt

0

dt^′ s

η

dx(t^′) dt^′ ,dx(t^′)

dt^′

=a c Zt

0

dt^′ q

η ∂θΛ1(θ)|_θ=−at^′

y, ∂θΛ1(θ)|_θ=−at^′

y

=

(6)= a c

t

Z

0

dt^′ r

−η

P˜(^e₁)y,P(˜ ^e₁)y

= r

−η

P˜(^e₁)y,P˜(^e₁)yat c =p

(y¹)²−(y⁰)²at c

(9)

Obiges zeigt, dass es sih nur um eine zeitartige Kurve (eines massiven Teilhens) handelt, wenn y ^{raumartig ist. Die}

umparametrisierteKurveergibtsihdannals:

˜

x(τ) =x(t(τ)) = Λ1 − cτ p(y¹)²−(y⁰)²

!

y ⁽¹⁰⁾

Wirzeigennunnohdases sihumeineKurvekonstanterBeshleunigunghandelt:

η

d²x(τ)˜

dτ² ,d²x(τ)˜ dτ²

= c⁴

((y¹)²−(y⁰)²)²η

P(˜ ^e₁)y,P˜(^e₁)y

= c⁴

((y¹)²−(y⁰)²)²((y⁰)²−(y¹)²) =− c⁴ (y¹)²−(y⁰)²

(11)

y¹<0 y¹>0

()BerehnenwirzunähstdieVierergeshwindigkeitsowieViererbeshleunigungder Kurve:

˜ u(τ) =c



 cosh

cτ y¹

sinh

cτ y¹





d˜u dτ = c²

y¹



 sinh

cτ y¹

cosh

cτ y¹



 ⁽¹²⁾

Wirsehen,dassdasTeilhenin einemSystemmitRapiditätθ=^cτ_y1 ^undn=^e₁^{momentaninRuheist,denn:}

Λ1

cτ y¹

˜ u(τ) =

c 0

Λ1

cτ y¹

d˜u(τ) dτ = c²

y¹ 0

1

(13)

d.h.im jeweilsmomentanen RuhesystemerfährtdasTeilheneinekonstanteBeshleunigungin e^′₁^-Rihtung

(d)DieangegebenenPunkteaufder Kurveentsprehenτ^-Wertenmit:

cosh cτ

y¹

= 4 ⇒ τ± =±y¹

c arcosh(4) ∆τ =τ+−τ−= 2 arcosh(4)y¹ c

ImzugrundeliegendemSystemvergeht:

∆t= 2y¹ c

p4²−1≥2 arcosh(4)y¹

c = 2 ln 4 +p

4²−1y¹ c

Aufgabe5

(a)Diein derVorlesungangegebeneKraftgleihungenlauten:

d˜p^α(τ)

dτ = ˜F^α F˜=γ^F_N ⁽¹⁴⁾

WobeiwirF

N ^{mitderNewtonshenKraft}identizierenund

dt

dτ =γ(t) ⁽¹⁵⁾

Wirhaben imElektromagnetishemFelddieLorentzkraftgleihunggegeben:

F

el N =e

E+1 c

d^x dt ×^B

(16)

Setzenwirnunin(12)ein,erhaltenwirfür dieräumlihenKomponenten:

d^p(τ)

dτ = md²x(τ)˜

dτ =mdt dτ

d dt

dt dτ

d^x dt

=γ(t)d dt

mγ(t)d^x dt

=γ(t)e

E+1 c

d^x dt ×^B

(17)

⇔ d dt

mγ(t)d^x dt

=e

E+1 c

d^x dt ×^B

(18)

Esbleibtnunnurnohdie0-KomponentederKraftgleihungzubestimmen.Diese erhältmanausder Forderung,dass

du˜^α

dτ F˜^α= 0⇔ du^α

dt F˜^α= 0⇔cF˜⁰−F˜·d^x

dt ⁽¹⁹⁾

⇒F˜⁰= 1 cF˜·d^x

dt =γ(t)e c^E·d^x

dt ⁽²⁰⁾

⇒ dp⁰

dτ =γ(t)d

dt(γ(t)mc) =γ(t)e c^E·d^x

dt ⁽²¹⁾

⇔ d

dt γ(t)mc²

=e^E·d^x

dt ⁽²²⁾

(b)ShreibenwirnundieGleihungen(16)und(20)wiederaufτ ^{umerhaltenwir:}

md²˜^x dτ² =e

Eγ(t) +1 c

d^x dτ ×^B

(23)

md²x˜⁰ dτ² = e

c^E· d˜^x

dτ ⁽²⁴⁾

Alsletzesistnohzuverwendendass

γ(t) = dt dτ = 1

c d˜x⁰

dτ ⁽²⁵⁾

womit (21)zu

md²˜^x dτ² =e

c

E

d˜x⁰ dτ +

d^x dτ ×^B

(26)

mitder angegebenenFormelfolgt:

E_i=Fi0 B_i =1

2ǫ_ijkF^jk i, j, k∈ {1,2,3} ⁽²⁷⁾

Wirsetzeneinin(22)und24

md²x˜⁰ dτ² = e

cFν0d˜x^ν

dτ ⁽²⁸⁾

md²x˜ⁱ dτ² =e

c Fi0

d˜x⁰ dτ +1

2 X

k

ǫijkǫklm

d˜x^j dτ F^lm

!

(29)

⇔md²˜xⁱ dτ² =e

c

Fi0

d˜x⁰ dτ +d˜x^j

dτ Fij

=−e cFµi

d˜x^µ

dτ ⁽³⁰⁾

WirerhaltenalsodiegeforderteEndgleihung:

md²x˜ν

dτ² =e cFµν

d˜x^µ

dτ ⁽³¹⁾

()

d

dτ ηµνx˙˜^µx˙˜^ν

= 2¨x˜^νx˙˜ν =e

cFµνx˙˜^µx˙˜^ν = 0 ⁽³²⁾

⇒ηµνx˙˜^µx˙˜^ν =const ⁽³³⁾

d.h.wegenGleihung(31)folgtdasbeibeliebigemzeitartigemAnfangsvektorx(0)˙˜ ^, x(τ)˙˜ ^{zeitartigbleibt,alsonielihtartig}

wird,undsomitnieLihtgeshwindigkeiterreihenkann.Diesistallerdingseigentlihaprioriso,dennin derKraftgleihung

kommtnurdie Vierergeshwindigkeitvor, dienah Denition immer den Konstanten betragc^{2 hat. Esist alsoeher eine}

ForderunginderKraftgleihung,dassbetrahteteBahnkurvennahEigenzeitparametrisiertwerdenkönnen,wasnurmöglih

ist(sieheDef.Eigenzeit) wennder Geshwindigkeitsvektorimmerzeitartigbleibt.