Kondensierten Materie
Ubungen zur Theoretishen Physik A WS 02/03
Prof. P. Wolfle Musterlosung
Dr. M. Greiter Blatt 12
1. Molekulshwingung
(a) Bewegungsgleihungen:
m
1
x
1 +k(x
2 x
1
a)=0
m
2
x
2 k(x
2 x
1
a)=0
(b) Shwerpunktskoordinate:
X = m
1 x
1 +m
2 x
2
m
1 +m
2
Relativkoordinate:
x=x
2 x
1
Umgeformt:
x
1
=X
m
2
m
1 +m
2 x; x
2
=X+ m
1
m
1 +m
2 x
Eingesetzt indie Bewegungsgleihungen:
m
1
X+ m
1 m
2
m
1 +m
2
x+k(x a)=0 (1)
m
2
X
m
1 m
2
m
1 +m
2
x k(x a)=0 (2)
Addition(??)+(??)ergibt:
(m
1 +m
2 )
X =0 also
X=0:
Eingesetzt in(??):
m
x+k(x a)=0 wobei m
= m
1 m
2
m
1 +m
2 :
Harmonisher Oszillator mit Eigenfrequenz
!
0
= r
k
(a) Polarkoordinaten (siehe Blatt 7,Aufgabe1): Mit
d
d e
r
=e
d
d e
= e
r
ergibtsih:
r=re
r
_ r=r_e
r +r
_
e
r=(r r _
2
)e
r +(2r_
_
+r
)e
:
Eingesetzt in
mr=F(r)e
r
ergibtsih
m(r r _
2
)=F(r) 2r_ _
+r
=0 (1)
Mitr_ 0folgt
=0oder _
=!=onst. SomitF(r)= mr!
2
.
(b) Lenzsher Vektor:
_ rL
r 2
F(r) e
r
(2)
Drehimpuls:
L=m(r _
r)=m(re
r r
_
e
)=mr 2
_
e
z
Fur r_ 0 ist
_ r=r
_
e
; r_L=mr 3
_
2
e
r
und (??)reduziert sih zu
mr _
2
=F(r):
Eingesetzt in(??) ergibt sih=0.
3. Lenzsher Vektor: Teil II
() Esgilt
L=
L(r_L)
r 2
F(r)
m(rr)_ r
r
=0;
dabeideSpatprodukte zweiidentishe Vektorenenthaltenunddahervershwinden.
steht also senkreht aufL und liegtdamit in der Bahnebene.
(d) r minimal oder maximal) r_ =0. Somit
= mr
_
2
e
r
e
r
(e) Mitr F(r)=f(r):
= _ rL
f(r) e
r
Abgeleitet
_ =
d
dt 1
f(r)
( r_L)
rL+r_ _
L
f(r)
_ e
r
Mit
r=
f(r)
mr 2
e
r
; L=mr 2
_
e
z
; und _
L=0;
ergibtsih
_
=
f 0
(r)r_
f(r) 2
( _
rL) 1
f(r)
f(r)
mr 2
e
r mr
2
_
e
z
_
e
= f
0
(r)r_
f(r) 2
_
rL
Da r_ L im allgemeinen ungleih Null ist (sofern der Massepunkt niht in Ruhe
bleibt), muss entweder r_ = 0 (Kreisbahn) oder f 0
(r) = 0 (und somit F(r) / 1
r 2
)
